第二章 状态方程的解

t0 t
or y(t)= Cx(t) = Cϕ (t ) x(0) + C ∫ ϕ (t ) Bu(τ )dτ t ≥ 0
(a) 设 n × n 矩阵 A 的特征值 λ1 , λ 2 ,⋯ λ n 是两两相异的，则
eλit = α0 (t ) + α1 (t )λi + ⋯ + αn−1 (t )λin−1 , i = 1, 2,⋯, n
因而，计算 α i ( t ) 的关系式为：
α 0 (t ) 1 λ1 α (t ) 1 = 1 λ2 ⋮ ⋮ ⋮ α n −1 (t ) 1 λn
举例 P69
kλ1 ⋯
(n − 1)⋯ (n − k + 1) n − k λ1 α (t) (k − 1)! 0 ⋮ α1 (t) (n − 1)(n − 2) n −3 α 2 (t) λ1 2! ⋮ (n − 1)λ1n − 2 α k −1 (t) λ1n −1 α k (t) λkn+−11 ⋮ α n −1 (t) ⋮ n −1 λn
第二章 状态方程的解
本章重点讨论在给定系统的输入信号和初始状 态下状态空间表达式的求解， 态下状态空间表达式的求解，并在此基础上定 义状态转移矩阵， 义状态转移矩阵，讨论状态转移矩阵的性质和 计算方法。状态空间表达式的求解， 计算方法。状态空间表达式的求解，有助于直 观地了解和分析系统， 观地了解和分析系统，获得描述系统所需的全 部信息。 部信息。
Φ(t ) = e At = I + At + 1 22 1 A t + ⋯ + Ak t k + ⋯ 2! k!
n −1
= α0 (t ) I + α1 (t ) A + ⋯ + αn−1 (t ) A
= ∑αk (t ) Ak
k =0
n −1
式中α 0 ( t ),α 1 ( t ),α 2 ( t ),⋯ ,α n−1 ( t ) 为 t 的函数。
1. 线性定常系统状态方程的零输入响应
(1)齐次状态方程的解 (1)齐次状态方程的解
齐次微分方程
ɺ x = Ax
方程的解为
(1)
x (t ) = b0 + b1t + b2t 2 + ⋯ + bk t k + ⋯ (2)
b 式中， 均为列向量。 式中， i ( i = 0 ,1, 2 ⋯ ) 均为列向量。
由状态转移方程，代入系统的输出方程， 由状态转移方程，代入系统的输出方程， 就可以得到系统在初始状态x(t ， 就可以得到系统在初始状态 0)，输入 作用为u(t)时，系统输出响应： 作用为 时 系统输出响应：
y(t)= Cx(t) = Cϕ (t − t0 ) x(t0 ) + C ∫ ϕ (t − t0 ) Bu(τ )dτ t ≥ t0
At
可以写出方程解为
0 1 2 0 0 3 n 其中 A = , A = A = ⋯ = A = 0 0 0 0 1 0 0 t 1 t Φ (t ) = + 0 0 = 0 1 0 1
x1 ( t ) 1 = x2 (t ) 0
λ12 ⋯ λ1n −1 λ22 ⋯ λ2n −1
⋮ ⋯
−1
λn2
⋮ ⋯ λnn −1
eλ1t λ2t e ⋮ λnt e
， 其 余 (n − k) 个 特 征 值
(b)
设
n× n
的矩阵 A 有 k 重特征值
λ1 = λ2 = ⋯ = λk
−1
1 1 − s +1 s + 2 −1 2 + s +1 s + 2
将上式进行拉氏反变换
2e−t − e−2t e−t − e−2t eAt = L−1[(sI− A)−1] = −t −2t −t −2t − e + 2e − 2e + 2e
状态方程之解为
k Akt
= Φ ( kt )
(2) 状态转移矩阵的计算 一、根据定义计算 二、应用拉氏变换法求解
ɺ x (t ) = Ax (t )
sX (s) − x0 = AX (s)
(3) (4)
X ( s ) = ( sI − A) x0
拉氏反变换后得到
−1
−1
x (t ) = L [( sI − A) ] x0
e
At
矩阵，称矩阵指数。 为n×n矩阵，称矩阵指数。
于是， 于是，齐次状态方程的解为
x(t ) = e x(0)
At
若初始时刻 t0 ≠0 ，对应的初始状态为 x(t0 ) ，则 齐次状态方程的解为
x(t ) = e
A ( t −t0 )
x(t0 )
Φ (t ) = e
At
状态转移矩阵具有以下性质： 状态转移矩阵具有以下性质：
将 x ( t ) 代入方程(1)，得
b1 + 2b2t +⋯+ kbkt
b1 = Ab0 =
k −1
+⋯= A(b0 + b1t +⋯+ bkt +⋯)
k
方程两边系数必相等, 即
1 Ab0 1! 1 1 2 1 2 b2 = Ab1 = A b0 = A b0 2 2 2! 1 1 3 1 b3 = Ab2 = A b0 = A3b0 3 3× 2 3! ⋮ bk = 1 k A b0 k！
(3) 非齐次状态方程的解
非齐次方程
ɺ x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
改写为
ɺ x ( t ) − Ax ( t ) = Bu ( t )
用e
−At
左乘等式两边
e
− At
d − At ɺ [ x (t ) − Ax (t )] = [e x (t )] = e − At Bu (t ) dt
ɺ 1. Φ (t ) = AΦ (t ) 2. Φ (0) = I 3. Φ ( −t ) = e
− At
= ( e ) = Φ (t )
At −1
−1
4. Φ (t 2 − t1 )Φ (t1 − t0 ) = Φ (t 2 − t0 ) 5. Φ (t1 + t 2 ) = Φ (t1 )Φ (t 2 ) 6. [Φ (t )] = e
−t −2t 2e−t − e−2t e − e x1 (0) At x(t) = e x(0) = −t −2t −t −2t x2 (0) − e + 2e − 2e + 2e
三、应用凯莱－哈密顿定理 应用凯莱－
1．Calay-Hamilton 定理 ． 设 n × n 系统矩阵 A 的特征多项式为:
λk +1 , λk + 2 ,⋯ , λn 互异，则 A 的 (n − k) 个互异特征值均满足系统方程，得到 (n − k) 个代数方程。
eλit = α0 (t ) + α1 (t )λi + ⋯ + αn−1 (t )λin−1 , i = k + 1, k + 2,⋯, n
对于 A 的 k 重特征根，则有下列 k 个代数方程。 将 λ1 代入系统方程，得
将t=0代入(2)式得 t=0代入(2)式得 代入(2)
x (0) = b0
因此，齐次状态方程的解为 因此，
1 22 1 k k x(t ) = ( I + At + A t + ⋯ + A t + ⋯) x(0) 2！ k！
仿照标量指数函数 exp( at ) ,我们定义
e
At
1 2 2 1 K k = I + At + A t + ⋯ + A t +⋯ 2！ k！
t0 t
上式通常又称为线性定常系统的状态转移方程。 上式通常又称为线性定常系统的状态转移方程。 其中， 其中，等式右边第一项是输入作用为零时的状态 转移，称为系统零输入的状态转移 系统零输入的状态转移； 转移，称为系统零输入的状态转移；第二项是系 统初始状态为零对应输入作用的状态转移， 统初始状态为零对应输入作用的状态转移，称为 系统零状态的状态转移。 系统零状态的状态转移。
在区间[0 t]上积分，得
e − At x(t ) = x(0) + ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ
0t x(0) + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
可改写为
0
t
t
x (t ) = Φ (t ) x (0) + ∫ Φ (t − τ ) Bu (τ ) dτ
(3)
总共 n 个代数方程，写成向量矩阵形式为：
1 0 1 t k −1eλ1t 0 ⋯ (k − 1)! ⋮ ⋮ 1 2 λ1t 0 0 1 3λ1 te 2! λ1t = 0 1 2λ1 te λ12 eλ1t 1 λ1 1 λ λk2+1 eλk+1t k +1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ λn2 eλn t 1 λn
f (λ ) = λ n + a1λ n −1 + ⋯ + an −1λ + an = 0 ,则 A 满足它自身的特征方程，
即方阵 A 的特征多项式是 A 的零化多项式。
f ( A) = An + a1 An −1 + ⋯ + an −1 A + an I = 0