高一物理力学中的皮带模型人教版

高一物理力学中的皮带模型人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

力学中的皮带模型

“皮带”模型中的动力学问题

物体在皮带上运动时摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力、是动力还是阻力，判断的关键在于能否正确判断物体相对于皮带的运动。

[例1] 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图1所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB 始终保持s m v /1=的恒定速率运行，一质量为kg m 4=的行李无初速地放在A 处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数1.0=μ，（1（2（3）到B

解析：

（1大小mg F f μ=2/1s m a =

（2）设行李做匀加速运动的时间为t ，行李加速运动的末速度为s m v /1=，则at v =，代入数值得s t 1=。

（3）行李从A 匀加速运动到B 时，传送时间最短。则2m in 2

1at l =，代入数值，得s t 2m in = 传送带对应的最小运行速率m in m in at v =代入数值，解得s m v /2m in =。

[例2] 如图2所示传送带与地面间倾角?=37θ，以s m /10的速度逆时针转动，在传送带上端A 放上一个质量kg m 5.0=的物体，它与传送带之间的滑动摩擦因数5.0=μ，已知传送带从A 到B 的长度L=16m ，则物体从A 到B 所需的时间为多长？

解析：θcos 设上述两个过程的加速度分别为1a 、2a

)cos (sin )cos (sin 1θμθθμθ+=+=g m

mg a 2/10s m = 物体速度从零增大到与传送带同速所用的时间： s a v t 111== 物体下滑的位移：m t a s 52

12111== 接着物体下滑的速度大于传送带的速度，此时加速度：

22/2)cos (sin s m g a =-=θμθ

余下部分满足：2222122

1t a vt s L s +=-= 解得s t 1=（s t 11-=负值舍去）所以物体下滑的总时间为s 2。

[例3] 如图3所示，AB 是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h ，末端B 处的切线方向水平。一个质量为m 的小物体P 从轨道顶端A 处由静止释放，滑到B 端后飞出，落到地面上的C 点，轨道如图中虚线BC 所示，已知它落地时相对于B 点的水平位移OC=l 。

现在轨道的下方紧贴B 点安装一水平传送带，传送带的右端E 与B 端的距离为2

l 。当传送带静止时，让P 再次从A 点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端E 点水平飞出，仍然落在地面上的C 点，当驱动轮转动带动传送带以速度v 匀速向右运动时（其他条件不变），P 的落地点为D （不计空气阻力）。试求：

（1）P 滑至B 点时的速度大小；

（2）P 与传送带之间的动摩擦因数μ；

（3）设传送带轮半径为r ，顺时针匀速旋转，当转动的角速度为ω时，小物体P 从E 端滑落后运动的水平距离为s 。若皮带轮以不同的角速度重复以上动作，可得到一组对应的ω值与s 值，讨论s 值与ω值的关系。

图3

解析：

（1）物体P 在AB 上滑动时机械能守恒：

202

1mv mgh = 所以P 滑到B 点的速度大小gh v 20=。

（2）没有传送带时，P 离开B 后做平抛运动，运动时间为：gh l v l t 20==

有传送带且传送带静止时，P 从传送带的右端水平抛出，在空中运动的时间仍为t ，水平位移2

l ，因此P 从传送带的右端抛出速度：2

22201gh v t l v === P 在传送带上滑行时，根据动能定理有： 20212

1212mv mv l mg -=-μ 解得P 与传送带之间的动摩擦因数为l h 23=

μ （3）本题因传送带顺时针转动，皮带运动方向与小物体P 的初速度方向相同，小物体相对传送带运动的方向是判断摩擦力方向的关键。现分以下几种情况讨论。

A. 传送带的运行速度小于或等于1v ，小物体在传送带上的情况与传送带静止时相同，所以r gh r v 221min =≤ω，水平射程2l x =，l l x s =+=2

； B. 传送带的运行速度等于小物体滑上皮带的初速度0v 时，两者无相对运动，没有摩擦力，旅行包在皮带上做匀速运动，到达E 端以0v 做平抛运动，水平射程大于A 中的结果，为l ，则l l l s 5.12

=+=； C. 传送带的运行速度大于1v 而小于0v 时，旅行包相对传送带向右运动而受到向左的摩擦力，做匀减速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以到达E 端继而平抛后的水平射程将大于A 中的结果而小于B 中的结果。

D. 传送带的运行速度大于小物体滑上皮带的初速度0v 时，旅行包相对皮带向左运动而受到的摩擦力与皮带运动方向相同，所以做匀加速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以达到E 端继而平抛后的水平射程将大于B 中的结果。

E. 传送带的运行速度大于某一速度时，旅行包将一直做匀加速运动，达到E 端时速度达到最大值，水平射程也将为最大值。计算过程为：

2022

1212mv mv l mg m -=μ 解得gh v m 27=，其对应的角速度r

v m =max ω，水平射程t v x m m =， t v l s m +=2)71(2

+=l 根据以上分析不难看出皮带转动的角速度满足m ax m in ωωω≤≤，旅行包从B 端滑落后的水平距离由t v l s E +=2

决定。 “皮带”模型中的功能问题

摩擦力做功s F W f f =；物体与皮带间摩擦生热相对滑s F Q f =。

[例4] 一传送带装置示意如图4，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的小滑动）。已知在一段相当长的时间T 内，共运

为

22

1at s =，at v =0 在这段时间内，传送带运行的路程为：t v s 00=

由以上可得s s 20=

用f F 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：==s F A f 202

1mv 传送带克服小箱对它的摩擦力做功：

20002

12mv s F A f ?== 两者之差就是克服摩擦力做功发生的热量：

202

1mv Q = 可见，小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与热量相等。T 时间内，电动机输出功率为T P W =，此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即：

NQ Nmgh Nmv W ++=202

1 已知相邻两小箱的距离为L ，所以NL T v =0 联立求解得)(22

2gh T

L N T Nm P +=

[例5]（2004年济南调研）如图5所示，许多工厂的流水线上安装有传送带，用传送带传送工件，可以大大提高工作效率，传送带以恒定的速率s m v /2=运送质量为kg m 5.0=的工件，工件从A 位置放到传送带上，它的初速度忽略不计。工件与传送带之间的动摩擦因数2

3=μ，传送带与水平方向夹角是?=30θ，传送带AB 长度是m l 16=。每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件立即放到传送带上，取2/10s m g =，求：

（1）工件放到传送带后经多长时间停止相对滑动；

（2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离；

（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功；

（4）每个工件与传送带之间由于摩擦产生的内能；

（5）传送带满载工件比空载时增加多少功率？

at v =，s t 8.0=，停止滑动前，工件相对地移动的距离：

m m at l 8.08.05.22

121221=??== （2）m m vt l 6.18.02=?==?

（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功：

)(sin cos )(111211l l mg l mg l l F l F W f f -+?=-+=θθμ

J J 41)]8.016(105.02

18.054

3[=-???+??= （4）)2

1(cos 1vt vt mg s F Q f -?=?=θμ J J 3)]8.06.1(4

15[=-?= （5）10=?=l

l n 个 N N F F F f f f 25.26)21105.09415(921=???+=+=总 W W v F P f 5.52225.26=?==总

【模拟试题】

1. 物块先后两次从传送带的A 点由静止开始下滑，然后到达B 点，第一次传送带静止不动，第二次传送带的皮带轮顺时针转动，如图1所示，比较两次物块通过AB 所用的时间1t 、2t 的大小应是（ ）

A. 21t t <

B. 21t t >

C. 21t t =

D. 无法确定

图4

5. 如图5所示，物体与水平传送带一起向右运动，两者相对静止，则（）

试题答案

1. C

2. D

3. D

4. B

5. D

6. A 点D 点所受摩擦力的方向为逆时针方向即与运动方向相反；B 点C 点所受摩擦力的方向为顺时针方向即与运动方向相同。

7. ① 当传V 与0V 反向时物体滑到B 所用时间为t ；② 当传V 与0V 同向但0V V <传时物体滑到B 所用时间为t ：若物体滑到B 点物体的速度仍大于或恰等于传送带的速度则所用时间为t ；若物体还没滑到B 点即与传送带相对静止则所用时间小于t ；③ 当传V 与0V 同向且传V 0V =时物体滑到B 一直做匀速直线运动故所用时间为0/V L ；④ 当传V 与0V 同向且0V V >传时物体滑到B 一直做匀加速直线运动或先做匀加速运动后做匀速运动则所用时间小于t

8. 若a 向上，则物体所受的摩擦力方向向上，大小为θsin mg ma f +=；若a 向下，则分三种情况① 若θsin g a >则物体所受的摩擦力方向向下，大小为θsin mg ma f -=；② 若θsin g a =则物体不受摩擦力的作用；③ 若θsin g a <则物体所受的摩擦力方向向上，大小为ma mg f -=θsin 。

9. 2.0=μ

10.（1）s 5.0 （2）

J 43 （3）J 4

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