第7章 线性预测和最优线性滤波器
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基于最优FIR滤波器的线性预测
最优线性滤波器
2、维纳滤波器 维纳（Wiener）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（ 或滤波）方法。维纳滤波器是最小均方误差准则在信号滤波、预 测中的具体应用。 维纳滤波器是一个线性时不变系统，通过该系统后，在最小 均方误差准则下给出信号s(n)的尽可能逼近。 一个线性系统，如果它的单位样本响应为h ( n ) ，当输入一个随 机信号 x ( n ) , x ( n ) s ( n ) v ( n ) v s 其中 ( n ) 表示原始信号，( n ) 表示噪声，则输出为 y ( n )
FIR维纳滤波器的Matlab仿真
仿真结果分析：
1.维纳滤波的阶数越大，滤波后的信号更接近原始信号，但随之计 算量也增大。 2.保持滤波器阶数不变改变信号样本的长度（点数）可以发现滤波 的效果虽着信号样本的长度的增加而提高。(这是因为信号样本越 长信号的统计特征就越完整。)
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=256，阶数M=8)-->mse=0. 3215
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=256，阶数M=8)-->mse=0. 3215
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=512，阶数M=8)-->mse=0.3326
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=512，阶数M=8)-->mse=0.3326
FIR维纳滤波器的Matlab仿真
%***产生维纳滤波中x方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵**** rxd=xcorr(x,xd); for i=1:M mrxd(i)=rxd(N-1+i); end hopt=inv(mrxx)*mrxd';%由维纳-霍夫方程得到滤波器最优解--FIR维 纳滤波器的冲激响应 out_s=filter(hopt,1,x);%滤波后的输出信号(预测信号) %out_s=conv(x,hopt);%滤波后的输出信号(预测信号) %*********求均方误差****************** fprintf('滤波后的信号相对原信号的统计均方误差:\n'); mse=mean((out_s-s).^2) %滤波后的信号相对原信号的统计均方误差
第7章 线性预测和最优线性滤波器
7.4 预测器与格型滤波器关系
7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.2 前向线性预测
前向线性预测 后向线性预测 格形滤波器
▲
■
7.2 前向线性预测
已知n时刻以前的p个信号数据 x(n p), x(n p 1), , x(n 1) ，用这p个数据来线性预测 n时刻信号 x( n) 的值，如图所示，预测值为
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点
7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测
7.4 预测器与格型滤波器关系
7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.1 线性预测的依据和特点
• 信号之间的关联性 • 系统的惯性 • 随机信号预测特点
▲
■
7.1 线性预测的依据和特点
F0 ( z ) G0 ( z ) X ( z ) Fm ( z ) Fm1 ( z ) K m z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
* Gm (n) K m Fm1 ( z ) z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
,p ,p
把它们都除以X(z)得到
Fm ( z ) Fm1 ( z ) K m z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
* Gm (n) K m Fm1 ( z ) z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
▲
,p ,p
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
3. 格型滤波器的Z域表示
它们z变换的表达式为
——前向线性预测的Wiener-Hopf方程 解此方程则得p阶线性预测器的最佳参数 ap (k ) f E 及 P 。
第7章 随机系统最优控制
1 GQ' 2 0
τ >0 τ =0 τ <0
2． 系统状态的随机型性能指标 仍考虑系统 x(t) = A(t)x(t) + G(t)w(t)
及其初始状态
（7-4-10’） （7-4-11’） （7-4-13）
x(t0 ) = x0
（7-4-14）
由于 x(t)是在白噪声 w(t)作用下动力学系统的响应，是一个随机过程，如果采用与确定 性二次型性能指标相同的表示方法，即
(7-4-2)
其中 x(t)是 n 维随机状态向量；x0 是 n 维随机初始状态向量，其统计性能为
E[x(t0 )] = E[x0 ] = µ0
(7-4-3)
Var[x(t0 )] = E{[x0 − µ0 ][x0 − µ0 ]T } = Px (t0 ) = Px0
(7-4-4)
w(t)是 m 维零均值高斯白噪声过程，统计性能为 Cov[w(t), w(τ )] = E[w(t)w(τ )T ] = Q'(t)δ (t −τ )
（7-4-7’） （7-4-8’）
APx + Px AT + GQ'GT＝0
iii’) x(t)的协方差阵为
（7-4-9’）
Px (τ ) = Φ(τ )Px Px (−τ ) = PxΦ T (τ )
τ
≥
0
iv’) x(t +τ ) 与 w(t)的协方差阵为
Φ(τ )GQ'
Pxw
(τ
)
=
（7-4-5）
其中
δ
(t
−τ
)
=
1 ε
,
τ
6随机信号-3(最优线性滤波)《信号分析与处理(第3版)》课件
解：第一步，建立信号模型。设重力
加速度为grav，物体运动的连续时间
方程为：
h(t
)
h0
v0t
1 2
grav
t
2
v(t) v0 grav t
离散化可得：
h(k) h(k 1) v(k 1)Ts 0.5Ts2grav
v(k) v(k 1) Ts grav
22
可得信号模型：
s(k
)
h(k )
（1）滤波增益矩阵 B(k) (k k 1)CT (k)[Vn(k) C(k) (k k 1)CT (k)]1
（2）滤波估计
sˆ(k) (k, k 1)sˆ(k 1) B(k)[ x(k) C(k) (k, k 1)sˆ(k 1)]
（3）一步预测
sˆ(k 1 k) (k 1, k)sˆ(k)
H () Ssx () Sx ()
min Rss (0) h(n)Rsx (n) n
7
（三）非因果维纳滤波器
例5-10
设一观测信号包含了功率谱为
1 12
的随机信号与功
率谱为1的白噪声，且两者相互统计独立，试设计维纳滤波
器，以得到信号的最优估计。
解：按题意有：
Ss
()
1
12
,
Sn () 1
1
A
2 w
2 n
(k
)
a(k
)
f
(k
1)
a(k
)
2 w
f
15
3、一步预测
（1）按照最小均方误差的估计准则，一步预测估计：
sˆ(k 1 k) f sˆ(k)
（2）预测的均方误差和滤波的均方误差之间的关系：
第二部分第二部分最优滤波和自适应滤波
• 是用递推估计的算法解决包括非平稳随机过程在内的
波形的最佳线性估计问题。
西北师范大学物理与电子工程学院
27
5、线性估计器
对 于 一 线 性 系 统 ， 其 冲 激 响 应 为 h(n),(n)为 噪 声 。 当 输 入 某 一 随 机 信 号 x(n)， x(n)s(n)(n) ， s(n)为 信 号
西北师范大学物理与电子工程学院
11
由上知x(n) d n p n
设计FIR滤波器h(n)
N
逼近
滤波方程：y(n) h n x n h k x n k d (n)
k 0
误差：en d (n) y(n)
定义：
= d (n)
n
y(n)2
n
d (n)
N
k 0
hk
x
n
k
2
最小。
令： 0, j 0,1, N
现希望用这M个信号估计(逼近)信号 y(n) 。
估计方法：采用线性最小平方估计：
令：
M
yˆ(n) aixi(n) i1
寻找向量
aop[a1, ,aM]T
西北师范大学物理与电子工程学院
7
使
由： 记：
N 1
2
E y (n ) yˆ (n )
n0
N 1
2
e(n) 最小
n0
N1
M
2
Ey(n)aixi(n)
令：
E2XHy2XHXa0 a
a ˆop(XHX)1XHy
最佳的 a
西北师范大学物理与电子工程学院
9
EyHyyHXaˆop
最小误差
( X H X )1 X H X
X 的伪逆
波形的最佳线性估计问题。
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27
5、线性估计器
对 于 一 线 性 系 统 ， 其 冲 激 响 应 为 h(n),(n)为 噪 声 。 当 输 入 某 一 随 机 信 号 x(n)， x(n)s(n)(n) ， s(n)为 信 号
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11
由上知x(n) d n p n
设计FIR滤波器h(n)
N
逼近
滤波方程：y(n) h n x n h k x n k d (n)
k 0
误差：en d (n) y(n)
定义：
= d (n)
n
y(n)2
n
d (n)
N
k 0
hk
x
n
k
2
最小。
令： 0, j 0,1, N
现希望用这M个信号估计(逼近)信号 y(n) 。
估计方法：采用线性最小平方估计：
令：
M
yˆ(n) aixi(n) i1
寻找向量
aop[a1, ,aM]T
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使
由： 记：
N 1
2
E y (n ) yˆ (n )
n0
N 1
2
e(n) 最小
n0
N1
M
2
Ey(n)aixi(n)
令：
E2XHy2XHXa0 a
a ˆop(XHX)1XHy
最佳的 a
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9
EyHyyHXaˆop
最小误差
( X H X )1 X H X
X 的伪逆
数字信号处理知识点整理Chapter
第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X L L误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j j j xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R L令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
线性预测分析
j 1,...,i 1
E (i)
(1
k
2 i
)E
(i1)
(4) i=i+1。若i >p则算法结束退出，否则返回第（3）步，
这样经过递推计算后，可得到i=1,2,…,p各阶预测器的解。
Ⅲ 时域、频域处理方法（61）
经过递推计算后,最终解为:
aˆ j a(jp) ,
j 1,2,...., p
p
E( p) Rn (0) (1 ki2 ) i 1
递推过程中设一辅助序列
q(i) j
i
q(i) j
ak(i)rn (| k j |)
k 0
j p ~ p
i 0,1,..., p
Ⅲ 时域、频域处理方法（63）
可以证明，
q(i) j
有如下性质：
（1）当 i 0 时，
q(i) j
rn (
j)
（2）反射系数
ki
q(i1) i
q(i1) 0
j p ~ p i 1, 2,.., p
Ⅲ 时域、频域处理方法（70）
将这两部分信号分别定义为正向预测误差信号 e(i) (n) 和反向 预测误差信号 b(i) (n) 。 前者的计算公式前面已经给出，后者可以推导出：
B(i) (z)
z i
A(i )
(z1) X
(z)
z i
1
i
a
(i j
)
z
j
X
(
z)
j1
Z反变换
i
b(i) (n) x(n i) a(ji) x(n i j)
n
n
则
En G 2 u 2 (n)
n
激励信号u(n)总能量可以认为近似为1，因此有 Gˆ Eˆn1/2
语音压缩编码
语⾳压缩编码语⾳编码第⼀章⾳频1.1 ⾳频和语⾳的定义声⾳是携带信息的重要媒体，是通过空⽓传播的⼀种连续的波，叫声波。
对声⾳信号的分析表明，声⾳信号有许多频率不同的信号组成，这类信号称为复合信号。
⽽单⼀频率的信号称为分量信号。
声⾳信号的两个基本参数频率和幅度。
1.1.1声⾳信号的数字化声⾳数字化包括采样和量化。
采样频率由采样定理给出。
1.1.2声⾳质量划分根据声⾳频带，声⾳质量分5个等级，依次为：电话、调幅⼴播、调频⼴播、光盘、数字录⾳带DAT(digital audio tape)的声⾳。
第⼆章语⾳编码技术的发展和分类现有的语⾳编码器⼤体可以分三种类型：波形编码器、⾳源编码器和混合编码器。
⼀般来说，波形编码器的话⾳质量⾼，但数据率也很⾼。
⾳源编码器的数据率很低，产⽣的合成话⾳⾳质有待提⾼。
混合编码器使⽤⾳源编码器和波形编码器技术，数据率和⾳质介于⼆者之间。
语⾳编码性能指标主要有⽐特速率、时延、复杂性和还原质量。
其中语⾳编码的三种最常⽤的技术是脉冲编码调制（PCM）、差分PCM（DPCM）和增量调制（DM）。
通常，公共交换电话⽹中的数字电话都采⽤这三种技术。
第⼆类语⾳数字化⽅法主要与⽤于窄带传输系统或有限容量的数字设备的语⾳编码器有关。
采⽤该数字化技术的设备⼀般被称为声码器，声码器技术现在开始展开应⽤，特别是⽤于帧中继和IP上的语⾳。
在具体的编码实现（如VoIP）中除压缩编码技术外，⼈们还应⽤许多其它节省带宽的技术来减少语⾳所占带宽，优化⽹络资源。
静⾳抑制技术可将连接中的静⾳数据消除。
语⾳活动检测（SAD）技术可以⽤来动态跟踪噪⾳电平，并将噪⾳可听度抑制到最⼩，并确保话路两端的语⾳质量和⾃然声⾳的连接。
回声消除技术监听回声信号，并将它从听话⼈的语⾳信号中清除。
处理话⾳抖动的技术则将能导致通话⾳质下降的信道延时与信道抖动平滑掉。
2.1波形编码波形编解码器的思想是，编码前根据采样定理对模拟语⾳信号进⾏采样，然后进⾏幅度量化与⼆进制编码。
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▲
■
7.2 前向线性预测
其预测误差为 p f p (n) x(n) xˆ(n) x(n) ap (k)x(n k) (a) k 1
——称此预测器为p阶前向线性预测器。
令误差的均方值最小，即求
E
f
p
(n)
2
0
由此解得
ap (k)
E x(n i) f p (n) 0 i 1, 2,L , p
将式(a)代入上式，得
▲
■
7.2 前向线性预测
p
rx (i) ap (k)rx (i k) i 1, 2,L , p
(b)
k 1
由最小均方误差的表达式及正交性原理可求得最
小的均方误差为
EPf
min[
f P
]
E
f
p
(n)
2
E (x(n) xˆ(n)) f p (n)
E x(n) f p (n) E x(n) x(n) xˆ(n) p
x(n) x(n)
w(n)
H -1(z) A(z)
A(z)
图a AR(p)模型
图b 预测误差模型
▲
■
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
前向预测滤波器性质：
➢ 白化性质
➢ 预测滤波器是 最小相位系统
首先我们阐述白化性质，回忆AR过程的Yule-Walker方
程：
p
ak rx (m k)
mq
rx
(m)
k
1 p
ak
rx
(m
k
)
2 w
0mq
k 1
rx*(m)m 0
▲
■
7.2 前向线性预测
（d）式与AR模型参数的正则方程式极其相似，有
1. 信号之间的关联性
信号之所以能够预测，在于数据间存在不同 程度的关联性。预测就是利用数据前后的关联性， 根据其中一部分推知其余部分。显然数据间关联 越密切，预测越准确；完全不关联，则无法预测。
▲
■
7.1 线性预测的依据和特点
1. 信号之间的关联性
周期信号：只要知道一个周期，则以后的 信号就可以按照第一个周期完全无误地预 测出来。 白噪声信号：由于其前后毫无关联，使预 测无所依据而无法预测。 平稳随机信号：均值为常数，自相关函数 只与时间间隔有关，可以进行预测。
gm (n)
K
* m
f
m1
(n)
g
m1
(n
1),
m
1,
2,L
,p
其中 Km 为反射系数， gm (n) 为后向预测误差。
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
全零点格型滤波器和前后向预测器误差的关系：
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
3. 格型滤波器的Z域表示 格型滤波器的时域表达式为
f0 (n) g0(n) x(n) fm (n) fm1(n) Km gm1(n 1), m 1, 2,L , p gm (n) Km* fm1(n) gm1(n 1), m 1, 2,L , p
k 1
对应的最小均方误差和前向预测器相同。
p
EPb EPf rx (0) ap (k)rx (k) k 1 ▲
EPb
=min[
b P
]
■
7.3 后向线性预测
后向预测滤波器性质：
➢ 最大相位系统性质
Bp (z) z p A*p (z1)
Ap (z) 具有最小相位
➢ 后向预测误差的正交性
E
gm
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
重点和要求
1. 前向预测概念 2. 预测器格型表示 3. 前向预测中的正规方程的解法 4. 维纳滤波器理论及其设计方法
k 0
k 0
p
z p a*p (k )zk z p A*p (z1) k 0
bp (k) a*p ( p k), k 0,1,L , p
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
直接型FIR滤波器的全零点格型滤波器等效：
f0 (n) g0(n) x(n)
fm (n) fm1(n) Km gm1(n 1), m 1, 2,L , p
不能精确使预测误差为零，而只能从统计意义 上做到最优预测，使预测误差的均方值最小。
实际获得的信号是带噪声干扰的，这使得预测 和滤波紧密相连，称为带滤波的预测或预测滤 波。不考虑噪声干扰时的预测或不带滤波的预 测为纯预测。
▲
■
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
相应的z变换的表达式为
F0 (z) G0 (z) X (z)
Fm (z)
Fm1(z)
K
m
z
G 1 m1
(
z),
m
1, 2,L
,
p
Gm (n)
K
* m
Fm1
(
z
)
z
1Gm
1
(
z
),
m
1,预测器与格形滤波器关系
3. 格型滤波器的Z域表示
它们z变换的表达式为
F0 (z) G0 (z) X (z)
Bm (n)
K
* m
Am 1 (
z)
z
B 1 m1
(
z
),
m
1,
2,L
,
p
其对应的矩阵形式为
Am Bm
(z) (z)
1Km*Kzmz1
1
Am 1 ( Bm1 (
z) z)
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
4. 预测系数递推公式
A0 (z) B0 (z) 1
Am (z) Am1(z) Km z1Bm1(z), m 1, 2,L , p
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
预测误差可以表示成直接型FIR滤波器
p
Ap (z) ap (k)zk k 0
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
前后向预测误差滤波器系数之间关系的z域表示：
Gp(z) Bp(z)X (z)
Bp
(z)
Gp (z) X (z)
Gp (z) G0 (z)
p
p
Bp (z) bp (k)zk a*p ( p k)zk
(n)
gl*
(n)
0, 0 Emb ,
l l
m m
1
➢ 前后向预测滤波器的其他性质，教材633页
▲
■
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
▲
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.5 最优化正规方程解法
1. 正规方程
前向预测误差均方值最小化得到的预测器系数为正规方
程，即
p
rx (l) ap (k)rx (l k),l 1, 2,L , p
k 1
其对应的紧凑形式为 p
ap (k)rx (l k) 0,l 1, 2,L , p
k
)
am1(k) am (m)am* 1(m k),1 k m 1, m 1, 2,L , p
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
5. 反射系数递推公式
递推公式为：
Kp ap ( p)
Am1(z)
Am1
(z) KmBm 1 Km 2
(
z)
,
m
1,
2,L
,
p
详细公式为：
Km am (m)
p
bp (k)x(n k),bp ( p) 1 k 0
▲
■
7.3 后向线性预测
后向预测器也可用直接型FIR滤波器结构或格型 结构实现，其对应系数和前向滤波器的关系如下：
bp (k) a*p ( p k), k 0,1,L , p
预测误差可以表示为
g p (n) x(n p) xˆ(n p)
4. 预测系数递推公式
递推关系：
Am (z)
Am1
(
z)
Km
z
B 1 m1
(
z),
m
1,
2,L
,p
m
m1
m1
am (k)zk
am1(k )zk Km
a* m1
(m
1
k
)z
(
k
1)
k 0
k 0
k 0
具体如下：
am (0) 1, am (m) Km
am
(k)
am1(k )
K
m
a* m1
(m
k 0
其MMSE为 ap (0) 1
ap (k) a(k)，Epf
2 w
成立。这说明，对于同一个
p阶的AR随机信号 x(n) ，其AR模型和同阶的最
佳线性预测器模型是等价的。所以有
p
f p (n) x(n) xˆ(n) x(n) ap (k)x(n k)
m
k 1