角平分线定理应用
角平分线定理的应用
角平分线定理的应用最近忙于写《向量恒等式》，就发一下我的手写笔记啦字丑，勿怪。
先说一下角平分线的两大定理定理1:角平分线上的一点到角两边的距离相等。
定理2:三角形内角的平分线分为两条线段，与相邻的两条边成正比。
证明思路：第一个定理大家都很熟悉，初中课本上已经给过了。
至于第二个定理，虽然初中的课本已经删掉了，但是我听数学老师的意思是可以直接用(我这里针对的是高中汗)，但是很多同学都不知道这个定理(定理2)。
本文主要介绍定理2的神奇作用。
注意这两个定理的逆定理成立！可以作为角平分线的判定定理。
先发两道例题读者可以用搜索软件看看答案，用角平分线定理就简单多了。
读者：为什么狗不用搜题软件？择梦舟：因为我没有无限号（卑微）圆锥曲线的焦点三角形内心的轨迹方程我承认圆锥曲线内接圆圆心的轨迹方程有很多方法求解，但这个方法比定义法好，比如双曲线的焦点三角形内心的轨迹，角平分线定理可以知道它的范围我的版面比较糊，椭圆的焦点三角形内心轨迹你们可以参考一下 @fasnreis至于双曲线，知乎好像没有。
例题（看题号，好像都在压轴题上诶）例题1：湖北2021年模拟（改编）例2：例3：圆锥曲线的光学性质光从椭圆的一个焦点发出，光碰到椭圆边界反射的路径经过另一个焦点。
光线从双曲线的一个焦点射出，双曲线的边界反射的路径的反向延长线穿过另一个焦点从抛物线的焦点射出，抛物线的边界反射的路径平行于抛物线的对称轴即：椭圆的两个焦点分别与椭圆上的任意一点相连，两条直线与通过该点的切线的夹角相等。
双曲线的两个焦点与双曲线上的任意一点相连，两条直线与通过该点的切线之间的夹角相等。
连接抛物线焦点和抛物线上任意一点的直线与抛物线对称轴和该点切线的夹角相等。
我们可以利用这组等角进行证明：虽然光学性质的大题出现频率少之又少，但还是很有意思的，感兴趣的可以看看 @上进的z君他归纳的比较全。
平分角定理
平分角定理
平分角定理是平面几何中的一个重要定理，用于描述角的平分线的性质。
它的表述为：若有一条直线将一个角平分成两个角，那么这条直线所在的点与角的顶点连线的中垂线将这个角分为两个大小相等的角。
这个定理可以很容易地应用到各种几何问题中。
比如，在求解三角形内一些特殊角度时，使用平分角定理可以有效地简化问题。
在证明其他几何定理时，平分角定理也常常被用到，因为它具有一些很好的证明方法和技巧。
平分角定理的原理比较简单，但是要充分理解和掌握它的应用还需要大量的实践。
需要注意的是，在使用这个定理时，要注意判断角度的大小关系和角度所在位置是否在已知图形内。
同时，还要考虑到其他要素对定理的影响，例如线段的位置、长度等等。
总的来说，平分角定理是几何学中非常重要的一个定理，具有广泛的应用。
掌握这个定理可以丰富我们的数学知识，有助于我们更深入地理解和应用其他数学定理。
第3节 角平分线的性质及应用
第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。
角平分线三个定理
角平分线三个定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角平分线三个定理是几何学中非常重要的定理之一，它们可以帮助我们更好地理解和运用角平分线的性质。
本文将详细介绍这三个定理的含义和推理过程。
第一个定理是角平分线定理。
所谓角平分线定理指的是：如果一条直线将一个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。
换句话说，如果一条直线BD分割一个角ABC，且∠ABD≌∠CBD，则BD就是∠ABC的平分线。
证明这个定理的方法比较简单，可以通过相似三角形或等角相等辅助线的方法进行。
通过这三个定理，我们可以更深入地了解角平分线的性质，进而应用到解决各种与角平分线相关的几何问题中。
熟练掌握和灵活运用这三个定理对于提高我们的几何学水平至关重要。
希望通过本文的介绍，读者们能够更好地理解和掌握角平分线的性质，从而在学习和工作中取得更好的成绩。
愿大家在几何学的道路上不断进步，探索出更多有趣的数学定理和问题！第二篇示例：角平分线三个定理是解析几何中非常重要的定理，对于角平分线的性质进行了深入的研究和总结。
在平面几何中，角平分线是连接一个角的两边中点的线段，将这个角分成两个相等的角。
下面我们来详细介绍一下角平分线的三个定理。
第一个角平分线定理是角平分线定理，它的表述如下：若一条线段从一个角内的顶点引出，又将这个角分成两个相等的小角。
这个定理是解析几何中最基本的定理之一，也是很多其他定理的基础。
通过角平分线定理，我们可以得出许多结论和推论，解决很多关于角平分线的问题。
第二个角平分线定理是角平分线的长度比定理，它的表述如下：如果一条角平分线把一个角分成两个相等的小角，则这条角平分线上的一点到角的两边的距离分别等于这两条边的比值。
这个定理在解决角平分线长度问题时非常有用，能够帮助我们准确计算角平分线的长度。
通过这三个角平分线定理，我们可以更好地理解和运用角平分线的性质，解决各种与角平分线相关的问题。
在解析几何的学习中，掌握这些定理能够提高我们的解题能力和几何思维，帮助我们更好地理解平面几何知识，为进一步学习提供良好的基础。
角平分线性质定理之应用
角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明． 一、由角平分线的性质联想两线段相等例1 如图1，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF证明 连结DB ，DC ．∵D 在∠A 的平分线上，∴DE=DF ． ∵D 在BC 的垂直平分线上，∴BD=DC ． 又∠BED=∠CFD=90°，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ． 二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且AD=DC 求证：∠A+∠C=180°．证明 延长BA 至F ，使BF=BC ．由BD 平分∠ABC 在△FBD 与△CBD 中，BF=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△FBD ≌△CBD ，∴∠C=∠F ，DF=CD=AD ，∠F=DAF ， ∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3 已知：如图3，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，求证：BD+CE=DE ．证明：∵BF 是∠ABC 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又∵DE ∥BC ∴∠DFB=∠CBF ∴∠DBF=∠DFB∴BD=FD ，同理CE=FE ． ∴BD+CE=DF+FE=DE ． 四、实际生活中的应用例4 如图4，有三条公路1l 、2l 、3l 两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？解析：分别作△ABC 两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．图4。
角平分线在三角形中的比例关系
角平分线在三角形中的比例关系关于角平分线，除了知道它把一个角平分为二，以及平分线上任意一点到其两边的距离相等外，它在三角形中还存在一些美丽的对称性质。
1，角平分线定理：如图P2，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BD∶DC=AB∶AC【解析】用面积法来证明：如图P2-1，作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F。
则DE=DF，∴S△ABD∶S△ACD=AB∶BC；又S△ABD∶S△ACD=BD∶CD，故BD∶DC=AB∶AC。
2，如图JP2，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，则有AB∶AC=BD∶DC。
【解析】用面积法可证明此结论，方法同上，具体略。
利用上述结论，我们可以快速解决一些问题：3，如图JP3，I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于点D，求证：AI∶ID=（AB+AC）∶BC。
【解析】根据角平分线定理，AI∶ID=AB∶BD=AC∶CD，∴AI∶ID=（AB+AC）∶（BD+CD）=（AB+AC）∶BC。
4，如图JP4，已知：PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB=4，PD=3。
求AD·DC的值。
【解析】如图JP4-1，过点P作∠APB的角平分线，交AC于点E。
根据角平分线定理，AP∶PD=AE∶ED=4∶3，∴ED=3AD/7；又∠APB=2∠ACB，∴∠EPD=∠BCD，∠ PDE=∠CDB，故△PDE∽△CDB，∴PD∶DC=ED∶BD，即ED·DC=PD·BD=3，∴（3AD/7）·DC=3，故AD·DC=7。
5，如图XZ5，已知：AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，【解析】根据角平分线定理，AC∶AB=DC∶BD = EC∶BE，∴（CD+BD）∶BD=（EC+BE）∶BE，（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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角平分线性质定理
角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。
它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。
根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。
角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。
以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。
性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。
我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。
性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。
性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。
性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。
应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。
通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。
同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。
结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。
通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。
对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。
角平分线定理及其应用
从这个结果出发,你还能联想到什么?
做一做
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. E 作法: 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
A
C
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. O
3.作射线OC.
课本：P32 1、2
堂堂清：
课本：P34 2
鲁教版课标九上
6.5 角平分线
回顾与思考 你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你能证明这一结论吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE. A D 分析:要证明PD=PE,只要证明它们 所在的△OPD≌△OPE. 1 P O 2 C 而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS). E B 故结论可证.
D
B
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
课内练习
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外 角平分线,它们有什么关系?
C
E D
B
A
F
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
随堂练习：
C
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望:你能写出规范的证明过程.
E B
Hale Waihona Puke 动手练一练逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上. 如图, A ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), 1 P ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 C 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一.
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A
B
一、选择题
1. (2009 山东省临沂市) 如图，OP 平分，AOB ∠PA 垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）
A ．
B ．平分PA PB =PO APB ∠
C ．
D ．垂直平分OA OB =AB OP
2. (2010 吉林省长春市) 如图，中，，，是角
ABC △90C ∠=°40B ∠=°AD 平分线，则的度数为（ ）ADC ∠（A ） （B ） （C ） （D ）25°50°65°70°
3.
(2010
广西柳州市) 如图，中，，的平分线交于，若Rt ABC △90C ∠=°ABC ∠BD AC D ，则点到的距离是（ ）
3cm CD =D AB DE A ．5cm Ｂ．4cm Ｃ．3cm Ｄ．2cm
4. (2010 湖南省益阳市) 如图3，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 两边的距离相等，且PA ＝PB ．下
列确定P 点的方法正确的是
Ａ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点
Ｂ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点
Ｃ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点
Ｄ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点
5. (2010 湖北省襄樊市) 如图１，已知直线平分交于，，
AB CD BE ∥，ABC ∠，CD D 150CDE ∠=°则的度数为( )
C ∠A. B. C. D.150°130°120°100°
O
B D
二、填空题
6. (2011 江西省) 如图，在中，点的内心，则=______度．
ABC △P ABC 是△PBC PCA PAB ∠+∠+∠
A
7. (2012 广东省广州市) 已知，是的平分线，则=_______度．
30ABC ∠=°BD ABC ∠ABD ∠8.
(2013
湖南省长沙市) 如图，是的平分线，是上的一点，于点，
BD ABC ∠P BD PE BA ⊥E ，则点到边的距离为 cm ．
4cm PE =P BC
9. (2013 福建省泉州市) 如图，，于，于，若，则
70AOB ∠= QC OA ⊥C QD OB ⊥D QC QD = °.
AOQ ∠=
10. (2013 浙江省义乌市) 如图，于点D，D为BC的中点，连结AB，的平分线交AD于点
AD BC
⊥ABC
∠
O，连结OC.若，则=_________°；
125
AOC
∠=°ABC
∠
三、证明题
11. (2009 湖南省怀化市) 如图，P是∠BAC内的一点，PE AB PF AC
⊥⊥
，，垂足分别为点E F
，，AF
AE=．
求证：（1）PF
PE=；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
12. (2009 内蒙古赤峰市) 如图，在四边形中，，是的平分线，
ABCD AB BC
=BF ABC
∠
，连接．求证：是的平分线．
AF DC
∥AC CF
，CA DCF
∠
13. (2010 广西梧州市) 如图，AB是∠DAC的平分线，且AD＝AC.
求证：BD＝BC.
C
四、画(作)图题
14. (2009 广东省梅州市) 1本题满分 7 分．
如图 ，已知线段，分别以为圆心，大于长为半径画AB A B 、1
2AB 弧，两弧相
交于点C 、Q ，连结CQ 与AB 相交于点D ，连结AC ，BC ．那么：
（1）∠________度；
ADC =（2）当线段时， ______度，460AB ACB =∠=，°
ACD ∠=的
ABC △面积等于_________（面积单位）．
五、说理题
15. (2010 青海省西宁市
) 八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.
（Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA ，PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
A
六、阅读理解与信息迁移
16. (2011 青海省) 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所成夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究１：如图1，在中，是与的平分线和的交点，通过分析发现
ABC △O ABC ∠ACB ∠BO CO ，理由如下：
1
902
BOC A ∠=+∠°和分别是和的角平分线，
BO CO ABC ∠ACB ∠11
12.
22
ABC ACB ∴∠=∠∠=∠，1
12()2
ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠．
又，
180ABC ACB A ∠+∠=-∠ °＝．
112(180)2A ∴∠+∠=-∠°1
902
A -∠°180(12)
BOC ∴∠=-∠+∠°＝1180(90)2
A --
∠°°＝．1
902
A +
∠
°图1
探究2：如图2中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的O ABC ∠ACD ∠BO CO BOC ∠A ∠关系？请说明理由．
探究3：如图3中，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的O DBC ∠ECB ∠BO CO BOC ∠A ∠关系？（只写结论，不需证明）
结论：________________________________________
．
图2
图3。