广东省四校联考(华附、省实、广雅、深中)2021届高三年级上学期期末联考数学答题卡
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文(含解析)
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3} 2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．1545．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣67．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．108．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．1310．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是．14．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= ．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，然后进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：M={x|x＞2，或x＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴∁R M={﹣2≤x≤2}；∴N∩（∁R M）={x|1＜x≤2}．故选A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案．【解答】解：复数Z=，对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q 可得¬q为x＜2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．154【考点】程序框图．【分析】由已知中程序的框图，我们可知程序的功能是利用循环结构，累乘变量i的值，由于循环的初值为12，终值为10，步长为1，故输出结果为S=12×11的值．【解答】解：由已知中程序的功能为：利用循环结构，计算S=12×11的结果，并输出．∵S=12×11=132．故选：B．5．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，根据图中数据与勾股定理求出SB的值．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中，AC=4，AC边上的高为，所以BC=4；在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=．故选：C．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣6【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．【分析】由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f （3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6故选B7．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差，且求得数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．由此可知只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．【解答】解：由a n=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=，则数列{a n}为递减数列，由a n==0，解得n=16．∴数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．而a n+a n+1+…+a n+12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．故选：D．8．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC 交BC于点F，可得，，可得点P满足=+，利用平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图所示，在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC交BC于点F，则，，∴点P满足=+，∴，满足||=2||，又||=t||，∴t=2．故选：C．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．13【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．【解答】解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），令x=﹣c，则﹣=1，则有y=±，∴|AF|=，∴|EF|=a+c，∴=a+c∴c2﹣ac﹣2a2=0∴e2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=2故选B．10．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x﹣3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x﹣3y，当直线经过A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|，取到最大值，Z m a x=8．故选：A．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△A B C=，∴V三棱锥S﹣A B C==．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】根据条件构造函数g（x）=，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是log m2＜log n2 ．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质比较即可【解答】解：∵2m＞2n＞22，∴m＞n＞2，∴log2m＞log2n＞1即＜，∴log m2＜log n2故答案为：log m2＜log n214．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比，即可得到结论．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，，，，…，成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，∴，即（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2，即a n=2n﹣1，∴，又等比数列a1，a2，a5的公比为q=，∴=3n﹣1，即k n=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx=sin（x+θ）．因为f（x）在x=π时取最小值，所以sin（π+θ）=﹣1，故sinθ=1．又0＜θ＜π，所以θ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．因为f（A）=cosA=，且A为△ABC的角，所以A=．由正弦定理得sinB==，又b＞a，所以B=时，，当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由抽样比例求样本中的数据；（Ⅱ）代入公式求出k2的值，查表得结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，用古典概型概率公式求值．【解答】解：（Ⅰ）抽样比为=，则样本中喜爱的观从有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2==≈1.167＜5.024；∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，故其概率为P（A）==0.4．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥A﹣PEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…∵AD⊂平面PAD，∴PAD⊥底面PCD …（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离…又∵PD=DC，E是PC的中点∴PC⊥DE由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．又∵PC∩BC=C∴DE⊥面PBC．…∴，，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC∴∴…20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出a，b的值，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h （a）m i n．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知f′（x）=﹣2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴解得，∴，当≤x≤e时，令f′（x）＞0得＜x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜e，∴f（x）在（，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，∴m≤h（a）m i n．∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，]上单调递增，∴h（a）m i n=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．∵1＜x＜e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）m i n=﹣e2．则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e2]．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵e==，且经过点M，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．…（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，由，得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．整理得32（6k1+3）＞0．解得k1＞﹣，又，因为，即，所以=．即．所以，解得．因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线l1满足条件，其方程为．…四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．…（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，所以∠BAC=2x=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x ＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，f（x）≤﹣，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，则有x≥3；当x≤2时，f（x）≤﹣即为（3﹣x）﹣（2﹣x），即1，解得x∈∅；当2＜x＜3时，f（x）≤﹣即为3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣，解得，x≥，则有≤x＜3．则原不等式的解集为[，3）∪[3，+∞）即为[，+∞）；（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即有f（x）的最大值为|a﹣3|．若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a﹣3|≥a，即或，即有a∈∅或a≤．则a的取值范围是（﹣∞，]．。
【高三】广东省华附省实广雅深中四校届高三上学期期末联考数学理试
【高三】广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试试卷说明：届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学命题学校：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．若集合，，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D. 充分不必要条件2. 若，，，则A．B． C．D．3．函数的部分图象如图所示，则A． B. C. D. 4．已知圆及以下３个函数：①；②；③其中图像能等分圆面积的函数有A．个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 展开式中的常数项为A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B. C. D. 7. 已知数列满足：对于任意的，则A． B. C. D. 8．点是平面内的定点,点与点不同)的“对偶点”是指：点在射线上且厘米.若平面内点在某不过点的直线上,则它们相应的“对偶点”在 A．一个过点的圆上 B．一个不过点的圆上C．一条过点的直线上 D．一条不过点的直线上110分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取名学生．10. 若向量，且与的夹角为则 . 11. 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 . 12. 已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线围成的平面区域的面积为则______ ， . 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是 . 选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选做题）如图，过点作的外接圆的切线交的延长线于点.若，，则 . 15．在极坐标系中，点关于直线的对称点的极坐标为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列的前项和为记（1）若数列是首项与公差均为的等差数列，求；（2）若且数列均是公比为的等比数列，求证：对任意正整数，20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；② (1) 求曲线的方程;(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求函数的零点；（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围；（3）已知且函数在上是函数，探究函数的单调性.届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考参考答案与评分标准理科数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．题号12345678答案 DCBBBCDA1．【解析】2. 【解析】 3．【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知4．【解析】圆关于原点对称. 函数与函数是定义域上的奇函数，其图像关于原点对称, 能等分圆面积；而是上的偶函数，其图像关于轴对称，且当时不能等分圆面积5. 【解析】展开式中的通项为为常数项的充要条件是常数项6．【解析】 7. 【解析】由数学归纳法可证明:当为大于的奇数时, ；当为正偶数时, 故8．【解析】过作与直线垂直的直线以为原点，直线为轴，单位为厘米，建立平面直角平面坐标系. 设直线,是直线上任意一点,它的“对偶点”为,则存在使得,即,又,消去,得.故在过点的圆上.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9.【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：.10. 【解析】由与的夹角为知,11. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为12.【解析】抛物线的焦点为,知.13. 【解析】如图,在,上均单调递增, 由及知的取值范围14. 【解析】由知，解得由得，即15. 【解析】如图，在极坐标系中，设关于直线的对称点为则，且从而即三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.解：(1) (2)分 (4)分………………………………………………………6分(2)(解法一) ………………………7分................................................ 9分...................................................... 10分, ............12分 (2)(解法二) (7)分 (9)分……………………………………………………… 10分,…………12分 (2)(解法三) , ………………………9分……10分…11分………………………12分17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望解：（1），……………………………………………………………2分………… 5分（2）的可能取值如下表所示：……………………………………………………………分由表可知：………………9分所以随机变量的分布列为…………………………………… 10分所以………………………………………………12分18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小. (1）证明：,分别为，的中点，.…………………………………1分又平面，平面，…………………………………3分平面. ……………………………………………………………5分（2）平面，，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设……………………………………7分,，，，，，, ,.，，分别为，，的中点，，，,, …… ………分（解法一)设为平面的一个法向量，则,即，令，得.…… …………………10分设为平面的一个法向量,则,即，令，得.…… …………………12分所以==.……………………………………………13分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. …………14分（解法二) ，,是平面一个法向量.…… ……………… …………………10分，,是平面平面一个法向量. …… ……………… …………………12分……… … …………………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分（解法) 延长到使得连，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，分别为，的中点平面，平面，平面.………7分平面平面平面.........分平面与平面所成锐二面角相等. ... ...10分平面平面平面的平面角. (12)分… …………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分19.（本题满分1广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题参考答案详解
则 g(x) ln(x x2) 2 .
易知
g(
x)
在
0，1 2
上单调递减.
因为
g
(
1 e2
)
ln(e2
1)
2
0，
g
(
1 2
)
2
ln
2
2
0
，所以存在
x0
1 e2
,
1 2
，使得
g(
x0
)
0
，且
x
0,
x0
时，g(x)
0
，g(x)
单调递增，x
x0，12
时，g(x)
0
，g(
x)
单调递减.
因为
19．（1）证明：连接 OB1 .
∵ PA1 PC1, O 为 A1C1 的中点, ∴ PO A1C1.
∵ A1C1 4, PA1 2 2 , ∴ PO PA12 OA12 2 .
………2 分
∵ A1B1 B1C1 , O 为 A1C1 的中点, ∴ OB1 A1C1.
∵ A1B1 2 3, A1O 2 , ∴ OB1 A1B12 OA12 2 2 . ………4 分 PB1 2 3, 故PB12 =OB12 OP2 , P O O1B.
令
f
(x)
log2
x log2 (1
x)=
ln
x ln(1 (ln 2)2
x)
,0
x
1，
因为
f
(x)
f
(1 x) ，故
f
(x) 关于 x
1 2
对称，故只需研究
x
0,
1 2
的情况即可.
f (x)
广东省华附、省实、广雅、深中2021 届高三四校联考数学答案(定稿)
揭阳市2020—2021学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678ABDCABBD1.A本题考查集合的基本运算.解一元二次不等式求出集合}032|{2<--=x x x A ，再与集合}42|{≤≤=x x B 取交集，最后得出答案.因为}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x A ，所以}32|{<≤=x x B A .故选A.2.B本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成)i(R ,∈+=b a b a z 的形式，再根据虚部定义得出答案.因为i 25i10i 21)(i 21()i 21)(i 24(i 21i 24-=-=-+--=+-=）z ，所以z 的虚部为-2.故选B.3.D本题考查计数原理的应用，完成该事情分两步：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共823=种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有422=种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有3248=⨯种情况.故选D.4.C本题考查等比数列通项公式的应用，根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，本题所求的结果为4a .依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =.故选C.5.A本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况，再利用古典概型概率公式求得答案.记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M .依题意得351C 2)(48==M P .故选A.6.B本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出1.0≥t 时的函数解析式，即求出a 的值，再解不等式求得答案.把点)1,1.0(代入ta y -=10中，1.0101-=a ，解得1.0=a .所以当1.0≥t 时，2.0101.0<=-ty ，解得8.02lg 1.1≈->t .至少需要经过48608.0=⨯分钟后，学生才能回到教室.故选B.7.B本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图，建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量性质得到y x +的关系式，再利用基本不等式求最小值.如图，建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,4(B ，)3,4(C ，)3,0(D ，设)0,(m M ，),0(n N ，因为12=+AN AM ，所以12=+n m ，210<<m ，10<<n .因为AN y AM x AC +=，所以m x 4=，n y 3=，所以()492425188252989832=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+nm m n n m n m n m y x .当且仅当n m m n 188=，即72=m ，73=n 时取等号.故选B.8.D本题考查函数的综合应用.根据()(2)f x f x =-得到函数()f x 关于直线1x =对称，对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立得函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.由对称性可知()f x 在(,1]-∞上单调递增.因为(21(30))f x f x ---≥，即(21(3))f x f x ≥--，所以|211||31|x x ≤----，即|22||2|x x ≤--，解得403x ≤≤.故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省华附、省实、深中、广雅四校高三上学期期末联考数学(文)试题.pdf
所以，
三、解答题
15. (本题满分12分)数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
解：（I），，，因为，，成等比数列，
所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
个式叠加，得．
( ．
∴.选C.
.若平面，满足，，，，则下列命题中是假命题的为( )
(A)过点垂直于平面的直线平行于平面
(B)过点在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面
(C)过点垂直于平面的直线在平面内
(D)过点垂直于直线的直线在平面内
解：由于过点垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线，因此平行于平面，因此A正确.根据面面垂直的
A． B． C． D．
解：由题：，故选A。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中第14、15题是选做题，考生只能选做其中一题，两题全
答的，只计算前一题的得分．）11.已知是夹角为的两个单位向量，且向量，则___________。
解：由题， ，，，所以
12.执行由图中的算法后，若输出的值大于10，则输入的取值范围是
2.复数 ( )
(A) (B) (C)0 (D)
解：.选A.
成立的一个必要不充分条件是
(A)
(B)
(C) 或
(D)
解： .选.
4. 在正项等比数列中，和为方程的两根，则( )
(A) 16
(B)32
(C)64
(D)256
解：由已知有，又，∴在正项等比数列中，.
弦的垂直平分线，
由题它与轴相交于点
所以，
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考化学命题学校：深圳中学定稿人：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试用时75分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己校名、姓名、考号、座位号等信息填写在答题卡指定区域，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案；答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 K-39 Mn-55 Fe-56Co-59 Cu-64 Ag-108第一部分选择题（共44分）一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．化学与生活密切相关，下列有关说法错误的是A．乙醇、过氧化氢、次氯酸钠等消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的B．实施“煤改气”、“煤改电”等清洁燃料改造工程，有利于保护环境C．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”D．“地沟油”经过加工处理后，可以用来制肥皂和生物柴油2．常温下，下列各组离子在溶液中能大量共存的是A．H+、K+、CN-、Cl-B．Ba2+、K+、OH-、NO－3C．NH＋4、Na+、SO2－3、ClO-D．Na+、Al3+、HCO－3、SO2－43．下列有关离子方程式正确的是A．用铜作电极电解KCl溶液：2Cl-+2H2O H2↑+Cl2↑+2OH-B．用稀硝酸洗涤试管内壁的银镜：Ag +NO－3+4H+= Ag++NO↑+2H2OC．少量Mg(OH)2溶于FeCl3溶液中：3Mg(OH)2+2Fe3+=2Fe(OH)3+3Mg2+D．大理石溶于稀醋酸：CaCO3+2H+=Ca2+ +CO2↑+ H2O4．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．常温下，pH=2的亚硫酸溶液中含有的H+数目为0.01 N AB．标准状况下，2.24 L CHCl3含有的共价键数为0.4 N AC．1 mol N2与4 mol H2反应生成的NH3分子数为2 N AD．14 g乙烯和环丙烷混合气体中的氢原子数为2 N A5．下列有关物质的工业制法中，正确的是A．制钠：以海水为原料制得精盐，再电解熔融的NaClB．炼铜：电解精炼黄铜矿得到纯度为99.9％的铜C．制硅：用一氧化碳还原二氧化硅得硅D．制铝：电解液态氯化铝得铝6．下列实验操作能达到实验目的的是A．用排水法收集铜粉与浓硝酸反应的NO2B．用NaOH溶液滴定未知浓度的CH3COOH溶液，选用酚酞作指示剂C．在空气中蒸干硫酸亚铁溶液可以得到绿矾(FeSO4·7H2O)D．在容量瓶中加一定体积的水，再加入浓硫酸配制准确浓度的稀硫酸7．下列有关实验原理或操作正确的是A．分离酒精和水 B．干燥氨气C．配制0.1000 mol/L的食盐水 D．检查装置气密性8．柠檬烯的结构可表示为，关于柠檬烯下列说法错误的是A．分子中所有碳原子可能在在同一平面上B．可使溴的四氯化碳溶液褪色C．是苯乙烯的同系物D．该物质易溶于水9．NO催化O3生成O2的过程由三步基元反应构成：第一步：NO(g)+O3(g)=O2(g)+NO2(g) △H1 ；第二步：NO2(g)=O(g)+NO(g) △H2 ；第三步：O(g)+O3(g)=2O2(g) △H3 。
【精编精校卷】2022届广东省华附、省实、广雅、深中高三上学期四校联考数学试题(解析版)
2022届广东省华附、省实、广雅、深中高三上学期四校联考数学试题一、单选题1．设集合{{},1,0,1A yy B ===-∣，则A B =（ ） A ．{}1 B ．{}0,1 C ．{}1,0- D ．{}1,0,1-【答案】B【分析】根据二次根式的定义求得集合A ，然后由交集定义计算． 【详解】由已知{|0}A y y =≥，所以{0,1}A B =． 故选：B ．2．已知复数i(,)z a b a b R =+∈，且3(1i )2i z +=+，则a b +=（ ） A ．12B ．32C ．1D ．2【答案】D【分析】由复数的乘方、除法法则计算出z 后可得,a b 值，从而得结论． 【详解】由已知32i 2i (2i)(1i)22i i 113i 1i 1i (1i)(1i)222z ++++++-=====++--+， 所以13,22a b ==，2a b +=．故选：D ．3．已知命题:p x ∃，y R ∈，sin()sin sin x y x y +=+；命题:q x ∀，y R ∈，sin sin 1x y ⋅，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【分析】先判断命题p ，命题q 的真假，再利用复合命题判断. 【详解】当0,2x y π==时，sin()sin sin x y x y +=+成立所以命题p 为真命题，则p ⌝是假命题；因为x ∀，y R ∈，所以sin 1,sin 1x y ≤，则sin sin 1x y ⋅，故命题q 为真命题，则q ⌝是假命题；所以p q ∧是真命题，p q ⌝∧是假命题， ()p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∨是假命题， 故选：A4．声强级L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：12101g()10IL -=，若女高音的声强级是75dB ，普通女性的声强级为45dB ，则女高音声强是普通女性声强的（ ）A ．10倍B ．100倍C ．1000倍D ．10000倍【答案】C【分析】设出女高音声强为1I ，普通女性声强为2I ，代入函数关系式，求出1I ，2I ，再相除即可.【详解】设女高音声强为1I ，普通女性声强为2I ，则112101g()7510I -=，所以7.51121010I -=①，21210lg()4510I -=，所以 4.52121010I -=②，则①÷②得：121000I I =，故女高音声强是普通女性声强的1000倍. 故选：C5．等差数列{}n a 中，11a =，公差为()d d ∈Z ，391517a a a λ++=，(1,0)λ∈-，则公差d 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2-【答案】A【分析】根据等差数列相关计算求出151681dd λ-=+，根据(1,0)λ∈-，求出公差d 的范围，进而求出公差d 的值.【详解】()()()391511112814687211d a a a a a d a d a d λλλλ+++++=+++==++，整理得：()811516d d λ+=-，由于d Z ∈，所以810d +≠，故151681dd λ-=+，则()15161,081d d λ-=∈-+，若810d +>，解得：15216d <<，由于d Z ∈，所以1d =；若810d +<，解得：21516d d >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时无解，综上：公差d 的值为1故选：A6．已知函数())1f x x =+，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ，则61()i i i x y =+=∑（ ） A ．0 B ．6 C ．12 D ．24【答案】B【分析】首先根据题意得到()y f x =，()y g x =的图象关于(0,1)对称，设关于点(0,1)对称的坐标为1(x ，1)y ，6(x ，6)y ，则160x x +=，162y y +=，同理可得：25x x +，25y y +，34x x +，34y y +，即可得到答案．【详解】解：由()()2g x g x -+=得()y g x =的图象关于(0,1)对称，同时函数2()ln(1)1f x x x =+-+定义域也为R ，且22()()ln(1)1ln(1)1f x f x x x x x -+=+++++-+()()()2222ln 112ln 122x xx x x x ⎡⎤=+++-+=+-+=⎢⎥⎣⎦即()()2f x f x -+=，故也关于(0,1)对称，则函数2()ln(1)1f x x x =+-+与()y g x =图象的交点关于(0,1)对称， 则不妨设关于点(0,1)对称的坐标为1(x ，1)y ，6(x ，6)y ，则1602x x +=，1612y y +=， 则160x x +=，162y y +=，同理可得：250x x +=，252y y +=，340x x +=，342y y +=， 即61()3(02)6i i i x y =+=⨯+=∑，故选：B ．7．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【分析】利用()tan tan PMQ QMB PMB ∠=∠-∠表示出tan PMQ ∠，再结合基本不等式求解.【详解】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 1289696962612x x x PMQ x x x x x x x-∠=-===≤=++⋅+⋅βα，当且仅当96x x=，即96x =9610≈，所以BM 大约为10米.故选：C.8．倾斜角为3π的直线经过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且(5)AF FB λλ=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．41,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．()1,2D ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】设l 为双曲线的右准线，过A 、B 作AD ，BE 垂直于l ，D ，E 为垂足， 过A 作AG EB ⊥于G ，根据双曲线的第二定义可得求得,AB BG ，可得1cos 1e ABG λλ-∠=+， ()211e λλ-=+，计算可得双曲线C 的离心率的取值范围． 【详解】解：设l 为双曲线的右准线，过A 、B 作AD ，BE 垂直于l ，D ，E 为垂足， 过A 作AG EB ⊥于G ， 根据双曲线的第二定义，得||AF AD e=，||||BF BE e=， ||||AF e AD ∴=，||||BF e BE =， (5)AF FB λλ=，||||AF FB λ∴=，||||AD BE λ∴=，||||||(1)||AB AF BF e BE λ∴=+=+， ||||||(1)||BG AD BE BE λλ∴=-=-， ||(1)||cos ||(1)||BG BE ABG AB e BE λλ-∴∠==+， 1cos 1e ABG λλ-∴∠=+， ()214211e λλλ-∴==-++， 5λ，则16λ+，可得42013λ<+，∴442231λ≤-<+， ∴423e <，即离心率的取值范围是4[3，2).故选：D ．二、多选题9．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，l ∥β，则l ∥α B ．若l α⊥，l β⊥，则α∥β C ．若l α⊥，l ∥β，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，l ∥β，则l α⊥【答案】BC【分析】根据各选项中的条件判断线面、面面的位置关系，可选出合适的选项． 【详解】解：对于A ，若//αβ，l β//，则//l α或l α⊂，故A 不正确； 对于B ，若l α⊥，l β⊥，则//αβ，故B 正确；对于C ，若l α⊥，l β//，过l 的平面γ与β相交，设交线为m ， //l β，l γ⊂，m βγ=，则//l m ，l α⊥，则m α⊥，m β⊂，故αβ⊥，故C 正确；对于D ，若αβ⊥，l β//，则l 与α不一定垂直，故D 不正确； 故选：BC ．10．设0x >，,x y R ∈，则（ ）A ．“x y >”⇒“||x y >”B ．“x y <”⇒“x y <”C ．“x y ≥”⇒“x y x y +≥+”D ．“x y >”⇒“x y x y +≥+”【答案】BCD【分析】A 特殊值法：令x 1,y 2==-判断正误；B 、C 应用不等式的性质判断正误；D 讨论0x y >>、0x y >≥时,x y x y ++的不等关系即可. 【详解】A ：当x 1,y 2==-时，||x y >不成立，故错误； B ：由0y x >>，则x y <成立，故正确；C ：0x >且x y ≥，即x y x ≥≥-，则0x y +≥，故x y x y +=+恒成立，故正确；D ：当0x y >>时，x y x y +>+，当0x y >≥时，x y x y +=+，故正确； 故选：BCD11．已知抛物线2:4C y x =，圆221:(1)(4F x y F -+=为圆心），点P 在抛物线C 上，点Q在圆F 上，点(1,0)A -，则下列结论中正确的是（ ） A ．||PQ 的最小值是12B ．||||PF PAC ．当PAQ ∠最大时，AQ =D ．当PAQ ∠最小时，AQ =【答案】ABC【分析】A. 由||PQ 的最小值是||PF 的最小值减去圆的半径求解判断； B. 设()24,4P t t ，由242242168116241PFt t t t PA++=++，结合基本不等式求解判断；C.当PAQ ∠最大时，由直线AQ 与圆相切求解判断；D.由PAQ ∠最小时为0，即P ，A ，Q 共线求解判断. 【详解】A. ||PQ 的最小值是||PF 的最小值减去圆的半径，又||PF 的最小值是1，所以||PQ 的最小值是1-12=12，故正确；B. 设()24,4P t t ，则()222242(41)41681PF t t t t =-+=++，()222242(41)416241PA t t t t =++=++，所以242224242221681161611111162411624121624PFt t t t t t t PA t t ++==-=-≥=++++++，当且仅当22116t t =，即12t =±时，等号成立，所以||||PF PA 的最小值是22，故正确；C.如图所示：当PAQ ∠最大时，直线AQ 与圆相切，则211524AQ =-，故正确； D.当PAQ ∠最小时为0，即P ，A ，Q 共线，则35,22AQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故错误；故选：ABC12．设函数22,0()ln ,0x x x f x x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，则下列命题中正确的是（ ）A ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C ．若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．方程21()()()10f x a f x a-++=的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【分析】作出()f x 的图像，利用函数与方程之间的关系，分析问题，即可得出答案． 【详解】解：对于A ：作出()f x 的图像如下：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则01a <<，不妨设1234x x x x <<<， 则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，3x ，4x 是方程|ln |x a =的两个不等的实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以43ln ln 0x x +=，所以341x x =，所以1234(0,1)x x x x a =∈，故A 正确；对于B ：由上可知，122x x +=-，34ln ln x x a -==，且01a <<， 所以341x x =，所以31,1ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4e (1,)x ∈，所以344411(2,1)e x x x x +=+∈+，所以12341(0,1)ex x x x +++∈+，故B 错误；对于C ：方程()f x ax =的实数根的个数，即可函数()y f x =与y ax =的交点个数，因为y ax =恒过坐标原点，当0a =时，有3个交点，当0a <时最多2个交点，所以0a >，当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，设切点为()00,ln x x ， 即1y x '=，所以0000ln 1|x x x y x x ='==，解得0e x =，所以0e 1|x x y ='=，所以1ea =，所以当y ax =与ln (1)y x x =>相切时， 即1ea =时，此时有4个交点，若()f x ax =有4个实数根，即有4个交点，当1e >a 时由图可知只有3个交点，当10e a <<时，令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则()11axg x a x x -'=-=，则当11x a <<时()0g x '>，即()g x 单调递增，当1x a>时()0g x '<，即()g x 单调递减，所以当1x a=时，函数取得极大值即最大值，()max 1ln 10g x g a a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，又()10g a =-<及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时()0g x <，即()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内各有一个零点，即()f x ax =有5个实数根，故C 错误；对于D ：21()()()10f x a f x a -++=，所以1[()][()]0f x a f x a--=， 所以()f x a =或1()f x a =，由图可知，当1m 时，()f x m =的交点个数为2， 当1m =，0时，()f x m =的交点个数为3， 当01m <<时，()f x m =的交点个数为4， 当0m <时，()f x m =的交点个数为1，所以若1a >时，则1(0,1)a∈，交点的个数为246+=个， 若1a =时，则11a=，交点的个数为3个， 若01a <<，则11a>，交点有426+=个， 若0a <且1a ≠-时，则10a<且1a a ≠，交点有112+=个，若11a a=-=，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D 正确； 故选：AD ． 三、填空题13．已知向量a ，b 满足(4,0)a =，(,1)b m =，a a b =⋅，则a 与b 的夹角为___________. 【答案】4π45 【分析】根据题意求得1m =，结合向量的夹角公式求得2cos ,2a b =，即可求解. 【详解】由题意，向量(4,0)a =，(,1)b m =， 因为a a b =⋅，可得4014m +⨯=，解得1m =，即(1,1)b =，可得2b =，所以4cos ,42a b a b a b⋅===⨯⋅ 又因为,[0,]a b π∈，所以,4a b π=.故答案为：4π. 14．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin cos sin 2cos αααα+=-___________. 【答案】4【分析】求导数得切线斜率即tan α的值，然后弦化切代入计算．【详解】由已知212()f x x x '=+，所以tan (1)3f α'==， sin cos tan 1314sin 2cos tan 232αααααα+++===---．故答案为：4．15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h ）的23（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h 的比值为______.【答案】827【解析】设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r ，高为h ，根据等体积法求解即可. 【详解】解：设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r ，高为h ，左侧倒圆锥形沙堆的体积221122833381r h V r h ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，右侧圆锥形沙堆的体积2213V r h π'=，由12V V =得827h h '=. 故答案为：827. 【点睛】本题考查等体积法求，圆锥的体积计算公式，考查运算能力，是基础题.16．已知数列{}n a 满足12a =，2212(1)n n n a n a +⋅=+⋅，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S =___________.【答案】()212326n n n +-+⋅-【分析】构造新数列求得通项公式n a ，两次应用错位相减法求得和n S ．【详解】由2212(1)n n n a n a +⋅=+⋅得1222(1)n n n a a n +=⨯+，又1221a =，所以数列2{}n a n 是等比数列，公比为2， 所以12222n n na n-=⨯=，即22n n a n =⋅． 222321222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，（1）（1）×2得22322121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，（2）（1）－（2）得：2321123252(21)22n n n S n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯-⨯，（3）（3）×2得： 2341222123252(23)2(21)22n n n n S n n n ++-=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯-⨯，（4）（3）－（4）得：231212222222(21)22n n n n S n n ++=+⨯+⨯++⨯--⨯+⨯1121218(12)2(21)22(23)2612n n n n n n n n -+++-=+--⨯+⨯=-+⨯--．故答案为：()212326n n n +-+⋅-．四、解答题17．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．【答案】(1)31n a n =+，2nn b =(2)301632S =【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，根据已知条件求出q 的值，结合等比数列的通项公式可求得n b ，求出3a 的值，可求得d ，利用等差数列的通项公式可求得n a ；（2）分析可知，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成，利用等差数列的求和公式可求得30S 的值.【详解】(1)解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 212n n n b b b ++=+，22q q ∴=+，解得2q或10q =-<（舍去）.又12b =，所以1222n nn b -=⨯=.所以33210a b =+=，311043312a a d --===-， 所以，()()33103331n a a n d n n =+-=+-=+.(2)解：3091a =，33100a =，又6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2、4、8、16、32、64，其中4、16、64三项是数列{}n a 和数列{}n b 的公共项，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成. ()()()()3012332463341004166416322S a a a b b b ⨯+=+++-++=-++=.18．已知四边形ABCD ，A ，B ，C ，D 四点共圆，5AB =，2BC =，4cos 5ABC ∠=-．(1)若sin ACD ∠AD 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值． 【答案】(1)5(2)7【分析】（1）先通过余弦定理求出AC ，再借助正弦定理求AD 即可；（2）直接表示出周长，借助余弦定理求出DC DA +的最大值，即可求出周长的最大值. 【详解】(1)在ABC 中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠22452252()455=+-⨯⨯⨯-=，得AC =因为4cos ,05ABC ABC π∠=-<∠<，所以3sin 5ABC ∠=.因为,,,A B C D 四点共圆，所以ABC ∠与角ADC ∠互补， 所以3sin 5ADC ∠=，4cos 5ADC ∠=，在ACD △，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，所以sin 553sin 5AC ACDAD ADC⋅∠===∠.(2)因为四边形ABCD 的周长为7DC DA BC BA DC DA +++=++， 在ACD △中，由余弦定理得：2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即22281845()55DA DC DA DC DA DC DA DC =+-⋅=+-⋅222181()()()5210DA DC DA DC DA DC +≥+-=+2()450,DA DC DA DC ∴+≤∴+≤当且仅当DA DC ==max ()DA DC += 所以四边形ABCD周长的最大值为7.19．移动支付（支付宝及微信支付）己经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：(1)按年龄35岁以下（含35岁）是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设使用移动支付的人数为X ，求X 的分布列及期望.(2)用这100位市民使用移动支付的频率代替全市市民使用移动支付的概率，从全市随机中选出10人，则使用移动支付的人数最有可能为多少？ 【答案】(1)分布列见解析，125(2)6【分析】（1）由题意可得X 的可能值为1，2，3，求出对应的概率，从而可求得X 的分布列及期望，（2）设使用移动支付的人数为Y ，则由题意可得3(10,)5Y B ，再根据题意列不等式组可求得结果【详解】(1)根据分层抽样知使用移动支付的人数为8人，不使用移动支付的有2人，则X 的可能值为1，2，3，()12823101115C C P X C ===，()21823107215C C P X C ===，()30823107315C C P X C ===，分布列为17712()1231515155E X =⨯+⨯+⨯=. (2)从全市随机选出10人，设使用移动支付的人数为Y ，则3~10,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且101032()()()(,010)55k k kP Y k C k N k .由10111110101019110103232555532325555k k k kk k k k k kk k C C C C -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 解得283355k ≤≤， 因为*k N ∈，所以6k =故使用移动支付的人数最有可能为6.20．如图所示的几何体中，ABE △，BCE ，DCE 都是等腰直角三角形，AB AE DE DC ===，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE .(1)求证：AD ∥平面BCE ； (2)求二面角B AD E --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ，设1AB AE DE DC ====，利用面面垂直的性质可证得AO ⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ，从而可得四边形AOHD 是平行四边形，即可证得//AD OH ，从而可得出结论；（2）取BC 的中点为F ，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【详解】(1)证明：分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ， 设1AB AE DE DC ====，则2EB EC ==,,AB AE BO OE AO BE ==∴⊥， 又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE平面,BCE BE AO =⊂平面ABE ，AO ∴⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ， //AO DH ∴，又因为2AO DH ==， 所以四边形AOHD 是平行四边形，//AD OH ∴，又AD ⊄平面,BCE OH ⊂平面BCE ，//AD ∴平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF BE ⊥，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则,,,222222A B D E ⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则22,0,,2,22BA BD ⎛⎫⎛=-=- ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭， 设平面ABD 的一个法向量为(),,m x yz =， 则00200x z x z x y z y ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⎩⎪=⎪⎩，令1x =，得平面ABD 的一个法向量为()1,1,1m =. 则22,0,,0,22AE DE ⎛⎫⎛=--=- ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭， 设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =， 则0000a c b c ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩， 令1a =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n =-， 设二面角B AD E --的大小为θ，则111cos 33m n m n θ⋅+-===⨯， 观察可知θ为锐角，所以二面角B AD E --的余弦值为13.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(),0F c 3230x y +-上，且离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设(),0A a -，(),0B a ，过点A 的直线与椭圆C 交于另一点P （异于点B ），与直线x a =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线x a =交于点N ，是否存在常数λ，使得BN BM λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2211612x y +=； (2)存在，12λ=，理由见解析【分析】（1）先把(c,0)F 代入直线方程，求出c ，根据离心率和,,a b c 求出椭圆方程；（2）设出直线AP 的方程，联立椭圆方程，求出点P 的坐标，表达出直线AP 的斜率，再使用二倍角公式及直线NF 的斜率表达出直线AP 的斜率，从而得到等式，求出2112(2)(8)0y y y y -+=，得到21,y y 的关系，得到λ的值.【详解】(1)因为右焦点(c,0)F 3230x y +-3230,c -2c ∴= 221,4,16412.2c e a b a a ===∴=∴=-= 所以椭圆C 的方程为221.1612x y(2)存在，12λ=，理由如下：因为(4,0),(4,0),(2,0)A B F -，设1200(4,),(4,),(,)M y N y P x y . 显然120y y >. 可设直线AP 的方程为4(0)x my m =-≠， 因为点M 在这条直线上，则1188,.my m y ==联立2243448x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2234240m y my +-=的两根为00y 和， 200022241216,4.3434m m y x my m m -∴=∴=-=++2012222012248434,.121624162234PFNF my y y m m k k m x m y m +=====-----+ 设,BFN θ∠= 则2,PFB θ∠= 2222222242tan 4tan 2.1tan 441()2y y m y y m θθθ∴====----122112221284(2)(8)0164y y y y y y y y ∴=∴-+=--，， 因为120y y >，所以2121120,2y y y y -=∴=.故存在常数12λ=，使得.BN BM λ=【点睛】对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案. 22．已知函数()22(ln ()f x x a a x a R =-+∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数2()()2(1)ln g x f x a x =-+的图象与x 轴交于两点()()12,0,,0A x B x ，且120x x <<，设012x x x λμ=+，其中常数λ､μ满足条件1λμ+=，0μλ>，()g x '为函数()g x 的导函数，试判断0()g x '的正负，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析(2)()00g x '>，理由见解析【分析】（1）求得())()1,(0)af x x x>'=，分0a ≤，2a =，02a <<和2a >，四种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）由题意转化为()121212ln ln 2x x a x x x x -+=+--，结合1112111222212ln 21x x x x x g x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=- ⎪'⎢⎥-⎝⎭+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()1212121222ln ln x x x x x x x x -⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦，令12x t x =，构造函数()()21ln 1t u t t t -=-+，利用导数求得()u t 单调性，得到1202x x g +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，进而得出()12002x x g x g +⎛⎫≥> ⎪⎝⎭''，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，函数()22(ln ()f x x a a x a R =-+∈的定义域为()0,∞+， 可得())()12,(0)aa f x x x x=>'=，①当0a ≤时，可得0a >，当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；②当2a =时，可得()0f x '=≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③当02a <<时，当20,4a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当2,14a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()1x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在2,14a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()20,,14a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递增；④当2a >时，当()0,1x ∈时，()0f x '<；当21,4a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当2,4a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在21,4a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在()20,1,,4a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增； 当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增：当02a <<时，()f x 在2,14a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()20,,1,4a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递增：当2a >时，()f x 在21,4a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在()20,1,,4a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递增.(2)解：因为()()()()2221ln 22ln ,(0)g x f x a x x a x x x ⎡⎤=-+=-+->⎣⎦，可得()()1222g x x a x ⎡⎤=-'-+⎢⎥⎣⎦，则()()0001222g x x a x ⎡⎤=-+-⎢⎣'⎥⎦，因为函数()y g x =的图象与x 轴交于两点()()12,0,,0A x B x ，且120x x <<.所以()()21112222ln 2ln 2x x a x x x a x ⎧-=+⎪⎨-=+⎪⎩，两式相减得()()()()22121212ln ln 2x x x x a x x ---=+-，因为120x x -≠，所以()121212ln ln 2x x a x x x x -+=+--，所以()()121212121212ln ln 222222x x x x g x x a x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+-⎛⎫=+-+-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪+-+⎝⎭⎣⎦⎣⎦' ()()112111211212122221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 令12x t x =，因为120x x <<，可得01t <<， 令()()21ln 1t u t t t -=-+，可得()22214(1)(1)(1)t u t t t t t -=-=+'+，又由01t <<，所以()0u t '>，所以()u t 在()0,1上是増函数，则()()10u t u <=，所以12112221ln 01x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，又因为1220x x <-，所以1202x x g +⎛⎫'> ⎪⎝⎭， 因为012,1,0x x x λμλμμλ=++=≥>，所以102μλ≥≥>， 所以()()121201*********x x x x x x x x x μμμ++⎛⎫-=-+-=--≥ ⎪⎝⎭，所以1202x xx +≥， 因为()g x '在()0,∞+上单调遌增，所以()12002x x g x g +⎛⎫≥> ⎪⎝⎭''，所以()00g x '>.。