节点分析法
电路分析基础 5节点分析
注意事项：
1、参考点的选择：a、最多支路的连接点；
b、将电压源的一端作为参考点。
2、若电压源有串联电阻时，则先做戴维南到诺顿 等效变换。若电压源无串联电阻且两端都不是参考点 时，需给电压源支路设电流，并增加方程。
3、有受控源时，一般要有补充方程：控制量用 节点电压表示。
4、电流源支路上串有电阻，冗余元件
§2-3 节点分析法 (可用于非平面电路分析）
一、节点方程的建立
节点电压（位）： 必须选定参考点。
1、节点电压的独立性:n-1个节点电压线性无关 2、节点电压的完备性：支路电压可用节点电压 表示出来
建立节点方程
(G1 G2 )U a G2Ub G1U c I s1 G2U a (G2 G3 G4 )Ub G3U c 0 G1U a G3Ub (G1 G3 )U c I s2
一
般 G11U1 G12U2 ... G1n1Un1 Is11
形 式
n 个
G21U1 G22U2 ... G2n1Un1 Is22 ...
节 Gn11U1 Gn12U2 ... Gn1n1Un1 Isn1n1
点
或矩阵形式：
G11
G21
.....
G(n1)1
G12 G22 .... G( n 1) 2
要点与难点 理想电压源支路的处理；受控电源的处理
例5、求ua
+us1 R1
ua
+us2 R2
-us3
R3
R4
例6 求：U，I= ?
解：(1)选定参考点， 标出节点电压
(2)列节点方程
U a 12(V )
解得
UUcb
6(V ) 4(V )
U e 5(V )
电路分析之节点法
§2-2节点（电压）分析法1.为什么要引入节点（电压）分析法目的：2.什么是节点（电压）分析法3.参考节点4.节点（电压）分析法具体步骤5.特殊情况使用支路分析法时，独立方程数目与支路数相等，当电路的支路数很多而节点较少时，使用支路分析法仍要解很多方程，是否有办法可使方程数减少呢？一、引入2、目的：1、原因：减少电路方程的数目。
3、如何实现？二、节点分析法1.指导思想：用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立电路方程。
2.节点电压：独立节点对非独立（参考）节点的电压。
对于有n个节点的电路，只有（n－1）个独立的节点。
3.节点分析法：用KCL建立节点电流方程，然后用节点电压去表示支路电流，最后求解节电电压的方法。
注意：这里“节点”的含义（1）从节点出发（KCL），（2）用节电电压作变量①选参考节点；标出各支路电流参考方向和节点电压。
②对独立节点列节电电流方程[（n－1）个]。
③通过KVL和元件特性用节点电压表示支路电流。
④将以节点电压表示的支路电流代入步骤（2）中的节点方程，整理后可得以节点电压为变量的规范化的电路方程。
三、具体步骤和注意事项：1.解题步骤R4i4例说明：⎧u u 111111其它量类似。
当支路含有电流源时，该支路等效电流源就是电流源本身；当支路含有的是有伴电压源时，该支路等效电流源大小为电压源与该支路电导的乘积，方向与电压源为非关联。
有伴电压源支路等效电流源与该支路电流不同（等效电流源只是该支路电流的一部分）。
等效电流源：注意：G kk —是连接到节点k 的各支路电导的总和，称为节点k 的自电导，总为“＋”。
G kj —是联接节点k 和节点j 的各支路电导之和的“－”值，称为节点i 和节点j 的互电导。
I Sk —是流入节点k 的各等效电流源电流的代数和（流入为“＋”，流出为“—”）。
I Sk ＝i S1＋…＋i Sj +…其中:对于任何具有n个独立节点的电路，有n个方程且每个节点方程可由下述方程描述:自导×本节点电压＋∑互导×相邻节点电压＝∑(±电压源×该支路电导)＋∑±电流源 具体为，对第k个独立节点，节点方程为:节点k ：G k1u 1+…+G kk u k +…+G kn u n =I S k2、注意事项1)各支路中的电导应该是该支路中的总电导。
电路原理节点分析法
u1
1.5A
i5
u2 20
0.3A
i6
U2 10
4
0.2A
u1=10V, u2=6V
电路原理
例题分析
例2. 用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
注意：含有无伴电压源
10V
+-
4Ω
i4
解：以节点②为参考节点
即以理想电压源的一端为 +
参考点。
15V
-
5Ω
U1 4
i1
1
+
4V
-
2
i2
2Ω i3 i5
§2-9 节点分析法
选择③为参考节点，即电位v3=0；
+ us - R1 i1
节点电压：u1=v1-v2=v1，u2=v2； 1
R3 i3
3 i5
节点电压：独立节点对参考节点的电压；
i2
i4
is
方向：指向参考节点的方向为电压降方向。 R2
R4
节点电压数＝节点数－1＝独立节点数
u1, u2自动满足KVL （电位单值性） 2
i4
is
R4
【①1流】出: 的节电点流电。压u1单独作用，节点 【①2流】出: 的节电点流电。压u2单独作用，节点 【3】: 联接到节点①的各激励源单 独作用，流入该节点的电流代数和。
2
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
G 11
G 12
i s11
节点①：
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
( 1 R2
2.33 mA
I3
+
1kΩ
15V
–
3kΩ 1mA
节点分析法——精选推荐
节点分析法1、结点分析方程【结点电位】在有n个结点的电路中，任选一个结点为参考结点，其余各结点至参考结点的电压称为该结点的结点电位。
【结点分析法】以结点电位为待求变量，将各支路电流用结点电位表示，列写除了参考结点以外其他所有结点的KCL 方程，求得结点电位后再确定其他变量的电路分析方法，称为结点分析法，简称结点分析法。
【结点分析方程的列写步骤】（1）选取参考结点，假定其余n-1个独立结点的结点电位。
（2）列写n-1个独立结点的KCL方程，方程中的各支路电流用结点电位表示。
（3）求解方程，得到结点电位。
（4）通过结点电位确定其他变量。
【例3-1-1】对图3-1-1所示电路列写结点方程。
解：设结点④为参考结点，并令独立结点①、②、③电压分别设为、、。
分别列写结点①、②、③的KCL方程如下。
为得到以结点电位为未知变量的电路方程，用结点电位表示各支路电流，即有将上述各式代入KCL方程，得到结点方程整理得【结点自电导】矩阵中对角线元素是与结点①所有相联支路电导之和，对角线元素，分别是结点②、③的所有相联支路电导之和。
对角线元素称为结点自电导。
【结点互电导】非对角线元素，如第一行、第二列元素，是结点①、②之间公共支路电导之和的负值，其余非对角线元素也满足相似的规律，称为结点互电导。
【结点等效电流源】等式右边是流入各结点的电流源，包括电压源通过戴维宁支路变换为诺顿支路所得的等效电流源，之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。
2、结点方程的视察列写【结点方程的一般形式】对具有n个结点的电路，其结点方程可写为如下矩阵形式：或写成矩阵形式其中：结点自电导＝与结点i相联的所有支路电导之和，恒是为正值。
结点互电导＝结点k、j之间公共支路的电导之和的负值，对于不含受控电源的电路，结点互电导恒是为负值或为零。
结点等效电流源＝结点i相联的电流源、包括由电压源等效转换而来的电流源之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。
电路分析-节点分析法
解：标出参考结点，标出两个结
解得各结点电压为：
u1 1V
(点1(S电1S压)1uSu11)和u1(u12S(的1S参2)Su考)2u方2 向5A10A
u2 3V
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2 ) 4A
例3－6 用结点分析法求各支路电压。
例3－7 用结点分析法求电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻
并(联1S,列1S出一0个.5S结)u点方5程A 。 5A
解得
u 10A 4V 2.5S
5V 4V
4V 10V
i1 1 1A i2
2
3A
例3－8 用结点分析法求结点电压。
补充方程 解得
电压，称为结点电压。 准，用接地符号表示，其
图3－6
余三个结点电压分别为u10, u20和u30 ,是一组独立的电 压变量。
例如图示电路各支路电压可表示为:
u1 u10 v1 u2 u20 v2 u3 u30 v3
图3－6
u4 u10 u30 v1 v3
u5 u10 u20 v1 v2
G11v1 G12v2 G v 1(n1) n1 iS11
G21v1 G22v2 G2( v n1) n1 iS22
G( n1)v1
G( v n1)2 2
G( v n1)( n1) n1
iS
(
n1((
n1)
节点电压产生的流出该节点的电流的代数和， 等于流入该节点的电流源的代数和。
解：选定6V电压源电流i
的参考方向。计入电流变
量i(1列S)出u1两个i 结5点A方程：
u1 u2 6V
节点分析法
（2-7）
电路分析基础——第一部分：2-2
7/23
进一步整理后得： G11un1+G12un2+G13un3= is11 G21un1+G22un2+G23un3= is22 G31un1+G32un2+G33un3= is33
（2-8）
自电导：G11、G22、G33。它们分别是各个节点上所 有电导之和，如： G22= G1+G2+G3 ；
= 0.175
– 0.1 = 0.0306 – 0.01 = 0.0206
– 0.1 0.175
6 – 0.1 1 = – 6 0.175 = 1.050 – 0.6 = 0.45
电路分析基础——第一部分：2-2
0.175 6 2 = – 0.1 – 6 = – 1.050 + 0.6 = – 0.45
电路分析基础——第二部分：第二章 目录
第二章 运用独立电流电压变量 的分析方法
1 网孔分析法 2 节点分析法 3 含运算放大器
的电阻电路 4 树的概念
5 割集分析法
6 回路分析法
7 线性电阻电路解答的 存在性和唯一性定理
电路分析基础——第一部分：2-2
1/23
2-2 节点分析法
内容回顾：如何选用完备独立的变量作为第一步求解
方程，因此与该节点有关的所有
电流都必须计算在内。
+
G1
Is33可一理般解在为此流种入情节况点下的，所I有s11已、知Is2的2、–
2 Us
电流源电流和未知的电压源电流的
G4
代数和。节点分析法都是如此处理
非接地电压源的！
1
G2
G3
电路分析网孔分析法和节点分析
电路分析网孔分析法和节点分析电路分析是电路理论和实际电路设计中的重要部分。
在电路分析中，有两种主要的方法，即网孔分析法和节点分析法。
本文将详细介绍这两种方法，并从理论和实践两个层面对这两种方法进行比较和对比。
首先，我们来看网孔分析法。
网孔分析法是通过将电路划分为若干个网孔来进行分析的方法。
网孔是由电路元件组成的闭合路径。
在网孔分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个网孔中的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，网孔分析法适用于复杂的电路，因为通过合理划分网孔，可以降低计算复杂度。
其次，我们来看节点分析法。
节点分析法是通过将电路划分为若干个节点来进行分析的方法。
节点是电路中的交叉点或连接点。
在节点分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个节点的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，节点分析法适用于简单的电路，因为节点分析法只需要解线性方程组，计算较为简单。
接下来，我们比较和对比这两种分析方法。
首先，网孔分析法和节点分析法都是基于基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析的。
这两个定律是电路分析的基础，无论是网孔分析法还是节点分析法，都离不开这两个定律。
其次，网孔分析法和节点分析法在计算复杂度上有所不同。
网孔分析法需要对每个网孔进行分析和计算，所以在实际应用中可能需要解较多的方程，计算复杂度较高。
而节点分析法只需要解线性方程组，所以计算复杂度相对较低。
因此，网孔分析法适用于复杂的电路，而节点分析法适用于简单的电路。
最后，网孔分析法和节点分析法在电路分析结果的表示上有所不同。
在网孔分析法中，我们通常会得到各个网孔中的电流值，而在节点分析法中，我们通常会得到各个节点的电压值。
所以，在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法，以得到更加直观和实用的分析结果。
综上所述，网孔分析法和节点分析法都是重要的电路分析方法，在不同的场景下，可以选择不同的方法进行电路分析。
节点分析法
• 例：
R2
1
I2 I3
R3
2
E1
+ -
I1 R1
IS
I4
R4
已知： E=10V、 R1 =1Ω、 R2 =2Ω、 R3 =4Ω、 R4 = 1Ω、 IS = 9A 求：各支路电流
• 例：
E1
+ -
R2 I2 1 I3 R3
2
I1
IS
R1
E/R2
1
R3
2
IS
R2
R1
I4 R4
R4
E/R2
-
+ US7
G1US1
1 •
G2
G1
G4
G3
3 •
G6
I
-
+
US7
G5
G6US6
•
•
2
0
IS3
G1US1
1 •
G2
G1
G4
G3
3 •
G6
I
-
+
US7
G5
G6US6
•
•
2
0
G1+ G2+ G3
-（ G1 + G2 ）
- G3
U1
-（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4
U2 =
1
R3
R2
R1
（ G1 + G2 + G3 ）
– G1
–G3
(G3 + G4 ）
（ 1 + 1/2 + 1/4 ）
– 1/4
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补： uB uD 8
UB 8
1
11
10
UA
4
UB
(1
4
5 )U Dຫໍສະໝຸດ 111四、无伴的理想电压源处理
方法3：含有两条无伴电压源支路的，将一条 电压源支路的一端接地；设另一条理想电压源 支路的电流，将此电流暂当作电流源电流列写 方程，并利用理想电压源与相应节点电位关系 补充方程。
12
例9 ：求图示电路中电流i。
电阻不计自电导与互电导）
解： 选择参考节
A
UA
点， 列写方程：
I1
I2
I3
(1 10
1 4
1 2 )uA
1.6
70 2
1.6 70
uA
(
1
2 1 1)
10 4 2
若电路只有一个独立节点，其节点
43.06V
I1 =-4.306A I2 = 10.76A
电压方程为： u
I3 = -13.47A
Rs Us
(1)
图(1)伏安关系:
u = Us - iRs
图(2)伏安关系:
Is
u = (Is - i) Rs'
= Is Rs ' - i Rs '
Rs'
(2)
等效变换关系： Us = Is Rs′ Rs= Rs′
4
三、节点分析法： 依据：KCL
支路VCR UA
UB
UC
步骤：
1、选择参考节点，
标出其余节点电压
I sk Gk ( 弥尔曼定理)
9
四、无伴的理想电压源处理
方法1： 含有一条无伴电压源支路的，可选合 适的参考节点使理想电压源成为一个已知节点 电压，列写其余节点电压方程。
方法2： 含有一条无伴电压源支路的，电压源 跨接在两个节点之间，设理想电压源的电流， 将此电流暂当作电流源电流列写方程，并利用 理想电压源电压与相应节点电位关系补充方程。
( 5
2 )uB
( 5
2 )uC
2
3、解得节点电压： uA 3.864V
uB 0.615V uC 2.242V
检验:可选择参考节点,列写KCL方程:
4、所求电流：
I1 = 0.3864A I2 = 0.615A I3 = 1.4285A
-I1+2-I2+4-5=08
练习：
求图示电路中各支路电流。（请注意，与电流源串联的
2、与电流源串联的电阻不计自电导和互电导；
3、含有无伴电压源的节点分析
1）含一个无伴电压源---选取节点电压为电压源的电压，此节点的方程不 必列写；
2）含一个无伴电压源，电压源跨接在两个节点之间---增添一个流过电压 源的电流变量，必须增加一个节点电压与电压源电压之间的约束方程；
3）含有两条无伴电压源支路的，将一条电压源支路的一端接地；设另一 条理想电压源支路的电流，将此电流暂当作电流源电流列写方程，并利用理 想电压源与相应节点电位关系补充方程；
(b)
U=（6k+12k+3k）i
U=Ri
=21ki
(R=21k)
二、等效定义：如果一个单口网络N1和另一个单
口网络N2的电压、电流关系完全相同，亦即它们
在u-i平面上的伏安特性曲线完全重叠，则这两个
单口网络等效。 3
有伴电源的等效变换 (1) 已知电压源模型，求等效电流源模型：
等效条件：保持端口伏安关系相同。
2Ω - 3V +
1 1Ω 2 + 2i - 3
2Ω
2Ω
1Ω
i
2A
20
本章小结:
一、网孔分析法：
待求量：网孔电流
依 据： KVL、VCR 适 用：线性平面电路 特 点：方程数目较少:
方程数=网孔数
二、节点分析法：
待求量：节点电位
依 据： KCL、VCR 适 用：线性电路 特 点：方程数目较少：
方程数=独立节点数
UB
UC
A
B
C
2）列写节点电位方程：
1 1 1 1 1 40
( 10
10
2
)uA
10
uB
2
uC
2
3）整理方程为
1 10
uA
(1 10
1 4
1 8 )uB
1 8
uC
20 4
1 2
uA
1 8
uB
(1 2
1 8
1 8 )uC
40 2
0.7uA 0.1uB 0.5uC 20
0.1uA 0.475uB 0.125uC 5 0.5uA 0.125uB 0.75uC 20
uB uC 2u I A
E
C
uA 3uD I
补： u uB uA
uC uD 4i
i uD uA
联立方程，可解得：
I
uA 1V
D
uB
17 V 9
uC
17 3
V
uD
1V 3
18
总结：
1、含有有伴电压源电路的节点分析---有伴电压源引起的电流用它的电压与 串联电阻的比值表示，所考虑的节点在电压源的正极端时，比值取正号，反 之取负号；
15
2.受控电流源的处理
例11：用节点法求电压U。
A
选参考节点，列方程：
uA 10
11
1
U
uA (1 2 3)uB 3 uC 6
B
11
11
2 uA 3 uB (1 2 3)uC 0
（检查方程正确与否？）
补：U uB uC
整理、化简方程： 7uB uC 60 2uB 11uC 30
21
作业1：电路如图所示：要求完成以下问题：1）用节
点分析法求电流i；2）求受控源吸收的功率。
2Ω - 3V +
1
1Ω 2 + 2i -
(1
1 2
1 2 )u1
1u2
1 2
u3
3 2
3
I
1u1 1u2 2 I
2Ω
2Ω
1Ω
1
1
3
2 u1 (1 2)u3 I 2
i
2A
补： u2 u3 2i
解得：
uA 10V uB 9.2V
U uB uC 4.8V
C
uC 4.4V
16
练习：用节点法求电流I1、I2和I3。 解：选节点D为参考节点 并设电流如图
7uA 3uB 4uC i 8 3
3uA 4uB
3I A
4uA 9uC I 125
（检查方程正确与否？）
补：
解：选择参考节点，并
UA
设电流如图：
1 11
1 1 40
( 10
10
2 )uA
10
uB
2
uC
2
uB 20
1 11
40
2 uA ( 2 8)uC I 2
补： uB uC 4
UB
UC
I
300
uA
V 7
uB 20V
uC 16V
13
五、受控源的处理 基本步骤：
1）先将受控源暂当独立电源列方程； 2）将控制量用节点电压表示； 3）整理、化简方程，并求解。
4、含有受控电压源---暂时当成独立电压源处理
1）受控电流源---必须增加一个控制量的约束方程
2）受控电压源---设受控电压源支路的电流，将此电流暂当作电流源电流 列写方程，并利用受控电压源与相应节点电位关系补充方程，并补充控制量19 的约束方程。
作业1：电路如图所示：要求完成以下问题：1）用 节点分析法求电流i；2）求受控源吸收的功率。
变量；
2、列写节点电压方程：
3、求解节点电压；
4、求其它响应。
5
uA us1 uA uB uA uC us6 0
R1
R4
UA R6
UA
UB
UC
Us1 /R1
R1
流入节点电流源电流代数和
（包括由电压源提供的电流）
自电导 互电导 互电导
方程数 =
独立节点数 1
( R1
1 R4
1 R6 )uA
i u1 2
22
UA
+
++
u2
u1
L1 U -B ++
u3
-UC u6 - +
u5=uC
u6=uB - uC
-
u4 -
u5 -
独立性：节点电压彼此独立，不能互求。
对回路1: - u1 + u2 + u4=0 用节点电压表示: - uA+（uA - uB）+uB=0 2
补充: 单口网络的等效(P122) 一、引例
(a)
10
例8：求图示电路
A
各节点电压
解法2： 选节点C为参考节点，
B
I
D
并设电流如图：
1 1 1 1 10 (1 2 3)uA 2 uB 3 uD 1
1 11
2
uA
( 2
4 )uB
I
解法1： C 选节点D为参考节点，
1
11
3
uA
( 3
5 )uD
I
11 1
10
(1 2 3)UA 2 UB UC 1
1 R4
uB
1 R6
uC
us1 R1
us6 R6
1 R4
1 uA ( R2
1 R4
1 R5 )uB
1 R5
uC
us 2 R2
us 5 R5