结点分析法及割集分析法
电路分析基础-线性网络的一般分析方法
支路VAR代入三个KVL方程，消去6个
支路电压，保留支路电流，便得到关于
支路电流的方程如下：
i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0
KCL
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
注：可去掉方程(6)。
支路法的特点及不足：
优点：直接。直接针对各支路电压或电流列写方程 缺点：需要同时列写 KCL和KVL方程， 方程数较多 （等于支路数b），且规律性不强(相对于后面的方法)。 各支路电流（或电压）并不独立，彼此线性相关。
能否找到一种方法，使方程数最少，且规律性较强？
答案是肯定的。回路（网孔）电流分析法、节点电位 分析法以及割集分析法就具有这样的特点。它们选择一 组最少的独立完备的基本变量作为待求变量，使得方程 数目最少。
a
R3 i3 b i6
(1) 先将受控源看作独立源
i1 R1
i2 +
+ 1R2 u2 2
uS
–
R5
i5 4
列方程；
i1 (2) 将控制量用支路电流表
示，消去控制量。
–
c
解 KCL方程：
-i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i5 – i6=0 (2)
R4 + u2 –
i4
对平面电路，b–(n–1)个网孔即是一组独立回路。
平面电路。
1 542
3
支路数b=12 节点数n=8 独立KCL数：n-1=7 独立KVL数：b-(n-1)=5
线性网络的一般分析方法和网络定理
② 对各独立节点按节点方程的一般形 式列写节点方程；
③ 解方程求出各节点电压；
④ 根据节点电压求出各支路电压和电 流。
3.节点方程的特殊处理方法
(1) 含理想电压源电路的节点方程
在应用节点分析法分析电路时，有时 遇到电路中含有理想电压源支路的情况， 如用上述常规方程来列写节点方程将产生 困难。因为节点方程是根据KCL导出的， 理想电压源支路的电流事先并未给出。
-
图 3
1
节 点 分 析 法 用 图
2.节点方程
以图3-1所示的直流电路为例，阐 明节点方程的导出步骤。
① 选定参考节点(本例以节点4为 参考节点)，标明各支路电流的参考方 向，如图3-1所示。
② 根据欧姆定律，将各支路电流 用节点电压和支路电导表示。
③ 将式(3-2)代入式(3-1)。
现将节点分析法的解题步骤归纳如下：
第三章 线性网络的一般分析 方法和网络定理
3.1 节点分析法 3.2 回路分析法 *3.3 割集分析法 3.4 叠 加 定 理 3.5 替 代 定 理 3.6 戴维南定理与诺顿定理 3.7 互 易 定 理 3.8 电路的对偶性
3.1 节点分析法
1.节点电压
以图3-1所示的直流网络 为例。这个网络具有4个节点， 6条支路。标明各支路电流参 考方向，如图3-1所示。
图3-20网络的拓扑图
2.割集与基本割集
根据定义，树不能包含闭合回路， 因此，树支电压之间不能用KVL相联系。 就KVL来说，树支电压线性无关，即树 支电压是一组完备的独立电压变量。
一个具有n个节点的网络，其树支数 为(n-1)，因此选出树后，就有(n-1)个树 支电压，如何写出求解这些电压变量所 需的(n-1)个独立方程呢?
节点分析法——精选推荐
节点分析法1、结点分析方程【结点电位】在有n个结点的电路中，任选一个结点为参考结点，其余各结点至参考结点的电压称为该结点的结点电位。
【结点分析法】以结点电位为待求变量，将各支路电流用结点电位表示，列写除了参考结点以外其他所有结点的KCL 方程，求得结点电位后再确定其他变量的电路分析方法，称为结点分析法，简称结点分析法。
【结点分析方程的列写步骤】（1）选取参考结点，假定其余n-1个独立结点的结点电位。
（2）列写n-1个独立结点的KCL方程，方程中的各支路电流用结点电位表示。
（3）求解方程，得到结点电位。
（4）通过结点电位确定其他变量。
【例3-1-1】对图3-1-1所示电路列写结点方程。
解：设结点④为参考结点，并令独立结点①、②、③电压分别设为、、。
分别列写结点①、②、③的KCL方程如下。
为得到以结点电位为未知变量的电路方程，用结点电位表示各支路电流，即有将上述各式代入KCL方程，得到结点方程整理得【结点自电导】矩阵中对角线元素是与结点①所有相联支路电导之和，对角线元素，分别是结点②、③的所有相联支路电导之和。
对角线元素称为结点自电导。
【结点互电导】非对角线元素，如第一行、第二列元素，是结点①、②之间公共支路电导之和的负值，其余非对角线元素也满足相似的规律，称为结点互电导。
【结点等效电流源】等式右边是流入各结点的电流源，包括电压源通过戴维宁支路变换为诺顿支路所得的等效电流源，之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。
2、结点方程的视察列写【结点方程的一般形式】对具有n个结点的电路，其结点方程可写为如下矩阵形式：或写成矩阵形式其中：结点自电导＝与结点i相联的所有支路电导之和，恒是为正值。
结点互电导＝结点k、j之间公共支路的电导之和的负值，对于不含受控电源的电路，结点互电导恒是为负值或为零。
结点等效电流源＝结点i相联的电流源、包括由电压源等效转换而来的电流源之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。
第3章 电阻电路的一般分析总结
第三章电阻电路的一般分析◆重点：1、支路法2、节点法3、网孔法和回路法◆难点：1、熟练掌握支路法、网孔法和割集分析法的计算思路，会用这几种方法列写电路方程。
2、熟练地运用节点法和回路法分析计算电路。
3-1 电网络中的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。
其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。
1．支路——Branch流过同一个电流的电路部分为一条支路。
2．节点——node三条或者三条以上支路的汇集称为节点。
4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。
6．回路——loop电路中的任意闭合路径，称为回路。
8．网孔——mesh一般是指内网孔。
平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。
例如：在下图中，支路数6，节点数4，网孔数3，回路数79．树一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。
树中的支路称为“树支”——tree branch，图G中不属于T 的其他支路称为“连支”——link，其集合称为“树余”。
一个连通图的树可能存在多种选择方法。
10．基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。
树一经选定，基本回路唯一地确定下来。
对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。
3-2 2B 法与1B 法3.2.1 支路法（2B 法）介绍1．方法概述以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写电流（KCL ）方程，对回路列写电压（KVL ）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。
从而得到含2b 个变量的2b 个独立方程。
又称为“2b 法”。
2．思路由上述方法可见，“2b 法”实际上清晰地体现了求解电路的两个不可或缺的方面，即电路的解一是要满足网络的拓扑约束，二是要满足电路中各个元件的伏安关系约束。
3．方程结构b 个支路方程，)1(-n 个电流（KCL ）方程，))1((--n b 个电压（KVL ）方程。
割集分析法
i4
2V I
i4 = i1 + i2 = – 0.25 + 0.85 = 0.6A
II
i5 = 3A（已知）， i7 = i1 = – 0.25A
以上各式中，u1、u2、u3分别为支路 1、支路 2 和支路 3 的 电压。
电路分析基础——第一部分：2-5
例2-16 电路如图2-37(a)，试求ux。
致，则互电导为正，否则为负；
电流输送：is11、is22、is33 。该基本割集上电流源输 送电流的代数和，电流源电流方向与割
集方向相反者为正，否则为负。
ut1、…、uti、…、ut(n-1)：在确定基本割集顺序后， 每个基本割集上的树支电压；
电路分析基础——第一部分：2-5
17/23
注意：在用割集分析时，往往把感兴趣的支路选为树支，使其 电压成为直接求解对象。电路中的电压源支路都应尽量选为树 支，因为电压源是已知的，可以减少未知独立变量的个数。
例如：在图（b）中，切割用虚线表
1
2
示，例如切割II使节点1、3与节点2、 I
3
4分为两个分离部分，所切割的支路 G3、G4、G1和电流源支路的集合就 是割集II。
割集的多样性：一个连通图可以有许
II
4
III
1
2
3
多不同的割集，图（b）中就表明了
三种不同的割集。
4
电路分析基础——第一部分：2-5
7/23
电路分析基础——第一部分：2-5
21/23
i2 =
u2 0.5
=
– ut6 – ut5 – ut4 0.5
= – 2(2–2.75+ 0.326) = 0.85A
2-3-割集电压分析法
b
C2 c
1
2
3
45
d C3
6
IqQ fIsQ fY bU s
I s
6
I s
6
U
R
U s 5
s5 5
R 5
割集电压方程的矩阵形式为：
1 R3
1 R6
1
jL1
1 R6
1
R3
1 R6
11 1
R5 R6 jL2
1 R5
1 R3
R 15R R1153 jC4U U Uqqq132
3
例2－2 写出如图所示电路割集电压方程的矩阵形式。
（1）电感L1、L2 之间无耦合。 （2）电感L1、L2 之间有耦合。
I6
R6
Is 6
I1
I3
L1
R3
M
I4
I2 L 2
C4
I5 R5
+ - U s 5
4
解 （1）电感L1、L2 之间无耦合
画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路1、
2、4为树支，如图所示。
§2-3 割集电压分析法
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
1
割集分析法是以割集电压亦即树支电压为变量列写方程进行 求解的一种方法。
U QTf Ut I Y bU I sY bU s IY bQ T fU tIsY bU s Qf I 0 Q fY b Q T fU t Q fI s Q fY b U s ——割集电压方程的矩阵形式
I s 6
I
s
6
U
R
U s 5
s5 5
R 5
7
（2）电感L1、L2 之间有耦合
电路理论课程教学大纲
《电路理论》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：电路理论英文名称：Circuit Theory课程类别：学科基础课学时：90学分：4.5适用对象: 电子信息工程本科生考核方式：考试先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《复变函数》、《大学物理》二、课程简介中文简介：本课程将覆盖以下内容：电子电路的基本原理、电路元件、基本电路定律（欧姆定律，基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律）；电子元器件的的串连和并联；运算放大器；网络理论；节点分析法和网孔分析法；一阶电路（RC 电路或RL电路）和二阶电路（RLC电路）的普通信号、阶跃信号及单音信号的响应特性的分析；矢量分析法；并介绍计算机电路仿真的相关知识。
英文简介：This course will cover: fundamental electrical circuit quantities, and circuit elements; circuits laws (Ohm law and Kirchhoff voltage and current laws); series and parallel connections of circuit elements; operational amplifiers; network theorems; nodal and mesh analysis methods; analysis of natural, step response, and response to sinusoidal input of first (RC and RL) and second order (RLC) circuits; phasor analysis; introduction to computer emulation to electrical circuit.三、课程性质与教学目的本课程是电子信息工程等专业的一门重要技术基础课，它是研究电路理论的入门课程，着重讨论集中参数、线性、非时变电路。
大学物理电路分析精品课程 第三章 电路的一般分析方法
I S I4 I1 0
I
1
I3
I2
0
I
4
I3
I5
0
U 4 U S1 U 3 U1 0 U1 U 2 U 0 U 3 U S1 U 5 U S 2 U 2 0
I1R1 U1
I I
2 3
R2 R3
U2 U3
I
4
R4
U4
I 5 R5 U 5
支路电流法（1B法）
1) U 2
2
添加以下方程：
2U 23 2(U 2 U 3 ) 4U 43 4(U 4 U 3 ) U1 U 4
例题3——割集分析法
5 + 19V - 2
I1 +
30V _
4A 1.5I1
4
+ 25V
_
选树如图所示，则只需要对2、4支路 （树支）所决定的基本割集列写方程即可
(5 2 4) I1 (2 4) 4 4 1.5I1 30 25 19
I S
U4 R4
U1 R1
0
UR11
U3 R3
U2 R2
0
U
4
U3
U5
0
R4 R3 R5
3-3 节点法与割集法
一、节点法
1 .方法
任选电路中某一节点为参考节点， 其他节点与此参考节点间的电压称为 “节点电压”。节点法是以节点电压作 为独立变量，对各个独立节点列写KCL 电流方程，得到含(n-1)个变量的(n-1)个 独立电流方程，从而求解电路中待求量。
第三章 电路的一般分析方法
❖重点 1、支路法 2、节点法 3、网孔法
❖难点 1、改 拓扑术语
支路 节点 回路 网孔 基本回路 割集 基本割集
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在具有n个结点的连通电路(模型)中，可以选其中一个结点作为基准， 其余(n-1)个结点相对基准结点的电压，称为结点电压。将基准结点作为电位 参考点或零电位点，各结点电压就等于各结点电位。这些结点电压不能构成 一个闭合路径，不能组成KVL方程，不受 KVL约束，是一组独立的电压变量。 由于任一支路电压是其两端结点电位之差或结点电压之差，由此可求得全部 支路电压。
整理得到:
5u1 2u2 u3 12V 2u1 11u2 6u3 6V u1 6u2 10u3 19V
解得结点电压
u1 1V u2 2V u3 3V
求得另外三个支路电压为：
图2－29
u4 u3 u1 4V u5 u1 u2 3V u6 u3 u2 1V
四、含独立电压源电路的结点方程
(2S 2S 1S)u1 (2S)u2 (1S)u3 6A 18A (2S)u1 (2S 3S 6S)u2 (6S)u3 18A 12A (1S)u1 (6S)u2 (1S 6S 3S)u3 25A 6A
(2S 2S 1S)u1 (2S)u2 (1S)u3 6A 18A (2S)u1 (2S 3S 6S)u2 (6S)u3 18A 12A (1S)u1 (6S)u2 (1S 6S 3S)u3 25A 6A
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的连通电路，其结点方程的 一般形式为：
G11v1 G12v2 ... G v 1(n1) n1 iS11 G21v1 G22v2 ... G v 2(n1) n1 iS22
(2 30)
G( v n1)1 1 G(n1)2v2 G(n1)(n1)vn1 iS(n1((n1)
i1 i4 i5 iS1
i2 i5 i6 0
i3 i4 i6 iS2
i1 i4 i5 iS1
i2 i5 i6 0
i3 i4 i6 iS2
列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：
i1 G1v1 i2 G2v2 i3 G3v3 i4 G4 (v1 v3 ) i5 G5 (v1 v2 )
综上所述，由独立电压源，独立电流源和电阻构成的电路，其结点方程的 一般形式应改为以下形式
G11v1 G12v2 ... G v 1(n1) n1 iuS11 iS11
当电路中存在独立电压源时，不能用式(2－30)建立含有电压源结点的方程， 其原因是没有考虑电压源的电流。若有电阻与电压源串联单口，可以先等效变 换为电流源与电阻并联单口后，再用式(2－30)建立结点方程。若没有电阻与电 压源串联，则应增加电压源的电流变量来建立结点方程。此时，由于增加了电 流变量，需补充电压源电压与结点电压关系的方程。
三、结点分析法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 1．指定连通电路中任一结点为参考结点，用接地符号表示。标出各结点 电压，其参考方向总是独立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出(n-1)个结点方程。 3．求解结点方程，得到各结点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电流和支路电压。
例如图示电路各支路电压可表示为:
u1 u10 v1 u2 u20 v2 u3 u30 v3
u4 u10 u30 v1 v3 u5 u10 u20 v1 v2 u6 u20 u30 v2 v3
二、结点方程 。 下面以图示电路为例说明如何建立结点方程
对电路的三个独立结点列出KCL方程：
G11v1 G12v2 G13v3 iS11
G21v1
G22v2
G23v3
iS22
G31v1 G32v2 G33v3 iS33
(2 29)
Gij(ij)称为结点i和j的互电导,是结点i和j间电导总和的负值，此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。
例2－17 用结点分析法求图2-28电路中各电阻支路电流。
图2－28
解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压u1和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：
(1S(1S)1uS1)u1(1S(1S2)uS2)u2
5A 10A
整理得到：
图2－28
2u1 u2 5V u1 3u2 10V
代入KCL方程中，经过整理后得到：
i6 G6 (v2 v3 )
(GG11v1 G4G4 (Gv15 )v1v3 )G5Gv25 (vG1 4vv32) iS1iS1
GG25vv21 G(G5 (2v1 Gv5 2) G 6G)6v(2v2 G 6vv33) 0
节点方程
GG34vv31GG46(vv21 (vG2 )3 GG64(v2G6 v)v3 3) iS2
解得各结点电压为：
u1 1V u2 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2 ) 4A
例2－18 用结点分析法求图2-29电路各支路电压。
图2－29
解: 参考结点和结点电压如图所示。用观察法列出三个结 点方程：
iS11、iS22、iS33是流入该结点全部电流源电流的代数和。此例中 iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规 律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规 律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
写成一般形式
G11v1 G12v2 G13v3 iS11
G21v1G22v2源自G23v3iS22
G31v1
G32v2
G33v3
iS33
(2 29)
其中G11、 G22、G33称为结点自电导，它们分别是各结点全部电导的总和。 此例中G11= G1+ G4+ G5,
G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6。