二次根式第三课时(完整资料).doc
二次根式第三课时教案
任务名称：二次根式第三课时教案一、引言二次根式是数学中的重要概念，它在代数学、几何学以及实际问题的解决中都发挥着关键作用。
本文将通过分析二次根式的性质、求解二次方程以及应用二次根式解决实际问题等方面，全面、详细、完整且深入地探讨任务主题。
二、二次根式的性质二次根式是由一个变量的平方根组成的表达式，一般形式为a√x。
其中，a为有理数，x为非负实数。
在讨论二次根式的性质时，我们需要重点关注以下几个方面。
2.1 二次根式的化简通过因式分解、提取公因子、有理化等方法，我们可以将二次根式进行化简，使其形式更加简洁，从而方便进一步的计算和分析。
2.2 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。
对于加减运算，我们需要注意分别对二次根式的系数和根号内的数进行合并；对于乘除运算，我们需要利用二次根式的乘法公式和除法公式进行展开和化简。
2.3 二次根式的比较通过比较二次根式的大小，我们可以得出一些有意义的结论。
例如，当二次根式的系数相同时，根号内的数越大，二次根式的值越大；当根号内的数相同时，系数越大，二次根式的值越大。
三、求解二次方程二次根式在求解二次方程时起到了关键作用。
二次方程的一般形式为ax2+bx+ c=0，其中a≠0。
求解二次方程的一般步骤如下：3.1 判别式的求解通过求解二次方程的判别式D=b2−4ac，我们可以判断二次方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不等实根；当判别式等于0时，方程有两个相等实根；当判别式小于0时，方程没有实根。
3.2 根的求解公式根据二次方程的根的求解公式，可以求解出方程的根。
一般形式的根的求解公式为x=−b±√D。
其中，D为判别式，x为方程的根。
2a3.3 实际问题的应用二次根式在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，利用二次根式可以求解抛物线的顶点、求解物体自由落体运动的最高点以及求解三角函数的一些特殊值等。
四、应用二次根式解决实际问题二次根式在解决实际问题时发挥着重要作用。
二次根式(第三课时)课件
随堂练习
2.化简求值：(
1 ab
a ). b
ab，其中a=3，b=2，
解：( 1 a ) . ab ab b
1 . ab a . ab
ab
b
1 a
当a 3,b 2 时，
原式 1 3 2
中考链接
1.（2023·河北·统考中考真题）若
A．2
B．4 C．
，则 D．
63
66
66
还有其它 方法吗？
（4）( 24 1 ) 3 ( 46 16 ) 1 (2 6 6 ) 1 11 6 1 11 2
6
66 3
6 36
36
易错：6 3 2
探究新知
方法总结
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二 次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
探究新知 探究活动二：
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--割
解：如图，作CE // DA交AB于点E.
S梯形ABCD S平行四边形AECD SEBC
E
61 1 6 4 18
2
探究新知
先化 简再 求值
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先 化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究新知
探究活动三：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
(完整word)16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16。
1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2，并利用a(a≥0)的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1．重点:形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用a（a≥0)的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1:已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以333．问题2：由勾股定理得10问题3：由方差的概念得S=46二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．—1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a〈0，a有意义吗？老师点评：(略)a有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x（x〉0）、0、42、—2、1x y+、x y+（x≥0,y•≥0）．分析:二次根式应满足两个条件：第一,有二次根号“"；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x（x〉0）、0、—2、x y+（x≥0，y≥0）;不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x—2≥0，2-x•才能有意义．解:由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x是多少时,23x++11x+在实数范围内有意义?分析：要使23x++11x+在实数范围内有意义，必须同时满足23x+中的≥0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥—32由②得：x≠—1当x≥—32且x≠—1时，23x++11x+在实数范围内有意义．例4(1）已知y=2x-+2x-+5，求xy的值．（答案：2)(2)若1a++1b-=0,求a2004+b2004的值．(答案：25）五、归纳小结(学生活动，老师点评）1．形如a(a≥0）的式子叫做二次根式，“"称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业七板书设计第一课时作业设计一、选择题 1．下列式子中,是二次根式的是（ )A．-7 B．37 C．x D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．4 B．16 C．8 D．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．5 C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0。
二次根式课件(第3课时,共14张)
计算下列各式，视察计算结果，能发现什么规律？
用你发现的规律填空，并用计算器
二次根式除法法则:
注意：a≥0 ，b＞0 ！ 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商作为
商的被开方数.
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【例题】
【例2】化简 【解析】
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【跟踪训练】
化简：
【解析】
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随堂练习
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（ 2）＝ 4
（ 5）＝10
（ a－）1＝ a－1
3
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2.已知x+y=-4,xy=2.求
的值.
【解析】
原式=
把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式=
Page 13
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.
7 二次根式
第3课时
Page 1
学习目标
1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单 的二次根式的乘法运算.
2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则进行计算.
Page 2
温故知新
1.最简二次根式的定义 2. 3.
Page 3
知识讲授
计算下列各式， 视察计算结果，你发现什么规律？
1. 4 × = _6_
6
20
20
用你发现的规律填空，并用计算器验算：
＝
＝ 一般地，对于二次根式的乘法有：
(a≥0,b≥0)
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(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 注意：a,b必须都是非负数！
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【例题】
【例1】计算: 【解析】
北师大版八年级数学上册《二次根式》第3课时示范公开课教学课件
D.
1.选择.
2.填空.
(3) 计算：
5
=
>
解： (1)
3.计算：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
过点D作AB边的高DE，如图所示.
S梯形ABCD
E
根据勾股定理得CD= ,AB=
CD∥AB，CD与AB间的距离DE=
A. 4 B. ±2 C. 2 D.±4
(4)
化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
你还有其他方法吗？
化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
二次根式化简：
化简求值的方法：
教科书第48页习题2.11第1、2 、3题
解：
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S1+S2+S3
S1
S2
S3
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
S1
S2
E
F
通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
7 二次根式
第3课时
(a≥0，b≥0)
二次根式的乘法法则
(a≥0，b>0)
二次根式的除法法则
梯形的上底是 ，下底 ，高是 ，面积是多少？
解： (2)
3.计算：
解：x22x3=(x3)(x+1)
二次根式第三课时教案.
16.1 二次根式（第3课时）使学生理解并掌握=,并能利用这一结论进行计算.通过对的化简，培养学生分类讨论的思想.解决了这一类问题的化简问题.利用=（≥0）进行计算当<0时，=-这一结论的推导和应用.课题16.1 二次根式问题1，2 结论：当（≥0）时=归纳小结例2.计算:活动一复习旧知识1.()22.()2=_______=_______；活动二探索填空_____==______；_____==______；_____==______；_____==______；_____==______；求的是22算术平方根，即求4的算术平方根是2；同理依次可得4，0.1，，0；因此，总结出当（≥0）时=.例1 化简:学生口答第（1）小题（2）小题学生考虑应考虑什么?怎样填写?与学生一起分析填空，同时讲清（≥0）的意义并总结出规律.（1）（2）两小题学生自己解决；（3）小题提醒学生应注意考虑x的取值范围.学生独自完成，在全体订正答案.这两道小题的设计目的是复习旧知识,使学生与本节课的内容分开.使学生理解（≥0）实际上是求2的算术平方根.培养学生的归纳能力虽然x可以取全体实数，但要养成习惯对字母进行讨论.对负指数的化简学生应多加注意.（1）；（2）；（3）.解：（1）=8；（2）==4；（3）=x2+1.练习.计算：（1）；（2）（3）；（4）.解：（1）=0.3；（2）=；（3）=5；（4）=10-1=0.1=.问题与情境设计意图活动三拓展提高议一议：=_______=______；=_______=______；=______=______；由上可知,需要a 的范围吗？为什么？当a<0时，=？=＿＿＿(≥0)=＿＿＿(<0).例2.计算:（1）；（2）；（3）.从特殊到一般归纳完整的化简的结论.利用这三个小题进一步使学生对的化简有更深刻的理解.介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备.训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法.解:（1）=3；（2）=；（3）=m-1 (m≥1)=1-m（m<1）.代数式定义:用运算符号把数和字母连接起来的式子,叫做代数式.例如:7,,x+y,-2ab, , m2,,等都是代数式.活动四归纳小结1. 的化简；2.与（）2的区别;3.代数式定义.作业：1.计算：(1).；(2).；(3).；(4)..2.已知直角三角形的两条直角边为和,斜边为.(1)如果=12, =5,求；(2)如果=3, =4,求；(3)如果=10,=9,求；(4)如果==2,求.。
二次根式(第3课时)精品课件
当堂检测
1.下列计算中正确的是（ B）
A. 3( 3 1 ) 3 3
B.( 12- 27) 3 1
C. 32 1 2 2 2
D. 3( 2 3) 6 2 3
2.计算：（ 2+ 3）2 24 5 .
3.设 a 1 ，b 10 3 , 则a = b(填“>”“ < ”或“= ”）.
2
4
2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?
几个二次根式化简后被开方数相同
8 ，18 ，0.5 ，1 8
为一组；
80 ，20 为一组.
探索新知
总结归纳
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方 数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键： (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
二 二次根式的混合运算
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 4 3 cm，高
为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
10 3
当堂检测
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ，则这个三角形的 周长为__5_5_+_2__1_0__.
5.计算:（1）5 2 18 =_8__2__
（2） 4 18 -9 2 =_3__2__ （3）10 2 （3 8 - 7 2）=__9_2__ （4）5 12 （- 3 8 2 27）=__4_3_-_6__2__
北师大版八年级数学上册第二章实数第3课二次根式课件
B D
【基础训练】 1. 下列计算中正确的是( A )
2. 计算
的结果为（ B ）Fra bibliotek. 若，则
的值为( C )
【提升训练】
【拓展训练】
9.如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的周长； (2)求点A到BC的距离．
第二章 实数
7 二次根式 第3课时
1. 二次根式的混合运算是指二次根式的 加 、 减 、 乘 、 除 、 乘方 的混合运算. 2. (1)整式运算的 运算律 在二次根式的混合运算中仍然适用.
(2)在二次根式的运算中，多项式的 乘法 法则和 乘法 公式仍然适用. 3. 分母有理化：分子、分母同乘以一个相同的根式后使分母由 无理数（式）变 为有理数（式） . 4. 二次根式混合运算的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算 乘方 ，再 算 乘除 ，最后算 加减，有括号的先算 括号里面的 (或先去掉括号)，能用运算律的 要用运算律简算.
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21.1 二次根式(3)
第三课时
教学内容
a （a ≥0）
教学目标
理解
（a ≥0）并利用它进行计算和化简．
（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．
教学重难点关键
1
a （a ≥0）．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a ≥0
a 才成立．
教学过程
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
1．形如
a ≥0）的式子叫做二次根式；
2．
a ≥0）是一个非负数；
3．
)2＝a （a ≥0）．
那么，我们猜想当a ≥0
是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
=_______=______；
=________．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
=2=23=037
． 例1 化简
（1
（2 （3 （4
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32
（a≥0）•去化简．解：（1
（2
（4
三、巩固练习
练习2．
教材P
7
四、应用拓展
例2 填空：当a≥0
；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若
，则a可以是什么数？
（2）若
，则a可以是什么数？
（3
，则a可以是什么数？
分析：
（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，
-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2
│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1
，所以a≥0；
（2
，所以a≤0；
（3）因为当a≥0
，即使a>a所以a不存在；当a<0
，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3当x>2
分析：(略)
五、归纳小结
本节课应掌握：
（a≥0）及其运用，同时理解当a<0
a的应用拓展．
六、布置作业
1．教材P
习题21．1 3、4、6、8．
8
2．选作课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》
第三课时作业设计
一、选择题
1．）．
A．0 B．2
3C．42
3
D．以上都不对
2．a≥0
个选项中正确的是（）．
A
B
C
D．
二、填空题
1．
=________．
2．
是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求
人的解答如下：
甲的解答为：原式
（1-a）=1；
乙的解答为：原式
=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│
，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。