初中数学不等式专题复习
初中数学解一元一次不等式(组)专题
5 ∴不等式组的解集是 ＜x≤3.
2
其解集在数轴上表示为：
x－3≤2，①
11．求不等式组 1
的正整数解．
1＋2x>2x②
解：解不等式①，得 x≤5.
2 解不等式②，得 x＜3.
2 ∴不等式组的解集为 x＜3.
∴这个不等式组不存在正整数解．
1
3
12．(十堰中考)x 取哪些整数值时，不等式 5x＋2>3(x－1)与 x≤2－ x 都
2
2
成立？
5x＋2>3（x－1），①
解：根据题意解不等式组1
3
2x≤2－2x.②
5 解不等式①，得 x>－ .
2
解不等式②，得 x≤1.
5 ∴－ <x≤1.
2
故满足条件的整数有－2，－1，0，1.
2x＋y＝－3m＋2，
13．(呼和浩特中考)若关于 x，y 的二元一次方程组
的
x＋2y＝4
3 解满足 x＋y>－ ，求出满足条件的 m 的所有正整数值．
2＋2x≥1＋x.②
解：解不等式①，得x>2. 解不等式②，得x≥－1. ∴不等式组的解集为x>2.
x－1>2x，① 8．(泰州中考)解不等式组：1
2x＋3<－1.②
解：解不等式①，得x＜－1. 解不等式②，得x＜－8. ∴不等式组的解集为x＜－8.
2（x＋2）≤x＋3，①
9．解不等式组x x＋1
解一元一次不等式(组)专题
类型1 解一元一次不等式
x x－3
1．(安徽中考)解不等式： >1－ .
3
6
解：去分母，得2x＞6－(x－3)．
去括号，得2x＞6－x＋3.
初中数学不等式知识点大全
一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。
常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：>； （2）小于、比……小、低于：<；（3）不大于、不超过、至多：≥； （4）不小于、不低于、至少：≤；（5）正数：0>； （6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（ ）A. 1+m 是负数B. 2a 是正数C.n m +等于xD. 1-m 是非负数【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）02≥x ：____________.（2）0≤-x ：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即 如果0,>>c b a ，那么cb c a bc ac >>,.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即 如果0,<>c b a ，那么cb c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（ ）A. b a <B. 13-<+b aC. 31+<-b aD. 31-<+b a【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（ ）A. b a 33->-B. b b a 2>+C.b a 2222-<-D.b a +->+-11【例3】下列判断中，正确的是（ ）A. 若b a <，则c b c a <B. 若b a <，则22bm am <C. 若22bm am <，则b a <D. 若b a <，则22b a <【例4】 若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>ba ；③ ab b a <+；④ba 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为ax -<12，试化简：21++-a a .【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（ ）A ． b a 22-<-B ．b m a m 22<C ．21-<-b aD ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（ ）A ．66->-y xB ．y x 33>C ．y x 22-<-D ．6363+->+-y x【练习3】下列叙述正确的是（ ）A ．若b a =，则b a =B ．若b a >，则b a >C ．若b a <，则b a <D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（ ）0<+n m ；0>-m n ；n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）A ．b a b a -<-<<B ．b a a b <-<<-C ．b a b a <-<-<D ．a b b a -<<-<知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。
初中数学知识归纳不等式的基本性质和解法
初中数学知识归纳不等式的基本性质和解法初中数学知识归纳：不等式的基本性质和解法不等式是数学中重要的概念之一，它在实际问题中的应用十分广泛。
本文将对不等式的基本性质和解法进行归纳总结，以帮助初中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若 a < b 且 b < c，则有 a < c。
这个性质在解不等式时常常被使用。
2. 不等式的加减性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 a + c < b + c；若 c < 0，则 a + c > b+ c。
同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则 a - c > b - c；若 c < 0，则 a - c < b - c。
3. 不等式的乘除性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 ac < bc；若 c < 0，则 ac > bc。
若 c= 0，则不等号方向保持不变。
同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则ac > bc；若 c < 0，则 ac < bc。
若 c = 0，则不等号方向保持不变。
4. 不等式的倒置对于不等式 a < b，将两边同时取负号得到 -a > -b；若将两边同时取倒数，则不等号需要倒置，即 1/a > 1/b。
同理，对于不等式 a > b，将两边同时取负号得到 -a < -b；若将两边同时取倒数，则不等号方向保持不变。
二、不等式的解法1. 图解法对于简单的线性不等式，我们可以借助坐标轴将其图像表示出来，进而直观地找到解的范围。
例如，对于不等式 2x + 3 > 7，可以将其表示为一条直线，并标记出不等号所指向的一侧。
2. 正系数法若不等式中存在正系数，则我们可以通过减法或除法来推导解的范围。
初中数学知识点：不等式
初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学专题复习( 二次函数与不等式)
初中数学专题复习（二次函数与不等式）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，答案：D．2．二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x 的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2．解：由题意，可大致画出函数图象如下，则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，答案：﹣1＜x＜2．3．小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．21教育名师原创作品（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．答案：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，答案：．4．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．5．红红对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：函数关于直线x＝2对称．（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有两个交点，则k的取值范围是k＞1或k＝﹣3；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程a|x2+bx|+c＝x﹣3的解为：x＝0或x＝3或x＝5．解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为y＝|x2﹣4x|﹣3．（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为函数关于直线x＝2对称．（3）①观察图像可知，直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有两个交点，则k的取值范围是k＞1或k＝﹣3故答案为k＞1或k＝﹣3．②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝3或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3＝x﹣3的解为x＝0或x＝3或x＝5，故答案为x＝0或x＝3或x＝5．6．已知抛物线y＝﹣x2+2ax﹣4．（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】．（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．例：解不等式：x2+x﹣2＞0．解：不等式x2+x﹣2＞0的解集，等价于不等式（x﹣1）（x+2）＞0的解集，等价于函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x+2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1．解：（1）△＝（2a）2﹣4×（﹣）×（﹣4）＝4a2﹣8，①当抛物线和x轴没有交点时，则△＜0，即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；②当抛物线和x轴有一个交点时，则△＝0，即4a2﹣8＝0，解得a＝；③当抛物线和x轴有两个交点时，则△＞0，即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣a＜，当抛物线和x轴有一个交点时，a＝，当抛物线和x 轴有两个交点时，a＞或a＜﹣；（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，①当﹣2≤m≤2时，则抛物线在x＝m时取得最大值，此时y＝﹣m2+2m﹣4，抛物线在x＝﹣2时，取得最小值，y＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，则y＝﹣m2+2m﹣4﹣（﹣10）＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；②当2＜m≤6时，y max＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，y min＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，则﹣2﹣（﹣10）＝4m，解得m＝2（舍去）；③当m＞6时，y max＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，y min＝﹣m2+2m﹣4，则﹣2﹣（﹣m2+2m﹣4）＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6+4，综上，实数m的值为2或6+4．7．已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是（）A．3≤y2≤7B．3≤y2≤6C．16≤y2≤19D．7≤y2≤19解：∵y1＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，c﹣4a），∵当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3，∴c﹣4a＝﹣1，当x＝4时，y＝16a﹣16a+c＝3，∴c＝3，∴a＝1，∵y2＝﹣ax2+4ax+c∴y2＝﹣x2+4x+3═﹣（x﹣2）2+7，∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，∵1≤x≤4，∴在此范围内，当x＝2时，y2取最大值为7，当x＝4时，y2取最小值为﹣4+7＝3，∴3≤y2≤7．答案：A．8．已知二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2＝2x﹣2，有下列结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；②二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；③当m＝1时，y1≤y2；④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m＝．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①∵y1＝mx2+4mx﹣5m＝m（x+2）2﹣9m，y2＝2x﹣2，当x＞﹣2时，y2随x的增大而增大，当m＜0时，y1随x的增大而减小，故①错误；②令y1＝0，则mx2+4mx﹣5m＝0，x＝1或﹣5，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0），故②正确；【来源：21cnj*y.co*m】③当m＝1时，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m的图象与一次函数y2＝2x﹣2的图象的交点的横坐标为﹣3和1，∴当﹣3≤x≤1时，y1≤y2；故③错误；④∵mx2+4mx﹣5m＝2x﹣2整理得，mx2+（4m﹣2）x+2﹣5m＝0，当△＝（4m﹣2）2﹣4m（2﹣5m）＝0时，函数值y2≤y1成立，解得m＝，故④正确．答案：C．9．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②B．①③⑤C．①④D．①④⑤解：①因为抛物线对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故①正确，符合题意；②∵抛物线开口向下，故a＜0，∵对称轴在y轴右侧，故b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0，∴abc＜0，故②错误，不符合题意；③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，正确，符合题意；④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故④错误，不符合题意；⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1，故⑤正确，符合题意；故正确的有：①③⑤；答案：B．10．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式mx+ax2+k＜n的解集为（）A．﹣2＜x＜5B．x＜﹣2或x＞5C．﹣5＜x＜2D．x＜﹣5或x＞2解：∵y＝mx+n过（﹣2，b），（5，c）两点，∴b＝﹣2m+n，c＝5m+n，当x＝2时，y＝﹣mx+n＝﹣2m+n＝b，当x＝﹣5时，y＝﹣mx+n＝5m+n＝c，∴直线y＝﹣mx+n过（2，b）和（﹣5，c）两点，∵y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，∴根据二次函数图象的对称性质可知，y＝ax2+k的图象过（2，b）和（﹣5，c）两点，如图所示，y＝﹣mx+n与y＝ax2+k的图象交于（2，b）和（﹣5，c）两点，由图象可知，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+k上方时，x＜﹣5或x＞2，∴不等式ax2+k＜﹣mx+n的解集为x＜﹣5或x＞2，即不等式mx+ax2+k＜n的解集为x＜﹣5或x＞2，答案：D．11．已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，下列结论一定正确的是（）A．若﹣2＜a＜0＜b，则y2＞y1B．若﹣2＜a＜b＜0，则y2＞y1C．若0＜a＜2＜b，则y2＞y1D．若0＜a＜b＜2，则y2＞y1解：y2﹣y1＝（1﹣a）x2+（b﹣a）x+2由y2＞y1得y2﹣y1＞0∴1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0选项A：若﹣2＜a＜0＜b，则1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a），无法判断△与0的大小关系，故A错误；选项B：若﹣2＜a＜b＜0，则1﹣a＞1＞0，∵0＜b﹣a＜2，∴△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0故B正确；选项C：若0＜a＜2＜b，则1﹣a无法确定正负，故C错误；选项D：同选项C一样，无法确定1﹣a的正负，故D错误．综上，只有B正确．答案：B．12．直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜﹣2B．x＞1C．﹣2＜x＜1D．x＜﹣2或x＞1解：由图可知，x＜﹣2或x＞1时，y1＞y2．答案：D．13．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3）、（5，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为x≤0或x≥6．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，3），（5，3）两点，∴大致图象如图所示：∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，3），（6，3）两点则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为：x≤0或x≥6．答案：x≤0或x≥6．14．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1．解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．15．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为x2＜x＜x3．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．答案：x2＜x＜x3．16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b经过点B（1，3），且与直线y＝﹣2x交于点A，抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点在直线y＝﹣2x上运动．（1）求点A的坐标．（2）当抛物线经过点A时，求抛物线的解析式．（3）当﹣1＜x＜1时，始终满足（x﹣m）2+n＜x+b，结合图象，直接写出m的取值范围．解：（1）将点B的坐标代入y＝x+b得：+b＝3，解得：b＝2.5，故y＝x+，联立，解得，故点A的坐标为（﹣1，2）；（2）∵抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点在直线y＝﹣2x上运动，则n＝﹣2m，则y＝（x﹣m）2﹣2m，将点A的坐标代入上式并解得：m＝±1，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣2或y＝（x+1）2+2；（3）设：y＝（x﹣m）2﹣2m，y′＝x+，当﹣1＜x＜1时，始终满足（x﹣m）2+n＜x+b，即y在y′的下方，当x＝﹣1时，y′＝×（﹣1）+＝2，而y＝（﹣1﹣m）2﹣2m＝m2+1，即m2+1＜2，解得：﹣1＜m＜1；当x＝1时，同理可得：y′＝3，y＝m2﹣4m+1，即y＝m2﹣4m+1＜3，解得2﹣≤m≤2+；故m的取值范围为2﹣≤m≤2+．。
七年级不等式知识点及题型总结(新)
不等式与不等式组知识要点：不等式定义：用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
不等式的基本性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果那么2.不等式两边相乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果那么或3.不等式两边相乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果那么或延伸：1.若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性)2.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)3.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)4.若a＞b＞0，则0＜1a ＜1b(不等式的倒数性质)5.若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)6.若a＞b＞0 (n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质)一元一次不等式定义：只含一个未知数，并且未知数的次数是1，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
解不等式：移项，合并同类项，系数化为一，在数轴上表示出解集去分母，去分子，去括号，移项，合并同类项，系数化为一，在数轴上表示出解集联系实际：注意“不大于”“不小于”“不超过”“超过”。
解一元一次不等式组 ：不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。
步骤：标序号①②，解不等式，将两式的解集在数轴上表示出来，写出解集题型：一．画数轴，表示出不等式解集：二．求不等式的解：三．判定一系列式子哪些是不等式:四．利用不等式的性质答题：例题1：不等号填空：若a<b<0 ，则5a- 5b-；a 1 b 1；12-a 12-b五．求解不等式及不等式组：例题1：⎪⎩⎪⎨⎧-++≤--)12(23134122x x x x x六．数解的个数：例题1：不等式2+x <6的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D、4个七．根据文字描述写出不等式：例题1：“x 的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式是 （ ）。
初中数学不等式知识点大全
初中数学不等式知识点大全一、不等式的基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中表示两个数的大小关系的一种数学符号表示法。
2.不等式符号的意义："<"表示小于、">"表示大于、"<="表示小于等于、">="表示大于等于。
3.一元一次不等式、二元一次不等式和多变量不等式的定义和性质。
4.不等式的解集：表示满足不等式的全部解的集合，可以用数轴表示。
二、不等式的性质1.不等式的传递性：如果a<b，b<c，则a<c。
2.不等式两边加减同一个数，不影响不等关系的大小。
3.不等式两边乘除同一个正数，不影响不等关系的大小。
4.不等式两边乘除同一个负数，不等关系会发生改变。
5.不等式两边取倒数时，要注意变号问题。
6.乘以不等式时，要考虑所乘以的数的正负情况。
三、不等式的解法1.第一类不等式（一元一次不等式）的解法：根据不等式的性质，将不等式中的未知数移到一边，得到关于未知数的集合表示的解，进而求解交集、并集或全集。
2.第二类不等式（一元二次不等式）的解法：将不等式变形为一元二次函数的图像问题，通过观察函数图像，确定不等式的解集。
3.系统不等式的解法：将多个不等式作为一个整体进行考虑，得到多个不等式的交集或并集形式，再求解。
四、一些常见的数学不等式1.加减法不等式：例如2x+3>7，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>22.乘除法不等式：例如3x/5>=6，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>=10。
3.绝对值不等式：例如，3x+5，<7，根据绝对值的性质进行分段讨论，得到解集-4<x<24.开方不等式：例如√(x-1)>3，根据开方的定义和性质进行讨论，得到解集x>10。
5.取整不等式：例如[x]>2，根据整数函数的定义和性质进行讨论，得到解集x>3五、不等式的应用1.不等式在图像问题中的应用：例如求一元一次不等式的解集时，可以将不等式表示的区间在数轴上进行标注，直观地表示解集。
自学初中数学资料 不等式综合复习(资料附答案)
自学资料一、不等式综合复习【错题精练】例1．已知关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，则下列关于x的不等式中，解为x＜2的是（）A. ax+2＜﹣b+2B. ﹣ax﹣1＜b﹣1C. ax＞bD.【解答】由已知不等式的解集确定出a为负数，确定出所求不等式即可．解：∵关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，∴a＜0，则解为x＜2的是﹣ax﹣1＜b﹣1，故选：B．【答案】B例2．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 1＜a≤7B. a≤7C. a＜1或a≥7D. a=7【解答】求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的解集，得出关于a的不等式，求出a即可．本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．解：解不等式2x＜4得：x＜2，∵不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，∴a﹣1＞0，x，∴≥2，﹣2≥0，≥0，≥0，∵a﹣1＞0，∴解得：1＜a≤7，故选：A．【答案】A例3．已知﹣2＜x+y＜3且1＜x﹣y＜4，则z=2x﹣3y的取值范围是__________ ．第2页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】1＜z＜11例4．若不等式x<a只有5个正整数解，则a的取值范围．【答案】5<a≤6．例5．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a(a−b)+1．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=﹣5，那么不等式3⊕x<13的解集为．【答案】x>−1．【举一反三】1．若关于x的不等式3m−2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．．【答案】1132．我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为，如：，如果有，则x__________ .第3页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】解：列不等式得：2x﹣（3﹣x）＞0，整理得：2x﹣3+x＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．【答案】x＞13．不等式组无解，则a的取值范围是__________.【解答】二、三角形的初步知识综合复习【错题精练】例1．如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF的度数为（）A. 45°∠AB. 90∠AC. 90°﹣∠AD. 180﹣∠A【解答】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，BE=CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE=∠CFD，第4页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠A+2∠EDF=180°，∴∠EDF=90°﹣∠A．故选：B．【答案】B例2．如图∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=22，AC=10，则BE=．【答案】6．例3．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC的度数．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45∘，又∵AB=AC，∴∠ABC=12(180∘−∠BAC)=12(180∘−45∘)=67.5∘，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=67.5∘−45∘=22.5∘，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，第5页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴BF=EF，∴∠BEF=∠CBE=22.5∘，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5∘+22.5∘=45∘．【答案】45°．例4．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55∘，∠BCD=155∘，则∠BPD的度数为．【答案】130°．【举一反三】1．（1）如图1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC=90∘+∠A．（2）如图2所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D=90∘−∠A．（3）如图3，B、C、D在一条直线上，∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，求证∠BPC＝∠BAC．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠OBC+∠OCB=12(180∘−∠A)=12×(180∘−x∘)=90∘−12∠A故∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A（2）证明：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠BCD=12(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB)，由三角形内角和定理得，∠BDC=180∘−∠BCD−∠DBC第6页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180∘−12(∠A+180∘)=180∘−12=90∘−1∠A2（3）证明：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点ECD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D(∠A+2∠1)，∠3=∠4，∴∠1=∠2，∠5=12在△ABE中，∠A=180∘−∠1−∠3∴∠1+∠3=180∘−∠A−−−−①在△CDE中，∠D=180∘−∠4−∠5=180∘−∠3−(∠A+2∠1)，即2∠D=360∘−2∠3−∠A−2∠1=360∘−2(∠1+∠3)−∠A−−−−②，把①代入②得：2∠D=∠A．【答案】略．2．如图，△ABC中，∠ACB=90∘，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22∘，则∠BDC等于（）A. 44°；B. 60°；C. 67°；D. 77°．【答案】C3．如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时针旋转60∘到△CBP′，已知∠AP′B=150∘，P′A:P′C=2:3，求PB:P′A．图一图二第7页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第8页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第9页 共25页 自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞 非学科培训【解答】、（1）证明：在△ABC 和△BAD 中，{AC =BD∠CAB =∠DBA AB =BA，∴△ABC ≌△BAD （SAS ），∴∠C =∠D ，在△ACE 和△BDE 中，{∠AEC =∠BED∠C =∠D AC =BD，∴△ACE ≌△BDE （AAS ），∴AE =BE ；（2）解：①四边形ACBF 为平行四边形，理由如下：由（1）得AE =BE ，∴∠EAB =∠EBA ，∵△ABF 与△ABD 关于直线AB 对称，∴∠EAB =∠BAF 且AD =AF ，∴∠EBA =∠BAF ，又∵△ABC ≌△BAD ，∴BC =AD ，∴BC =AF ，∴四边形ACBF 为平行四边形；②由题意得∠DAB =∠FAB =30∘，∴∠DAF =60∘，过E 作EG ⊥AF 于G ，∵AE =5，DE =3，∴AD =8，∴AF =8，AG =52，GE =5√32，∴GF =112， ∴EF =√EG 2+BF 2=7．【答案】（1）略；（2）平行四边形；7．例2．如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，AB交OP于点Q，且PA=PB，则下列结论：①OP平分∠AOB；②AB是OP的中垂线；③OP平分∠APB；④OP是AB的中垂线；⑤OQ=PQ；其中全部正确的序号是（）A. ①②③；B. ①②④；C. ①③④；D. ③④⑤．【答案】C例3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE=AF，∠EAF=90∘．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB=45∘，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘∴∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中第10页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训{AB =AC∠BAE =∠CAF AE =AF∴△ABE ≌△ACF （SAS ）（2）证明： ∵∠BAC =90∘∴∠ABE +∠BDA =90∘，由（1）得△ABE ≌△ACF∴∠ABE =∠ACF∴∠BDA +∠ACF =90∘又∵∠BDA =∠CDF∴∠CDF +∠ACF =90∘∴∠BFC =90∘∴CF ⊥BD（3）解：∠AFB =45∘不变化，理由如下:点A 作AF 的垂线交BM 于点E ，∵CF ⊥BD∴∠BAC =90∘∴∠ABD +∠BDA =90∘同理∠ACF +∠CDF =90∘∵∠CDF =∠ADB∴∠ABD =∠ACF同（1）理得∠BAE =∠CAF在△ABE 和△ACF 中{∠BAE =∠CAFAB =AC ∠ABD =ACF∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴AE =AF∴△AEF 是等腰直角三角形∴∠AFB =45∘．【答案】（1）略；（2）略；（3）∠AFB =45∘不变化，理由：略．【举一反三】1．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，点D 为AC 上一动点．（1）如图1，点E 、点F 均是射线BD 上的点并且满足AE =AF ，∠EAF =90∘．求证：△ABE ≌△ACF ；（2）在（1）的条件下，求证：CF ⊥BD ；（3）由（1）我们知道∠AFB =45∘，如图2，当点D 的位置发生变化时，过点C 作CF ⊥BD 于F ，连接AF ．那么∠AFB 的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）证明：∵∠BAC=90∘，∴∠ABE+∠BDA=90∘，由（1）得△ABE≌△ACF，∴∠ABE=∠ACF，∴∠BDA+∠ACF=90∘，又∵∠BDA=∠CDF，∴∠CDF+∠ACF=90∘，∴∠BFC=90∘，∴CF⊥BD；（3）解：∠AFB=45∘不变化，理由如下：过点A作AF的垂线交BM于点E，∵CF⊥BD，∴∠BAC=90∘，∴∠ABD+∠BDA=90∘，同理：∠ACF+∠CDF=90∘，∵∠CDF=∠ADB，∴∠ABD=∠ACF，同（1）理得：∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{∠BAE=∠CAF AB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFB=45∘．【答案】略．2．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90∘，∠ADB=90∘，又∵E为AB的中点，∴CE=12AB，DE=12AB，∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）解：∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知EF=3，DE=4，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90∘，EH⊥DF，∴EH=EF⋅EDDF =125，∴DH=√DE2−EH2=165，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=225．【答案】（1）略；（2）225．3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AE=AF；（2）若AB+AC=16，S△ABC=24，∠EDF=120∘，求AD的长．【解答】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED=∠AFD=90∘，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∴S△ABC=12⋅AB⋅DE+12⋅AC⋅DF=12⋅DE(AB+AC)=24，∵AB+AC=16，∴DE=3，∵∠ADE=∠ADF=60∘，∴∠DAE=30∘，∴AD=2DE=6．【答案】（1）略；（2）6．4．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：BD=CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45∘，∴∠ACE+∠DBC=45∘，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90∘，则BD⊥CE．【答案】（1）略；（2）BD=CE，BD⊥CE．5．如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．（1）在图1中，你发现线段AC，BD的数量关系是，直线AC，BD相交成度角．（2）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90∘角，这时（1）中的两个结论是否成立？请做出判断并说明理由．（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．【解答】（1）解：在图1中，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成90度角；（2）解：（1）中结论仍成立；证明如下：如图延长CA交BD于点E，∵等腰直角三角形OAB和OCD，∴OA=OB，OC=OD．∵AC2=AO2+CO2，BD2=OD2+OB2，∴AC=BD．∴△DOB≌△COA(SSS)．∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO．∵∠ACO+∠CAO=90∘，∴∠ACO+∠DBO=90∘，则∠AEB=90∘，即直线AC，BD相交成90∘角．（3）解：结论仍成立；如图延长CA交OD于E，交BD于F，∵∠COD=∠AOB=90∘，∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，即：∠COA=∠DOB．∵CO=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB(SAS)．∴AC=BD，∠ACO=∠ODB．∵∠CEO=∠DEF，∴∠COE=∠EFD=90∘．∴AC⊥BD，即直线AC，BD相交成90∘角．【答案】见解答．四、全等三角形综合复习【错题精练】例1．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．【解答】解：BM=BN，BM⊥BN．理由：在△ABE和△DBC中，{AB=DB∠ABD=∠DBCEB=CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴∠BAE=∠BDC．∴AE=CD．∵M，N分别是AE，CD的中点，∴AM=DN．在△ABM和△DBN中，{AB=DB∠BAM=∠BDNAM=BN，∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180∘，∴∠ABD=∠ABM+∠MBE=90∘．∴∠MBE+∠DBN=90∘．即BM⊥BN．∴BM=BN，BM⊥BN．【答案】BM=BN，BM⊥BN．例2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=10，∠C=30∘，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）DF=；（用含t的代数式表示）（2）求证：△AED≌△FDE；（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）【解答】（1）解：∵DF⊥BC，∴∠CFD=90∘，在Rt△CDF中，∠CFD=90∘，∠C=30∘，CD=2t，∴DF=12CD=t．（2）证明：∵∠CFD=90∘，∠B=90∘，∴DF∥AB．∴∠AED=∠FDE．在△AED和△FDE中，{AE=FD=t∠AED=∠FDEED=DE，∴△AED≌△FDE（SAS）．（3）解：∵△AED≌△FDE，∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．∵∠A=90∘−∠C=60∘，∴AD=AE．∵AE=t，AD=AC−CD=10−2t，∴t =10−2t ．∴t =103． ∴当t 为103时，△DEF 是等边三角形．（4）解：∵△AED ≌△FDE ，∴当△DEF 为直角三角形时，△EDA 是直角三角形．当∠AED =90∘时，AD =2AE ，即10−2t =2t ．解得：t =52；当∠ADE =90∘时，AE =2AD ，即t =2(10−2t )．解得：t =4．综上所述：当t 为52或4时，△DEF 为直角三角形．【答案】（1）t ；（2）略；（3）103；（4）52或4．【举一反三】1．如图，△ABC 中，∠ABC =45∘，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与AD 相交于点G ，DF ⊥AB 于F ，交BE 于H ．下列结论：①AD =BD ；②CE =BH ；③AE =12BG ；④CD +AG =BD ．其中正确的序号是_________．【答案】①③④2．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90∘，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．∵BM=BE．∴∠BME=45∘，∴∠AME=135∘．∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45∘，∴∠ECF=135∘．∴∠AME=∠ECF．∵∠AEB+∠BAE=90∘，∠AEB+∠CEF=90∘，∴∠BAE=∠CEF∴△AME≌△BCF(ASA)．∴AE=EF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE．∴∠N=∠PCE=45∘．四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE．∴∠DAE=∠BEA．∴∠NAE=∠CEF．∴△ANE≌△ECF(ASA)．∴AE=EF．3．如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【解答】（1）解：如图，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB=60∘，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形CF，BF=PB∴DF=CD=12∵P是AB的中点，即PB=1AB=3，2∴BF=3∴；（2）解：分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）证得△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形∴FD=12FC，EF=12BF∴ED=FD+EF=12FC+12BF=12BC=3∴ED为定值同理，如图，若P在BA的延长线上，作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=60∘，∴∠B=∠PMC=60∘，∴PM=PB，且PE⊥BC∴BE=EM=12BM，△PBM是等边三角形∴PM=PB=CQ∵PM∥AC∴∠PMB=∠QCM，∠MPD=∠CQD且PM=CQ ∴△PMD≌△QCD（ASA），∴CD=DM=12CM，∴DE=EM−DM=12BM−12CM=12(BM−CM)=12BC=3综上所述，线段ED的长度保持不变．【答案】（1）；（2）线段ED的长度保持不变．1．已知（a-）＜0，若b=2-a，则b的取值范围是__________．【解答】根据被开方数大于等于0以及不等式的基本性质求出a的取值范围，然后再求出2-a的范围即可得解．2．有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是__________．【解答】由①+②比③+④重可知③与④中至少有一个轻球，由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．3．若a，b均为整数，a+b=﹣2，且a≥2b，则有最大值是__________ .【解答】【答案】14．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（）A. AD=CD；B. BE>CD；C. ∠BEC=∠BDC；D. BE平分∠CBD．【答案】D．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）;A. 35；B. 45；C. 23．D. √32【答案】B．6．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC＝60°，BC＝6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B运动运动至点C，△B′C′D 面积的大小变化情况是（）A. 一直减小；B. 一直不变；C. 先减小后增大；D. 先增大后减小．【答案】D7．如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，E、F分别在边AC和AB上，∠BFE和∠BCD的平分线相交于点P，若∠B=80∘，∠FEC=70∘，则∠1−∠2=°；∠P=°．【答案】15，95．。
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一、不等式的基本性质
1．若x＞y，则下列等式不一定成立的是（）A．4＞4 B．﹣3x＜﹣3y C．D．x2＞y2 2．下列命题中，正确的是（）
A．若a＞b，则2＞2B．若a＞b，则＞
C．若2＞2，则a＞b D．若a＞b，c＜d则3．下列不等式变形正确的是（）
A．由a＞b得＞B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2
4．若a＜﹣1，那么不等式（1）x＞1的解集为（）二、不等式（组）的解集和整数解
1．如图，数轴所表示的不等式的解集是．2．不等式2（1﹣x）＜4的解集表示正确的是（）
A．B．C．
D．
3．不等式x﹣3≤31的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
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4．不等式组的解集是（）
5．不等式11﹣3x＞1的所有非负整数解的和为．
6．不等式组的最小整数解为（）7．不等式组的所有整数解的积是（）
8．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕（a ﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法与乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为．
三、解不等式（组）1．解不等式，并把解集表示在数轴上．
29≥3（2）≤﹣1
2．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来（注意原点和单位长度的比例）．
（1）（2）
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（3）（4）
四、可转化为不等式（组）
1．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（）
2．如果点P（26，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围是 .
3．若代数式的值不小于1，则t的取值范围是．
4．已知（x﹣2）22x﹣3y﹣0中，y为正数，则m 的取值范围为 .
5．不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（1）（1）的值．
6．关于x，y的方程组的解满足＞2，求m 的取值范围．
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7．若方程组中，x是正数，y是非正数．求k的正整数解.
五、求不等式（组）中字母的取值范围
1．若不等式组的解集为x＜5，则m的取值范围是（）
2．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）
3．若不等式组的解集是x＞4，则n的取值范围是
4．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是．
5．若不等式x＜a的正整数解有两个，那么a的取值范围是．
6．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）
7．对于任意实数m、n，定义一种运运算m※﹣m ﹣3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：
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3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是．
六、不等式（组）与一次函数
1．函数中自变量x的取值范围是（）2．如左图，当y＞0时，自变量x的取值范围
是．
3．
如
中图，已知函数和3的图象交点为P，则不等式＞3的解集为（）
4．如右图直线l1：1与直线l2：相交于点P（a，2），则关于x的不等式1≥的解集为．
5．在1的条件下求一次函数与坐标轴围成的面积．
七、不等式（组）应用题
1．学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记﹣4分，八年级一班代表的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对道题才能达到目标要求．
2．出租车的收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米都需付6元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米
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计）．某人从甲地到乙地路程是x千米，出租车费为16.5元，那么x的最大值是（）
3．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
4．一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：
（1）若甲、乙两店
各配货10箱，其中
A种水果两店各5箱，
B种水果两店各5箱，
请你计算出经销商能
盈利多少元？
（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
选1．某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
A种水果/箱B种水果/箱
甲
店
11元17元
乙
店
9元13元
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选2．学校图书馆准备采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
选3．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品可获总利润是y元，其中A种产品的生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）符合题意的生产方案有几种？请你帮忙设计出来；
（3）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．
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