高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学

3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点1．掌握圆锥曲线的共同特征．(重点)2．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 3．掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1 圆锥曲线的共同特征阅读教材P 87“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( ) (2)曲线上的点M (x ，y )到定点(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的比是常数54，则曲线是双曲线．( )(3)直线y ＝x 与抛物线y 2＝x 的交点是(0,0)与(1,1)．( ) 【解析】 根据圆锥曲线的共同特征知(1)中的比不可能大于1. (2)正确． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y 2＝x解得(0,0)，(1,1)，故交点为(0,0)，(1,1)．【答案】 (1)× (2)√ (3)√2．如果双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离等于3，那么点P 到右准线的距离是________．【解析】 由题知a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴e ＝54.由双曲线的第二定义，设所求距离为d ，则3d ＝54.∴d ＝125. 【答案】125教材整理2 曲线的交点阅读教材P 89“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题．设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，求曲线C 1与C 2的交点，即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ，y ＝0g x ，y ＝0的实数解．1．过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【解析】 由于点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以满足条件的直线有2条，一条为切线，一条与x 轴平行．【答案】 B2．求直线y ＝x －1与x 2－y 2＝1的交点．【解】 两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2－y 2＝1，消元得x 2－(x －1)2＝1.则2x ＝2，x ＝1，代入y＝x －1得y ＝0.所以交点坐标为(1,0)．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________[小组合作型](1)已知动点P (x ，y )满足5＝13x －2＋y －2，则动点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线 【自主解答】 点P (x ，y )到直线3x －4y －1＝0的距离为d ＝|3x －4y －1|5；点P (x ，y )到A (1,5)的距离为|PA |＝x －2＋y －2，∴|PA |d＝3＞1，∴点P 的轨迹是双曲线． 【答案】 B(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A. 2 B ．22 C.12D ．24【自主解答】 结合题意，由椭圆第二定义知e ＝221＝22.【答案】 B(3)椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么P 到右焦点的距离为________．【导学号：32550094】【自主解答】 设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 到左准线的距离d ＝2.5，则P 到左焦点的距离|PF 1|＝e ·d ＝45×52＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－2＝8.【答案】 81．圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．2．利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解．1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．【精彩点拨】 在第(1)问中，可先设点M (x ，y )，由题意可求得点M 的轨迹方程．在第(2)问中，可先由点斜式把直线方程写出来，将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立，需注意考虑k ＝0及k ≠0的情况，当k ≠0时，联立后得到的关系式，还需讨论方程的判别式Δ及直线与x 轴交点的横坐标的正负．【自主解答】 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即x －2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x ＜0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x ＜0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx ＋，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k ＜0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(c)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0＜0，由②③解得－1＜k ＜－12，或0＜k ＜12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合①，②可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离． 2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． [再练一题]1．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定【解析】 由题意，得|－4|m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，∴m 29＋n 24≤m 2＋n 24<1，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1相交，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个公共点．【答案】 C [探究共研型]探究1【提示】 在统一定义中，若圆锥曲线是椭圆或双曲线，如果定点是左焦点，则定直线是左准线；如果定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线有唯一一个焦点，对应唯一一条准线．也就是说，定点F 和定直线l 是“相对应”的．探究2 椭圆、抛物线、双曲线的共同特征是什么？【提示】 椭圆、抛物线、双曲线三种圆锥曲线的共同特征表现在以下三个方面： (1)从方程的形式来看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程(包括圆)f (x ，y )＝0都是二元二次方程，所以统称为二次曲线．(2)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与定点和定直线的距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，只是当0＜e ＜1时为椭圆，当e ＝1时为抛物线，当e ＞1时为双曲线．(3)从曲线的形状生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．探究1 【提示】 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相切．相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线的对称轴平行时)或两个．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x 或y 的方程，二次项系数非零，判别式为零时必相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化)．(3)判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (或x )得一个关于变量x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.①当a ≠0时，若Δ>0，则直线l 与曲线C 相交；若Δ＝0，则直线l 与曲线C 相切；若Δ<0，直线l 与曲线C 相离．②当a ＝0时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点．此时，若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线；若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴．③当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．【精彩点拨】 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的范围．【自主解答】 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值范围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0＜m ＜5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值范围是m ∈[1,5)．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．[再练一题]2．求过点(0,1)，且与抛物线y 2＝2x 有且只有一个公共点的直线方程．【解】 ①当所求直线斜率不存在，即直线垂直x 轴时，因为过点(0,1)，所以x ＝0，即y 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 相切．②当所求直线斜率为零时，直线为y ＝1平行x 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 只有一个交点．③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y ＝kx ＋1(k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，∴k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0. 令Δ＝0，解得k ＝12，∴所求直线为y ＝12x ＋1.综上，满足条件的直线为：y ＝1或x ＝0或y ＝12x ＋1.探究2 如何解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题？【提示】 (1)正确求出直线与圆锥曲线的交点坐标，代入两点间距离公式易求弦长． (2)利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤为：①联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程； ②设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2，进而得到(x 1－x 2)2，(y 1－y 2)2.③弦长|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|，(3)解决弦的问题，大多涉及到圆锥曲线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与圆锥曲线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．(4)过圆锥曲线的焦点的弦长(简称焦点弦)问题，也可用定义来解决．例如抛物线的焦点弦问题．若直线y ＝x －1与双曲线x 2－y 22＝1相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离．【精彩点拨】 解方程组求出直线与双曲线的交点A 、B 的坐标，或者将方程组消元为一元二次方程，求出交点的横坐标之差的平方与纵坐标之差的平方，代入两点间距离公式可解．【自主解答】 联立直线方程与双曲线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2－y 22＝1，消去y ，得x 2＋2x －3＝0 ①.法一：由方程①解得x 1＝1，x 2＝－3，代入y ＝x －1得y 1＝0，y 2＝－4，于是A ，B 两点坐标分别为(1,0)，(－3，－4)，则|AB |＝＋2＋＋2＝4 2.法二：设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3，则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16，(y 1－y 2)2＝[(x 1－1)－(x 2－1)]2＝(x 1－x 2)2＝16，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝16＋16＝4 2.直线与圆锥曲线相交，弦长多通过根与系数的关系，设而不求得到，这样可以避免求交点坐标的繁杂运算．在求参数范围时还要注意“相交”(Δ＞0)这个条件．[再练一题]3．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．【解】 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0.Δ＝a 2－8a ＞0，a ＜0或a ＞8.设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2.由弦长公式得＋k2x1＋x 22－4x 1x 2]＝15，∴54⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－2a ＝15，整理得a 2－8a －48＝0. 解得a ＝12或a ＝－4.符合题意．所以，所求的抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－4y .[构建·体系]1．平面内到定点(0，－3)的距离与到定直线y ＝3的距离之比为12的动点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【解析】 由于点(0，－3)不在直线y ＝3上，且0<12<1，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆．【答案】 A2．已知双曲线x 23－y 24＝1，则其离心率为( )A.73 B ．212 C.72D ．213【解析】 由双曲线x 23－y 24＝1得a 2＝3，b 2＝4，则a ＝3，c ＝a 2＋b 2＝7，故离心率e ＝c a ＝213. 【答案】 D3．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B ．14 C ．12D ．1【解析】 ∵函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，11 ∴它们有且仅有一个交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax 2＋1，y ＝x ，得x ＝ax 2＋1，即ax 2－x ＋1＝0，∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14. 【答案】 B4．已知直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，则k 的取值范围是________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0 ①，直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋－k 2＞0，4k 1－k 2＞0，－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 5．若直线y ＝x －1与椭圆x 2＋y 22＝1相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离． 【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1x 2＋y 22＝1消去y 得3x 2－2x －1＝0， ∴|AB |＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋43＝423， ∴A 、B 两点间的距离为423.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。