2.3.2.2平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直平面与平面垂直的性质
a
a l
面面垂直线面垂直
小结：空间中的垂直关系的转化
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
例4. ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
解：设 l
在α内作直线b ⊥l
α
β
b l
A
a
b b
l
l
b
又a
a//b
b
a
a //
▪ 面面相交
画图
面面垂直 α
A1
a
D
C
b
A
B
b //α或b在α内
2.面面垂直的性质
D1
F
α
D
C1
B1 A1
D
E
C
β
A
B
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
面面垂直的性质
▪ 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 垂直。
ห้องสมุดไป่ตู้
β
a l
A α
a
l
a
一个平面和两个平行平面相交
l β
三个平面两两垂直
α
a
β
b
l
γ
当堂练习
教材：
面面垂直性质 P73 A5
解：设 n m
在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m
la
b
α
a a
n
n
a
同理b
β n
b//a
a
b
b //
b
l
γm
b // l
b
b
人教版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质
已知：平面α ⊥平面β ，α ∩β =CD，
ABα ，
∩
AB⊥CD. 求证：AB⊥β
A
证明：在平面β 内过B点作BE⊥CD，
又∵AB⊥CD，
∴∠ABE就是二面角 α -CD-β 的平面角， ∴∠ABE=90。即AB⊥BE
C
B
D
E
又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥β
两个平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线垂直于另一个平面.
第二章空间点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面垂直的性质
蓝溪中学陈 坤裕
温故知新
1.直线与平面垂直的定义:
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.
l
a 都有l a l α P.
2.两个平面相互垂直的定义、表示和画法
如果两个平面相交所成 的二面角是直二面角， 那么我们称这两个平面 相互垂直.
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线
的直线垂直于另一个平面.
m
i
m
m l
m
l
面面垂直
线面垂直
布置作业
P81A组第2、5题 P82B组第3题
α ∩β =AB,直线a⊥β ,aα ,
试判断直线a与平面α 的位置关系
课堂练习
P81练习第1、2题 P81A组第1题
课堂小结
1.两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直.
l l
马承天--直线、平面垂直的判定及其性质
人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）直线、平面垂直的判定及其性质高三数学组：马承天教学内容：2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定教学目标一、知识与技能1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；2.掌握直线和平面所成的角的求法；3.正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；4.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用.二、过程与方法1.经历直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法；2.经历直观感知“二面角”概念的形成过程；用类比方法思考“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.三、情感、态度与价值观1.学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.2.通过经历概念的形成、发展和应有的过程，知道数学存在于现实生活周围，形成积极思维，发展观察、分析、解决问题的能力.教学重点、难点教学重点1.直线与平面垂直的定义和判定定理；2.直线和平面所成的角；3.平面与平面垂直的判定.教学难点1.直线与平面垂直判定定理的探究；2.如何度量二面角的大小.教学关键理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理、直线与平面垂直判定定理，会应用两个判定定理解决简单的线面垂直、面面垂直问题.教学突破方法通过学生观察大量的空间几何体的实例，先感性地认识两个定理，然后通过严格的证明来理解两个定理，利用针对性较强的习题来巩固两个定理．对于本节的线面角和二面角的概念，需首先掌握其定义，其次了解其求法.教法与学法导航教学方法问题教学法，讨论法，练习法．通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考可判定线面垂直、面面垂直的条件，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.学习方法自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结．在1教师备课系统──多媒体教案2学生观察大量空间几何体实例的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结得到线面垂直、面面垂直的条件，即两个判定定理. 教学准备教师准备多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片. 学生准备线线垂直的概念. 教学过程 教学过程教学内容师生互动设计 意图 新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答. 生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.复习 巩固探索新知 一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面、桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经过P 的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过P 点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？…… 师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.续上表 探索新知 二、直线和平面垂直的判定师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）. 培养学生的几何直观人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）31．试验 如图，过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）.（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在平面α垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为“一条直线或两条平行直线”？学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直.师：此时与AD 垂直的是一条直线还是两条直线？生：AD 垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD ．师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析 例1 如图，已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α. 【证明】在平面α内作两条相交直线m 、n .因为直线a ⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a ⊥m ，a ⊥n . 又因为b ∥a ， 所以b ⊥m ，b ⊥n .又因为,m n αα⊂⊂，m 、n是两条相交直线，b ⊥α.师：要证b ⊥α，需证b 与α内任意一条直线的垂直，又a ∥b ，问题转化为a 与面α内任意直线m 垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.巩固所学知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.续上表 探索三、直线和平面所成的角教师借助多媒体直接讲借助多教师备课系统──多媒体教案4 新知如图，一条直线P A和一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.媒体讲授，提高上课效率.典例剖析例2如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.【分析】找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连接BC1即可.师：能证明吗？学生分析，教师板书，共同完成求解过程.点拨关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.典例剖析解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.续上表人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）5又因为BC 1⊥B 1C ，所以B 1C⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角.在Rt △A 1BO 中， 12A B a =，22BO a =， 所以112BO A B =， ∠BA 1O = 30°，因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.探索新知 四、二面角1．二面角 （1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle ）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验（折纸）思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O 在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O 的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模 型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.续上表教师备课系统──多媒体教案6 探索新知棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角ABαβ--.有时为了方便，也可在,αβ内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB –Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角lαβ--或P–l–Q.2．二面角的平面角如图（1）在二面角lαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.探索新知五、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.学生自学，教师点拨一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力，通过实验，培养学生观察能力．人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）7续上表典例剖析两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.典例分析例 3 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC .【证明】设⊙O 所在平面为α，由已知条件，P A ⊥α，BC 在α内，所以P A⊥BC .因为点C是圆周上不同于A 、B 的任意一点，AB 是⊙O 的直径，所以，∠BCA 是直角，即BC ⊥AC . 又因为P A 与AC 是△P AC 所在平面内的两条直线.所以BC ⊥平面P AC .又因为BC 在平面PBC 内， 所以，平面P AC ⊥平面PBC . 师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A – PC – B 的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找 （作）一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC 符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书．巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.小结 1．直线和平面垂直的定义判定． 2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3．线线垂直⇒线面垂直． 4．二面角的定义画法与记法. 5．面面垂直的判定方法.学生总结、教师补 充完善． 回顾、反思、归纳，提高自我整合知识的能力．教师备课系统──多媒体教案8课堂作业1．如图，在三棱锥V –ABC 中，VA = VC ，AB = BC ，求证：VB ⊥AC .2．过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接P A ，PB ，PC . （1）若P A = PB = PC ，∠C =90°，则点O 是AB 边的 . （2）若P A = PB =PC ，则点O 是△ABC 的 心.（3）若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的 心. 3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A ′B ′C ′D ′ – ABCD （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么条件时，A ′C ⊥B ′D ′？5．如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体S – EFG 中必有（ ）．A ．SG ⊥EFG 所在平面B ．SD ⊥EFG 所在平面C ．GF ⊥SEF 所在平面D ．GD ⊥SEF 所在平面6．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？参考答案： 1．略2.（1）中点； （2）外； （3）垂．3. 不一定平行. 4．AC ⊥BD . 5. A6. 面ABC ⊥面BCD ，面ABD ⊥面BCD ，面ACD ⊥面ABC .人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）9第2课时教学内容：2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 教学目标一、知识与技能1. 掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2. 能运用性质定理解决一些简单问题；3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 二、过程与方法在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识．三、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，形成空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 教学重点、难点教学重点：两个性质定理的证明. 教学难点：两个性质定理的证明.教学关键：引导学生掌握两个性质定理的证明，并且能够应用两个性质定理来证明较简单的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相关问题.教学突破方法：本节主要使用启发式和探究式教学．使学生掌握两个性质定理的条件及结论，知道如何应用两个性质定理，在教师的示例引导下，在具体的解题过程中对两个定理进行巩固和提高. 教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法，启发式教学．通过提出问题，学生思考并体会在线面垂直、面面垂直的条件下，可以得到什么结论，与上节的判定定理相对照．在理解两个定理的基础上，进行有针对性的练习.学习方法：自主探究，自主学习，互动学习，合作交流，动手实践，归纳总结. 教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）. 学生准备：直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理. 教学过程 教学过程教学内容 师生互动设计 意图 新课导入问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？ 师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题．复习巩固，以旧带新.教师备课系统──多媒体教案10续上表探索新知一、直线与平面垂直的性质定理1．问题：已知直线a 、b 和平面α，如果,a b αα⊥⊥，那么直线a 、b 一定平行吗？ 已知 a ⊥a ，b ⊥a ， 求证：b ∥a .【证明】假定b 不平行于a ，设b α=O ，b ′是经过O 与直线a 平行的直线，∵ a ∥b ′，a ⊥a ， ∴ b ′⊥a ，即经过同一点O 的两线b 、b ′都与α垂直这是不可能的，因此b ∥a . 2．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．简化为：线面垂直⇒线线平行．生：借助长方体模型AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a 、b 归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，在这种情况下，我们采用“反证法”．师生边分析边板书．借助模型教学，培养几何直观能力，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.探索新知二、平面与平面垂直的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题．生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，面A ′ADD ′⊥面ABCD ，A ′A ⊥AD ，AB ⊥A ′A ，∵AD A A A '=， ∴A ′A ⊥面ABCD ． 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）11续上表探索新知2．例1 设αβ⊥，αβ=CD ，AB α⊂，AB ⊥CD ，AB ⊥CD = B ，求证AB ⊥β，【证明】在β内引直线BE ⊥CD ，垂足为B ，则∠ABE 是二面角CD αβ--的平面角.由αβ⊥知，AB ⊥BE ，又AB ⊥CD ，BE 与CD 是β内的两条相交直线,所以AB ⊥β.3．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．简记为：面面垂直⇒线面垂直.师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB ⊥CD ，需找一条直线与AB 垂直，有条件αβ⊥还没有用，能否利用αβ⊥构造一条直线与AB 垂直呢？生：在面β内过B 作BE⊥CD 即可.师：为什么呢？学生分析，教师板书．典例 分析例 2 如图，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.【解析】在α内作垂直于α与β相交的直线b ，因为α⊥β，所以b ⊥β， 因为α⊥β，所以a ∥b . 又因为a α⊄，所以a ∥α. 即直线a 与平面α平行.师投影例2并读题． 生：平行．师：证明线面平行一般策略是什么？生：先证明线线平行． 师：假设α内一条直线b ∥a 则b 与α的位置关系如何？生：垂直．师：已知,b ααβ⊂⊥，怎样作直线b ？生：在α内作b 垂直于α、β的交线即可. 学生写出证明过程，教师投影.师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.教师备课系统──多媒体教案12续上表典例 分析例3 设平面α⊥平面β，过点P 作平面β的垂线a ，试判断直线a 与平面α的位置关系？【证明】如图，设αβ= c ，过点P 在平面α内作直线b ⊥c ，根据平面与平面垂直的性质定理有b β⊥.因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a 与直线b 重合，因此a α⊂.师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b 与直线a 重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.小结1．直线和平面垂直的性质． 2．平面和平面垂直的性质．3．面面垂直、线面垂直、线线垂直的关系．学生归纳总结，教师再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.课堂作业1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. a ．垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（ ）b ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ ）c ．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（ ）d . 已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α.（ ） 答案：a . √ b . √ c . √ d . ×2．（1）下列命题中错误．．的是（ ）． A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线垂直于平面β B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥（2）已知两个平面垂直，下列命题人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）13①一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：（1）A （2） B3．设直线a ，b 分别在正方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中两个不同的面所在平面内，欲使a ∥b ，a ，b 应满足什么条件？答案：不相交，不异面．4．已知平面α，β，直线a ，且αβ⊥，AB αβ=，a ∥α，a ⊥AB ，试判断直线a 与直线β的位置关系.答案：平行、相交或在平面β内．5. 把直角三角板ABC 的直角边BC 放置桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？【解析】a AC AC a AB a AC AB A αα⊥⎫⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭a ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面ABC BC 平面ABC a BC ⇒⊥.6. 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知α⊥γ ，β⊥γ ，α∩β= l ，求证：l ⊥γ．【证明】解法一：如图，设α∩γ= a ，β∩γ= b ，在γ内任取一点P ．过点P 在γ内作直线m ⊥a ，n ⊥b ．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥β（面面垂直的性质）． 又α∩β= l ，∴l ⊥m ，l ⊥n ．又m ∩n = P ，m ，n ⊂γ ∴l ⊥γ．教师备课系统──多媒体教案14 解法二：如图，设α∩γ= a，β∩γ= b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n，又n⊂β，m⊄β，∴m∥β，又α∩β= l，m⊂α，∴m∥l，又m⊥γ，∴l⊥γ．教案 B第1课时教学内容：2.3.1 直线与平面垂直的判定教学目标1.经历并体验线面垂直的定义和判定定理的探究过程，并能应用定理进行简单的线面垂直的判定；2.增强对立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的应用能力；3.领悟类比与转化的数学思想，亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，自主地思考问题、探究问题，增强学习数学的兴趣．教学重点、难点教学重点直线与平面垂直的定义、判定定理的探究教学难点1.体会“线面垂直”所包含的空间问题平面化；2.类比线面垂直的定义，分析“一条直线与平面内的任一直线垂直”所包含的一般性与特殊性的转化.教学过程一、从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”.问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明.人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例，直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义.二、提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．1.阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？2.随着太阳的移动，影子BC的位置也会移动，而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?3.旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何？依据是什么？设计意图：第1与2两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第3问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念.（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1）在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若l⊥α，a⊂α，则l⊥a）设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法.通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法.三、探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？15。
人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
2.3.2.2平面与平面垂直的判定定理
C是圆周上不同于A、B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
证明: 设⊙O所在平面为
∵
PA , BC ∴ PA BC
又∵ AB为圆的直径 ∴ AC BC
∵ PA AC A
C
A
O
B
PA 面PAC, AC 面PAC
∵ BC 面PBC ∴ 面PAC 面PBC
“线面垂直，则面面垂直”
课堂作业
P74 习题2.3 B组 1
练习：
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的
正方形,侧棱 PD a, PA PC 2a:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
2. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形， PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点， 求证：平面PMC⊥平面PCD.
C β α A B D
E
则∠ABE是二面角-CD-的平面角，
而AB⊥BE，故-CD-是直二面角． ∴⊥ .
注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个
平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据． 如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据 这个原理．
P
F
E
D A M B
C
3. 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N 分别是AB、PC的中点 MN CD; （1）求证： （2）若PDA 45 ，求证：平面AMN 面PCD
P E N A
D
C
M
B
4.在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
数学必修2——2.3.4《面面与平面垂直的性质》导学导练
高中数学必修2 高中数学必修二2.3.4《平面与平面垂直的性质》导学导练【知识要点】1、平面与平面垂直的性质（重点）性质1、如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.则CD⊥β.定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；（2）为判定和作出线面垂直提供依据。
性质2、如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
【范例析考点】考点一．利用性质定理证明线面垂直例1：如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。
(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF；(3)求二面角A－DF－B的大小；【针对练习】1、如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．考点二．利用性质定理证明面面垂直例2：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1【针对练习】1、直角梯形ABCD中，BCAD//，090=∠A，1==ABAD，2=BC.沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.(1)求二面角ACDB--的大小；(2)证明：平面ABC⊥平面ADCA DBCADBCMC BF个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11考点三．利用性质定理证明线线垂直例3：如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：BC ⊥AB ．【针对练习】1、在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． (1)求证：AB BC ⊥；(2)设23AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．2、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A 1FD 1;考点四．利用面面垂直性质求距离例4：如图10，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明侧面PAB⊥侧面PBC ； （2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角； （3）求直线AB 与平面PCD 的距离.【针对练习】1、点P 是边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一动点，始终保持平面APB ⊥平面PBC ，且平面APC ⊥平面PBC ，求点P 到平面ABC 的最大距离.ACBp2、已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝2，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。
平面与平面垂直的判定
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
γ
β
2
例1：如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余 各棱长均为 2，求二面角A-BD-C的大小。
2.3.2. 平面与平面垂直的判定
两个平面互相垂直
一 般 地 ， 两 个 平 面 相 交， 如 果
它 们 所 成 的 角 是 直 二 面角, 就 说
_两__个__平__面___互__相__垂__直 _
我们把类似这样的角成为二面角.
2.3.2. 平面与平面垂直的判定
几个重要概念：
半平面：
l
平 面内 一 条 直 线l把 平 面
分 成 两 部 分, 每 一 部 分 通 常
称 为 半 平 面.
二面角的定义：
l
从 一条 直线 出 发的 两 个半 平面
所 组成 的图 形 叫做__二__面__角__.
这 条 直 线l叫 做 二 面 角 的_棱__ .
C
垂线
A
•
O
B
即证BC 平面PAC.
例3：如图P为ΔABC所在平面外一点， PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°， AE⊥PB于E，AF⊥PC于F， 求证：⑴平面PAB⊥平面PBC； ⑵平面AEF⊥平面PBC；⑶平面AEF⊥平面PAC。
小结：
2.3.2. 平面与平面垂直的判定
二面角的平面角的概念： 在 二面 角 的棱l上 取一 点O, 以 点O为 垂 足 ，
2.3.2平面与平面垂直的判定定理
D
C
解：过E作EF⊥CD于F， M A ∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体， B ∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点， 过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（垂线法） 于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角． 1 BC CD 1 2 1 GF ∵BC = 1，CD = 2， ∴ 2 BD 2 5 5 EF 5 而EF = 1，在△EFG中 tan EGF GF
0
分析 : 由直二面角的定义可知 , BDC 就 是这个直二面角的平面角 . 为直角 , 所以 BDCD . 若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
A
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
即有 BAC 60 .
0
D
C
B
例2 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡 底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
二面角的大小用它的 (4) 二面角的平面角 平面角的大小来度量,二面角的 平面角是多少度，就说这个二面 角是多少度,ok
A
l
O
A B B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
练习
练习 1正方体ABCD—A1B1C1D1中， 45° 二面角B1-AA1-C1的大小为_____ ， 二面角B-AA1-D的大小为______ ， 90° 二面角C1-BD-C的正切值是_______. 2
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1.两个平面互相垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
2.判定两个平面互相垂直的方法 (1)利用定义; (2)两个平面互相垂直的判定定理: 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线，那 么这两个平面相互垂直。 符号语言: a a
解 : 设 c . 在内作直线b c, , b . 又 a , a // b. 又 a , b , a // .
即直线a与平面平行.
α b c
a β
变式:已知平面, ,直线a,且 , I AB, a//, a AB, 试判断直线a与平面的位置关系.
四、针对性训练
3.平面α 内有一个圆,直径为AB,过A作SA⊥平面α , C为圆上任意一点,连接SB,SC. (1)求证:平面SAC ⊥平面SBC; (2)若AE⊥ SB, AF ⊥ SC, 垂足分别为E、F， 求证：∠AEF为二面角C-SB-A的平面角. S E F A C B
五、小结巩固
D1 A1 B1
C1
D
A B
C
结论:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂直.
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直.
已知: 平面 平面 , CD,
α
AB , AB CD, 且AB CD B. 求证: AB .
α a
l
β
课堂练习
1、如图, 正方形 S G1G2G3中, E, F分别是 G1G2 ,G2G3 的 中点, D 是 EF 的中点, 现沿 SE, SF及 EF 把这个正方形折 成一个四面体, 使 G1 , G2 , G3 三点重合, 重合后点记为 G , 则四面体 S – EFG 中必有 ( A ) A. SG⊥△EFG所在的平面 B. SD⊥△EFG所在的平面 C. GF⊥△SEF所在的平面 D. GD⊥△SEF所在的平面
l a a
al
简述：面面垂直 线面垂直
α a
l
β
三、例题分析
例1.如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. 已知: , P , P a, a .
求证: a . 证明 : 设 c .
a
b P b
过点P在内
a
作直线b c , 则由 可得b . 又 a ,
c
c P
且经过一点有且只有一条直线与平面 垂直,
直线a与b重合. 即a .
三、例题分析
例2.如图,已知平面, , ,直线a满足 a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系.
1.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直. α 符号语言：
l a a
al
简述：面面垂直 线面垂直
a
l
β
五、小结巩固
2.几个常见结论: (1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
解 : 过a作平面 , 使设 b. 则由a // 可得a // b. 又 a AB, b AB. 又 , AB,
b B α
a
γ
b .
又 a // b, a .
即直线a与平面 垂直.
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
β
四、针对性训练
1.下列命题中错误的是( A ) (A)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线 都垂直于平面β; (B)如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在 直线平行于平面β; (C)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一 定不存在直线垂直于平面β; (D)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ, α∩β= l , 那么l ⊥γ.
(2)两个平面互相垂直,如果在第一平面外的直线垂 直于第二个平面,则此直线必平行于第一个平面.
六、布置作业
作业:学生同步课时作业P 97-98
名师一号P62第3,4题
3.已知直线l , m，平面，，且l , m , 给出下列四个命题： (1)若 // , 则l m;(2)若l m，则 // ; (3)若 ，则l // m;(4)若l // m, 则 .
B 其中正确的命题的个数是（ ） A.1 B.2
C.3
D.4
4. 、、 、是四个不同平面，若 ，
B ， ， ，则（ ） A. // 且 // B. // 或 // C.这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行
证明: 在内作直线BE CD, B C
A
D E
β
垂足为B,
则ABE是二面角 CD 的平面角.
由 知, AB BE . 又 AB CD, 且BE与CD是内的两条相交直线, AB .
二、基础知识讲解
平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直. 符号语言：
S
S
G F E
G3 F G2
D G1 E
D
课堂练习
2、如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你发现哪些
平面互相垂直，为什么？ 答：共有 3 对．
平面ABD⊥平面BCD; 平面ABC⊥平面BCD; 平面ACD⊥平面ABC.
B C D
A
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H分 别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点. 求证：平面ABHG⊥平面DEFC D1 C
E F
G
1
A1
B1
O H
D
C B
A
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H分 别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点. 求证：平面AH⊥平面DF D1 C
E F
G
1
A1
B1
O H
D
C B
A
思考 (1)两个平面互相垂直，则其中一个平面内的直线一 定垂直于另一个平面吗？ (2)如图，长方体中ABCD-A1B1C1D1，平面A1ADD1 与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD。平 面A1ADD1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗？
四、针对性训练
2.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的 任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面无 数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是( B ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0