数学思维整理
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
数学思维方法与知识整理
数学思维方法与知识整理1. 齐次式：（指分式的分子与分母各项的次数相同的式子） 求值、分离变量后求最值（常结合还原思想使用）、三角化简时使用⑴正切与齐次式：①tan 2α=，求22sin cos sin cos 1αααα++ 2sin cos sin ααα+的值 ② 已知sin cos 2cos 2sin αααα+=+，求tan α的值 ⑵离心率求解：在圆锥曲线求离心率时常见到找出,,a b c 关系：如220a ac c -+=求离心率e ，或2230a ac c -+≥求e 范围问题。
（同时除2a ）。
（3）两个变量分式的化简问题：333()x y xy x y ++最值问题333213()3()()y x y x y y xy x y x x ++=++，然后设y t x =还原为3213t t t++导数法求最值。
2.分式化简问题、求值问题（三角函数、函数）：目的（通分、约分、分离变量、转化为反比例函数图象问题、转化为对构函数型、转化为基本不等式求最值）⑴分离变量型：2(6)2(8)4245(8)5(8)55(8)x x x x x --+==+---（转化为反比例函数）；234(1)1x x y x x -+=>-还原为22(1)3(1)4221t t t t y t t t t+-++-+===+-(0)t >基本不等式求最值。
（2）约分2222cos sin 22cos (cos sin )cos 2cos sin αααααααα++=-， （3）11ax y x +=+在单调递减，求a 范围。
1(1)11111ax a x a a y a x x x +++--===++++ 转化为反比例函数图像求解。
（4）1212t y t t =+++求最值，能够直接求导，找出极值，（大题必须判断单调性）。
3.消元思想（减元问题）：（解析几何，函数导数）目的：简化计算，求值，转化为初等函数⑴p 是222()x a y b -+=上任意一点，求12PF PF 为定值221222(,1)x y F F a b +=是的左右焦点, 12PF PF ==(2) 221a b +=,求2a b 最小值(0b <<),22(1)y a b b b ==-转化为导数求解.4.图象问题:(处理变量值,范围问题,图像变换)目的：数形结合思想的应用(1) 图像变换：①()y af x =将()f x 的图像伸长或缩短为原来的a 倍。
数学思维导教案通过思维导整理数学知识
数学思维导教案通过思维导整理数学知识一、引言在学习数学的过程中，学生常常感到数学知识的繁琐和抽象性，难以理解和应用。
为了帮助学生更好地掌握和运用数学知识，我们可以运用思维导图的方法，将数学知识进行整理和归纳。
本教案旨在介绍如何通过思维导图来整理数学知识，提高学生的数学思维能力。
二、教学目标1.了解思维导图的基本概念和用途；2.掌握使用思维导图整理数学知识的方法；3.培养学生的数学思维能力和逻辑思维能力；4.增强学生对数学知识的理解和应用能力。
三、教学内容1.思维导图的基本概念思维导图是一种用于呈现和整理思维的图形工具，通过图形化的方式展示思维和知识之间的关系。
它由中心主题、分支主题和子主题组成，可以将复杂的知识结构化、分层次地呈现出来。
2.思维导图的用途思维导图可以应用于各个学科领域，特别是在数学学科中，可以帮助学生整理各种数学知识，形成系统化的思维模式，提高学习效率。
同时，思维导图也是一种思维训练的方式，有助于培养学生的逻辑思维和创造性思维能力。
3.使用思维导图整理数学知识的方法（1）确定中心主题：根据所学的数学知识内容，确定一个中心主题，如“代数方程”。
（2）分析和归纳：将该主题下所包含的各个分支主题和子主题进行分析和归纳，如“一元一次方程”、“一元二次方程”、“二元一次方程”等。
（3）建立关联：将各个分支主题和子主题之间的关系进行建立和连接，形成一个完整的思维导图。
（4）加入例题：在思维导图中加入一些例题和练习题，帮助学生巩固所学的知识。
（5）思维导图的更新：根据学习的进展，随时对思维导图进行更新和完善，使之更加完整和准确。
四、教学过程1.导入活动通过回顾上节课所学的知识，引出思维导图的概念，并与数学知识的整理进行关联，激发学生的学习兴趣。
2.讲解思维导图的基本原理和用法通过讲解思维导图的基本原理和用法，让学生了解思维导图的特点和作用，明确使用思维导图整理数学知识的目的和意义。
3.指导学生进行思维导图的练习要求学生选择一个具体的数学知识点，运用思维导图的方法对其进行整理和归纳，并加入一些相关的例题和练习题，帮助学生巩固所学的知识。
数学思维整理
第六章数学模型的概念建立模型必须具备两个条件：（1）模型和原型之间有相似关系；（2）模型在科学认识过程中是被研究客体的代表者，可以从对模型的研究中获得关于原型的信息。
模型的特征：（1）目的性.每一个模型，都是人们为了解决某一实际问题，自觉使用相应的工具建构而成的．因此，目的性是模型的一个基本特征．（2）清晰性.在建构模型时，有意识地舍弃了原型的一些不合目的性的非本质属性，从而使事物的本质属性在模型中比在原型中体现得更为清晰，也更便于研究和运用．（3）准确性.模型必须准确反映原型的本质属性（4）经济性数学模型及其类型：数学模型按其性能可以分为概念性数学模型、方法性数学模型和结构性数学模型．数学模型按其性能还可分为应用性数学模型、概括性数学模型和抽象性数学模型. 以函数为例，我们对这三类数学模型加以说明：例：设一学生大学毕业后的四年中，用于买书的钱分别为：196，231，268，302元，根据这四年他用于买书的钱，试估计他第五年用于买书的钱．这4年该生用于买书的钱每年分别增加35，37，34元，基本上每年增加35元．可以认为时间与书费基本上是成线性关系的．这就可求出时间和书费之间的一个函数关系为用这一函数关系，可以估计出该生第五年用于买书的钱为337元．这一函数式是一个应用性数学模型．这一类的函数式又被概括为一般的线性函数y kx b=+,它就是一个概括性数学模型。
而各种各样不同种类的函数，通过进一步的抽象，就得到了函数的概念．那么，函数概念就是一个抽象性数学模型．函数概念就是一个抽象性数学模型．上述三类模型，实际上正是数学与其他学科及生产实际之间、纯数学和应用数学之间互相关系的缩影．数学模型的特征：数学模型具有一般模型的性质，更为基本的性质是高度的抽象性和经济性．数学模型建构步骤1．掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式。
2．确定所研究原形的本质属性，从而抓住问题的实质。
3．在数学概念、语言表述、符号等基础上，建立数学模型。
五年级下册数学第二单元的思维过程和整理
五年级下册数学第二单元的思维过程和整理五年级下册数学第二单元的思维过程和整理数学是学科中的一个极其重要的组成部分。
对于小学生来说，学习数学不仅可以让学生培养严谨的逻辑思维和表达能力，而且还可以促进学生对世界的理解和认识。
五年级下册数学第二单元是一个非常重要的阶段，本文将从以下五个方面来总结五年级下册数学第二单元的思维过程和整理。
一、掌握基本算法首先，在学习数学的过程中，学生需要掌握基本的算法，如加减乘除、分数和小数等运算法则。
在数学第二单元中，学生将进一步学习不同类型的数学运算方法，如长方形的周长、面积的计算，求圆的周长和面积等等。
二、运用多种计算方法其次，学生需要运用多种计算方法来解决数学问题。
在数学的多种计算方法中，有些方法可以提高计算效率和准确性，如变量法、三角函数和二次方程等。
而且，在解决数学问题的过程中，还需要运用常识和逻辑思维来帮助自己清晰地理解问题。
三、多样化的思路其次，在数学学习的过程中，学生需要多样化的思路来帮助解决问题。
对于不同类型的题目，在解决的过程中可以用类比推理的方法，即用已解决过的问题类比，也可采用归纳法的思路，总结出问题的规律性以便更好的解决问题。
四、适当的阅读理解另外，在学习数学的过程中，获取和处理信息的能力也非常重要。
在五年级下学期的数学学习中，阅读理解能力的发展至关重要。
学生可以通过阅读与数学有关的材料如，数学题目解析、游戏和绘本等，来加深对数学的认识与理解。
五、总结复习方法最后，在五年级下学期数学学习中，总结复习方法也是非常重要的。
学生需要按照学习过程中的知识点，总结相关的方法与思路；同时还要整理练习有效地积累答题技巧，以便更好地为期末考试做好准备。
综上所述，五年级下册数学第二单元的思维过程和整理是一个非常重要的学习过程。
学习者需要掌握基本算法、运用多种计算方法、多样化的思路、适当的阅读理解和总结复习方法，以更好地掌握数学的知识和应对考试。
期待所有的学生都能在数学的路上走得更加扎实。
整理三年级数学思维导图
整理三年级数学思维导图一、数与代数1. 整数自然数：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20整数：包括正整数、负整数和零2. 分数分数的意义：表示一个整体被等分成若干份，其中一份或几份的数分数的基本性质：分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的值不变真分数、假分数、带分数：根据分子和分母的关系，分数可以分为真分数、假分数和带分数分数的大小比较：分子相同，分母越大，分数越小；分母相同，分子越大，分数越大分数的加减乘除：掌握分数加减乘除的计算方法，能熟练计算3. 小数小数的意义：表示一个整体被等分成若干份，其中一份或几份的数，用小数点表示小数的基本性质：小数点左边的数字表示整数部分，右边的数字表示小数部分小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分相同，再比较小数部分小数的加减乘除：掌握小数加减乘除的计算方法，能熟练计算二、图形与几何1. 线段、射线、直线线段：有两个端点，长度有限的直线射线：有一个端点，长度无限的直线直线：没有端点，长度无限的直线2. 角角的意义：由两条射线共同组成的图形角的度量：使用度（°）作为单位，一个圆的周长是360°角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角角的和差：掌握角的和差计算方法，能熟练计算3. 三角形三角形的定义：由三条线段组成的封闭图形三角形的分类：等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三角形的性质：三角形的内角和为180°三角形的周长和面积：掌握三角形周长和面积的计算方法，能熟练计算三、统计与概率1. 数据的收集与整理数据的收集：通过调查、观察、实验等方式获取数据数据的整理：将收集到的数据进行分类、排序、汇总等处理2. 数据的表示表格：将数据以表格形式呈现，便于观察和分析图表：将数据以图表形式呈现，更直观地展示数据特征3. 概率概率的定义：事件发生的可能性概率的计算：掌握概率的计算方法，能熟练计算简单事件的概率整理三年级数学思维导图四、方程与不等式1. 方程方程的定义：含有未知数的等式一元一次方程：未知数的最高次数为1的方程方程的解：使方程成立的未知数的值2. 不等式不等式的定义：表示不等关系的数学式子不等式的解：满足不等关系的未知数的值不等式的性质：掌握不等式的加减乘除性质，能熟练判断不等式的真假五、函数与图像1. 函数函数的定义：每个自变量都对应唯一因变量的关系函数的表示：使用函数表达式、表格、图像等方式表示函数的性质：掌握函数的单调性、奇偶性等性质2. 图像图像的定义：函数的图形表示图像的绘制：掌握函数图像的绘制方法，能熟练绘制常见函数的图像图像的分析：通过图像分析函数的性质和行为六、逻辑与推理1. 逻辑逻辑的定义：研究推理和论证的规律逻辑的基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由律逻辑的推理：掌握演绎推理、归纳推理等逻辑推理方法2. 推理推理的定义：根据已知事实和规律，推断未知事实推理的分类：演绎推理、归纳推理、类比推理等推理的应用：运用推理解决实际问题，提高逻辑思维能力七、数学思维方法1. 类比法类比法的定义：通过比较相似事物的性质，推断其他事物的性质类比法的应用：在数学问题解决中，通过类比找到相似问题的解决方法2. 归纳法归纳法的定义：从个别事实中归纳出一般规律归纳法的应用：在数学问题解决中，通过归纳找到解决问题的规律3. 演绎法演绎法的定义：从一般规律中推导出个别事实演绎法的应用：在数学问题解决中，通过演绎验证个别事实是否符合一般规律八、数学学习策略1. 复习与预习复习：定期回顾已学知识，巩固记忆预习：提前了解即将学习的知识，为课堂学习做好准备2. 练习与应用练习：通过大量练习，提高数学技能和解决问题的能力应用：将所学知识应用于实际问题，加深理解和记忆3. 合作与交流合作：与同学合作解决问题，共同进步交流：与同学、老师交流学习心得，互相借鉴和启发整理三年级数学思维导图九、数学与生活1. 数学在生活中的应用购物：计算商品价格、找零等测量：使用尺子、量角器等工具进行长度、角度的测量时间：理解钟表、日历的使用，计算时间差等2. 数学在科学中的应用物理实验：使用数学公式进行计算，验证物理定律化学实验：进行化学方程式的配平，计算反应物和物的量生物统计：收集和分析生物数据，得出结论十、数学与艺术1. 数学在艺术创作中的应用几何图形：在绘画、雕塑中运用几何图形，增强作品的美感比例与对称：在建筑设计中运用比例与对称，创造和谐的空间音乐节奏：在音乐创作中运用数学规律，创造优美的旋律2. 数学在艺术欣赏中的应用观察与发现：通过观察艺术作品中的数学元素，发现数学之美分析与理解：运用数学知识分析艺术作品的结构和规律，加深理解创造与表现：尝试将数学元素融入自己的艺术创作，表达个性十一、数学与游戏1. 数学游戏猜数游戏：通过猜数游戏锻炼逻辑思维和推理能力24点游戏：通过加减乘除运算得到24，提高计算能力数独游戏：通过填数字解决数独问题，锻炼逻辑思维和注意力2. 数学竞赛数学奥林匹克：参加数学竞赛，提高数学素养和解决问题的能力数学建模：通过建模解决实际问题，培养数学应用能力。
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柯西不等式
第四部分
位置关系
截距
解析几何
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan ， =
倾斜角和斜率
重合
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0
平行
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0
相交
A1B2－A2B1≠0
垂直
直线的方程
z 的几何意义：
过可行域内一点（, ）
向直线 = ， = 作
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
对称性
y＝Asin(x＋)＋b
化简、求值、
证明（恒等变形）
）
值域
图象
对称轴（正切函数除外）经过函数图象
的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，
对称中心是正余弦函数图象的零点，正
切函数的对称中心为( ，0)（k∈Z）.
最值
2
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1
2+1 −1
【强烈推荐】四年级数学思维训练题整理
四年级数学思维训练题整理一、倍数问题“和倍”与“差倍”问题的应用题，一般都在条件中告诉我们：两个数量的和（或差）与这两个数量的倍数关系，要我们求这两个数量分别是几。
解答这类应用题时，我们采用代换的思路，用1倍数去代替几倍数，看和(或差)相当于1倍数的几倍，即除以几，先求出1倍数，然后再求出几倍数，解题公式是：1、和倍问题和÷（倍数＋1）=1倍数1倍数×几倍=几倍数或和－1倍数=几倍数2、差倍问题差÷（倍数—1）=1倍数1倍数×几倍=几倍数或 1倍数+差=几倍数在解答这类题目时，线段图是一个很好的帮手。
我们要根据题意，画出线段图进行分析，这样能很快地理清解题思路，找到解题的方法。
【例1】弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。
哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？ 25【点拨】.画线段图如下：哥哥：20本给弟弟的本数弟弟：2倍在观察上图的基础上，可先思考以下几个问题：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目里不变的数量是什么？（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？（3）如果把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的几倍？在思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。
根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。
如果我们把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩课外书的总数始终是不变的数量。
【解答】（20＋25）÷（2＋1）=15（本） 25—15=10（本）答：哥哥给弟弟10本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍。
【操身演练】1、甲、乙两数之和是180，已知甲数是乙数的2倍，甲、乙两数各是多少？2、一个长方形的周长是64厘米，长是宽的7倍，长、宽各是几厘米？3、果园里有梨树、苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵树是苹果树的2倍，桃树的棵树是苹果树的3倍。
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点斜式：y－y0＝k(x－x0)
注意：截距可正、
可负，也可为 0.
2 −1
注意各种形式的转化和运用范围.
x y
截距式： ＋ ＝1
a b
两直线的交点
距离
一般式：Ax＋By＋C＝0
两点间的距离公式|1 2 | = √(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2 ．
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2+1 −1
− (+2)2 )
= (−1) (
1
2−1
+
错位相加法: = ( + )−1 → = ( + ) −
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
与 的关系
1 ，
= 1，
= {
− −1 ， ≥ 2．
构造等差数列
an＋1 p an
= · ＋1 转为③
qn q qn－1
⑤an + 1＝pan＋qn
小学数学解题思维方法整理
小学数学解题思维方法小学数学学习过程中常用的解题方法及思维方式整理，希望能帮到需要的同学。
一、逆向思维方法小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。
逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。
逆向思维与顺向思维是训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果，解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。
正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。
列式计算为：此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨1吨面粉序是一致的。
如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法：①不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于1吨小麦可磨多少列式计算为：由此，可得出下列算式：答：（同上）掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。
二、对应思维方法对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。
对应思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。
例1 小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。
一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。
这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。
这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。
在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。
这是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。
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第六章数学模型的概念建立模型必须具备两个条件：（1）模型和原型之间有相似关系；（2）模型在科学认识过程中是被研究客体的代表者，可以从对模型的研究中获得关于原型的信息。
模型的特征：（1）目的性.每一个模型，都是人们为了解决某一实际问题，自觉使用相应的工具建构而成的．因此，目的性是模型的一个基本特征． （2）清晰性.在建构模型时，有意识地舍弃了原型的一些不合目的性的非本质属性，从而使事物的本质属性在模型中比在原型中体现得更为清晰，也更便于研究和运用．（3）准确性.模型必须准确反映原型的本质属性 （4）经济性数学模型及其类型：数学模型按其性能可以分为概念性数学模型、方法性数学模型和结构性数学模型．数学模型按其性能还可分为应用性数学模型、概括性数学模型和抽象性数学模型.以函数为例，我们对这三类数学模型加以说明：例：设一学生大学毕业后的四年中，用于买书的钱分别为：196，231，268，302元，根据这四年他用于买书的钱，试估计他第五年用于买书的钱．这4年该生用于买书的钱每年分别增加35，37，34元，基本上每年增加35元．可以认为时间与书费基本上是成线性关系的．这就可求出时间和书费之间的一个函数关系为用这一函数关系，可以估计出该生第五年用于买书的钱为337元．这一函数式是一个应用性数学模型．这一类的函数式又被概括为一般的线性函数 ,它就是一个概括性数学模型。
而各种各样不同种类的函数，通过进一步的抽象，就得到了函数的概念．那么，函数概念就是一个抽象性数学模型．函数概念就是一个抽象性数学模型．上述三类模型，实际上正是数学与其他学科及生产实际之间、纯数学和应用数学之间互相关系的缩影．数学模型的特征：数学模型具有一般模型的性质，更为基本的性质是高度的抽象性和经济性．数学模型建构步骤1．掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式。
2．确定所研究原形的本质属性，从而抓住问题的实质。
3．在数学概念、语言表述、符号等基础上，建立数学模型。
4．对数学模型运演和检验。
中小学常见的数学模型：1．经济生产类方面的数学模型2．运动事物的数学模型3．概率统计类的数学模型4．逻辑程序方面的数学模型数学模型与中小学数学教学：1．通过对数学模型的构造深入地认识和理解数学的本质特征。
2．运用数学模型的直观形象作用，强化学生的数学感受能力3．引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题小学数学课堂中的数学建模教学举例《数学课程标准》要求“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
”明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。
模式一：在经历体验、感受、归纳的过程中建立数学模型案例：“有余数除法”教学片段教学设计：按要求摆小棒活动（14根长度相等的小棒）。
y kx b =+1061963y t =+1.用相同根数的小棒摆一种你喜欢的图形或数字，直到摆完14根小棒或余下的小棒不够摆一个相同图形或数字为止2.把摆小棒的过程与结果用除法计算表示（学生在反馈交流中，体验“余数一定比除数小”）师：大家观察有余数的算式中的余数和除数，你能发现什么？生：这些算式中除数都比余数大。
生：这些算式中的余数都比除数小。
师：谁能结合摆小棒的过程说一说为什么余数比除数小。
生：我用4根小棒摆一个正方形，一共摆了3个正方形，余下2根不够再摆一个正方形。
除数是4，余数是2，2比4小，所以余数比除数小。
师：谁能用一句话概括为什么余数比除数小？解读：在这个活动中，学生的学习经历了操作、体验、感受和归纳概括的过程，自主有效地建立了“余数一定比除数小”的数学模型。
这一教学模式符合儿童的认知规律，使新学的知识得到内化和升华模式二：在经历猜测、验证、交流、归纳的过程中，建立数学模型例如：教学圆锥的体积一课：1、回顾、猜想。
师：请同学们回忆我们在学习圆柱的体积计算公式推导过程中，应用了哪些数学思维方法？生：运用了转化方法。
师：猜一猜，圆锥能否转化成已经学过的图形的体积？2、动手验证教师给学生提供多个圆柱、长方形、正方形和圆锥空盒、沙子等学具，分小组动手实验。
3、反馈交流。
4、归纳总结：圆锥的体积等于底面积乘高的三分之一。
模式三：在经历观察、思考、发现、归纳的过程中建立数学模型案例：四年级上册折线统计图教学片段1.观察、思考师：观察统计图，想一想该派谁参加四年级跳绳比赛，并说明理由。
2.发现、交流生：宁宁的平均成绩：(190+185+199+184+197)÷5=191（下）。
东东的平均成绩：(180+185+187+193+200)÷5=189（下）。
我认为宁宁的平均成绩比东东好，应该派宁宁参加比赛。
生：我的看法是派东东去获胜可能性较大，因为东东的训练成绩是稳步上升的。
解读：本教学片段为学生的学习提供两个折线统计图，学生通过观察、思考、交流分析，解决“派谁参加跳绳比赛”问题，这样由学生自主处理信息，分析发现问题，学会了对折线统计图呈现的发展趋势进行预测、判断，体现了学生的主体作用，该教学模式符合学生的思维发展规律。
模式四：在知识的梳理与归纳的过程中建立数学模型教师要有意识地引导学生对所学知识经常回顾与整理，使零散的知识在学生的大脑中主动地进行选择、加工，这样学生原来的知识经验系统又会因新信息的进入发生调整和改变，也就是我们所说的只是重组与重构。
如何让实现这一点，构建基本的关系模式是一种重要的途径。
比如，学生在学习了平面图形的面积公式以后，为了减轻学生的记忆负担，增强学生的演绎推理能力，教师可以这样引导思考：能否只用一个公式把所有图形的面积公式统一起来？学生通过观察，得出梯形的面积公式，然后进一步简化：中位线乘高。
第七章讨论专题：1.总结化归法在数学解题中的意义.2.举例说明用变形法解题的特征和考虑依据.3.列举中小学数学中用分割法解决的例子.数学证明的一般方法可说有三步．第一步是凭“数觉”和经验设计证题的一般思路．第二步是将原问题化归为较易解的，或已经解决的新问题，并找出化归的逻辑线索．第三步则是运用逻辑的演绎方法，将问题解决过程的逻辑要点写下来.一、等价变形满足RST条件的关系很多。
实数的相等关系、三角形的全等、直线的平行同样满足RST条件。
但是直线的互相垂直关系不是等价关系。
它不满足T 。
生活中的许多事例也是等价关系。
等价关系往往是分类的依据。
我们时常把按某种意义下等价的东西分在同一类。
解一元一次方程时，允许实施的等价变换有恒等变换：(1)对方程的某一边去括号．(2)对方程的某一边合并同类顷．(3)利用分数(式)基本性质与运算法则，对方程一边含数字分母的式子进行变形．同解变换：(4)对方程的两边同乘一非零的数，(5)把一项从方程的一边移到另一边——移项。
从有理数到复数，由数的运算法则和整式的恒等变形法则所反映的等值变换，是数学中最基本的等价变换，它反映了形变值不变的变换过程．用等价变换原则指导解题利用涉及到的概念的定义，或常用的命题间的逻辑关系，把原命题改述成另一等价命题例6 {pn}是所有素数构成的数列，且p1< p2< …<pn<…，试证p1+ p2…+ pn与p1+ p2…+ pn+ pn+1之间一定有平方数。
等价命题：在任何两个连续的自然数的平方数之间，最多只能有一个形如p1+ p2…+ pn的数。
运用等价变换原则指导解题，在实际教学中应让学生注意：1.要高度重视并充分注意替换前后的问题的等价性．造成替换前后问题不等价的原因，概括地说有以下三种: (1)变换不是等价的；(2)改述本身的不足，有些条件无法用确切的数学形式反映(3)解题者本人错误所致．2.借助于参数把问题改述成新的等价形式，是解决某些难题的捷径。
运用等价变换原则来解数学问题的基本思路是：(1)原问题是否可用不同的形式改述，得它的等价问题，如利用定义改述原问题；利用逻辑关系改述原问题；借助参数改述原问题等．(2)原问题可以运用哪些等价变换作有利的变形，使问题在变换过程中既能保持等价，又可逐步简化．整体分割法：把问题本身作为分割对象，求得解决方法。
小学数学中例.例：求凸n边形内角和。
把凸n边形分割成n-2个三角形，即可得出。
外延分割法：例：证明圆周角是同弧所对圆心角之半。
将圆周角的外延分为三种情况进行论证。
条件分割法：是把问题的条件作为分割的对象。
例：有一群儿童，年龄之和是50岁，其中最大的13岁，有一个10岁；除去10岁这个儿童，其余儿童的年龄组成一个等差数列。
问有几个儿童，每个儿童各几岁？此题有两法，一是把条件部分分割；二是把已知条件分割后用试探法。
局部变动法：例：任意给出17个整数，求证：必有5个数的和能被5整除。
思路：由于17个整数是任意的，它们与5的关系，可以通过被5除，按余数分类来得到5个类。
若任从中取5个数，其和能被5整除的情况可在两种情况下产生，或是余数都不同，或是余数都相同。
对于映射反演原则的基本含义作以下说明：、1．该原则的核心思想是：利用两个系统之间的联系、关系与相似性来解决问题，在具有结构的系统内，M往往是同构映射或同态映射，同态映射不必是一一对应的．2．系统可大可小，情况多种多样；要点在于：通过系统间的对应，建立两系统的某类问题间的对应，以利于指导解题．3．如果系统间的对应不是一一对应，那么利用这样的映射反演解题后，须注意做一些必要的弥补工作．运用映射反演原则来解决数学问题的基本思路是：1．能否在另一关系结构中构造出该问题的模型．2．能否用另一知识系统中的语言来改述与解决这个问题．3．能否用特殊的技巧将题设或结论变形，从而找到某种对应手段，把问题映射到其他领域中去解决，然后反演回原来的系统中得出结论．第八章讨论专题：1.逐次渐近是怎样的一种方法,其精神实质是什么? 2.结合逐次渐近的应用选例,分析说明在中小学数学教学中可以用逐次渐近法解决的较多出现的一些例题的解题思路方法.从用缩小解的范围或区域的方法求得正确解的过程看逐次渐进原则对于找不到规范解法的问题，如能判定它的解可能存在的范围或区域，就设法把解的可能存在域缩小，直至找出正确解为止。
例“四色问题”等。
例1，有五顶帽子，三白二黑，有三个学生闭上眼睛之后被分别戴上白帽子，并把两顶黑帽子藏起来。
让三个学生睁开眼睛互相看了看，并回答自己戴了什么颜色的帽子。
三个学生睁开眼睛互相看了看，并且都犹豫了好一会，然后三个聪明的学生几乎同时回答：自己戴的是白帽子。
先缩小讨论范围，只考虑两人、一顶黑帽子，两顶白帽子。
当两人闭眼戴完帽子睁眼看时，若有一人戴得是黑帽子，那么另一人就会说出自己戴得是白帽子。