直角三角形的性质判定习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。
等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。
直角三角形的性质习题
直角三角形的性质 （一）1．在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC 的面积=____________2. 在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，图中有__________等腰三角形. 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
4.已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度， E 、F 分别是AC 、BD 的中点。
求证：EF ⊥BD1、 如图，在△ABC 中，∠B= 2∠C ，点D 在 BC 边上，且AD ⊥AC.求证：CD=2AB19.8（2）直角三角形性质（二）1、 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________.2、 顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________E3、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________4、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________5、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E,求证AD=2BC.6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ，求证：2DC=BD7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系19.8（3）直角三角形的性质(三)1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ；2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．DACBADEFCBA4、已知：∠ABC=∠ADC=90 度，E 是AC 中点。
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质与判定Ⅰ1-1-2含30°角的直角三角形的性质及其应用习题
解：过点D作DC⊥AB于点C.∵∠DAB＝15°， ∠DBC＝30°，∴∠ADB＝15°，∴DB＝AB＝100 m， ∴在Rt△DBC中，DC＝ ×100＝50(m)． 答：河宽是50 m.
8．[临湘期中]如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是BC上一点，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若BD＝3，CD＝2，则AE的长为________．
D
6．[教材改编题]如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2 m，∠A＝30°，则AB等于________m.
8
【点拨】∵∠A＝30°，DE⊥AC，∴DE＝ AD.又DE＝2 m，∴AD＝4 m．∵D是．[教材改编题]如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与其所在河岸的直线成15°角，然后沿该直线行走100 m到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°角，问河宽是多少米？
4
9．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
C
【点拨】过点D作DE⊥AB交AB于点E.在Rt△ADE中，AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)，易知DE＝40 cm，∴DE＝ AD.∴∠BAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAD＝30°.∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.故选C.
10．[邵阳洞口期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E.若BC＝9，则DE的长是( ) A．3 B．4 C．4.5 D．5
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(3)
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解 （1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=102.
∴这个三角形是直角三角形. （2）∵122+152=369，202=400，
∴122+152≠202.
∴这个三角形不是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.
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判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=1，b=2，c=
3 ；
（2）a：b：c=3::5.
解：（1）∵12＋（ 3）2＝1＋3＝4， 22＝4， ∴ 12＋（ 3）2＝22. ∴这个三角形是直角三角形. （2）设a=3x, b=4x, c=5x,则 ∵（3x）2＋（4x ）2＝25x2， (5x)2＝ 25x2， ∴ （3x）2＋（4x ）2 ＝ (5x)2. ∴这个三角形是直角三角形
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1.2
直角三角形的性质和判定（Ⅱ） （3 ）
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（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=
17
.
c为斜边
c 8 15 289 17
2 2
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=
7 .
b为斜边
c 4 2 32 7
17 8 15.
2
2
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1、下列各组线段中，能够围成直角三角形的是 （ A、1、2、3 C、4、5、6 B、15、20、25 D、18、9、10
B
）
2、下列各组线段中，不能够围成直角三角形是 （ A、9、12、15 C、7、24、25 B、8、15、17 D、6、8、9
直角三角形的性质与判定(2)
C
解：找AB的中点D，连接CD。
1 ∴CD= AB=BD=AD 2
B
30 °
D
A
∵ ∠A=30° ∠BCA=90° ∴ ∠B=60 ° ∴ ⊿CBD为等边三角形
1 ∴BC=BD= AB 2
归纳结论
C 30
直角三角形性质定理2：
B
D
A
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半。
A
D C B
2.如图，在⊿ABC中， ∠CBA=90°, D是AC的中 点,AB=3 ,∠CBD=30°， 求AC的长
C
30 B
D A
小结： 直角三角形性质定理
在 直 角 三 角 形 中
斜边上的中线等于斜边的一半 30°角所对直角边等于斜边的一半
一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。
动脑筋 1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为 Rt⊿ABC斜边AB上的中线，则可得到哪 C 些相等的线段？ CD=BD=AD A B D 2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？ ∠B=60° 3.⊿CBD是什么三 角形? 等边三角形 现在你能说出直角边BC与斜边AB的关 系，并写出推理过程吗？ 30
作业： 教材P93，3题 4题
问题：试着把上述性质的条件与结论 调换，仍然成立吗？
探究
如图，在Rt⊿ABC中， ∠BCA=90°,如果 1 BC= AB，那么∠A等于多少？ 2 C
分析： 同上可知⊿BCD是等边三角形 ∴ ∠B=60° ∴ ∠A=30°
B
D
A
归纳结论
直角三角形性质定理3：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质和判定Ⅰ第2课时含30°角的直角三角形的性质习题新版湘教版
腰长为12 m，则底边上的高是( B
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
)
(第6题)
7.(母题：教材P8习题T6)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点
E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足
为点D.若EC＝3 cm，则AE的长为 6 cm
∴∠B＝30°，∴∠BAC＝ (180°－∠B)＝75°.
②如图(b)，AC＝BC，AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD在三角形的外部，∴∠CAB＝∠B.由题意知AD＝ BC＝
AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB.
∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝ ∠ACD＝15°.
③如图(c)，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形底
交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的
是( D
)
A.∠CAD＝30°
B.AD＝BD
C.BD＝2CD
D.CD＝ED
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC
绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在
AB上.
(1)若AC＝4，求DE的长度；
【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，
形状
12. [新考法 分类判断法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，BC＝12 cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运
动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动.如果动点P以2
cm/s，动点Q以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t
s，解答下面的问题：
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
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直角三角形习题
一、填空题
1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .
2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .
3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .
4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；
5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；
6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________；
7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。
8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm
9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，
BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，
使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。
二、选择题
10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a
B.3a
C.4
a D.以上结果都不对
11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组
(1)7,24,25 (2)2
2
2
3,4,5 (3)
35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ）
A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；
B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°
C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′
=30°,
则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32 C 、4 D 、1
15. 两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个
①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等
③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等
A．0 B．1 C．2 D．3
16. 在下列定理中假命题是（）
A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
17 ，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则
AC：BD=（）
A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3
18 。
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中
线，CF是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定
(17) (18)
19 。
在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
三、解答题
1、如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC
E A
C B
D 于点F.求证:BF=2CF.
2、小明站在高为20米的楼上C 处,测得一条河边一点A 的俯角为30°,河对岸一点B 的俯角为15°,问河宽约多少米?
AD 是高，AE 是斜边上的中线，且DC=2
1
AC ，求
3、在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=5cm ，∠B 的度数及AE 的长。
、 4. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？.
，
5、如图，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则∠ACB 为多少？
A
B E A B
C
B
D C A
6、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。
（1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE 。
7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。
8.已知，如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
9. 已知：如图△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE 求证：OB=OC.
C B A 第
2 G
E
D
题第7题图
F E O
D
C
B A。