高中数列经典题型_大全[1]
高考数论必考经典题型-第一讲
因为 d = 0, 故: d = 2a2.
所以 公比 q = a3 = a2 + d = 3a2 = 3.
a2
a2
a2
2
考点: 等差数列的通项公式，等比数列的中项公式，公比的定义。
例 6. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn, 且 a1 = 1, S11 = 33. 设 bn = 比数列, 并求其前 n 项和 Tn.
可以得到这是一个首项为 a1 = 2, 公差为 d = 7 的等差数列.
故这些数构成的数列为: an = 2 + 7(n − 1) = 7n − 5.
由于需要在 100 之内, 因此： 7n − 5 ≤ 100, 即：n ≤ 15.
由等差数列的求和公式： Sn =
(a1 + an)n 2
， 可 得 这 些 数 之 和 为:
1 2
2
·
1
−
1 2
1
−
1 2
5
1 = 1 − 2n .
25
考点: 等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，等比数列的求和公式，
等比数列的定义。
例
7.
若
x = y,
且两个数列:
x,
a1,
a2,
y
和
x,
b1,
b2,
b3,
y
均为等差数列,
求:
a1 − x y − b3
=
?
解析: 设两个等差数列的公差分别为: d1 和 d2, 则由等差数列的通项公式: an = a1 + (n − 1)d ,
可得 a1 = x + d1, y = x + 3d1; y = b3 + d2, y = x + 3d2.
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
数列的19种经典题型
数列的19种经典题型一、公差不等于零的等差数列1. 前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，Sn=n/2*(a1+an)；2. 等比数列的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为等比数列的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；3. 概率的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为概率的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；4. 等差数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若d为等差数列的公差，则Pn = (a1 + (n-1)*d) * (a1 + (n-2)*d) * … * a1；5. 等比数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若q为等比数列的公比，则Pn = a1 *q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；6. 概率的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn =a1*a2*…*an，若q为概率的公比，则Pn = a1 * q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；7. 等差数列的通项公式：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，则an = a1+(n-1)*d；列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；9. 概率的通项公式：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；10. 等差数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
11. 等比数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等比数列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
12. 概率的某项的值：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
数列分专题经典练习-题型大全-典型例题
数列专题一．等差数列练习题1.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。
2.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列3.等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．514.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的范围是______。
5.如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么6.已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－37.已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______.8.等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-9.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.2410.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则12.{}n a 是公差为-2的等差数列，a 1+a 4+….. + a 97 =50，a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-8213.}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k =14.在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= 15.已知}{n a 为等差数列，a 1+a 8+ a 13+ a 18=100，求a 10= 16.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n -40)，则下列判断正确的是（ ） A.a 19＞0,a 21＜0B.a 20＞0,a 21＜0C.a 19＜0,a 21＞0D.a 19＜0,a 20＞017.等差数列{a n }中，a 1>0，S 4=S 9，则S n 取最大值时，n=18.等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
高中数列经典例集(习题)
一、 经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b na +++=（n=1，2，3…）， （1）求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。
（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题 2.已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。
考点二：求数列的通项与求和 例题3..已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个…… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N n n a a a n nn n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2)12(sinπ-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ．考点三：数列与不等式的联系例题5.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b nb b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈例题7. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅. 考点四：数列与函数、向量等的联系 例题8.已知函数f(x)=52168xx+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1)写出2a 、3a 的值; (2)试比较n a 与54的大小，并说明理由； (3)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n－1)．例题9.在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6）的线上.,11a b a a -==（1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ；（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。
人教版高考数学一轮专项复习：数列题型11种(含解析)
数列题型11种（方法+例题+答案）1.作差法求通项公式2.累乘法求通项公式3.累加法求通项公式4.构造法求通项公式（一）5.构造法求通项公式（二）6.取倒法求通项公式7.分组求和法求前n项和8.错位相减法求前n项和9.裂项相消法求前n项和10.数列归纳法与数列不等式问题11.放缩法与数列不等式问题1、作差法求数列通项公式已知n S （12()n a a a f n +++= ）求n a ，{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥注意：分两步，当2≥n 时和1=n 时一、例题讲解1、（2015∙湛江）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =． ()1求数列{}n a 的通项公式2、（2015∙茂名）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且)1()1(221+=+-+n n S n nS n n ，)(*∈N n ，数列}{n b 满足,0212=+-++n n n b b b )(*∈N n ，53=b ，其前9项和为63（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式3、（2015∙中山）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,40,842==S a 数列}{n b 的前n 项和为n T ，且,032=+-n n b T *∈N n 。
（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式4、（2015∙揭阳）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，)1(3--=n n na S n n ，（*∈N n ），且,112=a （1）求1a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式5、（2014∙汕头）数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n(1)求数列{}n a 的通项公式6、（2014∙肇庆）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足,21=a )1(1++=+n n S na n n （1）求数列}{n a 的通项公式7、（2014∙江门）已知数列}{n a 的前n 项和122-=n S n ，求数列}{n a 的通项公式。
高考教学数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题汇总一、选择题1、无穷等比数列a n的公比为q，前n项和为S n，且limS n S.以下条件中，使得n2S n Sn N 恒成立的是〔〕〔A〕a1q〔B〕a10,q〔C〕a1q〔D〕a10,q 【答案】B2、等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，那么a100=〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97【答案】C3、定义“标准01数列〞{a}如下：{a}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，n na1,a2,,a k中0的个数不少于1的个数.假设m=4，那么不同的“标准01数列〞共有〔A〕18个〔B〕16个〔C〕14个〔D〕12个【答案】C4、如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且A n A n1A n1A n2,A n A n2,n N*，B n B n1B n1B n2,B n B n2,n N*，〔PQ表示点P Q与不重合〕.假设d n A n B n，S n为△A n B n B n1的面积，那么A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列D．{d n2}是等差数列【答案】A二、填空1、{a n}等差数列，S n其前n和，假设a16，a3a50，S6=_______..【答案】62、无数列a n由k个不同的数成，S n a n的前n和.假设任意n N，S n2,3，k的最大________.【答案】43、等比数列{an}足13=10，24，12鬃?a n的最大.a+a a+a=5aa【答案】644、数列{a n}的前n和S n.假设S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，a1=，S5=.【答案】1121三、解答1、数列A：a1，a2,⋯a N(N).如果小于n(2n N)的每个正整数k都有ak＜a n，称n是数列A的一个“G刻〞.“G(A)是数列A的所有“G刻〞成的集合.〔1〕数列A：-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素；〔2〕明：假设数列A中存在a n使得a n>a1，G(A)；〔3〕明：假设数列A足a-a1≤1〔n=2,3,⋯〕,NG(A)的元素个数不小于a-a.nn N1如果G i ，取m iminG i，那么对任何1k m i,a k a n i a m i.从而m i G(A)且m i n i1.又因为n p是G(A)中的最大元素，所以G p.2、数列a的前n项和S n=3n2+8n，b n n n1. n n是等差数列，且a b b〔Ⅰ〕求数列b n的通项公式；〔Ⅱ〕令c n (a n1)n1.求数列c n的前n项和T n.(b n2)n【解析】(Ⅰ)因为数列a n的前n项和S n3n28n，所以a111，当n2时，a n S n Sn13n28n3(n1)28(n1)6n5，又a n6n5对n1也成立，所以a n6n5．又因为b n是等差数列，设公差为d，那么a n b n bn12b n d．当n1时，2b111d；当n2时，2b217d，解得d3，所以数列b n的通项公式为b n a n d3n1．2(Ⅱ)由c n(a n1)n1(6n6)n1(3n3)2n1，(b n2)n(3n3)n于是T n6229231224(3n3)2n1，两边同乘以２，得2T n623924(3n)2n1(3n3)2n2，两式相减，得T n62232332432n1(3n3)2n2322322(12n)(3n3)2n212T n12322(12n)(3n3)2n23n2n2．3、假设无穷数列{a n}满足：只要a p a q(p,q N*)，必有a p1a q1，那么称{a n}具有性质P.〔1〕假设{a}具有性质P ，且a1,a2,a43,a2，a a a21，求a；n1256783〔2〕假设无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1c51，b5c181，a n b n c n判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；〔3〕设{b n}是无穷数列，a n1bn sina n(n N*).求证：“对任意a1,{a n}都具有性质P〞的充要条件为“{b n}是常数列〞.【解析】试题分析：〔1〕根据条件，得到a6a7a8a332，结合a6a7a821求解．〔2〕根据b n的公差为20，c n的公比为1，写出通项公式，从而可得3a nb nc n20n1935n．通过计算a1a582，a248，a6304，a2a6，即知a n不具有性质．3〔3〕从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：〔1〕因为a5a2，所以a6a3，a7a43，a8a52．于是a6a7a8a332，又因为a6a7a821，解得a316．〔2〕b n的公差为20，c n的公比为1，3n1所以b n 120n12019，c n8115n．n33a nb nc n20n1935n．a1a582，但a248，a6304a6，，a23所以a n不具有性质．〔3〕[证]充分性：当b n为常数列时，a n1b1sina n．对任意给定的a1，只要ap a，那么由b sinapb sina，必有a1aq1．q11q p充分性得证．必要性：用反证法证明．假设b n 不是常数列，那么存在k，使得b1b2b k b，而b k1b．下面证明存在满足a n1b n sina n的a n，使得a1a2a k1，但a k2a k1．设f x x sinx b，取m，使得m b，那么fm m b0，f m m b0，故存在c使得f c0．取a1c，因为a n1b sina n〔1n k〕，所以a2b sinc c a1，依此类推，得a1a2a k1c．但a b sina b sincb sinc，即a a．k2k1k1k1k2k1所以a n不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a 1，a n 都具有性质 〞的充要条件为“b n 是常数列〞．4、数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n1qS n1，其中q>0，nN *.〔I 〕假设2a 2,a 3,a 22 成等差数列，求a n 的通项公式；(ii)设双曲线x 2y21的离心率为e n ，且e 2 5 ，证明：e 1 e 2e n 4n3n.a n 233n1【答案】〔Ⅰ〕a n =q n-1；〔Ⅱ〕详见解析.解析：〔Ⅰ〕由， S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1, 两式相减得到a n+2=qa n+1,n?1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1，故a n+1=qa n 对所有n31都成立.所以，数列{a n }是首项为 1，公比为 q 的等比数列.从而a n =q n- 1 .由2a 2，a 3，a 2+2 成等比数列，可得 2a 3=3a 2+2 ，即2q 2=3q+2,，那么(2q+1)(q-2)=0，由,q>0，故q=2.所以a n =2n-1(n?N *).〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，a n =q n-1.2所以双曲线x 2-y2=1的离心率e n =1+a n2=1+q 2(n-1).a n由q=1+q 2=5解得q=4.332(k-1)>q2(k-1)1+q 2(k-1)>qk-1*因为1+q，所以〔k?N 〕.于是e 1+e 2 +鬃? e n >1+q+鬃?qn-1=q n-1，q-1故e 1+e 2+鬃?e 3>4n -3n.3n-15、a n 是各项均为正数的等差数列， 公差为d ，对任意的nN,b n 是a n 和a n1的等比中项.(Ⅰ)设c nb n 2 1 b n 2,nN * ，求证： c n 是等差数列；(Ⅱ)设a 1d,T n 2nnb n 2,nN *，求证：n11 2.1k1k1T k 2d【解析】⑴C n b n 1 2 b n 2 a n1a n2a n a n12da n1C n1C n2d(a na n1)2为定值．22d∴C n为等差数列2n1)k b k 2n(n1) 4d 2 nC 12d 2n(n1)〔*〕⑵T n(C 1C 3C2n 1nCk112由C 1b 22b 12 a 2a 3 a 1a 2 2d a 2 2d(a 1 d)4d 2将C 1 4d 2代入〔*〕式得T n21)2dn(nn 1 1n∴1T k 2d 2kk 11k(k 1)12，得证2d6、S n 为等差数列a n 的前n 项和，且a 1=1，S 7 28.记b n =lga n ，其中 x 表示不超过x 的最大整数，如=0，lg99=1．〔Ⅰ〕求b 1，b 11，b 101；〔Ⅱ〕求数列b n 的前1000项和．【解析】⑴设a n 的公差为d ，S 77a 428，∴a 4a 4 a 11，∴a n a 1 (n1)dn ．4，∴d3∴b 1 lga 1 lg10，b 11lga 11lg11 1，b 101 lga 101lg 1012．⑵ 记b n的前n 项和为T n ，那么T 1000 b 1 b 2b1000lga 1lga 2lga 1000 ．当0≤lga n 1时，n 1，2，，9；当1≤lga n2时，n 10，11，，99；当2≤lga n3时，n 100，101， ，999；当lga n3时，n1000．∴T1000091902900311893．7、数列{a n}的前n项和S n1a n，其中0．〔I〕证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；〔II〕假设S531，求．32【解析】8、设数列a na n11，n．满足a n2〔I〕证明：a n2n1a12，n；3n〔II〕假设a n，n，证明：a n2，n．2〔II〕任取n，由〔I〕知，对于任意m n，a n a m a n an1an1an2am1a m2n2m2n2n12n12n22m12m 1112n2n12m11，2n1故a n1a m2n2n12m113m2n 2n12m2m232n．4从而对于任意m n，均有高考教学数学数列题型专题汇总11 / 1111。
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高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321
=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n
b ，消去
()n f 带来的差异． 类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b
a a a ==21,
的特征方程是：02532
=+-x x 。
32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n
n 与 例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n
a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公 式n a .
类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321
=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去
()n f 带来的差异． 类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。
32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n
n 与 例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n
a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公 式n a .
类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a。