第二十一章代数方程复习

4.检验 把解得的无理方程的根代入原方程检验，既 要看每一个根式是否有意义，同时还要看方程的 左右两边是否相等，只有同时满足以上两点的根 才是原方程的根，否则是增根。
1.解方程
(1) x
x2 2 2x 1 0 x 2 3x 5
(2) x 5
两边平方法
(3) x 2 3 x 1 x2 (5) x 1 9 (6) 1 x
此方程两边 分子中的X 能约去吗？
2x x 解： 2x 1 x 2 2 1 2x 1 x 2
2 x x 2 x 2 x 1
2x 4x 2x x 解得x 0 是原方程的根
2x 4 2x 1
∴此方程无解
说明：解方程时若等式两边含有未知数的
分类讨论
3.一元二次方程及其解法 (1)一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0). (2)一元二次方程的四种解法： ①直接开平方法：形如 x2=k(k≥0)的形式均可用此法求 .
②配方法：要先化二次项系数为 1 ，然后方程两边同加 上一次项系数的一半的平方，配成左边是完全平方，右 边是常数的形式，然后用直接开平方法求解.
行程问题:
1、基本数量关系：速度× 时间＝路程 2、相遇问题：速度和× 时间＝相遇路程 3、追及问题：速度差× 时间＝追及路程 4、顺逆流问题：顺速＝静速﹢ 水速 逆速＝静速 - 水速
工程问题:
工作效率× 工作时间 ＝工作总量
增长率问题：
初值×（1+增长率）
增长次数
＝终值
握手问题
握手人数×（握手人数-1)×(1/2)=握手次数
例4： 在抗击“非典”的过程中，某厂甲、乙
两名工人按上级指示同时做一批等数量的防护 服，开始时，乙比甲每天少做3件，到甲乙两 人都剩下90件时，乙比甲多做了1天，这时甲 的工作效率不变，乙的比原来每天多做了6件， 这样甲乙两人刚好用相同的时间完成了任务， 求甲乙两人原来每天各做多少件防护服？
例4： 在抗击“非典”的过程中，某厂甲、乙
( x 2)2 ( x 1)2 (5 2)2 (5 1)2 3
【例2】(2008年· 绍兴)若一个三角形的三边长均满 足x2-6x+8=0，则此三角形周长为 6,10,12 .
3. (2008年·甘肃)方程(m+2)x｜m｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则 ( B ) A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
③公式法：这是解一元二次方程通用的方法，只要化成 ax2+bx+c=0(a≠0)，利用求根公式
④因式分解法.
典型例题解析
解方程：(1)x2+4x-1=0； (2)m2-6m-616=0.
4 4 2 4 ( 1 ) 2 5 2
解：(1)用公式法得x1，2=
(2)用配方法得：m2-6m+9=616+9
3.方程 2 x 3 x 的增根是＿＿＿＿. 答案：x=-1
二元二次方程组
复习目标 ：
1. 我们学习的方程组有哪几类？
理解
2. 什么是方程组的解？ 消元、降次 ；消元的 3. 解方程组的数学思想____________ 加减、代入 降次方法_________ 方法有_____________ 因式分解 。
1.解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键： 因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0； 公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般 形式，正确写出a、b、c的值； 直接开平方法解方程的关键是先把方程化为 (mx-n) 2=h的形式； 配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1， 再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方. 2.一元二次方程解法的顺序：先特殊，后一般；即先 考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公 式法，配方法一般不用.
列方程（组） 解应用题
1、利用基本公式
利用基本公式寻找量与量之间的相等关系， 是解决这类问题的一种基本方法。因为公式本 身就是一个等量关系，在遇到诸如行程问题、 工程问题、增长率问题、商品销售问题、存款 问题、几何问题等时，应首先考虑利用基本公 式解决问题的可能性。
常见类型的应用题的基本数量关系
相同因式，不能约去，否则将会产生失根。
例2 ：解方程
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相同，
且相差 1， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
y 4 y 5 y 7 y 8 y 5 y 6 y 8 y 9
1 1 1 1 解： 1 1 1 1 y 5 y 6 y 8 y 9 1 1 1 1 y 5 y 6 y 8 y 9
x
x 2 0, 12 x 0,
2x x 1
3
2.解无理方程的基本思想：
解无理方程的基本思想是“转化”，将无理方 程转化为有理方程。即： 转 有理方程 无理方程
化
3.解无理方程的基本方法
（1）两边平方法
两个根式互为倒数时
（2）换元法 根号外与根号内含未知数项的系数 对应相等或成比例（成倍数）时
A.200(1+x)2=1000 B.200+200· 2· x=1000 C.200+200· 3· x=1000 2 D.200［1+(1+x)+(1+x) ］=1000
例3: 小明把压岁钱按定期一年存入银行，当时一 年期定期存款的年利率为1.98%,利息税的税率为 20%,到期支取时,扣除利息税后小明实得本利和为 507.92元,问小明存入银行的压岁钱为多少元?
1 1 2 2 y 11y 30 y 17 y 72
y 2 11y 30 y 2 17y 72
解得：y 7
经检验，y 7是原方程的根
x 2x 2得, 解法一: 去分母, 两边乘以 2 2x 2 4x x 2 x 4 2 整理得, x 3x 2 0, 解得, x1 1, x2 2 拆成两项 经检验, x 2是增根, 所以原方程的解是 x 1 解法二：
练习
x y m 2， 求使方程组 的解x，y 4x 5y 6m 3
x -m 7 解：解关于x，y的方程组得 y 2m - 5
都是正数的 m的取值范围 .
2m - 5 0 根据题意得： - m 7 0 5 解不等式组得 m 7 2
例1: 某商品的标价是1100元，打八折 (按标价的80%)出售，仍可获利10%， 则此商品的进价是多少元?
分析：根据“利润＝销售价-进货价， 利润 利润率＝ ---------- ×100%”， 进货价
假设商品的进价为a元，则商品的售价为 (a＋10%· ａ)元时，就意味着获利10%。
例2：某超市一月份的营业额为200万元，一、 二、三月份的营业额共1000万元，如果平均每 月增长率为x，则由题意可列方程为( ) D
2x 1 通分 解 : 方程变为
2
1 2x 2 1 设 y, 则有y 3 去分母, 整理得 x y
x
4x 3 2 2x 1
y 2 3 y 4 0 解得, y 4或 1
2x 1 当y 1时, 1 x
4 16 8 2 6 2x 2 1 当y 4时, 4, 解得x 4 2 x 2
掌握
4. 二元一次方程组和二元二次方程组的解 法 举例说明
解方程组
x y 20 2 2 x 5 xy 6 y 0
2 2
解：由(2)得(x-2y)(x-3y)=0
所以，x-2y=0，或 x-3y=0
x1 4 x 2 4 y1 2, y 2 2,
因此，原方程组可化为两个 方程组 x3 3 2 x 4 3 2 2 2 2 2 x y 20, x y 20, y3 2, y 4 2. x 2 y 0, x 3 y 0.


用代入法解这两个方程组， 得原方程组的解为：
(m-3)2=625m-3=±25
m１=28,m2=-22.
典型例题解析
【例1】 若实数x满足条件： (x２+4x-5)2+｜x２-x-30｜=0，求 ( x 2) 2 ( x 1) 2 的值. 解：根据题意得 x２+4x-5＝0，且x２-x-30=0 ∴x＝-5或x=1，且x=6或x=-5 ∴x＝-5
两名工人按上级指示同时做一批等数量的防护 服，开始时，乙比甲每天少做3件，到甲乙两 人都剩下90件时，乙比甲多做了1天，这时甲 的工作效率不变，乙的比原来每天多做了6件， 这样甲乙两人刚好用相同的时间完成了任务， 求甲乙两人原来每天各做多少件防护服？
例4： 在抗击“非典”的过程中，某厂甲、乙
两名工人按上级指示同时做一批等数量的防护 服，开始时，乙比甲每天少做3件，到甲乙两 人都剩下90件时，乙比甲多做了1天，这时甲 的工作效率不变，乙的比原来每天多做了6件， 这样甲乙两人刚好用相同的时间完成了任务， 求甲乙两人原来每天各做多少件防护服？
代数方程复习
代数方程的分类
一次方程
整式方程 有理方程 代数方程 无理方程 分式方程 二次方程 高次方程
整式方程
要点、考点聚焦
1.一元一次方程 (1)定义：只含有一个未知数且所含未知数项的次数是 1 的整式方程，叫做一元一次方程. (2)一般形式：ax+b=0(a≠0). 2.一元一次方程的解法的一般步骤是： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)系数化为1.
1 解得 , x 或 1 2
2 6 1 经检验, , ,1都是原方程的解 2 2