26.1.2二次函数图像和性质(第四课时)
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
作业：练习册相关题目
再 见
知识剖析
1、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条直线 。 当 k>0 时，y随x的增大而增大； 当 k<0 时，y随x的增大而减小。
2、反比例函数的图像有何特征？
反比例函数的图像是 双曲线 ，共有 两 支， 且关于 原点 对称。 当 k>0 时，图像在 一、三 象限，在每个象 限内y随x的增大而减小； 当 k<0 时，图像在 二、四 象限，在每个象 限内y随x的增大而 增大 。
？
yx
2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做
描点,连线 2
-4 -3 -2 -1
y
-1
-2 -4 -6
?
-8 -10
0 1 2 3 4 x
2 y=-x
画一画
在同一坐标系中画出函数x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
y x
2
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？ (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
26.1.2二次函数yax2的图像和性质
用一根长为30厘米的绳子围成一个长方形， 如果设矩形的一边AB长为x厘米，那么矩形的 哪些量随x的值的变化而变化？
二次函数的定义:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变
量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一 次项系数和常数项.
9
连接各点，就得到y = x2 的图
象．
6
y=x2
3
－3
3
例解1：在分同别一填直表角，坐再标画系出中它，们画的出图函象数，如y 图12 x2, y 2x2 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
45 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2 x 2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ·
·· ·
8
4y.5 x2 2
8
0.5y 20x2
0.5
2
4.5
8
···
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
26.1二次函数y=a(x-h)2图像与性质学案4
实验中学九年级数学学案
顶点
对称轴
最值
增减性
也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x
．它们之间如何平移得到？
练习平台一、循序渐进：
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．3．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．4．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．
5．将抛物线y＝－1
3(x－1)x
2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
6．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式__________________．
7．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；
当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
8．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
9．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．
10．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图像。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的知识对于理解高中阶段的函数学习和解决实际问题具有重要意义。
本节内容首先介绍了二次函数的定义，包括函数的表达式、自变量和函数值的限制条件等。
接着，通过实例讲解，让学生理解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。
然后，引导学生学习二次函数的性质，包括单调性、极值等。
最后，通过练习题，让学生巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本知识，对于一次函数和二次函数的概念有一定的了解。
但是，对于二次函数的性质和图像的深入理解还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的定义、性质和图像，能够解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：二次函数的图像特征的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲授法、案例教学法和练习法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，展示二次函数的图像和实例。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，通过实例进行解释和展示。
3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次函数的重要性和应用价值。
七. 说板书设计板书设计包括二次函数的定义、性质和图像的主要内容，以及相关的重要概念和公式。
华东师大版九年级数学下册学案：26.2二次函数的图象和性质
§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容：1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．2．理解了二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案Ⅴ．课后作业P 231.3.526．1 二次函数的图象与性质（1）[本课知识重点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 1． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识重点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy=与222+=xy的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …22xy=…18 8 2 0 2 8 18 …222+=xy…20 10 4 2 4 10 20 …x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …12+-=xy…-8 -3 0 1 0 -3 -8 …12--=xy…-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识重点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)2(21+=xy，2)2(21-=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …221xy= (2)92 210 212 29…2)2(21+=xy (2)10 212 2258 225…2)2(21-=xy (2)258 292 210 21…回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识重点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．x… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值． 解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b 解得 ⎩⎨⎧=-=148c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识重点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM 及创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．x … -2 -1 01 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 06 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识重点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM 及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y x （元）130 150 165 y （件） 70 50 35若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有 1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为Sm 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识重点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM 及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得 28.04.2⨯=-a所以 415-=a ． 因此，函数关系式是2415x y -=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 ⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ， 又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(12--=a解得 4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ．解得 51=a ． 所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；。
26.1.2 反比例函数的图像和性质(4)
y1 y2
y2
4
A(-4,2)
-5
2
o
-10
Q（-4,0.8）
x
O
-2
5
y2
-4
(1)
-6 -8
B(2,-4)
(2)
y2
1 变式： 如图，已知反比例函数 y1= 2 x 的图象 与一次函数y2= kx+4的图象相交于P、Q两点， 且P点的纵坐标是6. （1）求这个一次函数的解析式; （2）求△POQ的面积; y （3）利用图像直接写出: P y y 1 2 当x取何值时,
自学指导2：(3分钟) 反比例函数图象的对称性 结合反比例函数的图像，思考; 1.双曲线是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 2.双曲线是中心对称图形吗？对称中心是什么？
k y y=— x
y=-x
y=x
既是轴对称图形 又是中心对称图形
0
x
自学检测2：(5分钟) 1.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中 心对称图形.它的对称中心是 原点 ;它的对称 轴有 2 条，分别是 y=x和y=-x . 2.正比例函数与反比例函数在同一坐标系内图 象如有交点，若其中一个交点的坐标为(a,b)， (-a,-b) 则另一个交点坐标为________.
3 积为3,则这个反比例函数的关系式是y x . y 解：设点P(m,n)，
则PN=|m|、PM=n 由题意得：PM·PN=3 则：|m|·n=3 ∴ －mn=3 即 k=-3 3 ∴ y x 且m﹤0 则mn=－3
o
M N
x
p
k 3.如图，直线L和双曲线 y x
(k＞0)交于A、 B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过 点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、 E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、 △BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则S1、S2、 S3的大小关系.
26.1.2 反比例函数的图象和性质 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
综合应用创新
解题秘方：紧扣反比例函数的系数k的几何意义，利用轴 对称、勾股定理、正方形的性质解决最小值问题，正确构 造“两点一线”型最小值的基本图形是解题的关键. 解：由题知k>0，∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标都为6，∠B＝90°. ∴ M(6，6k)，N(6k，6). ∴ BN＝6－6k，BM＝6－6k.
感悟新知
反比例函数 k的符号
k＞0
y＝kx(k ≠ 0)
k＜0
知2－讲
图象
图象位置 增减性
第一、第三象限
在每一个象限内，y 随x的增大而减小
第二、第四象限
在每一个象限内，y 随x的增大而增大
感悟新知
知2－练
例2
已知反比例函数y＝
m2 x
(m
≠
0)的图象过点(－3，－12)，
且反比例函数y＝mx 的图象位于第二、第四象限.
知1－练
1-1. (1)在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝6x与y＝ －6x的图象．
感悟新知
解：①列表：
知1－练
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 …
y＝6x … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 … y＝－6x … 1 1.2 1.5 2 3 6 …
感悟新知
知1－练
x …1 2 3 4
感悟新知
知2－练
2-2.
在反比例函数y＝
4－k x
的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是( C )
A. k＜0
B. k＞0
C. k＜4
D. k＞4
感悟新知
知3－讲
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
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数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴 对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而减小?
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1
2
y 3x 1 2
2
顶点是(1,-2).
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.
探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
2
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数 y=3x² ,y=3(x1)2和y=3(x1)2+2的图象 有什么关系? 它们的开口方 向,对称轴和 顶点坐标分别 是什么?
他们 的形 状是 不是 相同 呢？
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二次函数y=-3(x-1) +2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
顶点分别是 (1,2)和(1,-2).
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).
我思考，我进步
y=3(x-1)2 +2
把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得 函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？
?
我思考，我进步
探讨1、 二次函数y=3x² ,y=3(x1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看．
?
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y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
y 3x 1
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
y 3( x 1) 2
2
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对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
向上
向下
y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2
向右 2 y=-3x
向右 2 y=-3x 向左 2 y=-3x 向左 2 y=-3x
1.如何同y=-x2的图象得到y=-x2-3的图象。并 说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。 2.如何y=2x2的图象得到y=2(x-3)2的图象。并说 明后者图象的顶点，对称轴，增减性。
二次函数y=a(x–h)2的图象和性质.
y=ax2
当h>0时,向左平移
当h<0时,向右平移
y=a(x–h)2
复习导入
向右 2 y=-3x
向右 2 y=-3x
y=Байду номын сангаас3(x-1)2
y=-3(x-1)2
向上
向下
y=-3(x-1)2+2
y=-3(x-1)2-2
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我思考，我进步
探讨4、二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=3x² ,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
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y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
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y=3x2 y=3x2
向右
向右
y=3(x-1)2 y=3(x-1)2
顶点是(1,2).
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
y=3x2
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
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探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
2
y 3x 1 2
2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.
探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
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y=3x2
向右
y=3(x-1)2
向上
y=3(x-1)2+2