2020届高三数学第一轮复习(高考教练)考点55 双曲线(文科)课件 精品
2020高三数学一轮复习(人教版文)：第六节双曲线
第六节双曲线2019考纲考题考情1. 双曲线的概念平面内到两定点F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于F 1F 2I)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合 P ={M|||MF i |—|MF 2||= 2a , IF 1F 2E 2c ,其中 a 、c 为常 数且 a >0, c >0}。
(1) 当a v c 时，M 点的轨迹是双曲线。
(2) 当a ^c 时，M 点的轨迹是两条射线。
(3) 当a >c 时，M 点不存在。
希纲要求考題举曙 番甸标签i. TttaiHifJl 的崔戈、几M S A 祖标« fj 程・*]直梵■单的几性」贞也，胃右峠■渐近歿》 匕了外讽咄塔的餐m 嵐用 丄用i 样粧圧结仟韓也怛mis*全国舂11 - 曲倭的请追终〉沁17・仝阳卷1・TMJK 曲就的性庞) M17* feRtt II *2fll? •全H#1 * T 显畑湘线的斯近轨〉].规曲紡的生丸磴住阳2. 艮枷蜻的标弁力IV3, 段曲灿的阳m 几何性硕4一直悄少杞將线的童■关嘉特心附标；数学讥算，汗班想卑扣岭础外挪微知识•小题练基础徴杭理-JICHUU niSHLJJ-l2. 双曲线的标准方程和几何性质•常记结论•1. 双曲线定义的四点辨析(1) 当0<2a<|F i F21时，动点的轨迹才是双曲线。
(2) 当2a = 0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。
⑶当2a = F1F21时，动点的轨迹是以F i, F2为端点的两条射线。
(4) 当2a>|F i F21时，动点的轨迹不存在。
x2 y2一2. 方程m~ n= 1(mn>0)表示的曲线(1)当m>0, n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线。
⑵当m<0, n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线。
3. 方程的常见设法2 2 2 2(1) 与双曲线字—古=1共渐近线的方程可设为字—古=X沁)。
高三数学第一轮复习双曲线 PPT
解 设动圆M得半径为r,
则由已知|MC1|=r+ ,
|MC2|=r- ,
2
∴|MC1|-|MC22|=2 、
又C1(-4,0),C2(4,0),
2
∴|C1C2|=8,∴2 ＜|C1C2|、
根据双曲线定义知,点M得轨迹就是以C1(-4,0)、
94
49
(3)由(2)所设方程
可得ba
2 3
或ba
2 3
,
2a 6 2a 6
故解所得求双ba曲线23方或程为ba
3 9. 2
x2 y2 1或 y2 4x2 1.
94
9 81
探究提高 待定系数法就是求曲线方程最常用得方 法之一、
(1)与双曲线 有共同渐近线得双曲
线方程可表示为
x2 a2
2∵e=
y
2
,∴e2=
1
∴4 6
6
2
、即x2 y2 1
4
3 2
故1B0选项ac正22确、23
.
a2 b2 a2
3 2
.
b a
2 2
1. 2
5、若m＞0,点
P
线左焦点得距离为
m在, 52双、曲线
x2 上,y则2 点 P1到该双曲 45 13
2
解析
在双曲线
上,且m＞0,
代入双P曲 m线,方52 程解得m=3,双x42曲 线y52左焦1 点F1(-3,0),
13 PF1 2 PF2 2 F1 F2 2 2 PF1 PF2
102 42 (2 13)2 4.
210 4
5
探究提高 在研究双曲线得性质时,实半轴、虚
高考数学一轮复习 8.6双曲线课件 文
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(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用 双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义 中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的 一支．
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【拓展探究】 本例题(2)中若将条件“∠F1PF2＝60°”改为 “P→F1·P→F2＝0”，则结果如何？
a、b 只限制 a>0，b>0，二者没有大小要求，若 a>b>0，a＝ b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？
提示：离心率受到影响．∵e＝ac＝
1＋ba2，故当 a>b>0
时，1<e< 2，当 a＝b>0 时，e＝ 2(亦称等轴双曲线)，当 0<a<b
时，e> 2.
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1．已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 10，点 P(2,1)
近线方程为 mx±3y＝0，
其中一个顶点到一条渐近线的距离 d＝ m12＋9＝15， ∴m2＝16. 又∵m>0，∴m＝4.故选 D.
答案：D
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3．已知双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则此双曲线的离心 率为________．
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解析：当焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 y＝±bax，依题意， 得ba＝34，b＝34a，所以 e＝54；
第
八
平面解析几何
章
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1
第六节
双曲线
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2
高考导航
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3
基础
知识回顾
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4
1．双曲线的定义 平面内与定点 F1、F2 的距离的 差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦 点之间的距离叫做双曲线的焦距
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
2020版高考数学一轮复习课件双曲线
[解析] 设动圆的半径为 r，由题意可得|MC1|＝r＋ 2，
|MC2|＝r－ 2，所以|MC1|－|MC2|＝2 2＝2a，故由双曲线的定
义可知动点 M 在以 C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为 2a＝
2 2的双曲线的右支上，即 a＝ 2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故
动圆圆心 M 的轨迹方程为x22－1y42 ＝1(x≥ 2)．
第七 节
双曲线
1．双曲线的定义
返回
平面内到两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a❶ (2a＜|F1F2|)的点 P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲
线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点 P 的轨迹为靠近 F2 的双曲线的一支. 当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点 P 的轨迹为靠近 F1 的双曲线的一支. ❷若 2a＝2c，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线；若 2a＞2c，则轨迹不存在；若 2a＝0，则轨迹是线段 F1F2 的 垂直平分线.
[答案] C
返回
[解题技法] 求双曲线标准方程的 2 种方法
待定 设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件， 系数法 列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值
依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的 定义法
值，由定点位置确定c的值 [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要 注意分类讨论．也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0) 求解．
返回
[典例] 已知动圆 M 与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆
C2：(x－4)2＋y2＝2 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
双曲线高三数学一轮复习考点课件
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：双曲线
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2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为������������22 − ������������22=1(a>0,b>0); (2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为������������22 − ������������22=1(a>0,b>0).
第九章
知识梳理 考点自诊
9.6 双曲线
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊 关键能力·学案突破
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5.(2018 广西南宁模拟,15)已知双曲线������������22-y2=1(a>0)的一条渐近
线与直线 2x+y-3=0 垂直,则该双曲线的离心率是
.
答案:√25 解析:由已知有双曲线渐近线的方程为 y=±������������,
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标准方程 范围 对称性 顶点 渐近线
性 离心率 质 a,b,c
的关系
实虚轴
x2 a2
−
by22=1(a>0,b>0)
y2 a2
−
bx22=1(a>0,b>0)
x≥a 或 x≤-a,y∈R y≤-a 或 y≥a,x∈R
对称轴: 坐标轴 ,对称中心: 原点
A1 (-a,0) ,A2 (a,0)
y=±������������ x
e=������������ ,e∈(1,+∞)
A1 (0,-a) ,A2 (0,a)
y=±������������ x
c2= a2+b2
2020年高考文科数学一轮总复习：双曲线
2020年高考文科数学一轮总复习：双曲线第6讲 双曲线1．双曲线的定义x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R常用知识拓展1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.5．等轴双曲线的标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．其离心率为2，两条渐近线的方程为y ＝±x .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A.2 B ．2 C.322D ．22解析：选D.法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D. 经过点A (5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 解析：设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，把点A (5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x 216－y 216＝1. 答案：x 216－y 216＝1若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)>0，即m >－1或m <－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)双曲线的定义(典例迁移)设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．103B ．83C ．85D ．165【解析】 依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5.【答案】 C[迁移探究] (变条件)若本例中“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4”变为“PF 1⊥PF 2”，其他条件不变，如何求解．解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝36，m 2＋n 2－2mn ＝4，解得mn ＝16，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝8.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得：a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________．解析：由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.答案：34双曲线的标准方程(师生共研)(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B. x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) (2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为________．【解析】 (1)设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)C (2)x 24－y 2＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . (2)待定系数法 ①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1 C.y 220－x 216＝1 D.y 220－x 24＝1 解析：选B.2a ＝|（－5＋6）2＋22－ |（－5－6）2＋22 ＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.2．(一题多解)(2019·山西省八校第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：选A.法一：易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.法二：易知双曲线的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0.可设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，因为双曲线的焦距为4 5.所以c ＝25，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 双曲线的渐近线问题(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 【解析】 因为双曲线的离心率为3，所以ca ＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以y ＝±2x .故选A.【答案】 A角度二 双曲线的离心率问题(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3D. 2【解析】 (1)依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C.(2)法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ， 所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3.故选C.【答案】 (1)C (2)C角度三 与双曲线有关的范围问题已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为 MF 1→·MF 2→＜0，所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， 所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 【答案】 A(1)求双曲线的渐近线的方法双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0.(2)与双曲线有关的范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解；②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．1．已知双曲线x 2a 2－y 212＝1的离心率为2，则该双曲线的实轴长为________．解析：由e ＝ca ＝2，得c ＝2a .由a 2＋b 2＝c 2，b 2＝12，得a 2＋12＝4a 2，所以a 2＝4，即a＝2，故实轴长为2a ＝4.答案：42．(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． 解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.答案：2方程思想求圆锥曲线的离心率(2019·南昌市摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．【解析】 不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a ，0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2.【答案】 2(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e 的方程，然后求出离心率e .(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，1)C ．(0，3－1)D ．(3－1，1)解析：选B.由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .因为△ABF 2是锐角三角形，所以∠AF 2F 1＜45°，所以tan ∠AF 2F 1＜1，即b 2a2c ＜1.整理，得b 2＜2ac ，所以a 2－c 2＜2ac .两边同时除以a 2并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)．又因为0＜e ＜1，所以椭圆的离心率e 的取值范围为(2－1，1)．[基础题组练]1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2＝1.3．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( )。
高考数学一轮专项复习ppt课件-双曲线(北师大版)
自主诊断
4.设P是双曲线 1x62 －2y02 ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF1|＝9，则|PF2|＝___1_7__.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
所以|PF1|－|PF2|＝ 4c3－ 2c3＝ 2c3＝2a， 所以ac＝ 3，所以 a＝1，b＝ 2. 所以双曲线 C 的方程为 x2－y22＝1.
思维升华
求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出 a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方 程设为mx22－ny22＝λ(λ≠0)，与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方 程可设为a2x＋2 λ－b2y－2 λ＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线ax22－by22＝1 具有相同渐近线的双 曲线方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0).
Q的轨迹可能是
√A.一个点 √C.椭圆
B.直线
√D.双曲线
分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R， ①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP 的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|. 又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合， 此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确； ②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分 线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，
2020届高三数学一轮复习：双曲线
双曲线【考纲要求】1、了解双曲线的实际背景，了解双曲线上在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3、了解双曲线的简单应用.4、 理解数形结合的思想. 【基础知识】1、 双曲线的定义 平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹叫做双曲线即|)|2(,2||||||2121F F a a PF PF <=-这两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离12F F 叫做双曲线的焦距。
当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F =的点的轨迹是射线12F F 或射线21F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹不存在.平面内与两个定点12,F F 距离的差等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹是双曲线的一支。
如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <=-,则动点P 的轨迹是双曲线的右支；如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <-=-,则动点P 的轨迹是双曲线的左支。
1、 双曲线的标准方程⑴设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -，又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221x y a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->>(2)设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -，又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221y x a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->>2、 双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形范围 ,x a y R ≥∈ ,y a x R ≥∈对称性 既是中心对称，又是轴对称，原点是双曲线的对称中心，x轴和y 轴是双曲线的对称轴顶点 (,0),(,0)a a -(0,),(0,)a a -离心率 (1,)ce a=∈+∞ 焦点 (,0),(,0)c c - (0,),(0,)c c -焦距 122F F c =（其中222c a b =+）实轴长 2a 虚轴长 2b准线方程 2a x c =±2a y c =±渐近线方程b y x a=±a y x b=±通径22b d a=4、点00(,)p x y 和双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的位置关系（1）点00(,)p x y 在双曲线内2200221x y a b ⇔->（2）点00(,)p x y 在双曲线上2200221x y a b ⇔-=（3）点00(,)p x y 在双曲线外2200221x y a b⇔-<5、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定量。