偶然误差的统计规律.
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1,2，…，n ) (6—8)【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为:第一组 —3″、+3″、-1″、—3″、+4″、+2″、-1″、—4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、—4″、0″、+3″、-1″. 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。
解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1〈m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时,通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大,因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知,中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差:观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==(6-10) 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S =106。
28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m .解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分,化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6—29)式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m ] [∆∆ ±=2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。
第二章 误差分布与精度指标
DXX E X E( X )X E( X )
T
§2.1
正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称； 成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵： 1 n1
nm
DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T
T
x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann
x2
xn
§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点： 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2
平差习题库
一、填空题：1、观测条件由观测仪器、____________和_____________三部分构成。
2、观测误差按其性质的不同可分为系统误差和偶然误差，其中____________误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或削弱，而___________误差在观测结果中必然存在。
3、测量平差的首要任务是经过数据处理，确定观测值的________________，而__________________________________________也是其必不可少的任务。
4、偶然误差的统计规律性是指：界限性、_______性、_______性和_______性。
5、在某相片上量得一距离长为200㎝，其相对中误差为1/3000,则该距离的绝对中误差为_____________________㎝。
6、测量平差是在______________的基础上利用_______________原理进行的。
7、单位权中误差mo、权Pi和中误差mi之间的关系为_______________________。
8、有一四边形导线环，同精度观测其各内角，共观测5组结果，计算出5个闭合差为﹣8″、9″、7″、﹣5″、-7″，则每组观测值之和中误差为____________，每个导线角观测值中误差___________。
（保留一位小数）9、设某角度观测值的协因数为3，则其观测值的权为_________。
10、观测成果的质量高低__________（能、否）反映观测条件的好坏。
11、理论上我们取3倍中误差为极限误差；而等级控制测量因为观测的精度要求比较高，往往规定______倍中误差为极限误差12、衡量精度常用的几种指标有中误差、___________误差和__________误差。
13、精度是指误差分布的________________程度。
14、由三角形闭合差ω计算测角中误差mβ的公式为______________________。
5 测量误差的基本知识
l 2r 2 1.465 9.205m
ml 2 mr＝2 2 ＝ 4（mm） l 9.205m 4（mm）
例3：Z=X+Y，Y=2X， 试根据X、Y的 中误差计算函数Z的中误差。
m
2 z
m
2 x
m
2 y
解1： m
m
y 2 z
2m
小 结
一、已知真值X，则真误差 中误差 m
i li X
[ ] n
二、真值不知，则
x l n , vi l i x
中误差
[vv] m n 1
5.5 观测值函数的中误差
1.和差函数 z x1 x2 xn
m
的中误差为
2
m m
2 1
2 2
mn
2.倍数函数 z k x 的中误差
m
k mx z
3.线性函数 z k 1 x1 k 2 x2 k n xn 的中误差为
M z ( k1m1 ) ( k 2 m 2 ) ...... ( k n m n )
5.1.3
粗差
由于观测者或记录者疏忽大意造成，如测错目标、读 错大数、记错读数等.观测结果中不允许粗差的存在。
小测试：
下列表述中的误差不属于偶然误差的是 A.角度测量时，秒值的估读误差 B.水准测量中视线未精平引起的读数误差 C.角度测量时不同测回瞄准同一目标的照准误差 D.丈量距离时的估读误差 。
x 2 x
5m
z 3 x 解 2： mz 3mx
考虑哪种解法正确，为什么？
小测试：
有函数z1 = x1 + x2，z2 = 2x3，若mx1 = mx2 = mx3 = m，且x1，x2，x3独立，则 A.mz1＞mz2 C.mz1= mz2 B.mz1＜mz2 D.不确定
工程测量名词解释题库及参考答案
名词解释题库及参考答案1、圆水准器轴——圆水准器零点(或中点)法线。
2、管水准器轴——管水准器内圆弧零点(或中点)切线。
3、水平角——过地面任意两方向铅垂面之间的两面角。
4、垂直角——地面任意方向与水平面在竖直面内的夹角。
5、视差——物像没有成在望远镜十字丝分划板面上，产生的照准或读数误差。
6、真北方向——地面P点真子午面与地球表面交线称为真子午线，真子午线在P点的切线北方向称真北方向。
7、等高距——相邻两条等高线的高差。
8、水准面——处处与铅垂线垂直的连续封闭曲面。
9、直线定向——确定地面直线与标准北方向的水平角。
10、直线定线——用钢尺分段丈量直线长度时，使分段点位于待丈量直线上，有目测法与经纬仪法。
11、竖盘指标差——经纬仪安置在测站上，望远镜置于盘左位置，视准轴水平，竖盘指标管水准气泡居中(或竖盘指标补偿器工作正常)，竖盘读数与标准值(一般为90°)之差为指标差。
12、坐标正算——根据一条边长的方位角与水平距离，计算坐标增量。
13、坐标反算——根据一条边长的坐标增量，计算方位角与水平距离。
14、直线的坐标方位角——直线起点坐标北方向，顺时针到直线的水平夹角，其值应位于0°~360°之间。
15、地物——地面上天然或人工形成的物体，它包括湖泊、河流、海洋、房屋、道路、桥梁等。
16、地貌——地表高低起伏的形态，它包括山地、丘陵与平原等。
17、地形——地物和地貌总称。
18、测定——使用测量仪器和工具，通过测量与计算将地物和地貌的位置按一定比例尺、规定的符号缩小绘制成地形图，供科学研究与工程建设规划设计使用。
19、测设——将在地形图上设计建筑物和构筑物的位置在实地标定出来，作为施工的依据。
20、真误差——观测值与其真值之差。
21、闭合差——一系列测量函数的计算值与应用值之差。
22、限差——在一定测量条件下规定的测量误差绝对值的允许值。
23、相对误差——测量误差与其相应观测值之比。
偶然误差的概念
偶然误差的概念
偶然误差是指偶然的、不可预知的误差，即受观察者本身及观察者所处的环境等客观条件影响的误差，这种误差并不直接反映测量值的真实情况。
偶然误差是由于若干偶然原因所引起的微量变化的综合作用所造成的误差。
这些偶然原因可能与观测设备、方法、外界条件、观测者的感觉等因素有关。
偶然误差对测值个体而言是没有规律的（或者规律还未被人掌握），不可预言和不可控制的，但其总体（大量个体的总和）服从于统计规律，可以从理论上计算它对观测结果的影响。
误差基本知识
• 例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接 观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如 h=D×tanδ+i-L，高差h就是观测值i和δ的函数
10
0.32
20
0.22
50
0.14
本章小结:
• 误差产生的根源，观测条件 • 系统误差，偶然误差及其特点（难点） • 中误差的两种计算公式及应用条件（重点
） • 相对误差，允许（极限）误差（难点） • 常用函数的中误差计算公式（重点） • 算术平均值中误差计算
课后作业（书７０页）：
• 第２题. • 第３题. • 第４题. • 第６题：（１）（２）
• 限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标 准。如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观 测值不合格，应舍去不用。
• 测量上常取三倍或两倍中误差作为极限误差Δ限， 也称允许误差，即：
容 3m或2m
５-５误差传播定律
• 能直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或改 正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标 准。
mZ
k12mx21
k
2 2
mx22
...
k
2 n
mx2n
1.量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差mD 0.01m ,求建 筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长 P D 3.1416 34.50 108.38
中误差mP mD 3.1416 (0.01) 0.03m
分布离散， 误差就大， 精度就低。
• 中误差及其计算 • 1 中误差的定义 • 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，
5第五章误差基本知识
观测值的精度好坏，可以用一组误差接近于零的密集程度来表示。这可以用误差 分布图来表示，也可用数字来表示 。
一、中误差
1.观测值中误差的定义： 在相同观测条件下，对某量进行了一系列的观测，其观测值为，L1 , L2 , , Ln 1 , 2 , , n 相应的真误差为 , 则该组各个观测值得中误差m为：
Z x1 x2
Z kx
2
F 2 mn x n
2
xn
mz km
kn xn
2 2 mz k12 m12 k2 m2 2 2 kn mn
Z k1x1 k2 x2
因此，应用误差传播定律求观测值函数的精度（中误差） ，可按下述步骤进行： （1）按问题性质列出函数式：
容＝m 的个数为
§5－5 误差传播律
上节介绍了衡量多次直接观测值的精度问题。但在实际工作中，许多未知 量经常不能直接测定，必须由直接观测值间接推算出来。例如，矩形的面 积A＝长×宽，直接观测量是长度和宽度，面积是根据长和宽计算出的。 由于测量长和宽时有误差，因此，计算面积时一定会有误差，那么面积的 误差如何估计，计算出的面积精度（质量）如何？
(k ) f n xn
2 n 2 n n
[Z ] f [x ] f [x ]
2 2 1 2 1 2 2 2 2
f [x ] fi f j [xi x j ]
i , j 1 i j
2 [xi x j ] [xn ] n f fi f j k k i , j 1 2 n i j
求中误差时，应注意几点：
（1）各个观测值必须是等精度的（即“在相同观 测条件下”）；如果观测值是不等精度的，则不 能直接使用（5-4）式。 （2）观测值的真值必须可知，真误差才可求得。 （3）根号前的“”号表示误差的偶然性质，所 以不能省去。 （4）所谓“观测值”可以是直接观测值，也可以 是由直接观测值推算出来的函数值（如一组观测 值的平均值）。
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偶然误差的统计规律
、实验目的：从摆的周期测量值的变化认识偶然误差的规律性：
1、平均值X 和测量列标准偏差S 将随n 的增大而趋于稳定值。
2、 测量值的分布和高斯分布接近。
3、 在(x s )~(X s )区域中测量值的数目约为总数的 68%
二、 实验仪器：
复摆、秒表。
三、 实验方法：
1、 测量复摆的周期，将支架底座调水平。
2、 复摆摆动角度不就过大，尽量避免系统误差，不应让摆前后摆动。
3、 用秒表测量复摆周期，可测量摆动 5次、10次、20次的时间，再计算周
期，共测量100次。
此实验是研究偶然误差规律性，不要人为的有意选择数据，测量时尽量保持振幅 稳定。
四、 数据的统计
S(x)
2、易9
除坏数据：使用格罗面斯判据去判断，可保留的数据范围为:
(P G n S) X (P G n S) G n 为格罗布斯判据系数 3、求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差，要求按测量顺序每增加 10个数据，求出一次结果，即
测量顺序 个数N 平均值P 标准偏差S (x ) 1~10 10
1~20 20
1~100 100
最后用折线图表示P 、S (x )的变化情形(横坐标为N )
4、分区统计并和正态分布作比较
① 找出数据的最小值(A )和最大值(B )
② 将(B ―― A )等分为M 个区间，区间宽度E 为
③ 统计每个区间的数据的个数n i (1=1，2，3…100)
④ 作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较，以测量值为横坐标，以
频率屯和区间宽度的比值 匹 为纵坐标，作统计直方图
n
n E
1、求平均值P 及测量列标准偏差S ( x )
X i n i (X i P)2 n 1
⑤统计在(P—S) ~ (P+S)量值范围中，测量值的个数，求n s/n 值。