向量与向量的线性组合
向量组及其线性组合
★定理1★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2★返回★ 向量组与矩阵★ 例1★ 例2第二节向量组及其线性组合内容分布图示内容要点： 一、n 维向量及其线性运算定义1 n 个有次序的数 印卫2,…，码所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量 的n 个分量，第i 个数a j 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动 的有向线段作为向量的几何形象 •引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序 实数），此即上面定义的 3维向量.因此，当n 岂3时，n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时，n 维向量没有直观的几何形象•若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组 •例如，一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷，＞2，…，〉n 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽，…，十称为矩阵A 的行向量组•根据上述讨论，矩阵 A 记为pu A % A =（G I ，C （2,…，U n ）或 A= 1 •"J这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r （A ） ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…，a .）与］=（b,，b 2,…，*）的各对应分量之和组成的向 量，称为向量爲与：的和，记为x 亠1：,，即由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：（a1 _b 1, a2 "2， ，a n - bn ） •定义3 n 维向量〉珂①宀?,…，a .）的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量，称为数 k 与向量二的乘积（又简称为数乘），记为k _：i ，即k ： =（ka i ,ka 2, ,ka n ）.向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律：（1）?■■-■:■； （2） （、• I'） （： ^ ）；（3） 小0-：；（4）： （：） 0；★ n 维向量的概念★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合（5）1：=■'；（6）k（l：）=（kl）：;(2)k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式:s ，对于任何一组实数 k i ,k 2,…，k s ,表达式A 的一个线性组合，k i ,k 2,…，k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A:：1,：2,…，：s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使(7) k(、；、卜)=k ：；亠 kl ，; (8) (k I)： =k ：：£ T ：. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2ami x i ' a m2X 2 ：：「八：:「a mn xn = b ma 2jb 2G j =3(j =1,2，…，n), 3 = al bm 丿则线性方程组(i)可表为如下向量形式：込X 2亠.亠：：皿--线性方程组(i)是否有解，就相当于是否存在一组数成立：定义4给定向量组A q ,。
3-2_向量与向量组的线性组合
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
向量及其线性组合
向量及其线性组合在数学中，向量是一种有方向和大小的量，常用箭头表示。
向量的线性组合指通过对向量进行数乘和向量的加法运算得到的新向量。
向量及其线性组合在代数和几何中都具有广泛的应用，并在物理学、计算机科学等领域中扮演着重要的角色。
1. 向量定义与表示向量可以用多种方式进行定义和表示。
最常见的方式是使用坐标表示，在一个坐标系中，向量可以由其起点和终点的坐标表示。
例如，二维空间中的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。
此外，向量还可以使用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小和方向。
在数学中，向量通常用小写字母加箭头表示，如→v。
2. 向量的运算向量有两种基本的运算：数乘和加法。
数乘指将一个向量乘以一个实数，结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小乘以实数的绝对值，并且方向与原向量相同（如果实数为正数）或相反（如果实数为负数）。
加法指将两个向量按照某种规则相加，得到一个新的向量。
在数学中，向量的加法满足交换律和结合律。
3. 线性组合的定义线性组合是指通过对向量进行数乘和加法运算得到新向量的过程。
给定一组向量v1, v2, ..., vn和一组实数c1, c2, ..., cn，它们的线性组合定义如下：c1v1 + c2v2 + ... + cnvn其中c1, c2, ..., cn为实数。
4. 线性组合的性质线性组合具有以下性质：- 封闭性：线性组合的结果仍为向量。
- 可交换性：线性组合的顺序可交换。
- 结合性：线性组合满足结合律。
- 零向量：零向量是任何向量的线性组合。
5. 线性相关与线性无关给定向量v1, v2, ..., vn，如果存在一组实数c1, c2, ..., cn，不全为零，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，那么这组向量被称为线性相关的；如果不存在这样的实数组合，那么这组向量被称为线性无关的。
6. 线性组合的应用线性组合在代数和几何中都有广泛的应用。
向量线性组合归纳(全)
向量线性组合归纳(全)引言向量线性组合是线性代数中的重要概念，它在解决向量空间中的问题时起到了关键作用。
本文将全面介绍向量线性组合的定义、性质和应用。
定义向量线性组合是指将若干个向量乘以相应的系数后相加得到的新向量。
设给定向量集合$$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$$，以及实数集合$$\{k_1, k_2, \ldots, k_n\}$$，则向量线性组合定义为：\[w = k_1v_1 + k_2v_2 + \ldots + k_nv_n\]其中，$$w$$为新向量，$$k_1, k_2, \ldots, k_n$$为系数。
性质向量线性组合具有以下性质：1. 封闭性：向量线性组合仍然是向量空间中的一个向量。
2. 结合律：向量线性组合满足结合律，即$$(k_1v_1 + k_2v_2) + k_3v_3 = k_1v_1 + (k_2v_2 + k_3v_3)$$。
3. 分配律：向量线性组合满足分配律，即$$k_1(v_1 + v_2) = k_1v_1 + k_1v_2$$。
4. 存在唯一性：给定向量集合$$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$$，如果存在不同的系数集合$$\{k_1, k_2, \ldots, k_n\}$$和$$\{l_1, l_2, \ldots, l_n\}$$，使得$$k_1v_1 + k_2v_2 + \ldots + k_nv_n = l_1v_1 + l_2v_2 + \ldots + l_nv_n$$，那么对应位置上的系数必须相等，即$$k_i = l_i$$对于$$i = 1, 2, \ldots, n$$。
应用向量线性组合在许多领域中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 线性方程组求解：将线性方程组中的系数矩阵与未知向量进行线性组合，可以得到方程组的解。
2. 线性空间的生成：通过线性组合可以生成一个线性空间，即由给定向量集合生成的所有可能的线性组合所构成的空间。
向量的线性运算
向量的线性运算向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。
本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。
设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。
向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：A+B=B+A2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。
设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。
向量的数乘满足以下性质：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。
设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。
向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。
向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。
通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。
在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。
例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。
综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。
通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。
空间向量的线性相关性与线性组合
空间向量的线性相关性与线性组合空间向量是线性代数中的重要概念，它们在多个领域中有着广泛的应用。
在学习空间向量时，了解线性相关性与线性组合是非常重要的概念。
本文将详细介绍空间向量的线性相关性以及线性组合，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、线性相关性线性相关性是指一组向量是否可以通过线性组合（即加法和数量乘法）等方式表示为零向量的形式。
对于向量组V = {v₁, v₂, ..., vₙ}，如果存在不全为零的系数c₁, c₂, ..., cₙ，使得c₁v₁ + c₂v₂ + ... +cₙvₙ = 0，则向量组V是线性相关的。
例如，考虑以下向量组V = {(1, 2), (3, 4)}。
我们可以发现存在不全为零的系数c₁ = 2, c₂ = -1，使得2(1, 2) - (3, 4) = (0, 0)。
因此，向量组V是线性相关的。
线性相关性的判断可以通过求解向量组的线性方程组来实现。
将向量组的元素作为方程组的系数矩阵，并将其等于零向量作为方程组的常数向量。
如果该线性方程组存在非零解，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。
二、线性组合线性组合是指将一组向量按照一定的系数进行加权相加的操作。
对于向量组V = {v₁, v₂, ..., vₙ}和系数c₁, c₂, ..., cₙ，v = c₁v₁ +c₂v₂ + ... + cₙvₙ即为线性组合。
线性组合的应用非常广泛，在几何学、物理学、经济学等领域中都有重要的作用。
例如，在几何学中，我们可以通过线性组合来表示向量之间的线性相关性，判断它们是否共线。
三、应用举例1. 几何学中的线性相关性与线性组合在几何学中，线性相关性与线性组合的概念可以帮助我们判断向量之间的关系。
如果一组向量线性相关，则它们位于同一直线上或共面；如果一组向量线性无关，则它们可以构成一个向量空间。
举个例子，考虑三维空间中的向量组V = {(2, 1, 3), (4, 2, 6)}。
我们可以发现第二个向量是第一个向量的倍数，即第二个向量是第一个向量的线性组合。
向量的线性运算及其性质
向量的线性运算及其性质向量是线性代数中的重要概念，是指由一组数按照一定规律排列而成的有序数列。
向量的线性运算是指在向量空间中，对两个或多个向量进行数学运算的过程，其中包括向量加法和数量乘法等两种基本运算。
一、向量加法向量加法是向量运算中最基本的一种运算方式。
在向量空间中，向量加法的定义是两个向量相同位置上的数值相加。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的加法定义为：a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)在向量加法中，满足加法交换律和结合律。
即对于任意向量a,b,c，有：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)此外，零向量也是一个特殊的向量，它的各个分量都为0，记为0。
对于任意向量a，都有：a+0=a二、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个常数。
常数也称为标量，表示为k。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)，其数量乘法定义为：ka=(ka1,ka2,ka3)在数量乘法中，也满足交换律和结合律。
即对于任意向量a，b 和任意实数k，有：k(a+b)=ka+kb(k1k2)a=k1(k2a)此外，特别地，当k=0时，有：0a=0这个公式表示了任何向量与零向量相乘结果都是零向量。
三、线性组合如果给定一个向量集合，可以通过线性组合的方式来构造出一个新的向量。
线性组合的形式是将每个向量分别与对应的系数相乘后相加，例如：k1a1+k2a2+k3a3其中k1，k2，k3为实数，a1，a2，a3为向量。
线性组合可以看作是向量加法和数量乘法的叠加，它有着很多重要的性质。
线性组合是向量空间中的重要概念，它可以用于描述向量之间的关系。
四、向量空间向量空间是指一组向量所组成的空间，其中的向量可以进行向量加法和数量乘法等线性运算。
向量空间必须满足以下条件：1. 零向量存在并唯一。
2. 加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。
3. 对于任意向量a，都有它的相反向量-b，使得a+b=0。
第1讲向量组及其线性组合
（2）向量组与向量组 定义：
设有两个向量组A : 1,2, ,m及B : b1, b2, , bs.
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示.
若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 向量组等价。
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性有关旳，不然称它线性无关．
注：
10
若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0 成立 .
20 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关 .
30 向量组只包含一个向量 时, 若 0,则说 线性相关, 若 0,则说 线性无关 .
由初等变换可逆性可知： A的行向量组能由B的行向量组线性表示，
A的行向量组与B的行向量组等价. 类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的列向量组
与B的列向量组等价.
§2 向量组旳线性有关性
一、线性有关性旳概念
定义： 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在
不全为零的数k1, k2 , , km使
故：1 , 2 ,, m 线性有关.
必要性： 设 1 , 2 ,, m 线性有关，
则有不全为0旳数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k2 2 km m 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一种不为0，不妨设 k1 0,
则有： 1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
（ii） 向量组线性无关的充分必要条件是R( A) m.
三、线性有关性旳主要性质
高考数学中的向量组合中的线性组合
高考数学中的向量组合中的线性组合数学作为一门科学，不断地推陈出新，不断地发展壮大。
而高考作为门面试，也必须与时俱进。
在高考数学中，向量组合中的线性组合是一大重点，也是一个比较抽象的概念。
在高考数学的复习过程中，理解它的概念和应用是相当重要的。
一、向量的定义先来了解一下向量的定义。
向量是一种有大小和方向的量。
也就是说，向量除了有大小的概念之外，还有方向的概念，这是它与普通的数值不同的地方。
二、向量的线性组合在高考数学中，向量组合中的线性组合是重要的内容，所以它的定义和应用也是需要我们特别关注的。
我们先来了解一下什么是向量的线性组合。
如果有几个向量，比如说 a，b，c，那么线性组合的形式就是：k1a + k2b + k3c其中 k1、k2、k3 是任意标量（实数或复数），那么 k1a + k2b+ k3c 就是这几个向量的线性组合。
三、向量的应用那么在高考数学中，向量的线性组合具体有什么应用呢？我们来讲一下。
首先，向量的线性组合可以用来表示平面上的任意一点。
我们知道，平面上的点可以用坐标来表示，而坐标是用两个实数来表示的。
因此，我们可以用两个向量作为基来表示平面上的所有点，这两个向量的线性组合可以表示平面上的任意一点。
其次，向量的线性组合可以用来表示向量。
比如说，如果我们需要计算两个向量的夹角，那么可以将这两个向量做线性组合，然后求出它们的模长和夹角即可。
最后，向量的线性组合还可以用来求空间中的任意一点。
与平面上的情况类似，我们可以用三个向量作为基来表示空间中的所有点，这三个向量的线性组合可以表示空间中的任意一点。
四、总结在高考数学的复习中，向量组合中的线性组合是重要的内容，而向量的线性组合也是这个话题中的一个重要概念。
通过对向量的定义和线性组合的应用的了解，我们可以更好地掌握这个话题，为高考数学的顺利通过打好基础。
向量组及其线性组合
1
,
m
)
2
m
在n 维向量的全体
x1
Rn
x
x2
xn
x1, x2 ,
, xn
R
中，向量组
1 0
1
0
,
2
1
,
0
0
0
,n
0
1
称为n 维基本单位向量组。
a1
任一n 维向量
a2
Rn
都可以由
1, 2 ,
an
, n 表示成
B
1T
T 2
T m
1.2 向量组的线性组合
设向量组
1 2 4
1
2 1
,
2
3 1
,
3
11
由向量的线性运算知道， 3 22 1
这时称α3 是α1，α2 的线性组合。
定义2 设有向量组
:1,2 , ,m
，对于任意一组数
k1, k1, , km ，向量：
k11 k22 kmm
n 维向量也可以写成一行，记作
T (1,2 , ,n )
称为行向量，也就是1×n 行矩阵。
规定:n 维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设λ 是数，n 维向量
a1 b1
=
a2
,
=
b2
an
bn
a1 b1
a1
则
=
a2
b2
,
=
a2
an
bn
an
x
y z
同维数向量的集合称为向量组。例如，n 维向量的全体所组成 的集合为
x1
Rn
x
x2 xn
x1, x2 ,
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122
12
不能由 , 线性表示。
2
12
练习 设R3 中的向量 (1, 5, 9),1 (1, 2, 3),
2 (4, 5, 6),3 (7, 8, 9)
判断 能否由 1，2， 3 线性表示？若能，
写出一个表示式。
解 设k k k
？
则称 是向量组 1,2 , ,s 的线性组合
或称 可由向量组 1,2, ,s 线性表示（或线性表出）
如前例
一些常用结果 例 （P.124例3(129例2)）
零向量是任何向量组的线性组合。
设任一向量组为 1，2， ，s ，
则 k1 k2 ks 0,
(ki 1, k j 0( j i))
2. 能否表示的判定定理及求组合系数的方法
设
b 1
a1 j
b2 ,
b m
j
a 2j
(
j
a mj
1,2,
s)
对比线性方程组的向量表示：x11 x22 xss
( A) (1, 0, 0)T , (0, 1, 0)T , (0, 0, 1)T
1
2
3
(B)1
(1,
0,
0)T
,
2
(1,
1,
0)T
, 3
(1,
1,
1)T
(C ) (0, 0, 0)T , (1, 1, 0)T , (1, 0, 0)T
1
2
3
x 2x
1
2
4x 3
3
5
x 1
7x 2
x 3
28
x 1
2 1
x2
2 2
1
x 3
4
6 3
5
7
1
28
若记
(2,1,5)T , 1
(2,2,7)T , 2
1
1
2
3
2
1
23
1
但 (A)不能由(C)线性表示: 因 3 不能由(C)线性表示
或 (b1,b2 , ,bn )T
a1
T
a2
an
分量为实数的向量称为实向量；
分量为复数的向量称为复向量。
负向量 (a1， a2， ， an )
特殊向量：
零向量 O (0，0， ，0)
n维(基本)单位向量：
1 (1,0, ,0),
(1T
2T
T s
T)
行列 变向 换量 ！，
若 可由向量组 1 ,2 , , s 线性表示，
问：“表示”是否唯一？
例5
P.125
判断向量
1
(4,3,1,11), 与 2
(4,3,0,11)
是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。
(1,2,1,5), (2,1,1,1)
121
12
1
12
且 2
1
1
2
（表示唯一吗？）
(2)
1 2 4 1 2 4
( T T T ) 12 2
2 1
1 1
5 1
3 0
11
0 0
0
1 0 0
1 1
0
r( T T T ) 3, r( T T ) 2,
1
2
解 (1)
设
k11
k2 2
1
1 2 4 1 0 2
( T T T ) 121
2 1
1 1
3 1
5 1 11
0 0
1 0
0 0
1 0
0
r( T T T ) r( T T ) 2, 可由 , 线性表示，
即 a11 a2 2 an n
(ki ai , i 1,2, , n)
例 （P.125例4（129例3）） 向量组 1，2， ，m
中任 一向量都可由这个向量组线性表出。
组内向量可由本组向量表示
因为 i 01 02 0i1 1i 0i1 0m
70 k(l ) (kl) ；
80 1 ；
其中，，是n维向量，k ，l为常数.
与矩阵的加法、数乘运算律同。
定义3.4 （P.122（126） )
对于所有n维向量组成的集合，按定义的加法和数乘， 满足八条运算法则，我们称这个集合对规定的加法和数 乘构成一个n维向量空间。记为Rn.
1 0
0
2 (0,1, ,0),
或
1
0 ,
2
1 ,
,n
0
n (0,0, ,0,1)
0 0
1
2. 运算
设 (a1，a2， ，an ) (b1，b2， ，bn )
1
2
n
1
则
A
2
m
或 A (1，2， ，n )
用向量的观点看线性方程
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .................................................
及线性组合的定义： k11 k22 kss 知， 是否为向量组 1,2 , ,s 的线性组合，
等价于方程组 x11 x22 xss 有无解，
等价于 r(A|) 是否等于 r(A)。
其中 A ( )
12
s ms
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
可写成： a11 a12
a1n b1
x1
a21 am1
x2
a22 am2
xn
a2n
amn
r
1T
T 2
T 3
T
r
1T
T 2
T 3
2( 3)
可由
1
,
2
,
线性表示（表示式不唯一，为什么？）
3
由
1 0
0 1
1 5 2 1
0 0 0 0
得
x1
x2
x3 5 2x3 1
即
x1 x2
11
22
33
1
1T
T 2
T 3
T
2
3
4 5 6
7 8 9
195 初等行变换
1 0 0
4 －3
0
7 －6
0
1 3 0
1 0 1 5
初等行变换 0
1
2
1
0 0 0 0
若不需写出 “表示式”， 则不必化行简 化阶梯形矩阵。
定理3.3 （P.124（128））
可由向量组 1,2 , ,s 线性表示
r( A ) r( A)
组合系数为方程组 x11 x22 xs s 的解。
其中
A
(1
2
)s ms
以向量 j 为列！
注意：若 ， j 是行向量，则须
思考题：
相等
ai bi (i 1,2, , n)
加法 减法 数乘
(a1 b1，a2 b2 ， ，an bn ).
( ) (a1 b1，a2 b2 ， ，an bn ).
k (ka1，ka2 ， ，ka3 )
5 x3 1－2 x3
取 x3=0, 得 x1=5, x2=-1.
于是得线性表示式： 51 2 03
再求一表示式 取 x3=1, 得 x1=6, x2=-3.
61 32 3
三、 两个向量组之间的关系 (P.125 (137))
定义
设有两个向量组
1
2
(3, 6, 3 , 3) (3, 1, 2, 5)
22
2
(6, 5, 1 , 1) 2
用向量的观点看矩阵
a11 a12 ... a1n 1
A
a21
a 22
... a2n 2
am1 am2 ... amn m
( A) 1，2， ，s (B) 1，2， ，t
• 若向量组(A)的每个向量都可由向量组(B)中的向量线 性表出，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表出。
• 若向量组(A)与向量组(B)可互相线性表出，则称它 们等价。(定义3.6）
即 j l j1 1 l j22 l jt t ( j 1,2, , s) i ki11 ki22 kiss (i 1,2, , t )