11初中数学竞赛专题培训(20)：类比与联想

初中数学竞赛专题培训第二十讲类比与联想
类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．
联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．
利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路．
1．类比与发现
例1已知：△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．
解引CF⊥BA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以
因为∠C=∠BDE=90°，所以
∠ADE=∠CBH．
又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以
类比如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．
例2如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC 边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．
解类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE 不相似于△CBH．但由已知条件
∠C=4∠B=4∠A，
则
∠A=∠B=30°，∠C=120°．
由于CF平分∠C，所以
∠ACF＝60°．
又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以
△ADE∽△ABC，
所以
由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则
类比如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．
例3已知△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S△CBH．
解本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．
由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以
∠CBH=∠ADE=45°．
因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以
△CBH≌△ADE，
所以 S△CBH=S△ADE.
因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则
(2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．
我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有
│b-c│＜a＜b＋c，①
即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．我们对①类比：是否有
存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4)．
2．联想与解题
例5 a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有
a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，
分析与解由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有
例6如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：
x+z=2y．
分析与解 (1)展开原式有
z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，
合并、配方得
(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，
即 (x+z-2y)2=0，
所以 x+z＝2y．
(2)如果看已知条件：
(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，
很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程
(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由
(x-y)+(z-x)+(y-z)=0
可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知
所以 x+z=2y．
当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以
x+z=2y．
例7化简
分析与解这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．
例8图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG)．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有
即 c2=2ab+b2-2ab+a2,
即 c2=a2+b2.
这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．
设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．
(1)在图 2-117中，有
a2+b2＝(S3+S5)+(S1+S2+S4)
＝(S4+S5)+(S1+S2+S3)
＝2S2+S1+S3=c2．
(2)在图 2-118中，有
a2+b2＝(S3+S4)＋(S1+S2)
=S1＋S3＋S4＋S＇2＋S5=c2
(3)在图2-119中，有
a2＋b2＝(S2＋S5)+(S1＋S3＋S4)
=S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．(4)在图2-120中，有
a2＋b2=(S＇2＋S5)＋(S1＋S3＋S4)
=(S＇2+S4)+(S1+S3+S5)
＝S1+S2+S3+S5=c2．
练习二十
1．在直角△ABC中，∠C=90°．
(1)如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形(如图2-121)，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系？
(2)如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系(如图2-122)？
(提示：联想同分数，分母大的反而小，变比较分数的大小为比较倒数的大小．)
(提示：如联想到已知公比之比值k，则可化难为易．)
4．参照图2-120，写出勾股定理的逻辑证明．
5．已知：△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，BD是∠B的分角线，E 点在AB上，且∠ADE=∠DBC，S△ABC=1，求S△ADE．。