第三章 第五节 两个随机变量的分布函数
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两个随机变量的函数的分布
f (x, z x)dx
fX (x) fY (z x)dx
f (z y, y)dy fX (z y) fY (y)dy
连续场合 的卷积公 式
类似可得： fX Y (z)
f (x, x z)dx
fX (x) fY (x z)dx
f (z y, y)dy
fX (z y) fY ( y)dy
(3) 当 1 < z 时,
fZ (z)
1 e(zx)dx ez (e 1).
0
1x
1 ez, 0 z 1
故 fZ (z) ez (e 1), z 1 .
0,
其他
例6 设 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求Z = X+Y 的分布.
解
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
fXY (z)
f (x, z ) 1 dx x | x |
fX
(x)
fY
(
z) x
|
1 x
|
dx
f ( z , y) 1 dy y | y |
z
1
fX
(
) y
fY
(
y)
|
y
|
dy
fX /Y (z)
f (yz, y) | y | dy
fX ( yz) fY ( y) | y | dy
应用：若 Xi b(1, p)， i=1, 2, …, n且相互独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn b(n, p). 相互独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布
二、两个连续型随机变量的和差积商概率密度公式
定理1 数为
设连续型随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函
《概率论》课程教学大纲
《概率论》课程教学大纲二、课程教学目标概率论是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是本科各专业的一门重要基础理论课。
该课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握处理随机现象的基础理论和基本方法，训练学生严密的科学思维及分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课打下良好的基础。
具体目标如下：1学生获得概率论与数理统计的基本知识和基本运算技能；2学生在运用数学方法分析和解决问题的能力方面得到进一步的培养和训练；3为学习有关专业课程和扩大数学知识提供必要的数学基础。
三、教学学时分配第一章概率论的基本概念（12学时）（一）教学要求1.理解随机事件及样本空间的概念，掌握随机事件间的关系及运算。
2.了解概率的统计定义及公理化定义。
掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算。
3.理解古典概率的定义，会计算古典概率。
4.理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。
会用这些公式进行概率计算。
5.理解事件的独立性概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。
（二）教学重点与难点教学重点：掌握古典概型中某事件发生的概率计算方法、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式。
教学难点：全概率公式、贝叶斯公式及应用。
（三）教学内容第一节随机试验、样本空间、随机事件（拟用MoOC）1.确定性现象和随机现象的概念，随机试验的概念和特点。
2.样本空间、样本点、随机事件等概念。
3.事件间的关系及运算。
第二节频率与概率（拟用MoOC）1.频率的定义、基本性质及计算。
2.概率的公理化定义及概率的性质。
第三节古典概型（拟用MOOO1.等可能概型（古典概型）的定义，放回抽样和不放回抽样的概念。
2.等可能概型中事件概率的计算公式及其应用。
第四节条件概率（拟用MOOO1.条件概率的定义、性质及其计算。
2.乘法原理及其在计算概率中的应用。
3.全概率公式和贝叶斯公式及其应用。
第五节独立性（拟用MOOC）1.事件相互独立的定义、性质及在实际中的应用计算。
两个随机变量函数的分布
z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
两个随机变量函数的分布
解: X 0
1
P 1/2 1/2
Y0
1
P 1/2 1/2
(XP,{YZ)=的zk取} 值= P数{对g(为X,(Y0),0=),(z0k,}1=),(1,0),(1p,i1j ,),k 1,2,
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
i, j
g( xi , y j )zk
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{X=0}P{Y=0} =1/4
（1）
1
f(x, y)dxdy
ke(xy)dxdy k k 1
00
(2)F(x,
y)
x 0
y e-(uv)dudv
0
(1 e-x )(1 ey ),0 x ,0 y
0, 其 它
( 3 )P( 0 X 1,0 Y 2 ) 1 2 e( x y )dxdy ( 1 e1 )( 1 e2 ) 00
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
fZ ( z ) fX ( x ) fY ( z x )dx
1
x2
e2
2
1
( z x )2
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令 t x z ，得
2
fZ (
z
)
1
2
z2
e4
et2 dt
1
z2
g( xi , y j )zk
概率 1/10 2/10 3/10 2/10 1/10 1/10
（X,Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
两个随机变量的函数的分布
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
3.5两个随机变量的函数的分布
1
2
x2 y2 z
x2 y2
e 2 dxdy
x2 y2 z
作极坐标变换 x r cos ， y r sin ， 则有
FZ
z
1
2
z r2
z r2
d e 2 rdr e 2 rdr
2 0 0
0
z r2
FZ
z
0
e
2 rdr 0
z0 z0
Z= X2 +Y2的概率密度
f
Z
z
ze
Fm ax( z )
FX
( z ) FY
(z)
(1 0,
ez
)(1
e z
),
z 0, z 0.
于是Z的概率密度为
fmax(z)
ez
0,
e z
(
)
e(
)z
,
z 0, z 0.
(3)备用的情况
由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作, 因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和, 即 Z=X+Y 按(5.3)式, 当z>0时Z=X+Y的概率密度为
f (z)
fX (z y) fY ( y) d y
e (z y) ey d y
ez
z 0
e( ) y
d
y
[ez
ez ].
当z0时, f(z)=0, 于是Z=X+Y的概率密度为
f
(
z
)
[ez
e
z
],
z 0,
0,
z 0.
作业 第三章习题
第106-108页 第19、21题
PX 10 PY 6 0.3 0.6 0.5 0.4 0.38 PZ=17 PX 10,Y 7 PX 11,Y 6 PX 10 PY 7
3.5 两个随机变量的函数的分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.
2018/10/8
e
1
k 2
k!
e
2
1
1!
e
1
k 1 2
( k 1)!
e
2
k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn
i 1
n
i
, 的分 布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题 在一维随机变量中讨论了：已知随机 变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。 在多维随机变量中需讨论：已知随机变 量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求 出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)
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) x 0 ) x
x
故
1 − e − αx , x > 0 , FX ( x ) = x≤0, 0 , 1 − e − βy , y > 0 , FY ( y ) = y≤0, 0 ,
类似地 , 可求得 Y 的分布函数为
22
于是 Z = min ( X ,Y ) 的分布函数为
Fmin ( z ) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
r
r
= ∑ P( X = i ) P(Y = r − i )
i =0
由独立性
= a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
3
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 λλ 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+ 服从参数为 的泊松分布. 解 依题意
e − λ1 λ1i P( X = i) = i!
L1
L2
FX ( x ) = ∫
x
−∞
f X ( t )dt
21
FX ( x ) = ∫
当 x≤0 时 ,
x
−∞
f X ( t )dt
x −∞
FX ( x ) = ∫ 0dt = 0
0 x −∞ 0
当 x > 0 时 , FX ( x) = ∫ 0dt + ∫ αe −αt dt = 1 − e − αx
x
11
例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同 的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 解 由卷积公式
f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx
−∞
∞
1 ∞ 2 = e ⋅ e dx ∫ 2π −∞ z2 1 ∞ − 2 − ( x 2 − zx ) = e ⋅e dx ∫ 2π −∞
Z = min ( X ,Y )的概率密度为 ′ ( z) f min ( z ) = Fmin
指数分布
23
(ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 L1 , L2 都损坏时, 系统 L 才停 止工作，所以此时 L 的寿命为
Z = max ( X ,Y )
故 Z = max ( X ,Y ) 的分布函数为
和第二章一样，无论是多少个随机变量的函数的分 布，我们都用同样的方法进行求解。 题目如果定义 并且X，Y相互独立。 对连续随机变量： （例如， ），
= ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
这里， D={(x, y): 常见
对连续随机变量
然后写成积分的形式
最后
34
总结
和第二章一样，无论是多少个随机变量的函数的分 布，我们都用同样的方法进行求解。 题目如果定义 并且X，Y相互独立。 对离散随机变量：（一般考试范围为 ） （例如， ），
P( Z = r ) = P[ g ( X , Y ) = r ]
35
总结
−∞
∞
0 ≤ x ≤1 z −1 ≤ x ≤ z
暂时固定
故当 当
或 时，
z
f Z ( z ) = 0. 时，
f Z ( z ) = ∫ dx = z 0
当
1
z = x +1
时，
z
2 z 1 z 11 O zz −
z=x
f Z ( z ) = ∫ dx= 2 − z z −1
于是
z , 0 ≤ z < 1, f Z ( z ) = 2 − z ,1 ≤ z < 2, 0 , 其它 .
X ≤ z M ≤ z⇔ Y ≤ z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z) 即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
16
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z) =1-P(X>z,Y>z)
f Z ( z) = ∫
0 ≤ x ≤1 0 ≤ z − x ≤ 1
∞
−∞
f X ( x) fY ( z − x)dx
0 ≤ x ≤1 z − 1 ≤ x ≤ z
10
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 也即
f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx
e − λ2 λ2j P(Y = j ) = j!
r
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
于是
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i, Y = r − i )
i =0
4
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i, Y = r − i )
i =0
r
= ∑e
= e
r
-λ1
λ
i 1
i =0 − ( λ1 + λ2 )
i!
r!
(r - i)! r r! i r -i λ 1 λ2 ∑ i = 0 i!(r - i)!
r
⋅e
- λ2
λ
r -i 2
=
e
− ( λ1 + λ2 )
r!
(λ1 + λ2 ) ,
r=0,1,…
即Z服从参数为
的泊松分布.
5
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率 密度 解 Z=X+Y的分布函数是:
为
29
30
关于另一个的证明参考书本80页
31
例7 某公司提供一种地震保险，保险费Y的概率 密度是：
｛
保险赔付X的概率密度是：
其他
｛
其他
假设X和Y相互独立，求Z=Y/X的概率密度。
32
例7
｛ ｛
时，
其他
其他
解：当
；当
时，
33
总结
第二章定义 对离散随机变量：直接求解概率
P(Y = r ) = P[ g ( X ) = r ]
z− y −∞
y y 0
x
x+ y= z 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
得
FZ ( z ) = ∫ [ ∫
−∞
f ( x, y )dx]dy
FZ ( z ) = ∫ [ ∫ f (u − y, y )du ]dy
−∞ z −∞ ∞
∞
z
= ∫ [ ∫ f (u − y, y )dy ]du
X Y X Y
L1
L2
L2
L2
Y
20
解
(i) 串联的情况
由于当系统 L1 , L中有一个损坏时 , 系统 L 就停止 2 工作, 所以此时 L 的寿命为
Z = min ( X ,Y )
因为 X 的概率密度为
X
− αx
Y
αe fX ( x) = 0 ,
所以 X 的分布函数为
, x>0, x≤0,
x2 − 2
2 z− x) ( −
1 = e 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z − ( x − )2 2
dx
12
1 = e 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z − ( x − )2 2
dx
z 令 t = x− , 得 2
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
13
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2) 若X和Y 独立， 结论又如何呢? 用类似的方法可以证明: ，
27
需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都 是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值
28
三、 Z = Y/X 及Z = XY的分布
设 (X, Y) 是二维连续型随机变量，它们的概率密度函数 分别为f(X, Y) ，那么Z = Y/X和Z = XY依然为二维连续型随机变 量，其概率密度分别为： 掌握证明的过程 又如果X, Y相互独立，设(X, Y) 关于X, Y的边缘密度分别 和 ，那么：
−∞ −∞
变量代换
交换积分次序
7
FZ ( z ) = ∫ [ ∫
−∞
z
∞
−∞
f ( u − y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密 度为:
f Z ( z) = F ( z) = ∫
' Z
∞
−∞
f ( z − y, y )dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ ( z) = ∫
∞
−∞ ∞
f X ( z − y ) fY ( y )dy f X ( x ) fY ( z − x )dx
∫
−∞
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
9
例4
若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
1, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 0,
求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式
L2 Y
25
fZ ( z) = ∫
当且仅当
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y )dy
y > 0, z − y > 0,
故
即 0< y< z 时
z
z= y
上述积分的被积函数不等于零. 当 z ≤0 时 ,
x
故
1 − e − αx , x > 0 , FX ( x ) = x≤0, 0 , 1 − e − βy , y > 0 , FY ( y ) = y≤0, 0 ,
类似地 , 可求得 Y 的分布函数为
22
于是 Z = min ( X ,Y ) 的分布函数为
Fmin ( z ) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
r
r
= ∑ P( X = i ) P(Y = r − i )
i =0
由独立性
= a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
3
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 λλ 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+ 服从参数为 的泊松分布. 解 依题意
e − λ1 λ1i P( X = i) = i!
L1
L2
FX ( x ) = ∫
x
−∞
f X ( t )dt
21
FX ( x ) = ∫
当 x≤0 时 ,
x
−∞
f X ( t )dt
x −∞
FX ( x ) = ∫ 0dt = 0
0 x −∞ 0
当 x > 0 时 , FX ( x) = ∫ 0dt + ∫ αe −αt dt = 1 − e − αx
x
11
例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同 的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 解 由卷积公式
f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx
−∞
∞
1 ∞ 2 = e ⋅ e dx ∫ 2π −∞ z2 1 ∞ − 2 − ( x 2 − zx ) = e ⋅e dx ∫ 2π −∞
Z = min ( X ,Y )的概率密度为 ′ ( z) f min ( z ) = Fmin
指数分布
23
(ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 L1 , L2 都损坏时, 系统 L 才停 止工作，所以此时 L 的寿命为
Z = max ( X ,Y )
故 Z = max ( X ,Y ) 的分布函数为
和第二章一样，无论是多少个随机变量的函数的分 布，我们都用同样的方法进行求解。 题目如果定义 并且X，Y相互独立。 对连续随机变量： （例如， ），
= ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
这里， D={(x, y): 常见
对连续随机变量
然后写成积分的形式
最后
34
总结
和第二章一样，无论是多少个随机变量的函数的分 布，我们都用同样的方法进行求解。 题目如果定义 并且X，Y相互独立。 对离散随机变量：（一般考试范围为 ） （例如， ），
P( Z = r ) = P[ g ( X , Y ) = r ]
35
总结
−∞
∞
0 ≤ x ≤1 z −1 ≤ x ≤ z
暂时固定
故当 当
或 时，
z
f Z ( z ) = 0. 时，
f Z ( z ) = ∫ dx = z 0
当
1
z = x +1
时，
z
2 z 1 z 11 O zz −
z=x
f Z ( z ) = ∫ dx= 2 − z z −1
于是
z , 0 ≤ z < 1, f Z ( z ) = 2 − z ,1 ≤ z < 2, 0 , 其它 .
X ≤ z M ≤ z⇔ Y ≤ z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z) 即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
16
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z) =1-P(X>z,Y>z)
f Z ( z) = ∫
0 ≤ x ≤1 0 ≤ z − x ≤ 1
∞
−∞
f X ( x) fY ( z − x)dx
0 ≤ x ≤1 z − 1 ≤ x ≤ z
10
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 也即
f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx
e − λ2 λ2j P(Y = j ) = j!
r
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
于是
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i, Y = r − i )
i =0
4
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i, Y = r − i )
i =0
r
= ∑e
= e
r
-λ1
λ
i 1
i =0 − ( λ1 + λ2 )
i!
r!
(r - i)! r r! i r -i λ 1 λ2 ∑ i = 0 i!(r - i)!
r
⋅e
- λ2
λ
r -i 2
=
e
− ( λ1 + λ2 )
r!
(λ1 + λ2 ) ,
r=0,1,…
即Z服从参数为
的泊松分布.
5
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率 密度 解 Z=X+Y的分布函数是:
为
29
30
关于另一个的证明参考书本80页
31
例7 某公司提供一种地震保险，保险费Y的概率 密度是：
｛
保险赔付X的概率密度是：
其他
｛
其他
假设X和Y相互独立，求Z=Y/X的概率密度。
32
例7
｛ ｛
时，
其他
其他
解：当
；当
时，
33
总结
第二章定义 对离散随机变量：直接求解概率
P(Y = r ) = P[ g ( X ) = r ]
z− y −∞
y y 0
x
x+ y= z 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
得
FZ ( z ) = ∫ [ ∫
−∞
f ( x, y )dx]dy
FZ ( z ) = ∫ [ ∫ f (u − y, y )du ]dy
−∞ z −∞ ∞
∞
z
= ∫ [ ∫ f (u − y, y )dy ]du
X Y X Y
L1
L2
L2
L2
Y
20
解
(i) 串联的情况
由于当系统 L1 , L中有一个损坏时 , 系统 L 就停止 2 工作, 所以此时 L 的寿命为
Z = min ( X ,Y )
因为 X 的概率密度为
X
− αx
Y
αe fX ( x) = 0 ,
所以 X 的分布函数为
, x>0, x≤0,
x2 − 2
2 z− x) ( −
1 = e 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z − ( x − )2 2
dx
12
1 = e 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z − ( x − )2 2
dx
z 令 t = x− , 得 2
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
13
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2) 若X和Y 独立， 结论又如何呢? 用类似的方法可以证明: ，
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需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都 是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值
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三、 Z = Y/X 及Z = XY的分布
设 (X, Y) 是二维连续型随机变量，它们的概率密度函数 分别为f(X, Y) ，那么Z = Y/X和Z = XY依然为二维连续型随机变 量，其概率密度分别为： 掌握证明的过程 又如果X, Y相互独立，设(X, Y) 关于X, Y的边缘密度分别 和 ，那么：
−∞ −∞
变量代换
交换积分次序
7
FZ ( z ) = ∫ [ ∫
−∞
z
∞
−∞
f ( u − y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密 度为:
f Z ( z) = F ( z) = ∫
' Z
∞
−∞
f ( z − y, y )dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ ( z) = ∫
∞
−∞ ∞
f X ( z − y ) fY ( y )dy f X ( x ) fY ( z − x )dx
∫
−∞
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
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例4
若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
1, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 0,
求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式
L2 Y
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fZ ( z) = ∫
当且仅当
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y )dy
y > 0, z − y > 0,
故
即 0< y< z 时
z
z= y
上述积分的被积函数不等于零. 当 z ≤0 时 ,