1.1分类加法与分步乘法
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
3、都是采用加法运算
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下: A大学 B大学
共同点：都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。
主要不同点： 分类加法计数原理 ①完成一件事有n类不同 直 相 的方案； 达 互 ②各类方案相互独立； 目 独 ③每一类方案都能直接完 成该事件。 立 的
分步乘法计数原理
完成一件事要n个不同的 分 相 步骤；
各个步骤相互联系 ；
步 互 到 联 每一个步骤都不能直接完 达 系 成该事件，只有完成每个
物理学
工程学
法学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，在第1类方 案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的 方法，那么完成这件事情有 N=m1+m2+m3 种不同的方法
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、 第1位 第2位 第3位 第100位 C、G、U中任选一个来占据。
……
4种 4种 4种 4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U 中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
人教版高中数学选修2-3 第一章 1-1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
栏目导引
知识梳理
一、分类加法计数原理 1．完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有 m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完 成这件事共有N＝ m＋n 种不同的方法． 2．如果完成一件事情有n类不同方案，在第一类方案中 有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，… 在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝ m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
【错因】 错解一忽视数字0不能在首位的约束，按此 排法有可能为“0134”这种不符合要求的情况．
错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束，按 此排法有可能为“2032”，不符合条件．
若先排首位，应考虑排的是1,3,5还是2,4,6，因它直接关 系到第2步排个位的选取；
方法二(枚举法)：因为只取一人，这样设三个年级的优 秀 班 干 部 分 别 为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ； B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， B5，B6，B7；C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，从以上20 种情况中选一人有20种选法．
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
[问题] 此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途 径？
[提示] 3＋4＝7.此委员这一天从济南到北京共有7种快 捷途径．
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
2．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每 名同学可自由选择其中的一个讲座．
栏目导引
解析： 方法一(定义法)：由于要从三个年级的优秀班 干部中选出一人，故可分为三类：第一类从高一的5名优秀 班干部中选取一人，有5种选法；第二类从高二的7名优秀班 干部中选取一人，有7种选法；第三类从高三的8名优秀班干 部中选取一人，有8种选法．又根据分类加法计数原理知， 共有5＋7＋8＝20种不同的选法．
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
类比分类问 从实例和具体经验出发，
概 追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语 题的共同特征， 通过比较、归纳、概括等
括 言来表述呢？
学生归纳叙述分 思维过程获得分步乘法计
揭
分步乘法计数原理
步 乘 法 计 数 原 数原理的内容，培养学生
示 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同 理。
分析问题、模仿和语言表
（二）分类加法计数原理的形成
教学过程设计
生 问题 1： 活 （1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有 4 感 班，火车有 3 班，一天中乘坐这些交通工具从北 知 京到重庆共有多少种不同的走法？
初 识 原 理 生：7 种。
（追问：你是怎么想的） 师：这个问题中，小明要完成一件什么事？ 生：从北京到重庆。 师：怎么完成的呢？ 生：坐飞机或坐火车 师：你的意思是按交通工具不同分成了两类不同 的解决方案？你是怎么计算的呢？ 生：因为每一个班次的飞机或火车都能到达重 庆，所以 4+3=7.(以图表形式板书)
生物学 数学
管理学
化学 会计学 建筑学
医学 法学
类
物理学
比 如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共 迁 有多少种不同的选法呢？ 移
完成一件事有三类不同方案，第 1 类方案里有 m1
同 种不同的方法，第 2 类方案里有 m2 种不同的方
学生独立探
化 原 理
法，第 3 类方案里有 m3 种不同的方法，那么完成
1
1
1
A 2 B 2C 2 D 2
3
3
3
3
②4 3=12(请做的同学自己分析解释)
师：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由
于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更
原创1：1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理
根据分步计数原理，无重复数字的四位数有：N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
巩固练习
4.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊族有8名运动员，盘羊族 有7名运动员，羚羊族有6名运动员。问：
第一章 计数原理
§1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
高中数学选修2-3·精品课件
问题探究一：
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡
羊村
灰太狼从狼堡 去羊村抓羊，他开飞机去有 2 条航线，骑 摩托车去有 3 条道路．请问灰太狼去羊村一共有几种不 同方法？
问题剖析
灰太狼做什么事情？
从狼堡到羊村抓羊
完成这个事情有几类方法？
区别3
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
巩固练习
1.灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊在跳远、11只羊在跳 高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多 少种不同的选择？ 根据分类计数原理，不同的选法共有:N=12+11+9+13=45（种） 2.由数字1，2，3，4，5可以组成多少种可以有重复数字的四位数？
例4.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种 称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U 表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个 位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基 组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
高二数学之人教A版数学2-3全册课件：第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复 数 a＋bi，其中虚数有________． 解析：第 1 步取 b 的数，有 6 种方法；第 2 步取 a 的 数，也有 6 种方法．根据分步乘法计数原理，共有 6×6 ＝36 种方法． 答案：36
4．一学习小组有 4 名男生，3 名女生，任选一名学生当数学课 代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长， 共有________种不同选法． 解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选， 有 4 种选法；另一类是从女生中选，有 3 种选法．根据分类加 法计数原理，共有 4＋3＝7 种不同选法． 若选男女生各一名当组长，需分两步：第 1 步，从男生中选一 名，有 4 种选法；第 2 步，从女生中选一名，有 3 种选法．根 据分步乘法计数原理，共有 4×3＝12 种不同选法．
(3)可分两类，每一类又分两步． 第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选 法； 第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选 法． 由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．
1.计数时出现的“遗漏”
[典例] 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面，2面，3面在 某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不 同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
(2)分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方 法． 根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的 三位偶数．
[类题通法] 利用分步乘法计数原理时要注意
2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在 第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝
分类加法和分步乘法
N=m+n 种不同的方法.
实用文档
完成一件事有两,在类第不1类同方案中有m种不同的 方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这 件事共有
N=m+n 种不同的方法.
问题1 我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学 参加演讲比赛,则有多少种不同的选法？
实用文档
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
实用文档
178次
例8 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量 迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了 一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不 重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母 必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这 种办法共能给多少辆汽车上牌照？
实用文档
例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？
解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种 选法 第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2 种选法
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N＝3×2＝6
实用文档
练习：
1、在由电键组A、B组成的串联电路中， 如图，要接通电源，使电灯发光的方法 有几种？
3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重复 数字的三位数？
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 4、班由，数有字多0少，种1，不2同，的3，选4法，？5可以组成多少个有重复数字的三位数？
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1.1分类加法与分步乘法计数原理
一、分类计数原理
1.定义：一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21
2.各类办法之间相互独立,都能独立的、一次的且每次得的是最后的结果完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
3.首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
二、分步计数原理
1.定义：完成一件事，需要分成n 个步骤。
做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n 步有mn 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21
2.各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,缺少任何一步都不能完成这件事，将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理
3.首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.
三．分类加法与分步乘法计数原理的区别与联系
四．典型三个问题：
1.投信问题(例题：3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是多少？)
2.区域上色问题：逐块上色，但有时若一个区域上色影响到另一个区域上色的方法数时，应分类讨论. 常对对角区域同色或不同色分类.
例题：如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有多少种？(校本29)
3. 位置全错乱问题：(1)3人位置全错乱 (2种)
(2) 4人位置全错乱 (9种)。