高中数学复习提升-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
高考数学二轮复习数列求和及其综合应用
(2)在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0，Sn 是数列 {an}的前 n 项和，若对 n∈N*，不等式 an(λ－2Sn)≤27 恒成立，则实数 λ 的 取值范围为_(－__∞__，__1_7_]_.
∵a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1， Sn＝11－－33n＝32n－12， ∴不等式 an(λ－2Sn)≤27 即 λ≤2Sn＋2a7n＝3n＋32n－71－1 对 n∈N*恒成立，
所以 2an1
2an
＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以 a24＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)， 解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4， 因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项， 所以Sn＋1＝2bn， 当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1， 两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1， 当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1， 所以b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝ log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋ an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
递推数列综合能力提升(高一高二适用)
则 an1 m p(an m), an m 是等比数列. 【例 2】已知数列 an1 3an 1, a1 1. 求an 的通项公式.
【练 1】
（1）已知数列an 满足 an1 2an 3, a1 1. 求an 的通项公式.
【例 2】已知数列an 满足 nan1 (n 1)an 1, a1 1，求an 的通项公式.
【例 3】已知数列an 满足 an1 2n an , a1 2, 求an 的通项公式.
【练习】
1. 已知数列an 满足 a1 1, an an-1 2n , 求an 的通项公式.
2. 已知数列an 满足 a1 1, an n(an1 an ) ，求an 的通项公式.
【例
1】若数列an 满足 an
1 2
an1
1 2n
, a1
1，求an 的通项公式.
【例 2】若数列an 满足 an 3an1 2n , a1 2 ，求an 的通项公式. 【练 1】若数列an 满足 an 3an1 3n , a1 3 ，求an 的通项公式.
【练 2】若数列an 满足 an 2an1 3n , a1 3 ，求an 的通项公式.
注意需分段讨论，验证结果.
【例 1】设数列an 的前 n 项和是 Sn ， a1 1, an1 3Sn , 求an 的通项公式.
【例
2】设数列an 满足 a1
1, Sn
n
3
2
an ,
求an 的通项公式.
【例
3】已知数列an 的前 n
项和是
Sn
， a1
1,
an
2Sn2 2Sn
数列的递推公式与求和公式推导
数列的递推公式与求和公式推导在数学中，数列是指按照一定规律排列的一组数字。
数列中的每个数字称为数列的项，而数列的递推公式和求和公式是用来描述和计算数列的重要工具。
本文将介绍数列的递推公式及其推导方法，以及数列的求和公式的推导过程。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知的前一项或前几项计算下一项的公式。
它描述了数列项之间的关系，使我们可以方便地求得任意项的值。
下面以斐波那契数列为例，介绍数列的递推公式推导。
斐波那契数列是一个经典的数列，它的定义如下：F(1) = 1F(2) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n>=3。
可以通过观察前几个数来猜测递推公式，但为了证明递推公式的正确性，需要使用数学归纳法。
首先，验证当n=1和n=2时，递推公式成立。
然后，假设当n=k时，递推公式也成立，即F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
接下来，我们通过验证n=k+1时递推公式是否成立来证明递推公式的通用正确性。
当n=k+1时，根据斐波那契数列的定义可得：F(k+1) = F(k) + F(k-1) = (F(k-1) + F(k-2)) + F(k-1) = F(k) + 2F(k-1)由假设知F(k) = F(k-1) + F(k-2)，代入上式可得：F(k+1) = (F(k-1) + F(k-2)) + 2F(k-1) = F(k-1) + 3F(k-1) = 4F(k-1)因此，当n=k+1时，递推公式也成立。
根据数学归纳法可知，对于任意的n，斐波那契数列的递推公式都成立。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指计算数列前n项和的公式。
通过求和公式，我们可以在不一一相加的情况下，直接得到数列的和。
下面以等差数列为例，介绍数列的求和公式推导。
等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数，记为d。
等差数列的通项公式为：a(n) = a(1) + (n-1)d，其中n为项数。
高中数学数列求和问题的递推与概括思路
高中数学数列求和问题的递推与概括思路数列求和是高中数学中常见的问题类型，对于学生来说，掌握数列求和的递推与概括思路是非常重要的。
本文将重点介绍数列求和问题的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用。
一、等差数列求和问题等差数列是高中数学中最基础的数列之一，其求和问题也是最常见的。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，求Sn的表达式。
解析：对于等差数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。
首先我们列出前几项的数列：a, a+d, a+2d, a+3d, ...我们可以发现，每一项与首项的差值都是公差d的倍数。
因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项加上一个公差的倍数，即：a, a+d, a+2d, a+3d, ... = a, a+(1d), a+(2d), a+(3d), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相加：a, a+d, a+2d, a+3d, ...a+(3d), a+(2d), a+(1d), a我们可以发现，相同位置上的两项之和都等于首项与末项之和，即：2Sn = (a+a+(3d)) + (a+d+a+(2d)) + (a+2d+a+(1d)) + ... + (a+(n-1)d+a)= n(a+a+(n-1)d)化简得到：Sn = n(a+a+(n-1)d)/2这就是等差数列前n项和的表达式。
通过这个表达式，我们可以快速计算出任意等差数列的前n项和。
二、等比数列求和问题等比数列也是高中数学中常见的数列类型，其求和问题同样需要掌握。
例题：已知等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，求Sn的表达式。
解析：对于等比数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。
首先我们列出前几项的数列：a, ar, ar^2, ar^3, ...我们可以发现，每一项与首项的比值都是公比r的幂次。
因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项乘以公比的幂次，即：a, ar, ar^2, ar^3, ... = a, a(r^1), a(r^2), a(r^3), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相乘：a, ar, ar^2, ar^3, ...a(r^3), ar^2, ar, a我们可以发现，相同位置上的两项之积都等于首项与末项之积，即：Sn * r = (a+a(r^3)) * (r^2)= (a(r^3)+ar^2) * r= (ar^3+ar^2) * r= ar^4+ar^3将等式两边相减，得到：Sn * (1-r) = ar^4 - aSn = a(r^4-1)/(r-1)这就是等比数列前n项和的表达式。
2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题二数列第2讲数列求和及综合问题含解析
高考数学二轮复习专题练：第2讲数列求和及综合问题高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.因为数列{a n}的前16项和为540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1，所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7.法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1，由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋12＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋14， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋14＋a 1.所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝a 1＋⎝⎛⎭⎫34×12＋1＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×32＋3＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×52＋5＋14＋a 1＋ ⎝⎛⎭⎫34×72＋7＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×92＋9＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×112＋11＋14＋a 1＋ ⎝⎛⎭⎫34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 72.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1.所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案 －633.(2020·新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.解 (1)设{}a n 的公比为q (q ＞1). 由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8. 解得q ＝12(舍去)，q ＝2.由题设得a 1＝2.所以{}a n 的通项公式为a n ＝2n .(2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.4.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项. (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3， 即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2.所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 故{a n }的公比为－2.(2)记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得a n ＝(－2)n －1，所以S n ＝1＋2×(－2)＋…＋n ·(－2)n －1， －2S n ＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n ·(－2)n . 所以3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ·(－2)n ＝1－(－2)n 3－n ·(－2)n .所以S n ＝19－(3n ＋1)(－2)n9.考 点 整 合1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.热点一 a n 与S n 的关系问题【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14，所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝⎛⎭⎫－14n. (2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【训练1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1， ∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2. 因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1.∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 热点二 数列求和 方法1 分组转化求和【例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【训练2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝4， 所以a n ＝4n ， 因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n 2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法2 裂项相消求和【例3】 (2020·江南六校调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)证明：{a n }为等比数列；(2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明 由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得a n ＝2n ，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，T n ＝λ⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n ，因为10（n ＋1）n ＝10⎝⎛⎭⎫1＋1n ≤20， 所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练3】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.方法3 错位相减法求和【例4】 (2020·济南统测)在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题.已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a nb n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a nb n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解. 2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练4】 (2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n ＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1 ＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1. 所以S n ＝94－10n ＋94×3n.选②③时，设数列{b n }的公差为d 2.因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2.因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n 3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n . 所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意. 热点三 与数列相关的综合问题【例5】 (2020·杭州滨江区调研)设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练5】 已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n b n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1.(1)解 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). ∴2b n＝21＋22＋23＋…＋2n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1） ＝12n－1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1， ∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.A 级 巩固提升一、选择题1.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析 因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－12n ，则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C2.(2020·河北“五个一”名校联盟诊断)在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项的和为( ) A.1 009B.1 010C.2 019D.2 020解析 设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2 020项的和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×1 010＝2 020. 答案 D3.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( )A.9998B.2C.9950D.99100解析 对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2， 则1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎫1－1100＝9950. 答案 C4.(多选题)(2020·青岛质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和为T n ，n ∈N *，则下列选项正确的为( ) A.数列{a n ＋1}是等差数列 B.数列{a n ＋1}是等比数列 C.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1 D.T n <1解析 由S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1，可化为a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).由a 1＝1，得a 1＋1＝2，则数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.则a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.由2n a n a n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，得T n＝1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1<1.所以A 错误，B ，C ，D 正确.故选BCD. 答案 BCD5.(多选题)(2020·烟台模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ·(－1)n （n ＋1）2，其前n 项和为S n ，且m ＋S 2 019＝－1 009，则下列说法正确的是( ) A.m 为定值B.m ＋a 1为定值C.S 2 019－a 1为定值D.ma 1有最大值解析 当n ＝2k (k ∈N *)时，由已知条件得a 2k ＋a 2k ＋1＝2k ·(－1)k (2k ＋1)，所以S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝a 1－2＋4－6＋8－10＋…－2 018＝a 1＋1 008－2 018＝a 1－1 010，所以S 2 019－a 1＝－1 010.m ＋S 2 019＝m ＋a 1－1 010＝－1 009，所以m ＋a 1＝1，所以ma 1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋a 122＝14，当且仅当m ＝a 1＝12时等号成立，此时ma 1取得最大值14.故选BCD. 答案 BCD 二、填空题6.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－27.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ＋1，则a 1＝________，a n ＝________. 解析 令n ＝1，则2S 1＝3a 1＋1，又S 1＝a 1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(3a n －3a n －1)，整理得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3(n ≥2).因此，{a n }是首项为－1，公比为3的等比数列. 故a n ＝－3n －1. 答案 －1 －3n －18.(2020·福州调研)已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________.解析 S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得 －S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 又a n ＝2n ，∴S n －na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50 ＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5. 答案 5 三、解答题9.(2020·合肥调研)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 10＝4，S 15＝30. (1)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n ；(2)记数列{2a n ＋4＋a n }的前n 项和为T n ，求满足T n ＞0的最小正整数n 的值. 解 (1)记数列{a n }的公差为d ，S 15＝30⇒15a 8＝30⇒a 8＝2，故d ＝a 10－a 810－8＝1，故a n ＝a 10＋(n －10)d ＝4＋n －10＝n －6，S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－5n ＋n （n －1）2＝n 22－11n2.(2)依题意，2a n ＋4＋a n ＝n －6＋2n －2 T n ＝(－5－4＋…＋n －6)＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝n （n －11）2＋2n －12， 当n ＝1时，T 1＝－1×10＋21－12＜0；当n ＝2时，T 2＝－2×9＋22－12＜0；当n ＝3时，T 3＝－3×8＋23－12＜0；当n ＝4时，T 4＝－4×7＋24－12＜0；当n ≥5时，n （n －11）2≥－15，2n －12≥312，所以T n ＞0.故满足T n ＞0的最小正整数n 的值为5.10.(2020·临沂模拟)甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道有关数列的题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知________. (1)判断S 1，S 2，S 3的关系；(2)若a 1－a 3＝3，设b n ＝n 12|a n |，记{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <43.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题. (1)解 由S 1，S 3，S 2成等差数列，得 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝2a 1＋a 1q ， 解得q ＝－12或q ＝0(舍去).若乙同学记得的缺少的条件是正确的，则公比q ＝－12.所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1－12a 1＝12a 1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1－12a 1＋14a 1＝34a 1，可得S 1＋S 2＝2S 3，即S 1，S 3，S 2成等差数列.(2)证明 由a 1－a 3＝3，可得a 1－14a 1＝3，解得a 1＝4，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫－12n －1.所以b n ＝n 12|a n |＝n 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝23n ·⎝⎛⎭⎫12n. 所以T n ＝23⎝⎛⎭⎫1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ， 12T n ＝23⎝⎛⎭⎫1×14＋2×18＋3×116＋…＋n ×12n ＋1， 两式相减，得12T n ＝23⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋116＋…＋12n －n ·12n ＋1 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n ·12n ＋1， 化简可得T n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n ＋22n ＋1.由1－n ＋22n ＋1<1，得T n <43.B 级 能力突破11.设数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，a n ，S n ，a 2n成等差数列，设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝（ln x ）na 2n ，若对任意的实数x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)和任意正整数n ，总有T n <r (r ∈N *)，则r 的最小值为________.解析 由题意得，2S n ＝a n ＋a 2n， 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1，∴2S n －2S n －1＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，即数列{a n }是公差为1的等差数列，又2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21，a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *).又x ∈(1，e]，∴0<ln x ≤1，∴T n ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2，∴r ≥2，即r 的最小值为2. 答案 212.(2020·衡水中学检测)等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 4，a 8分别等于等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c na n ＝b n ＋1，求数列{c n }的前2 020项的和.解 (1)依题意得b 23＝b 2b 4， 所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，所以a 21＋12a 1＋36＝a 21＋16a 1＋28，解得a 1＝2.∴a n ＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，所以q ＝b 3b 2＝a 4a 2＝84＝2，又b 2＝a 2＝4，∴b n ＝4×2n －2＝2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ，b n ＝2n . 因为c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＋c n a n ＝2n ＋1①当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝2n ②由①－②得，c n a n ＝2n ，即c n ＝n ·2n ＋1，又当n ＝1时，c 1＝a 1b 2＝23不满足上式，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，n ·2n ＋1，n ≥2.故S 2 020＝8＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021 ＝4＋1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021设T 2 020＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 019×22 020＋2 020×22 021③， 则2T 2 020＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋2 019×22 021＋2 020×22 022④， 由③－④得：－T 2 020＝22＋23＋24＋…＋22 021－2 020×22 022 ＝22（1－22 020）1－2－2 020×22 022＝－4－2 019×22 022，所以T 2 020＝2 019×22 022＋4， 所以S 2 020＝T 2 020＋4＝2 019×22 022＋8.。
2025高考数学一轮复习-4.1.2-数列的递推公式【课件】
(2)通过公式 bn＝aan＋n1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前 4
项． [解]
(2)∵bn＝aan＋n 1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58.
故{bn}的前 4 项依次为 b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
1.已知数列{an}的首项 a1＝1，且满足 an＋1＝12an＋21n，此数
列的第 3 项是( )
A．1
B．12
C．34
D．58
C [∵an＋1＝12an＋21n，a1＝1，∴a2＝12a1＋2×1 1＝1，a3＝12a2＋2×1 2
＝12×1＋14＝34.故选 C.]
2.数列{an}满足 an＋1＝1－a1n，且 a1＝2，则 a2 021 的值为(
知识点 1 数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第 1 项(或前几项)； ②任一项_a_n__与它的前一项__a_n_－_1___(或前几项)间的关系可以用 一个_公__式_来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递__推__公式．
1.所有数列都有递推公式吗？ [提示] 不一定．例如 2精确到 1，0.1，0.01，0.001，…的近似 值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
3.数列 2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2) C [由条件可发现，n≥2 时，an－an－1＝2，即 an＝an－1＋2，又 a1D．1 A [由 an＋1＝1－a1n及 a1＝2，得 a2＝12，a3＝－1，a4＝2，至此可
高中数学课件-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
专题二
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-13-
类型一
类型二
类型三
[感悟方法]
1．已知 Sn 求 an 的步骤 (1)求出 a1. (2)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式整合；如果不符合，
专题二
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论
主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-3-
4．常用的拆项公式(其中 n∈N*) (1)nn1＋1＝n1－n＋1 1； (2)nn1＋k＝ 1kn1－n＋1 k； (3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
专题二
专题二
类型一
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-9-
类型二
类型三
正确写出通项公式(用 n≥2，要验证 n＝1)得 1 分
写出 bn 并正确裂项得 2 分 若 bn 正确，裂项不正确扣 1 分
正确写出求和公式得 2 分
正确写出结论(无论是否合并)得 2 分
所以 an＝2n2－1(n≥2)．(4 分)
又由题设可得 a1＝2，符合上式，
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.(6 分)
专题二
类型一
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
数列的求和与递推公式
数列的求和与递推公式在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数列求和的方法以及递推公式的推导过程。
一、等差数列的求和与递推公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
1.1 求和公式对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。
等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = (n/2) * (a + an)其中，n为项数，a为首项，an为第n项。
1.2 递推公式递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。
根据等差数列的性质，可以得出递推公式为：an = a + (n-1) * d其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。
二、等比数列的求和与递推公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
2.1 求和公式对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。
等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n为项数，a为首项，r为公比。
2.2 递推公式递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。
根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为：an = a * r^(n-1)其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。
三、斐波那契数列的求和与递推公式斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。
斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。
3.1 求和公式斐波那契数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = Fn+2 - 1其中，Fn为斐波那契数列的第n项。
3.2 递推公式递推公式是求解斐波那契数列中第n项的常用方法。
根据斐波那契数列的定义和性质，可以得出递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn为第n项，Fn-1为第n-1项，Fn-2为第n-2项。
高中数学教案：数列的递推公式与数列求和
高中数学教案：数列的递推公式与数列求和一、数列的定义与性质数列作为高中数学中的重要概念之一，是一种按照一定规律排列的数的序列。
它能够帮助我们更好地研究数的规律性，以及在各种实际问题中的应用。
本文将重点讨论数列的递推公式与数列求和的相关知识。
1.1 数列的定义数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示，其中的每一项aₙ都是数列中的元素，下标n表示这是数列中的第n个元素。
1.2 数列的性质数列除了有一定的递增或递减规律外，还具有以下性质：1）有界性：数列中的元素存在上界和下界，即数列的元素都在某个范围内。
2）单调性：数列可以是递增的（数列中的每一项都大于前一项），也可以是递减的（数列中的每一项都小于前一项），还可以是常数列（数列中的每一项都相等）。
3）有限性：数列可以是有限数列（数列中的元素个数是有限的），也可以是无限数列（数列中的元素个数是无限的）。
二、数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列中某一项与前几项的关系来表示后一项的公式。
在实际问题中，通过找出数列元素之间的规律，我们可以用递推公式来进行数列的计算与推理。
2.1 递推关系数列的递推关系是指数列中后一项与前几项之间的关系。
对于数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果存在一个递推公式aₙ=f(a₁，a₂，a₃，...，aₙ₋₁)来表示数列中的每一项，其中f是一个函数，则称这个递推公式为数列的递推关系。
2.2 递归与迭代在数列的递推公式中，有两种主要的解题方法：递归和迭代。
2.2.1 递归递归是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，直到得到所需要的项。
递归可以分为直接递推法和间接递推法两种。
直接递推法是指通过已知数列中的前两项来推导下一项的值，例如斐波那契数列{1，1，2，3，5，...}就是通过aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂来进行递推的。
间接递推法是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，例如{2，5，12，29，...}中的每一项都是前一项的平方与前一项的负数之和。
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专题·限时训练 单独成册对应学生用书第111页A 卷 小题提速练A 组 巩固提升练(建议用时：30分钟)一、选择题1．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则{a n }的通项公式为( ) A ．4n －5 B ．4n －3 C ．2n －3D ．2n －1解析：当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5.经验证a 1＝S 1＝－1，也适合上式，∴a n ＝4n －5，故选A. 答案：A2．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D ．52解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3＝22＝4，故选B. 答案：B3．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2 D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析：对n ＝1,2,3,4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C. 答案：C4．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24D ．23解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( )A ．16B ．20C ．33D ．120解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1a n＝4(n ≥2)，所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44. 答案：A7．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0B ．100C ．5 050D ．10 200解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050.答案：C8．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 015＝( ) A.12 014 B ．2 0142 015 C ．－2 0142 015D ．12 015解析：∵a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n＝1，又∵a 1＝1，∴1a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以首项为1，公差为1的等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴1a 2 015＝2 015， ∴a 2 015＝12 015.故选D. 答案：D9．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可知数列{a 2n }是等差数列，且首项为a 21＝1，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以数列{a 2n }的通项公式为a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 26＝3×6－2＝16，又因为a 6>0，所以a 6＝4.选D. 答案：D10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143B ．156C ．168D ．195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，∴a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以a 13＋1＝13，则a 13＝168，故选C. 答案：C11．在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )A.56 B ．73 C.72D ．5解析：因为a n a n ＋2＝1，所以a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，a 7＝2，a 8＝3，依次类推可得a n ＝a n ＋4，所以数列{a n }的周期为4，a 2 016＝a 4＝3，a 2 017＝a 1＝12，所以a 2 016＋a 2 017＝72，故选C. 答案：C12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则a 100＝( ) A ．100 B ．1100 C ．101D ．1101解析：由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，∵a n ＋1＋a n ≠0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×12×23×…×99100＝1100，故选B. 答案：B二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________. 解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3，∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0， 则m ＝6或m ＝0(舍去)． 答案：614．若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n，且a 1＝3，则a n ＝________.解析：由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5. 答案：36n －515．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．解析：∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.答案：3n －116．数列{a n }中，a n ＞0，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由S n ＝a n (a n ＋1)2，a n ＞0，得a 1＝a 1(a 1＋1)2，解得a 1＝1，又S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，化简得a n －a n －1＝1(n ≥2)，则数列{a n }是首项和公差都等于1的等差数列，则a n ＝n . 答案：a n ＝nB 组 “12＋4”组合练(建议用时：45分钟)一、选择题1．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25解析：由题意可得a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝20，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝20，故选B. 答案：B2．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n a 2n ＝a 1－d ＋dna 1－d ＋2dn 为常数，则a 1＝d 或d ＝0，a n a 2n ＝12或1，故选B. 答案：B3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为数列{a n }为各项均为正数的等比数列，则a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m ，解得a m ＝2，所以数列{a n }为常数列，则T 2m －1＝22m －1＝512，解得2m －1＝9，m ＝5，故选B. 答案：B4．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．2D ．3解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 23＝a 1a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得a 1＝－4d ，所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝2，故选C.答案：C5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋a 4＝－22，a 1＋a 4＋a 7＝－21，则使S n 达到最小值的n 是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 2＋a 4＝－22，a 1＋a 4＋a 7＝－21，得到2a 1＋4d ＝－22,3a 1＋9d ＝－21，联立解得a 1＝－19，d ＝4.所以a n ＝4n －23，所以a 5＜0，a 6＞0，所以当n ＝5时，S n 达到最小值． 答案：B6．数列2 016,2 017,1，－2 016，…，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前2 017项和等于( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．1D ．0解析：根据数列的规律可知该数列为2 016,2 017,1，－2 016，－2 017，－1，2 016，2 017，…，可知该数列是周期为6的数列，一个周期的和为0，所以S 2 017＝S 1＝2 016.答案：A7．数列{a n }中，a 1＝p ，a n ＋1＝qa n ＋d (n ∈N *，p ，q ，d 是常数)，则d ＝0是数列{a n }是等比数列的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当d ＝0，p ＝0时，a n ＝0，数列{a n }不是等比数列，所以充分性不成立；当q ＝0，p ＝d ，d ≠0时，a n ＝d ，则数列{a n }为公比为1的等比数列，所以必要性不成立，综上所述，“d ＝0”是“数列{a n }是等比数列”的既不充分也不必要条件，故选D. 答案：D8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－1，S 100＝5 B ．a 100＝－3，S 100＝5 C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2解析：依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A. 答案：A9．已知数列{a n }满足a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1314＝()A ．－27B ．27C ．－37D ．37解析：∵a 1＝17，∴a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，∴当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为偶数时，a n ＝37.∴a 1 413－a 1 314＝67－37＝37.故选D. 答案：D10．已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为S n ，且满足2S n ＝a n －a 2n (1≤n ≤5)，则满足条件的数列共有( ) A ．2个 B ．6个 C ．8个D ．16个解析：∵2S n ＝a n －a 2n ，∴2a 1＝a 1－a 21.解得a 1＝0或a 1＝－1，∵数列{a n }(1≤n ≤5)中不存在1和0，∴a 1＝－1.又∵2S 2＝a 2－a 22＝2(a 1＋a 2)，解得a 2＝－2.同理可得a 3＝－3或2.当a 3＝－3时，可得a 4＝3，a 5＝－3或2，或a 4＝－4，a 5＝－5或4；当a 3＝2时，a 4＝－2，a 5＝－3或2.综上可知，满足条件的数列共有6个． 答案：B11．(2017·太原模拟)定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111 B ．910 C.1011D ．1112解析：由已知，得na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.验证知，当n ＝1时此式也成立，∴a n ＝4n －1.∴b n ＝a n ＋14＝n .∴1b n ·b n ＋1＝1n －1n ＋1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C.答案：C12．若φ(n )表示正整数n 的个位数，a n ＝φ(n 2)－φ(n )，则数列{a n }的前2 016项之和为( ) A ．10 B ．2 018 C ．2 016D ．－392解析：由题意得a n 的值只与n 的个位数字有关，且a 1＝1－1＝0，a 2＝4－2＝2， a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a 10＝0－0＝0，所以数列{a n }是以10为周期的周期数列，且从第一项起，每连续10项的和为0，所以数列{a n }的前2 016项之和为S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0＋2＋6＋2＋0＋0＝10，故选A. 答案：A 二、填空题13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a6＝________.解析：由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，所以a n ＝2a n －2a n －1，a n ＝2a n －1(n ≥2)，数列{a n }为等比数列，公比为2，a 8a 6＝22＝4. 答案：414．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥215．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n (n ∈N *)，则S 2 014＝________.解析：由a n a n ＋1＝3n 知，当n ≥2时，a n a n －1＝3n －1.所以a n ＋1a n －1＝3，所以数列{a n }所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．又因为a 1＝1，所以a 2＝3，a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝3n .所以S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝4×1－31 0071－3＝2×31 007－2.答案：2×31 007－216．数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝na n (n ＋1)(na n ＋2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由已知可得(n ＋1)a n ＋1＝na n na n ＋2，设na n ＝b n ，则b n ＋1＝b n b n ＋2，所以1b n ＋1＝2b n ＋1，可得1b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋1是公比为2，首项为3的等比数列，故1b n ＋1＝3·(1－2n )1－2＝3·2n －3，由此可得1b n ＝3·2n －4，所以a n ＝1n (3·2n －4). 答案：1n (3·2n －4)B 卷 大题规范练(建议用时：75分钟)1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n ＋1－a n }为常数列， ∴{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－83＝－2，∴a n ＝10－2n .(2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，其中T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n . 当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2(n ≤5)n 2－9n ＋40(n >5). 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 为等差数列； (2)求S 1＋S 2＋…＋S n .解析：(1)证明：由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1，即S n ＋1－2S n ＝2n ＋1，整理得S n ＋12n ＋1－S n 2n ＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)可知，S n 2n ＝1＋n －1＝n ，即S n ＝n ·2n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则T n ＝1·2＋2·22＋…＋n ·2n ，①2T n ＝1·22＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，整理得T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.3．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝4(－1)n ＋1a n ＋1(a n ＋1)(a n ＋1＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n .求证：T 2n ＜1. 解析：(1)当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以a n ＝2n －1.(2)证明：b n ＝(－1)n ＋1(2n ＋1)n (n ＋1)＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1 ∴T 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＜1. ∴T 2n ＜1.4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n，b n ＝22a n －1，其中n ∈N ＋. (1)求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝4a n n ＋1，求数列{c n c n ＋2}的前n 项和T n . 解析：(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1 ＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2，∴数列{b n }是公差为2的等差数列，又b 1＝22a 1－1＝2，∴b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴2n ＝22a n －1，解得a n ＝n ＋12n . (2)由(1)可得c n ＝4×n ＋12n n ＋1＝2n ， ∴c n c n ＋2＝2n ×2n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝3－4n ＋6(n ＋1)(n ＋2). 5．一个公差不为零的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1,4,16项分别为正项等比数列{b n }的第1,3,5项．记数列{a n }各项和的值为S .(1)求S (用数字作答)；(2)若数列{b n }的末项不大于S 2，求数列{b n }项数的最大值N ；(3)记数列{c n }，c n ＝a n b n (n ∈N *，n ≤100)．求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)设{a n }的公差为d (d ≠0)，由b 1，b 3，b 5成等比数列，得b 23＝b 1b 5，则a 24＝a 1a 16，即(5＋3d )2＝5(5＋15d )⇒d ＝0(舍)或d ＝5.所以a n ＝5n (n ∈N *，n ≤100)，S ＝5×100＋100×992×5＝25 250. (2)由b 1＝5，b 3＝a 4＝20⇒q 2＝4(q ＞0)，所以q ＝2，b n ＝5·2n －1，由b n ≤S 2可得2n ≤5050，所以n 的最大值为12.又b n＋1＞b n，所以b1＜b2＜…＜b12≤S2，当n≥13时b n＞S2，所以N＝12.(3)c n＝a n b n＝25n·2n－1，则T n＝25(1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1)，2T n＝25[2＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n]，两式相减得－T n＝25(1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n)＝25[(1－n)2n－1]，所以T n＝25[(n－1)2n＋1](n∈N*，n≤100)．。