大学物理-流体力学

五.伯努利方程的应用 1.空吸作用
由连续性原理: Sv 常量
可见：S大则v小,S小则v大。 对于水平流管，伯努利方程变为：
P 1 v2 常量
2
可见：s小则P小，s大则P大。
应用：喷雾器，水流抽气机,家俱厂的喷漆机.
喷雾器
水流抽气机
1912年,有一只大的远洋轮船和一只小的巡洋舰 几乎平行地在海上航行.当它们之间的距离只有 100m多一点时,大船好象一块巨大的磁铁,小船在 强大的吸引力作用下,径直冲向大船,结果会怎样 大家是可以想象的,这特别大的吸引力是怎样产生 的呢?
2.流线:
特点：1）流线不会相交; 2）定常流动的流线形状是稳定不变的.
3.流管:特点:内外的流体不会交换.
三.流体的连续性原理
1.推导:
在 t 时间内流过两个截面的
流体质量相等.即:
1v1s1t 2v2s2t 1v1s1 2v2s2
对于不可压缩流体,密度不变,即 1 2
v1s1 v2s2或vdS 常量 连续性方程
即单位时间内流过流管中任一截面的流体 体积都相等.
2.讨论:
(1) 理想流体稳定流动时, v 1 s
(2) 单位时间内流过某截面的流体体积和流体 质量分别称为流体的体积流量和质量流量:
体积流量: QV vS
质量流量: Qm vS
（3）对于分支管道，连续性方程变为：
v1S1 v2S2 v3S3
应用：天然气管，石油管等
例1：流体在半径为R的管内作定常流动，截面上的流速按
v v0 (1
设R=5cm,
r R)
v0
分布，r为截面上某点到轴线的距离。
1.2m s1 。求体积流量。
解：如图，取一半径为r，环宽为dr的圆环
面元ds，在则通过该面元的体积流量元为：
2.汾丘里管流量计
将伯努利方程与连续性方程应用于流速为粗细 不同的两点，得：
P1

1 2
v12

P2

1 2
v22
v1S1 v2S2

P1

1 2
v12

P2

1 2
(
S1 S2
v1 ) 2

P1

P2

1 2


(
S1 S2
v1 )2

v12


又因P1 P2 gh 由上两式可得流速：v1 S2
第一节: 流体力学 流体:能够流动的连续介质,是气体和液体的总称,
基本特征:流动性.
一.理想流体:不可压缩的,没有粘性的流体.
二.定常流动: 流体在空间各点的速度不随时间而变化.
A : v v(x, y, z), d v 0 dt
B : (x, y, z),P P(x, y, z)
dQv vdS v0(1 r R) 2rdr
体积流量为:
Qv
dQv
R
0v0 (1
r
R)

2rdr
2v0
R (r r2
0
R)dr

2v0
(
R2 2

R3 )
3R

1 3
v0
R
2

1
3
1.2 (5 102 )2

3.14 103(m3
可得 : A (P1 P2 )V
(2)机械能的改变情况
E2 E1

(1 2
mv22

mgh2 )

(1 2
mv12

mgh1)

V
(
1 2
v22

gh2 )

(1 2
v12

gh1 )
(3)由功能定理 : A E2 E1得 :
（P1 P2 )V

V
s
)
四 .伯努利方程
1.推导： （1）作用力作功
对于理想流体 : f内 0,故内力作功为零
推力作正功 : A1 P1S1v1t 阻力作负功 : A2 P2S2v2t 则外力所作的总功为
A A1 A2 (P1S1v1 P2S2 v2 )t
由连续性方程 : S1v1t S 2 v2t V
2gh S12 S22
体积流量：QV v1S1 S1S2
2gh S12 S22
3.比多管流速计
考虑A和B两点，A与B两点可近似地看成在 同一水平面上.由水平管的伯努利方程可得：
PA

1 2
v
2 A

PB

1 2
vB2
v A近似于待测流体的流速,
而vB 0, 又PB PA gh
流速vA
2(PB PA )

2gh
故测得高度差h，即可求得流速.
应用：测飞机在空中相对空气的速度。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(
1 2
v22

gh2
)

(
1 2
v12

gh1 )
即:
P1

1 2
v12

gh1

P2

1 2
v22

gh2
伯努利方程
即理想流体作定常流动时，在流管中同一流线上，单位 体积流体的动能，势能和压强能三者的和是一个恒量。 故伯努利方程是能量守恒在理想流体定常流动的体现。
适用范围：在同一流管中作定常流动理想流体中的各点。