[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第8章 平面解析几何 第2
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第6章 不等式、推理与证明
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重点强化课(三) 不等式及其应用(对应学生用书第86页)[复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用(1)(2018·烟台模拟)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是__________．(1)D (2)(－1，2－1) [(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为－1，－12∪－12，1，故选D ．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1. 所以x 的取值范围为(－1，2－1)．][规律方法]一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集． (2)与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．(3)与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．[对点训练1] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________. 【导学号：00090202】 (－5,0)∪(5，＋∞) [由于f (x )为R 上的奇函数， 所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0， 所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．] 重点2 线性规划问题(1)(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2]D ．[0,3](2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B ．](2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32处取得． 故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.][规律方法] 本题(2)是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解．[对点训练2] 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( ) A ．14B ．12C ．1D ．2B [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.]重点3 基本不等式的综合应用(2016·江苏高考节选)已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．设a ＝2，b ＝12. (1)求方程f (x )＝2的根；(2)若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值.【导学号：00090203】[解] 因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.2分(1)方程f (x )＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0.5分(2)由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤f x2＋4f x 对于x ∈R 恒成立.8分而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x ·4f x ＝4，且f 02＋4f＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.12分[规律方法] 基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．[对点训练3] (1)(2018·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________． (1)6 (2)9 [(1)法一：(消元法) 因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2121＋yy ＋－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二：(不等式法) ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， 解得t ≥6或t ≤－18(舍去)故当x ＝3，y ＝1时，x ＋3y 的最小值为6. (2)由已知得x ＋2y2＝1.则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋2 16)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．]。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第6章 不等式、推理与证明
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第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(对应学生用书第83页)[基础知识填充]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域确定二元一次不等式表示的平面区域的位置把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx ＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By ＋C＝0的下方．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C ．]3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)， 故z max ＝3＋0＝3. 故选D ．]4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________. 【导学号：00090190】6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________．1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示， 由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)， 由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)， 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](对应学生用书第84页)(1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A ．355B ． 2C ．322D ． 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a <5 B ．a ≥7 C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x－y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B ．(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C ．][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________.【导学号：00090191】(2)(2018·潍坊模拟)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为3，则实数k 的值为________．(1)4 (2)12[(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)． 因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.(2)直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知 12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.]角度1 (1)(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y的最小值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1D ．9(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________. 【导学号：00090192】(1)A (2)3 [(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x 并平移，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 取最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15. 故选A ．(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( ) 【导学号：00090193】 A ．4 B ．9 C ．10D ．12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C ．(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]角度3 线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B ．][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义．三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图像是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 216 000 [设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，z max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]。
2019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科) 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最
第二节 函数的单调性与最大(小)值[考纲传真] .理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．函数的单调性()单调函数的定义如果函数＝()在区间上是增加的或是减少的，那么就称为单调区间．．函数的最大(小)值函数单调性的常用结论()对任意，∈(≠)，＞⇔()在上是增函数，＜⇔()在上是减函数．()对勾函数＝＋(＞)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，)和(，]．()在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．()函数(())的单调性与函数＝()和＝()的单调性的关系是“同增异减”．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()对于函数()，∈，若对任意，∈，≠且(－)·[()－()]>，则函数()在区间上是增加的．( )()函数＝的单调递减区间是(－∞，)∪(，＋∞)．( )()函数＝在上是增加的．( )()函数＝－在区间[，＋∞)上是增加的，则函数＝－的单调递增区间为[，＋∞)．( ) [答案]()√()×()×()×．(·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )．＝．＝．＝．＝[选项，中函数在定义域内均为单调递增函数，选项为在定义域内为单调递减函数，选项中，设＜(，≠)，则－＝－＝，因为－＜，当，同号时＞，－＜，当，异号时＜，－＞，所以函数＝在定义域上不是单调函数，故选．]．(教材改编)已知函数()＝，∈[]，则()的最大值为，最小值为．[可判断函数()＝在[]上为减函数，所以()＝()＝，()＝()＝.]．函数＝(＋)＋在上是减函数，则的取值范围是．[由题意知＋＜，得＜－.]．()＝－，∈[－]的单调增区间为，()＝.[][()＝(－)－，故()的单调增区间为[]，()＝(－)＝.](对应学生用书第页)．(－∞，－) ．(－∞，)．(，＋∞)．(，＋∞)()试讨论函数()＝＋(＞)的单调性．【导学号：】() [由－－>，得>或<－.设＝－－，则＝在∈(，＋∞)上为增函数．欲求函数()的单调递增区间，即求函数＝－－的单调递增区间．∵函数＝－－的单调递增区间为(，＋∞)，∴函数()的单调递增区间为(，＋∞)．故选．]()法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，)∪(，＋∞)．在(，＋∞)内任取，，令＜＜，那么()－()＝－＝(－)＋＝(－)·.因为＜＜，所以－＞，＞.故当，∈(，＋∞)时，()＜()，即函数在(，＋∞)上是增加的．。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第9章 算法初步、统计与统
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第四节 相关性、最小二乘估计与统计案例[考纲传真] 1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用．(对应学生用书第141页)[基础知识填充]1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合． (3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是非线性相关的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．线性回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)线性回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1x i－x y i－y ∑ni ＝1x i－x 2＝∑ ni ＝1x i y i －n x y ∑ ni ＝1x 2i －n x2a ＝y －b x3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数①r ＝∑ ni ＝1x i －xy i －y∑ni ＝1x i －x 2∑ni ＝1y i －y2＝∑ ni ＝1x i y i －n x y∑ ni ＝1x 2i －n x2∑ ni ＝1y 2i －n y2②当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关； 当r ＝0时，表明两个变量线性不相关．|r |值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高． |r |值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低． 4．独立性检验设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1.2×2列联表：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.利用统计量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联， 可以认为变量A ，B 是没有关联的；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联； 当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联； 当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( ) (2)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( )(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．( )(4)若事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5D ．y ^＝－0.3x ＋4.4A [因为变量x 和y 正相关，排除选项C ，D ．又样本中心(3,3.5)在回归直线上，排除B ，选项A 满足．]3．(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )图941A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关D [对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确．对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D ．]4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该电视栏目优秀B ．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D [只有χ2≥6.635才能有99%的把握认为“该电视栏目是否优秀与改革有关系”，而即使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关，故只有D 正确．]5．(2018·西安模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.68 [由x ＝30，得y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.](对应学生用书第142页)y 与z 正相关．下列结论中正确的是( ) 【导学号：00090333】 A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关(2)对四组数据进行统计，获得如图942所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )图942A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3(1)C (2)A [(1)因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．(2)由散点图知，图①与图③是正相关，故有r 1＞0，r 3＞0，图②与图④是负相关，则r 2＜0，r 4＜0，且图①与图②中的样本点集中在一条直线附近，因此有r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1.] [规律方法] 1.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关，若点散布在左上角到右下角的区域，则负相关． 2．利用相关系数判定，当|r |越趋近于1，相关性越强． 当残差平方和越小，相关指数r 2越大，相关性越强．[变式训练1] (1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是( ) 【导学号：00090334】 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④(2)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1(1)D (2)C [(1)由线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^＞0时，y 与x 正相关，当b ^＜0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误．(2)对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，故选C ．]](单位：亿吨)的折线图．图943注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1t i －ty i －y∑ni ＝1t i －t2∑ n i ＝1y i －y2，回归方程y －＝a ＋b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ ni ＝1t i －t y i －y ∑ ni ＝1t i －t2，a ＝y －－b t .[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1y i －y2＝0.55， 2分∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. 5分(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1t i －ty i －y∑7i ＝1t i －t2＝2.8928≈0.103.8分a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ＝0.92＋0.10t .10分将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．12分 [规律方法] 1.在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r 进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．2．(1)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(2)回归直线y ^＝bx ＋a 必过样本点的中心(x ，y )．[变式训练2] (2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图944表中w i ＝x i ，w ]＝8∑ i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝∑ni ＝1u i －uv i －v∑ ni ＝1u i －u2，α＝v －β u .[解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w2＝108.81.6＝68， 4分c ＝y －d w ＝563－68×6.8＝100.6， 5分所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ， 6分 因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x . 7分(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ＝100.6＋6849＝576.6， 8分 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. 9分 ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.10分所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z 取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：图945(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3) 附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[解] (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 2分 因此，事件A 的概率估计值为0.62.4分(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表分χ2的观测值＝－2100×100×96×104≈15.705.7分由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 8分(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.12分[规律方法] 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．2．解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n ad－bc2a ＋b a＋c b＋d c＋d计算χ2的观测值k；(3)比较k与临界值的大小关系，作统计推断．[变式训练3] (2017·济南联考)某市地铁即将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；【导学号：00090335】“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋ca ＋d.[解 x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元).5分(2)根据条件可得2×2列联表如下：χ2＝10×40×18×32≈6.27＜6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.12分。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第10章 概率 第2节 古
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第二节 古典概型[考纲传真] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第151页)[基础知识填充]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n. [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3B [由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )【导学号：00090351】A ．815B ．18C ．115D ．130C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.] 4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．120C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C ．] 5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．13[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P ＝39＝13.](对应学生用书第151页)1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．25(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．56(1)D (2)C [(1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25. 故选D ．(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C ．] [规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率P .2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．[变式训练1] (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．(1)C (2)56[(1)设正方形的四个顶点分别是A ，B ，C ，D ，中心为O ，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．所以所求事件的概率P＝1－410＝35.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.]儿童需转动如图1021所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【导学号：00090352】图1021[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16. 3分(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516. 5分(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C ．则事件B 包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P (B )＝616＝38. 8分事件C 包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).10分 所以P (C )＝516. 因为38>516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 12分 [规律方法] 1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．[变式训练2] (2017·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率. 【导学号：00090353】[解] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13. 5分(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有 {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个.8分根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215. 12分查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图1022①B地区用户满意度评分的频数分布表地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．B地区用户满意度评分的频率分布直方图图1022②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：[解](1)如图所示．4分通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散. 6分(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 8分记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 11分所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 12分[规律方法] 1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．[变式训练3] (2018·湘潭模拟)长沙某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布情况，在当月的电脑消费小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如图1023所示的频率分布直方图(假设消费金额均在[0,600]元的区间内)．(1)若按分层抽样的方法在消费金额为[400,600]元区间内抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400,500)元区间的概率；(2)为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案．方案一：全场商品打八折．方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由(直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值)图1023[解] (1)由题意知，在[400,500)元区间内抽4张，分别记为a ，b ，c ，d ，在[500,600]元区间内抽2张，分别记为E ，F ， 2分 设“2张小票均来自[400,500)元区间”为事件A ，从中任选2张，有以下选法：ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF ，共15种. 4分 其中，2张小票均来自[400,500)元区间的有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd ，共6种，∴P (A )＝25. 6分(2)法一：由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.方案一：购物的平均费用为0.8×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.8×275＝220(元). 8分 方案二：购物的平均费用为50×0.1＋130×0.2＋230×0.25＋270×0.3＋370×0.1＋430×0.05＝228(元). 10分 ∵220＜228，∴方案一的优惠力度更大. 12分法二：由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05，方案一：平均优惠金额为0.2×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.2×275＝55(元). 8分方案二：平均优惠金额为20×(0.2＋0.25)＋80×(0.3＋0.1)＋120×0.05＝47(元).10分 ∵55＞47.∴方案一的优惠力度更大. 12分。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 不等式选讲 第2节 不等式
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第二节 不等式的证明[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(对应学生用书第166页)[基础知识填充]1．不等式证明的方法 (1)比较法： ①求差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法：由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明a b＞1即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．(4)几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的解法称为几何法． (5)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：对任意实数a ，b ，c ，d ，有(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当向量(a ，d )与向量(c ，d )共线时．等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． ③一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立． (2)算术—几何平均不等式 若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤yA [x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝a －b ＋b －a ab ＝a －b ab －ab.由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0， 所以a －bab －ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .]3．(教材改编)已知a ≥b ＞0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M ，N 的大小关系为________．M ≥N [2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2B ．] 4．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________.【导学号：00090380】4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．]5．已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . [证明] 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0,1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .(对应学生用书第167页)已知a ＞0，b ＞0，求证：b ＋a≥a ＋b . [证明] 法一：∵⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －(a ＋b ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝a －ba －b ab＝a ＋ba －b2ab≥0，∴a b ＋ba≥a ＋b .10分法二：由于a b ＋ba a ＋b＝a a ＋b bab a ＋b＝a ＋ba －ab ＋bab a ＋b＝a ＋bab－1 ≥2abab－1＝1.8分又a ＞0，b ＞0，ab ＞0， ∴a b ＋ba≥a ＋b . 10分[规律方法] 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a ＞b 转化为证明a b＞1(b ＞0)．2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号． [变式训练1] (2018·长沙模拟)设a ，b 是非负实数， 求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [证明] 因为a 2＋b 2－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝.6分因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a －b 与a －b同号，所以(a 12－b 12)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－b 32≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b ).10分(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.5分(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.10分[规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n⇒B (A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． [变式训练2] (2017·石家庄调研)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.【导学号：00090381】[解] (1)当x ＜－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ＞3； 2分当－1≤x ＜2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)； 当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ≥6. 综上，f (x )的最小值m ＝3.5分 (2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＋(a ＋b ＋c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c ≥2⎝⎛⎭⎪⎫b 2a ·a ＋c 2b·b ＋a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c ). 8分(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取“＝”)所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.10分(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． [证明] (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 欲证a ＋b ＞c ＋d ，只需证明(a ＋b )2＞(c ＋d )2，也就是证明a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd，只需证明ab＞cd，即证ab＞cD．由于ab＞cd，因此a＋b＞c＋d. 5分(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cD．因为a＋b＝c＋d，所以ab>cD．由(1)，得a＋b>c＋d. 8分②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cD．于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件. 10分[规律方法] 1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明．2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．3．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件[变式训练3] 已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3A．[证明]要证b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2.∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2，只需证2a2－ab－b2＞0，4分只需证(a－b)(2a＋b)＞0，只需证(a－b)(a－c)＞0.∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0，∴(a－b)(a－c)＞0显然成立，故原不等式成立. 10分。
2019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平
第三节平面向量的数量积及其应用[考纲传真] .理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．向量的夹角()定义：已知两个非零向量和，如图，作＝，＝，则∠＝θ(°≤θ≤°)叫作与的夹角．图()当θ＝°时，与共线同向．当θ＝°时，与共线反向．当θ＝°时，与互相垂直．．平面向量的数量积()定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量· θ叫做与的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为.()几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影θ的乘积或的长度与在方向上射影θ的乘积．．平面向量数量积的运算律()交换律：·＝·；()数乘结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；()分配律：·(＋)＝·＋·．．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量＝(，)，＝(，)，θ＝〈，〉．[．两个向量，的夹角为锐角⇔·＞且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔·＜且，不共线．．平面向量数量积运算的常用公式()(＋)·(－)＝－.()(＋)＝＋·＋.()(－)＝－·＋.．当与同向时，·＝；当与反向时，·＝－.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )()由·＝，可得＝或＝.( )()由·＝·及≠不能推出＝．( )()在四边形中，＝且·＝，则四边形为矩形. ( )[答案]()√()×()√()×．(·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠＝( )．°．°．°．°[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝∠＝××∠，所以∠＝.又°≤∠≤°，所以∠＝°.故选．]．(·全国卷Ⅱ)向量＝(，－)，＝(－)，则(＋)·＝( )．－．．．[法一：∵＝(，－)，＝(－)，∴＝，·＝－，从而(＋)·＝＋·＝－＝.法二：∵＝(，－)，＝(－)，∴＋＝(，－)＋(－)＝()，从而(＋)·＝()·(，－)＝，故选．]．(教材改编)已知＝，＝，与的夹角θ＝°，则向量在向量方向上的投影为．－[由数量积的定义知，在方向上的投影为θ＝× °＝－.]．(·全国卷Ⅰ)已知向量＝(－)，＝()．若向量＋与垂直，则＝.。
【小初高学习】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第6章 不等式、推理与证
第五节综合法与分析法、反证法[考纲传真] 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．(对应学生用书第89页)[基础知识填充]1．直接证明Q⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件2间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( )(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0 ，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0D [a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.]3．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根A [“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的反面是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”，故选A ．]4．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋xa ＋x的大小关系是__________．b ＋x a ＋x >b a [∵b ＋x a ＋x －b a ＝x a －b a ＋x a >0，∴b ＋x a ＋x >ba.] 5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．【导学号：00090218】等边 [由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．](对应学生用书第90页)对于定义域为 ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是否是理想函数．【导学号：00090219】[解] (1)证明：取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0. 又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0，∴f (0)≥0.于是f (0)＝0.5分(2)对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，f (1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f (x )＝2x (x ∈[0,1])不是理想函数.7分对于f (x )＝x 2，x ∈[0,1]，显然f (x )≥0，且f (1)＝1.对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 2)．∴f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数.9分对于f (x )＝x ，x ∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1， 有[f (x 1＋x 2)]2－[f (x 1)＋f (x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即[f (x 1＋x 2)]2≤[f (x 1)＋f (x 2)]2，∴f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，不满足条件③. ∴f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数.11分综上，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数，f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数.12分[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y＝g (x )的图像在交点(0,0)处有公共切线． (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )．[解] (1)f ′(x )＝11＋x ，g ′(x )＝b －x ＋x 2，2分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g＝f ，f ＝g，解得a ＝0，b ＝1.5分(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.8分所以h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x ).12分已知a >0 [证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 2分因为a >0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，8分从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．12分[规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性． [变式训练2] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ． 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 【导学号：00090220】[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 3分只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，5分又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列， 故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，10分即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立.12分设{an }是公比为q (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n1－q，q ≠1. 5分(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1. 8分 ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 12分 [规律方法] 用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[变式训练3] 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根． [证明] 假设三个方程都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋，a －2－4a 2<0，a 2－－2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，6分∴－32<a <－1.10分 这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立．12分。
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第二节 两条直线的位置关系[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(对应学生用书第112页)[基础知识填充]1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合． 3．距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)若点P ，Q 分别是两条平行线l 1，l 2上的任意一点，则P ，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]3．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． (2，－2) [直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．]4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________. 【导学号：00090269】2 [由aa －3＝－2，得a ＝2.]5．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2 [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0， ∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.](对应学生用书第113页)(1)设a 12(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·潍坊模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0(1)A (2)A [(1)当a ＝1时，显然l 1∥l 2，若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0，所以a ＝1或a ＝－2. 所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． (2)直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，从而所求直线的斜率为－2.又直线过点(－1,3)，所以所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.][规律方法] 1.判断直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．[变式训练1] 已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8A [∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.](1)l 的方程为________．(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．(1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.](2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，2分由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，6－x 0－y 0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝113，y 0＝163，6分即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8， 10分直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.12分[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等． [变式训练2] (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：00090270】(2)(2018·石家庄模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2)823 [法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.法二：如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB ． ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.(2)由a (a －2)＝3得a ＝3或a ＝－1，经检验a ＝3时两直线重合，因此a ＝－1，此时l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为x －y ＋23＝0，两条直线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.](1)l 方程是________．(2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________． (1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0 [(1)法一：在直线l 上任取一点P ′(x ，y )，其关于点(1,1)的对称点P (2－x,2－y )必在直线y ＝2x ＋1上，∴2－y ＝2(2－x )＋1，即2x －y－3＝0.因此，直线l 的方程为y ＝2x －3.法二：由题意，l 与直线y ＝2x ＋1平行，设l 的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等， ∴|2－1＋c |22＋1＝|2－1＋1|22＋1，解得c ＝－3. 因此所求直线l 的方程为y ＝2x －3.法三：在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点M (2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3. (2)作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C ．故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.][母题探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点”，则结果如何？[解] 设点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为A ′(a ，b )， 2分 则AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2，1＋b 2，4分所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b 2＝2×1＋a2＋1，b －1a －1×2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝95，10分故点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95.12分[母题探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x －y ＝0对称”，则结果如何？[解] 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于直线x －y ＝0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x －y ＝0的对称点为N (3,1)，6分 根据两点式，得所求直线的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.12分[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上． [变式训练3] (1)(2017·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0(2)直线l 1：3x －y ＋1＝0与直线l 2：3x －y ＋7＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________． 【导学号：00090271】(1)B (2)3x －y ＋4＝0 [(1)由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1,1)．在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1,0)， 设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m ＋1－＝－1，m －12＋n2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.故所求直线的方程为y －13－1＝x －12－1，即2x －y －1＝0.(2)由题意知l 1∥l 2，设直线l 的方程为3x －y ＋m ＝0， 则|m －1|10＝|m －7|10，即|m －1|＝|m －7| 解得m ＝4，故直线l 的方程为3x －y ＋4＝0]。