第三章 第三节 正弦、余弦、正切函数的图像与性质

第三章 第三节 正弦、余弦、正切函数的图像与性质1.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是 ( ) A ．{x |x ≠π4，x ∈R} B ．{x |x ≠－π4，x ∈R}C ．{x |x ≠kπ＋π4，k ∈Z ，x ∈R}D ．{x |x ≠kπ＋3π4，k ∈Z ，x ∈R}解析：∵x －π4≠kπ＋π2，∴x ≠kπ＋34π，k ∈Z.答案：D2．求下列函数的定义域：(1)y ＝cos x ＋tan x ； (2)y ＝lg(2sin x －1)＋－tan x －1cos(x 2＋π8)解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，tan x ≥0，即⎩⎨⎧2kπ－π2≤x ≤2kπ＋π2，kπ≤x ＜kπ＋π2，(k ∈Z)，所以2kπ≤x ＜2kπ＋π2(k ∈Z)．所以函数y ＝cos x ＋tan x 的定义域是 {x |2kπ≤x ＜2kπ＋π2，k ∈Z}．(2)由函数式有意义得⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，－tan x －1≥0，cos(x 2＋π8)≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞12，tan x ≤－1，x 2＋π8≠kπ＋π2，(k ∈Z)．即⎩⎪⎨⎪⎧2kπ＋π6＜x ＜2kπ＋5π6，kπ－π2＜x ≤kπ－π4，x ≠2kπ＋3π4，(k ∈Z)．求交集得2kπ＋π2＜x ＜2kπ＋3π4(k ∈Z)．所以函数的定义域是{x |2kπ＋π2＜x ＜2kπ＋3π4，k ∈Z}．3.若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]内单调递增，则f (x )可以是 ( )A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x解析：y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以f (x )可以是－cos x .答案：D4．求y ＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间．解：y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π6)，∴T ＝π|ω|＝4π，∴y ＝3tan(π6－x4)的周期为4π.由kπ－π2＜x 4－π6＜kπ＋π2，得4kπ－4π3＜x ＜4kπ＋8π3(k ∈Z)，y ＝3tan(x 4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递增．∴y ＝3tan(π6－x 4)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递减．5.已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]．答案：A6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C ．2D ．3 解析：由题意知⎩⎨⎧T 4≤π3，T ＝2πω，解得ω≥32.答案：B7．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间[0，π2]上的最小值为－4，那么a的值等于 ( ) A ．4 B ．－6 C ．－4 D ．－3 解析：y ＝cos2x ＋3sin2x ＋a ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1，∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴y min ＝2×(－12)＋a ＋1＝a ＝－4.答案：C8．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围． 解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]．9.(2009·江西高考)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为 ( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，T ＝2π|ω|＝2π.答案：A10．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则函数f (x )的图像的一个对称中心是 ( ) A ．(π3，1) B ．(π12，0)C ．(5π12，0)D ．(－π12，0)解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2， 又∵函数f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，∴sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k 1π－π6，k 1∈Z ，由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π6＝k 2π，k 1，k 2∈Z ，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2，当k 1＝k 2时，x ＝π12，∴函数f (x )的图像的一个对称中心为(π12，0)．答案：B11．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：由f (π6)＝f (π3)，知f (x )的图像关于x ＝π4对称．且在x ＝π4处有最小值，∴π4ω＋π3＝2kπ－π2，有ω＝8k －103(k ∈Z)．又∵12T ＝πω＞π3－π6＝π6，∴ω＜6，故k ＝1，ω＝143. 答案：14312．(文)若a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)，其中ω＞0，记函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k .(1)若函数f (x )的图像中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若函数f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π6，π6]时，函数f (x )的最大值是12，求函数f (x )的解析式，并说明如何由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝f (x )的图像． 解：∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．故f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx ＋1－cos2ωx 2＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin(2ωx －π6)＋k ＋12.(1)由题意可知T 2＝π2ω≥π2，∴ω≤1.又ω＞0，∴0＜ω≤1. (2)∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(2x －π6)＋k ＋12.∵x ∈[－π6，π6]，∴2x －π6∈[－π2，π6]．从而当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )max ＝f (π6)＝sin π6＋k ＋12＝k ＋1＝12，∴k ＝－12.故f (x )＝sin(2x －π6)．由函数y ＝sin x 的图像向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin(x －π6)的图像，再将得到的函数图像上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x －π6)的图像．(理)(2009·重庆高考)设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)法一：在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，从而 g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g max ＝3cos π3＝32. 法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g max ＝3sin π6＝32.。