2.1随机变量
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
2.1随机变量及其概率分布
例1
袋中有3只红球， 只白球 从中任意取出3只球 只白球， 只球， 袋中有 只红球，2只白球，从中任意取出 只球， 只红球 写出所有的基本事件，并观察取出的3只球中的红 写出所有的基本事件，并观察取出的 只球中的红 球的个数． 球的个数． 我们将3只红球分别记作 只红球分别记作1， ， 号 我们将 只红球分别记作 ，2，3号，2只白球分别 只白球分别 记作4，5号，则该试验的所有基本事件为： 记作 ， 号 则该试验的所有基本事件为： ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，2，3）（ ，2，4）（ ，2，5） ， ， ）（ ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ ）（2， ， ）（ ）（2， ， ） （2，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ （3，4，5） ， ， ）
例题分析：
例 4、同时掷两颗质地均匀的骰子， 、同时掷两颗质地均匀的骰子， 观察朝上一面出现的点数。求两颗骰 观察朝上一面出现的点数。 的概率分布， 子中出现的最大点数 X 的概率分布， 并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P(2<X<5).
例题分析：
个灯泡， 例 5、已知盒中有 10 个灯泡，其 、 个正品， 个次品.需要从中 中 8 个正品，2 个次品 需要从中 取出 2 个正品，每次取出 1 个， 个正品， 取出后不放回， 取出后不放回，直到取出 2 个正 品为止.设 为取出的次数， 品为止 设ξ为取出的次数，求ξ 的分布列
此表称为随机变量X的概率分布表。它和① 此表称为随机变量 的概率分布表。它和①都叫做随 机变量X的概率分布。 机变量 的概率分布。
随机变量X的概率分布列：
X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示
概率论2.1随机变量的概念
随机变量X的所有可能取值称为样本空间
样本空间是一个数字集合，事件也是数字集合
例如 掷骰子，
事件
s {1,2,
,6}
事件即是X满足的条件
A＝ “点数大于3” 可以写为： {x|X>3}
通常简单记为： {X>3}
再如：灯泡的寿命 用Y
事件
A＝ “灯泡寿命大于3000｝
s
一样吗？ 对于随机变量，我们不过多关注e和X（e)的 对应关系，而是把关心X（e）的取值情况
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母ζ ,η 等表示
而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母
x , y , z等
引入随机变量的目的是为了便于以数量形式全面 地研究随机试验的全部结果的概率分布情况， 及其
一、随机变量的概念
举例：掷骰子 s={1,2,3,4,5,6}
用X表示投掷的结果，X的取值事先并不知道，只能
知道是六个数之中的一个。
再举例：每天来听课的人数， 用Y表示，Y具有随机性质
随机变量的直观定义： 事先不能够确定取得什么值的量称为随机变量， 事后的结果成为随机变量的取值 特别强调：“事先”两字，
设 S e i 是 E 的样本空间， 若对于每一个
X X e , 则称
e S , 有一个实数 X e 和它对应 即
X e 为随机变量。
也可用 Y、 Z 来表示。 为了区别不同的随机变量， 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
e.
X(e) R
s
e.
X(e) R
问题：如果试验的结果不是数字，能不能也用数字
方便的表示呢？ 比如：投掷硬币观察正反面 记录新生婴儿的性别、考试合格不合格等问题 做法：可以把样本点和数字建立一一对应关系 样本点←→数字 比如 X=1 正面←→1 表示取正面 反面 ←→0 X =0表示取反面
高中数学 第2章 概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学
2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。
2.1随机变量及其分布
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
1 X 0
A发生 A不发生
则
X P
0
1
1 p
p
称X服从0—1分布.
例 一批产品， 次品率为 15%, 从中随机抽取一个
(2) { x1 , x2 ,..., xk ,...} x1 x2 ... xk ...
1 P ( ) P x1 x2 ... xk ... p{ X x1 } p{ X x2 } ... p{ X xk } ...
“ X 在 A 中取值”,即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
投中后 例 某人投篮， 命中率为 0.7, 规则是： 或投了4次后 就停止投篮，设 X 表示 “此人投 篮 求 的次数”， X 的概率分布. 解
X pk
1
2
3
4
0.7 0.21
i 设 Ai 表示 “第i 次投中篮框” (， 1,2,3,4 ) A1 , A2 , A3 , A4 相互独立.
3 6 1 6
x 1
1 x 0 0 x 1
x1
1
0
1
随机变量的分布函数 F ( x ) 具有如下性质: (1) 0 F ( x ) 1, x
(2) F ( x ) 是 x 的 单调不减函数. 即
a b 时, F (a ) F (b)
p1 P{ X 1} P ( A1 ) 0.7 p2 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.3 0.7 0.21
2.1随机变量及其概率分布
●
上述现象有哪些共同特点？
2.1随机变量及其概率分布
学习目标:
理解随机变量的概念并会求其概率分布.
自学指导:
1,什么是随机变量?随机变量通常怎样表示? 2,怎样表示随机变量X的概率分布? 3,什么是0-1分布?它有什么特点?
自学检测:
P48 练习 1
建构数学
一般地，如果随机试验的结果， 可以用一个变量来表示，那么这样的 变量叫做随机变量。
例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只 球,用X表示”取到的白球个数”,即
1,当取到白球时, X 0,当取到红球时, 求随机变量X的概率分布.
X
数学运用 例3 同时掷两颗质地均匀的骰子， 观察 朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现 的最大点数X的概率分布，并求X大于2小 于5的概率P（2<X<5）。
(1, 6),(2,6),(3,6),(4,6), (5,6), (6, 6)(6,5), (6, 4),(6,3),(6, 2), (6,1)
9
11
分层训练:
必做题 P48 练习 3 选做题 P52 习题 1 思考题 在例3中,求两颗骰子出现最小点数 Y的概率分布. 作业 P52 习题 2
那么: 用怎样的数学模型刻画上述问题? 如何运用这些数学模型解决相关的实际问题?
第二章:概率
问题情境
1、 在一块地里种下10棵树苗，成活的 棵数X是0,1，2，… ，10中的某个数； 2、抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2， 3，4，5，6中的某个数； 3、新生婴儿的性别，抽查的结果可能是 男，也可能是女。如果将男婴用0表示，将 女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0或1中的 某个数；
(2)一实验箱中装有标号为1，2，3，3， 4的五只白鼠，从中任取一只，记取到 的白鼠的标号为Y,则随机变量Y的可能 取值有哪些？
概率论§2.1 随机变量-§2.2离散型随机变量
0, w = (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ) 1, w = (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ) X = X (w ) = (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ) 2, w = (a1 , a2 )
18
分布函数的性质
(1) F(x)是x的不减函数 ，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
(2)
F ( ) = lim F ( x ) = 0
x
F ( ) = lim F ( x ) = 1
x
理解：当x→+时,{X≤x}愈来愈趋于必然事件. (3)右连续性: 对任意实数 x0 ,
P ( X x ) = 1 P ( X x ) = 1 F ( x );
21
例1 设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量X 1与X 2
的分布函数，为了使 ( x ) = aF1 ( x ) bF2 ( x ) F
是某一随机变量的分布函数，则下列各组值 中应取（A）
3 2 ( A) a = , b = 5 5
连续型随机变量
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到 的 24 “测量误差”等。
§2.2 离散型随机变量及其分布
定义 如果随机变量X 只取有限个或可列无限 多个不同可能值，则称X 为离散型随机变量. 例如, 抛一枚硬币，X 可取0,1有限个值。 可知X为一个离散型随机变量。 例如，电话交换台一天内接到的电话个数
F ( x0 0) = lim F ( x ) = F ( x0 )
x x0
19
如果一个函数满足上述三条性质，则一 定是某个随机变量 X 的分布函数。也就是说， 性质(1)-(3)是判别一个函数是否是某个随机 变量的分布函数的充分必要条件。
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
概率论第二章
§2.1 随机变量
[注] 1.常用大写字母 X , Y , Z ，或希腊字母
, , 表示随机变量；
2.用小写字母 x, y, z 表示随机变量的取值；
3.随机变量具有变异性和随机性； 4.随机事件是从静态的角度研究随机现象， 而随机变量则从动态角度研究随机现象。
§2.1 随机变量
例1 测量某地的降水情况，用 R.VX 表示降 水量(单位：毫升)
§2.2 离散型随机变量
定义1 设离散型随机变量X所有可能取值 为 x1 , x2 ,，称 P{ X xk } pk k=1,2,… 为离散型随机变量X的概率函数或分 布律，也称概率分布. 例1 设随机变量X的概率函数为：
k P( X k ) a , k!
k =0,1,2, …, 0
§2.2 离散型随机变量
定理2（ 泊松定理）
在 n 重贝努里试验里，事件A发生的次数X 服从二项分布，假设每次试验发生的概率为 p n
(0 pn 1)并且 lim np n ,则对任一整数 k 0 n k k k 有 lim C n p n (1 p n ) n k e , k 0,1,2, n k!
中随机抽取一件，用“X=1”和“X=0”分别
表示抽到的是一等品和二等品，求X的分
布律。
§2.2 离散型随机变量
2. 二项分布 如果离散型随机变量X的概率分布为
P{X k} C p (1 p)
k n k
n p
其中 0 p 1, k 0,1, 2,, n ，则称X服从参数
为n,p的二项分布(或贝努利分布)，记为
2） F () lim
F () lim
x
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(2)连续型
随机变量所取的可能值可以连续地充
满某个区间,叫做连续型随机变量. 实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.
[0, ). 则 X 的取值范围为
实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) .
三、小结
1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是 一个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数；
每天进入一号楼的人数； 昆虫的产卵数； 四月份石家庄的最高温度；
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是 说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运 动场上不叫运动 员的名字而叫号 码一样，二者建 立了一种对应关 系.
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }; 记每次试验出现正面 H 的总次数为随机变量 X ,
则 X 作为样本空间 S 上的函数定义为
X HHH 3 HHT 2 HTH 2 THH 2 HTT 1 THT 1 TTH 1 TTT 0
随机变量及其 取值规律
随机变量概念的产生是概率论发展史上 的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象 统计规律的研究，就由对事件及事件概率的 研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.
4.随机变量的分类
随机变量
离散型 非离散型
(1)离散型
连续型 其它 随机变量所取的可能值是有限多个或
无限可列个, 叫做离散型随机变量.
一、随机变量的引入
样本空间 S 中的元素与试验有关,从 数学角度看, 希望 是抽象的集合 S 非等可能事件的概率怎么计算？ 在概率论中怎么应用微积分理论？
· · · · · · · · · ·
概率论是从数量上来研究随机现象内 在规律性的，为了更方便有力的研究随机 现象，就要用微积分的方法来研究， 因此 为了便于数学上的推导和计算，就需将任 意的随机事件数量化．当把一些非数量表 示的随机事件用数字来表示时， 就建立起 了随机变量的概念．
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在 规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就需将随机事件数量化，把一些非数量表示的 随机事件用数字表示时， 就建立起了随机变 量的概念． 因此随机变量是定义在样本空间 上的一种特殊的函数．
2. 随机变量的分类: 离散型、非离散型.
第二章 随机变量及其分布
离散性随机变量 两类随机变量 连续性随机变量
重点与难点
1.重点
(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算
2.难点
连续型随机变量的概率密度函数的求法
第一节 随机变量
一、随机变量的引入
二、随机变量的概念 三、小结
{Hale Waihona Puke X x}事件Ox
x
利用微积分来研究随机现象 直线上的集合
随机变量通常用大写母 字 X、Y、Z 或、、 等表示
而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母 x, y, z, w, n 等.
实例3 结果:
掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个
e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
实例1 观察掷一个骰子出现的点数.
随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2
若随机变量 X 记为 “连续射击, 直
1, 2, 3, .
至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,
现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”则 , X 的所有可能取值为:
3.引入随机变量的意义
有了随机变量, 随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 例如， 某城市的 120 急救电话每小时收到的呼 唤次数 X 是一个随机变量. 恰好收到10次呼叫} {X= 10} {没有收到呼叫} {X= 0}
事件{收到不少20次呼叫}{ X20}
事件及 事件概率
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上) e2 (正面朝上)
X (e )
0 X (e1 ) 0
1 X ( e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
实例4 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:
e1 (男,男), e2 (男,女), e3 (女,男), e4 (女,女).
易见, 使 X 取值为 2 的样本点构成的子集
故
A { HHT , HTH , THH }, P{ X 2} P ( A) 3 / 8,
X
HHH 3
HHT 2
HTH 2
THH 2
HTT 1
THT 1
TTH 1
TTT 0
类似地有
P{ X 1} P{ HTT , THT , TTH , TTT } 4 / 8.
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
X (e1 ) 0, X (e2 ) 1,
X (e3 ) 1, X (e4 ) 2,
可得随机变量 X(e),
0, e e1 , X (e ) 1, e e2 , e e3 , 2, e e . 4
反面 T 实例5 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H、 出现情况的试验中, 其样本空间
实例2 则有
抛掷骰子,观察出现的点数.
S={1，2，3，4，5，6}
样本点本身就是数量
X (e ) e
恒等变换
X (1) 1, X ( 2) 2, X ( 3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
1 P{ X i } , ( i 1,2,3,4,5,6). 6
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一 个球,观察摸出球的颜色. S={红色、白色}
非数量 可采用下列方法 红色 白色
S ?
将 S 数量化
X (e )
0
1
R
即有
X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, X (e ) 0, e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
因变量是 确定的实数 自变量是实数
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系 X (e)是随机变量 { X x}是事件 随机变量的引入使得所 有试验的样本空间都是 e 1 直线上的集合 e 2 S
二、随机变量的概念
1.定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e }. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数 X (e ) 与之对应, 这样就得到一个定义在S 上的单值实值函数 X (e ), 称 X (e ) 为随机变量.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
y y x