三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题09三角函数文(含解析)
f (x) 为偶函数时， f (x)=f (x) 对任意的 x 恒成立，即 f (x) cos(x) b sin(x) cos x b sin x ， cos x b sin x cos x b sin x ，得 b sin x 0 对任意的 x 恒成立，从而 b 0 .从而“ b 0 ”是“ f (x)
f
(x) ，得
f (x) 是奇函数，其图象关于原点对称，
排除
A．又
f
(π) 2
1 π 2
( π )2
4 2π 1, π2
f
(π)
π 1
π2
0 ，排除 B，C，故选 D．
2
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或
赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得 f (x) 是奇函数，排除 A，再注
π,
∴
2，
3
∴ g(x) Asin 1 x Asin x, 2
又 g( π ) 2 ，∴ A 2 ， 4
∴ f (x) 2sin 2x ， f (3π ) 2. 8
故选 C.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 g x ，结合函数性质
对应的函数为
g
x
.若
g
π 4
2
，则
f
3π 8
A．−2
B． 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】∵ f (x) 为奇函数，∴ f (0) Asin 0, =kπ, k Z,k 0, 0 ；
∵
f
x
的最小正周期为
π，T
2π
得 sin x 0 或 cos x 1，
2
x 0, 2π， x 0、π或2π ．
f (x) 在0, 2π 的零点个数是 3，
故选 B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令 f (x) 0 ，
得 sin x 0 或 cos x 1，再根据 x 的取值范围可求得零点.
逐步得出 A,, 的值即可.
1 3 3 2
1 3 3
3.故选 D.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运
算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式
计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
1
3．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】若 x1= ，x2= 是函数 f(x)= sin x ( >0)两个相邻的极值点，则 =
6．【2019 年高考北京卷文数】设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”
的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 b 0 时， f (x) cos x b sin x cos x ， f (x) 为偶函数；
意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=
A．−2− 3
B．−2+ 3
C．2− 3
D．2+ 3
【答案】D
【解析】 tan 255 tan(180 75) tan 75 tan(45 30) = tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30
专题 09 三角函数
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】函数 f (x) sin x x 在[, ] 的图像大致为 cos x x2
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
f
(x)
sin(x) (x) cos(x) (x)2
sin x x cos x x2
5
5
选 B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余
弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数
值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及
正余弦平方和为 1 关系得出答案．
4
4
3
A．2
B．
2
1
C．1
D．
2
【答案】A
【解析】由题意知，
f
(x)
sin x
的周期 T
2
2( 3 4
)
4
，解得
2
．故选
A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期
公式，通过方程思想解题．
4．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知 a∈（0， π ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
1 A．
5
B． 5 5
C． 3 3
D． 2 5 5
【答案】B
【
解
析
】
2sin
2α
cos 2α
1，
4 sin
α
cos α
2 cos2
α
. α
0,
2
, cos
α0，s源自nα0,2sin α cos α ，又 sin2 cos2 1 ，5sin2 α 1,sin2 α 1 ，又 sin 0 ，sin 5 ，故
5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数 f (x) 2sinx sin2x 在[0，2π]的零点个数为
A．2
B．3
C．4 【答案】B
D．5
【解析】由 f (x) 2sin x sin 2x 2sin x 2sin x cos x 2sin x(1 cos x) 0 ，
为偶函数”的充分必要条件，故选 C. 【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为 R 的函数 f (x) 为偶函数等
价于 f (x)=f (x) 恒成立进行判断.
7．【2019 年高考天津卷文数】已知函数 f (x) Asin( x )( A 0, 0,| | π) 是奇函数，且 f x 的 最小正周期为 π，将 y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象
2017—2019高考数学(文)真题专项汇编卷-三角函数及解三角形
绝密★启用前2017—2019高考数学（文）真题专项汇编卷 三角函数及解三角形学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题 1.若1sin 3α=,则cos2α= ( ) A.89B.79C. 79-D. 89-2.已知(0,),2sin 2cos 212a ααπ∈=+,则sin α=( )A ．15B C D 3.函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.函数2cos 2y x x =+最小正周期为( )A.2πB.23π C. π D. 2π5.在ABC △中, cos 1,52C BC AC ===则AB = ( )A.D. 6.若 ()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数,则a 的最大值是( ) A.4πB.2π C.34π D. π7.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,2,a c ==则C = ( ) A. π12B.π6C.π4D.π38.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则b c =( )A ．6B ．5C ．4D ．39.设函数()2sin(),R f x x x ωϕ=+∈,其中0,πωϕ><.若5π11π()2,()088f f ==且()f x 的最小正周期大于2π,则( )A.2π,312ωϕ==B.211π,312ωϕ==-C.111π,324ωϕ==-D.17π,324ωϕ==二、填空题10.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知sin cos 0b A a B +=,则B =______.11.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知60C =︒,b =3c =,则A =__________.12.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则ABC △的面积为__________.三、解答题13.在ABC △中,13,2,cos 2a b c B =-==-(1).求,b c 的值； (2).求sin()B C -的值．14.已知函数 ()2sin cos f x x x x =. (1).求 ()f x 的最小正周期; (2).若 ()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32,求m 的最小值.15.ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知sin sin 2A Ca b A +=． (1).求B ；(2).若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围．参考答案1.答案：B解析：227cos 212sin 199αα=-=-= 2.答案：B 解析：2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0α>,2sin cos ∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 3.答案：B解析：由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ． 4.答案：C解析：由题意2sin(2)6y x π=+,其周期22T ππ==,故选C. 5.答案：A解析：因为: 223cos 2cos 121255c C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215()325c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=所以c =选A. 6.答案：C解析：因为 ()sin 4f x coosx x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,所以由 ()0224k k k z π+π≤π+≤π+π,∈得()322,44k x k k z ππ-+π≤≤+π∈因此 []3,,44a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦∴3,,44a a a a ππ-<-≥-≤,从而a 的最大值为34π,选C. 7.答案：B解析：因为()()sin sin sin cos sin sin sin sin cos B A C C A C A C A C +-=++-=()sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin 0A C C A A C A C C A A ++-=+= 因为C 为ABC △的内角，所以sin 0C ≠，所以πcos sin 04A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭所以3π4A =，又因为2,a c == 由正弦定理得sin sin a c A C =，即sin 1sin 2c A C a ==，因为3π4A =，所以π0,4C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6C =。
专题09 三角函数-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)
专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.6．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.7．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】22sin tan 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan 21()cos xx x f x x x x x x x ====++， 故所求的最小正周期为2ππ2T ==，故选C. 【名师点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y B A y B A =-，. (2)最小正周期2π.T ω=(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴. (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.9．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10．【2018年高考天津卷文数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间[,]44ππ-上单调递增 B ．在区间[,0]4π-上单调递减 C ．在区间[,]42ππ上单调递增D ．在区间[,]2ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递增区间为[,]44ππ-，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误. 故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15 B．5C．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即a =，所以2a b a a -=-=，故选B. 【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】C【解析】π()cos sin )4f x x x x =-=+.当x ∈[0,]a 时，π4x +∈ππ[,]44a +，所以结合题意可知，ππ4a +≤，即3π4a ≤，故所求a 的最大值是3π4· 故选C.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y =A sin(ωx +φ)(ω>0)，y =A cos(ωx +φ)(ω>0)，y =A tan(ωx +φ)(ω>0)的三角函数间是的关键.具体间题中，首先将“ωx +φ”看作一个整体，然后活用相关三角函的图象与性质求解. 14．【2018年高考浙江卷】函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．15．【2018年高考北京卷文数】在平面直角坐标系中，»»»¼,,,AB CDEF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH【答案】C【解析】由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.对于A 选项：当点P 在»AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；对于B 选项：当点P 在»CD上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=，tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；对于C 选项：当点P 在»EF上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；对于D 选项：当点P 在¼GH上且¼GH 在第三象限时，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误. 综上，故选C.【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ； 当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A ．4π B ．2π C ．π D ．π2【答案】C 【解析】由题意2ππ2T ==，故选C. 【名师点睛】函数sin()(0,0)y A x B A =++>>ωϕω的性质： (1)max min =+y B A y B A =-，. (2)最小正周期2π.T =ω(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴. (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间;18．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. （3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 19．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．20．【2017年高考全国Ⅲ文数】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A ，C ； 当x →+∞时，1y x →+，故排除B ，满足条件的只有D ， 故选D.【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.21．【2017年高考天津卷文数】设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π， 由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ． 【名师点睛】关于sin()y A x ωϕ=+的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据最小正周期求ω，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求ω或ϕ的值、函数最值、取值范围等． 22．【2017年高考山东卷文数】已知3cos 4x =，则cos2x = A ．14- B ．14C ．18-D ．18【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D. 【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征． （2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 23．【2017年高考山东卷文数】函数2cos 2y x x =+的最小正周期为A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【答案】C【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以其最小正周期2ππ2T ==，故选C. 【名师点睛】求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. ③对于形如sin cos y a x b x ωω=+的函数，一般先把其化为()y x ωϕ=+的形式再利用公式求周期.24．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．25．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22221221⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 26．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α. 故答案为32.【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，可直接利用正切函数的差角公式求解；也可灵活利用加减变形技巧加以求解. (1)有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，常见的有2()()=++-ααβαβ，2+=αβ()++αβα，()=--βααβ等;(2)处理有关三角函数问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，然后通过换元，进一步分析、解决问题.27．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.28．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .【解析】()f x ≤=【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值. 29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==，因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4α-==【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 30．【2017年高考北京卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 【答案】13【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含： 若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ； 若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ； 若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 31．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ▲ ． 【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---． 故答案为75．【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．32．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 33．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】（1）π；（2）π3.【解析】（1）1cos 211π1()22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求出函数()f x 的最小正周期； （2）利用正弦函数的性质，求出m 的范围，即可求出m 的最小值.34．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）． （1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.35．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()5+=-αβ． （1）求cos2α的值； （2）求tan()-αβ的值． 【答案】（1）725-；（2）211-. 【解析】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα． 因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α，因此，27cos 22cos 125=-=-αα．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()5+=-αβ，所以sin()5+==αβ，因此tan()2+=-αβ． 因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．【名师点睛】解答本题时，（1）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解；（2）利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求解. 三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．36．【2017年高考北京卷文数】已知函数π())2sin cos 3f x x x x =--.（1）求f (x )的最小正周期； （2）求证：当ππ[,]44x ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（1）π；（2）见解析.【解析】（1）31π()2sin 2sin 2sin 2cos 2sin(2)22223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤. 所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值. （1）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后根据公式2πT ω=求周期；（2）先求π23x +的范围再求函数的最小值即可.37．【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ． （1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin32π=，21cos 32π=-，22211()(()()32222f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 22f x x x=-2sin(2)6x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．38．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-． 【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x = 又[]0πx ∈，，所以5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． ()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin u A y sin =因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤ 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-． 【名师点睛】解答本题时，（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．熟记下列结论：（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC =u u u r u u u r λ111OA OB OC ⇔=+++u u u r u u u r u u u r λλλ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ．。
三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题09三角函数理
【答案】D
【解析】①若 f (x) 在[0, 2π] 上有 5 个零点，可画出大致图象，
由图 1 可知， f (x) 在 (0, 2π) 有且仅有 3 个极大值点.故①正确；
②由图 1、2 可知， f (x) 在 (0, 2π) 有且仅有 2 个或 3 个极小值点.故②错误；
④当
f
x =sin（ x
π
作出 y sin 2x 的图象如图 3，由图象知，其周期为 2 ，在区间( 4 ， 2 )单调递减，排除 B，
故选 A．
图1
图2
图3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数
y
图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数
f (x) 的周期是函数 y
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2π 11．【2017 年高考全国Ⅰ理数】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
2 sin
x
，它有一个零点： π
，故
f
x 在
,
有
3
个零点：
0
，故③错误．
x 2k , 2k k N f x 2sin x x 2k , 2k 2k N
当
时，
；当
时，
f
x
sin
x
sin
f (x) 周期的一半；
2017-2019年高考真题数学(理)分项汇编_专题09 三角函数
专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0fx x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】2s i n 2c o αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又s i n 0α>，sin α∴=，故选B ． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，再根据函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 8．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.函数()sin (0,0)y A x B A =++>>ωϕω的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T =πω(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴. (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.9．【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2，π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x bω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.13．【2017年高考天津卷理数】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π， 由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 【名师点睛】关于sin()y A x ωϕ=+的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据最小正周期求ω，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求ω或ϕ的值、函数最值、取值范围等． 14．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.15．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin 22x x =-=-，所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.17．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值， 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.19．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是. 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-+=--+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.23．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 24．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.25．【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，22211()()()322f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．26．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-． 又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.28．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()5+=-αβ．（1）求cos2α的值； （2）求tan()-αβ的值．【答案】（1）725-；（2）211-. 【解析】（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα．因为22sin cos 1+=αα， 所以29cos 25=α， 因此，27cos 22cos 125=-=-αα． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()+=αβ，所以sin()+==αβ， 因此tan()2+=-αβ． 因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 29．【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（1）2ω=；（2）最小值为32-.【解析】（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3sin cos 22x x ωω=-13(sin )2x x ωω=-π)3x ω=-.由题设知π()06f =，所以πππ63k -=ω，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ， 又03ω<<， 所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π3π[,]44x ∈-， 所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.。
三年高考(2017_2019)高考历史真题分项汇编专题09近代中国的经济(含解析)
专题09 近代中国的经济考点一：晚清中国经济结构的变化和民族工业的兴起1．（2019年新课标全国卷Ⅲ，28，4分）19世纪六七十年代，外国人将自己的名字租借给中国人经办新式企业的做法，在通商口岸较为盛行。
这一做法A．导致民间设厂高潮局面的出现B．有利于中国新的社会阶层发展C．加剧了外国资本对中国的输入D．扭转了中国对外贸易入超局面【答案】B【解析】结合所学知识可知，在半殖民地半封建社会的中国，封建势力始终是民族资本主义发展的阻碍因素，外国人将自己的名字租借给中国人经办企业，有利于中国民族工业的发展，进而有利于中国社会新的阶层的发展，B项符合题意。
19世纪六七十年代是民族资本主义产生时期，尚未出现发展的高潮，A项排除。
外国资本大规模输入中国的时间是在19世纪末20世纪初，C项排除。
材料未涉及中国对外贸易的状况问题，D项排除。
2．（2019年北京卷，16，4分）为下表选取表名，最恰当的是A．京津冀地区晚清民族企业简表B．北京近代民族企业简表C．洋务运动时期北方企业简表D．近代民族资本主义企业简表【答案】A【解析】材料中1878年开滦唐山煤矿、1880年北洋水师大沽船坞可知，这是洋务运动时期的企业。
1902年和1908年北洋银元局、京师自来水公司都是民族资本主义企业；上述企业主要分布在唐山、天津、北京地区，故A正确；据上分析可知，只有京师自来水公司分布在北京，故B错误；据所学可知，洋务运动在1895年甲午战败后破产，和1902年和1908年北洋银元局、京师自来水公司不符，C错误；材料反映的是1878—1908年间的几个企业，不能代表整个近代民族企业的状况，D以偏概全。
3．（2019年海南卷，8，2分）1897年，清政府根据两年来很多官员的建议，发布上谕，决定逐步将江南制造总局从上海迁往湖南，同时在内地大力兴建与扩充军事工厂。
这一决定旨在A．降低生产成本B．调整轻重工业的比例C．加强国防安全D．缓解区域发展不平衡【答案】C【解析】从题干时间看，当时是在甲午中日战争后，帝国主义不断扩大对中国的侵略，中华民族的民族危机空前加深，将当时最大的军事工厂从上海迁往内地，很显然是为了避开列强，是加强国防安全的行为。
三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题09三角恒等变换与求值考纲解读明方向★★★分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．2．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
2017-2019高考文数真题分项解析-解三角形
专题10 解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则b c= A ．6 B ．5 C ．4D ．32．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β3．【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3πC ．4πD ．6π4．【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC △中，5cos25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．2 B 30C 29D ．255．【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π36．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.7．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．8．【2018年高考北京卷文数】若ABC △)222a c b +-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________.9．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．10．【2018年高考全国Ⅰ文数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．11．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．12．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.14．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．15．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 16．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．17．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 18．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．20．【2018年高考天津卷文数】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．21．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．22．【2017年高考山东卷文数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =3，6AB AC ⋅=-，3ABC S △，求A 和a .23．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．1．【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 2．【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β， 所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 3．【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =， 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用. 4．【答案】A【解析】因为cos25C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×25−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查. 5．【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =，即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π6C =，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角． 7．【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 8．【答案】60︒，()2,+∞【解析】)22231sin 2ABC S a c b ac B =+-=△， 22223a c b ac +-∴=，即cos 3B =，sin π3,cos 3B B B ∴=∠=，则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∠为钝角，ππ,036B A ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为60︒，()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 9．【答案】7，3 【解析】由正弦定理得sin sin a A b B =，所以πsin sin ,37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c . 10．【解析】根据题意，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin B C C B +4sin sin sin A B C =，即1sin 2A =， 由2228b c a +-=，结合余弦定理可得2cos 8bc A =，所以A为锐角，且cos A =，从而求得3bc =，所以ABC △的面积为111sin 22323S bc A ==⨯=，.【名师点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，利用正弦定理，通过sin sin b C c B +=4sin sin a B C ，可以求出1sin 2A =，再利用余弦定理求出bc =，然后利用三角形的面积公式求解即可. 11．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c+=，因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件. 12．【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 13．【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b c B C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.14．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 44DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD 的面积为2，cos 4BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．15．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是82⎛ ⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 16．【答案】（1）7b =，5c =；（2. 【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =． 所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin B =．由正弦定理得sin sin a A B b ==在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．【答案】（1）14-；（2）-【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力． 18．【答案】（1）3c =（2）5. 【解析】（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 20．【答案】（1）π3；（2）b；sin(2A –B【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =因为a <c，故cos A =．因此sin 22sin cos 7A A A ==，21cos 22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=1127-= 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 21．【答案】（1）2）． 【解析】（1）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--及余弦定理，得2225cos 2acb c aA bcac -+-=== （2）由（1）可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==．由（1）知A 为钝角，所以cos B ==． 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-． 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．解答本题时，（1）首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =，再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ，然后由二倍角公式求sin 2,cos 2B B ，最后代入sin(2)B A -的展开式即可．22．【答案】3=π,4A a 【解析】因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-， 又3ABC S =△，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想. 23．【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107,40AC AM ==，所以2240(107)30MC =-=，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ ∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果．。
三年高考(2017-2019)理数真题专项汇编：专题09三角函数(原卷版)
专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C ．33D ．2555．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．27．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-8．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π9．【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减10．【2018年高考浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 212．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2，π)单调递减13．【2017年高考天津卷理数】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=14．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 15．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 17．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．19．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 23．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．24．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．25．【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．26．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．28．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()+=αβ．（1）求cos2α的值；（2）求tan()-αβ的值．29．【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值.。
2019年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2019年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，7)tan 255°等于()A．－2－B．－2＋C．2－D．2＋答案 D解析tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.2．(2019·全国Ⅰ文，11)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则等于()A．6 B．5 C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.3．(2019·全国Ⅱ文，8)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B.C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.4．(2019·全国Ⅱ文，11)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.5．(2019·全国Ⅲ文，5)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为()A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．6．(2019·北京文，6)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．7.(2019·北京文，8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A．4β＋4cos βB．4β＋4sin βC．2β＋2cos βD．2β＋2sin β答案 B解析方法一如图①，图①设圆心为O，连接OA，OB，OP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β，∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB＝×2×2sin∠AOP＋×2×2sin∠BOP＋×2β×22＝2sin∠AOP＋2sin∠BOP＋4β＝2sin∠AOP＋2sin(2π－2β－∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2(sin 2β·cos∠AOP＋cos 2β·sin∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin 2β·cos∠AOP－2cos 2β·sin∠AOP＋4β＝2(1－cos 2β)sin∠AOP－2sin 2β·cos∠AOP＋4β＝2×2sin2β·sin∠AOP－2×2sin β·cos β·cos∠AOP＋4β＝4sin β(sin β·sin∠AOP－cos β·cos∠AOP)＋4β＝4β－4sin β·cos(β＋∠AOP)．∵β为锐角，∴sin β>0.∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sin β. 方法二如图②，图②设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β.∵弓形AmB的面积是定值，∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大．∵△ABP底边AB长固定，∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可．由图可知，当AP＝BP时，满足条件，此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP＝×2β·22＋2××22·sin－＝4β＋4sin β.即为阴影区域面积的最大值．8．(2019·天津文，7)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f 等于()A．－2 B．－ C.D．2答案 C解析∵函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0.又f(x)的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝A sin 2x.由题意可得g(x)＝A sin x，g＝，即A sin ＝，解得A＝2.故f(x)＝2sin 2x.∴f ＝2sin ＝.9．(2019·全国Ⅰ理，11)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③答案 C解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.10．(2019·全国Ⅱ理，9)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是() A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|答案 A解析A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.11．(2019·全国Ⅱ理，10)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．(2019·全国Ⅲ理，12)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f(x)在上单调递增；④ω的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④答案 D解析如图，根据题意知，x A≤2π<x B，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A≤2π<x B，有≤2π<，得≤ω<，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋，因为≤ω<，所以＋<<，所以函数f(x)在上单调递增，所以③正确．13．(2019·天津理，7)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f 等于()A．－2 B．－ C.D．2答案 C解析由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|＜π，所以φ＝0，所以g(x)＝A sin .由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝A sin x，g＝A sin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f ＝2sin ＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，15)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．答案－4解析∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.2．(2019·全国Ⅱ文，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B ＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.3．(2019·天津文，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)A＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin ∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.4．(2019·浙江，14)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案解析在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD×＝，sin∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCD·cos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC ＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.5．(2019·江苏，13)已知＝－，则sin的值是____________________．答案解析＝＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.6．(2019·全国Ⅱ理，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B ＝，则△ABC的面积为________．答案6解析 方法一 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos，得c ＝2 ，所以a ＝4 ，所以△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝×4 ×2 ×sin＝6 .方法二 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos，得c ＝2 ，所以a ＝4 ，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝，所以△ABC 的面积S ＝×2 ×6＝6 .7．(2019·北京理，9)函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ．【思路分析】用二倍角公式可得11()cos(4)22f x x =-+，然后用周期公式求出周期即可．【解析】：2()sin (2)f x x =，11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2π．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅲ文，18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin＝b sinA . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理， 得sin A sin＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos ≠0，故sin ＝，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝a . 由正弦定理，得a ＝＝＝＋. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故<a <2， 从而<S △ABC <.因此，△ABC 面积的取值范围是.2．(2019·北京文，15)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5.所以b＝7.(2)由cos B＝－，得sin B＝.由正弦定理，得sin A＝sin B＝.在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A＝.3．(2019·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3c sin B＝4a sin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，又sin C≠0，所以3b＝4a.又因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a，由余弦定理可得cos B＝＝＝－.(2)由(1)可得sin B＝＝，从而sin 2B＝2sin B cos B＝－，cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，故sin＝sin 2B cos ＋cos 2B sin ＝－×－×＝－.4．(2019·浙江，18)设函数f(x)＝sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝2＋2的值域．解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.(2)y＝2＋2＝sin2＋sin2＝＋＝1－＝1－cos.因此，函数的值域是.5．(2019·江苏，15)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．解(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝.所以c＝.(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝.因此sin＝cos B＝.6．(2019·全国Ⅰ理，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.7．(2019·全国Ⅲ理，18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin ＝b sinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解(1)由题设及正弦定理，得sin A sin＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，故cos ＝2sin cos .因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由正弦定理，得a＝4＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.8．(2019·北京理，15)（13分）在ABC∆中，3a=，2b c-=，1 cos2B=-．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin()B C-的值．【思路分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可；（Ⅱ）sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-，根据正弦定理可求出sin C ，然后求出cos C ，代入即可得解．【解析】：（Ⅰ）3a =，2b c -=，1cos 2B =-． ∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-， 7b ∴=，25c b ∴=-=；（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=， 由正弦定理有：sin sin c b C B =，∴5sin 2sin 7c B C b === b c >，B C ∴>，C ∴为锐角，11cos 14C ∴=， sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-111()142=--=． 【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．9．(2019·天津理，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 ＝ ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，又sin C ≠0，所以3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝ a ，c ＝ a ，由余弦定理可得cos B ＝ ＝＝－ . (2)由(1)可得sin B ＝ ＝， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－ ， 故sin ＝sin 2B cos ＋cos 2B sin＝－ × － × ＝－ .。