量子霍尔效应
量子霍尔效应
量子霍尔效应霍尔效应是电磁效应的一种，这一现象是美国物理学家霍尔(E.H.Hall，1855-1938)于1879年在研究金属的导电机制时发现的。
当电流垂直于外磁场通过半导体时，载流子发生偏转，垂直于电流和磁场的方向会产生一附加电场，从而在半导体的两端产生电势差，这一现象就是霍尔效应，这个电势差也被称为霍尔电势差。
霍尔效应使用左手定则判断。
发现霍尔效应在1879年被物理学家霍尔发现，它定义了磁场和感应电压之间的关系，这种效应和传统的电磁感应完全不同。
当电流通过一个位于磁场中的导体的时候，磁场会对导体中的电子产生一个垂直于电子运动方向上的作用力，从而在垂直于导体与磁感线的两个方向上产生电势差。
虽然这个效应多年前就已经被人们知道并理解，但基于霍尔效应的传感器在材料工艺获得重大进展前并不实用，直到出现了高强度的恒定磁体和工作于小电压输出的信号调节电路。
根据设计和配置的不同，霍尔效应传感器可以作为开/关传感器或者线性传感器，广泛应用于电力系统中。
解释在半导体上外加与电流方向垂直的磁场，会使得半导体中的电子与空穴受到不同方向的洛伦兹力而在不同方向上聚集，在聚集起来的电子与空穴之间会产生电场，电场力与洛伦兹力产生平衡之后，不再聚集，此时电场将会使后来的电子和空穴受到电场力的作用而平衡掉磁场对其产生的洛伦兹力，使得后来的电子和空穴能顺利通过不会偏移，这个现象称为霍尔效应。
而产生的内建电压称为霍尔电压。
方便起见，假设导体为一个长方体，长度分别为a、b、d，磁场垂直ab平面。
电流经过ad，电流I=nqv(ad)，n为电荷密度。
设霍尔电压为VH，导体沿霍尔电压方向的电场为VH/a。
设磁感应强度为B。
洛伦兹力F=qE+qvB/c(Gauss单位制)电荷在横向受力为零时不再发生横向偏转，结果电流在磁场作用下在器件的两个侧面出现了稳定的异号电荷堆积从而形成横向霍尔电场由实验可测出E=UH/W定义霍尔电阻为RH=UH/I=EW/jW=E/jj=qnvRH=-vB/c/(qnv)=-B/(qnc)UH=RHI=-BI/(qnc)本质固体材料中的载流子在外加磁场中运动时，因为受到洛仑兹力的作用而使轨迹发生偏移，并在材料两侧产生电荷积累，形成垂直于电流方向的电场，最终使载流子受到的洛仑兹力与电场斥力相平衡，从而在两侧建立起一个稳定的电势差即霍尔电压。
量子霍尔效应
量子霍尔效应霍尔效应是一种发现、研究和应用都比较早的磁电效应，电子在导体中的定向流动形成电流，如果沿垂直于电流方向施加一稳恒磁场，则电子运动必然受到洛伦兹力影响而产生其他效应。
1879年Hall 发现了所谓的经典霍尔效应，恰好100年以后，K.vonKlitzing 于1980年发现了量子霍尔效应[1]，并因此获得1985年诺贝尔物理学奖；1982年5月华裔物理学家崔琦、H.Stormer 和A.Gossard 发现了分数量子霍尔效应，并于1998年获得诺贝尔物理学奖。
霍尔效应从经典的到量子，从整数量子霍尔效应到分数量子霍尔效应，已经取得了不少的研究成果，本文就介绍霍尔效应的发展和量子模型理论。
一、 经典霍尔效应首先回顾一下经典霍尔效应。
给一个长方形导体两端（x 方向）施加一个静电场（如图1），则在导体中产生的电流密度为x j nqv (1)=其中，n 为载流子浓度，q 和v 分别为载流子电荷和速度。
在Z 方向上施加一个稳恒的磁场，则带电粒子会受到洛伦兹力的作用发生偏转，在Y 方向的两个面上放生电荷积累，形成电势差U H ，称为霍尔电压；随着电荷的不断积累，当场强E y 增大至vB/c （CGS 单位制）时，洛伦兹力与静电力平衡，载流子不在发生偏转，此时霍尔电压达到稳定值。
定义横向的电阻率（即霍尔电阻率）：yH x E (2)j ρ=由于平衡时E y =vB/c ，结合上面两式有：H B (3)nqcρ= 设导体沿y 方向的宽度为L y ，则x yH y y Bj L U E L (4)nqc ==通过测量U H 、B 、j x ，就可以知道载流子电荷和浓度。
可以利用这个很容易分辨半导体是N 型还是P 型的，知道了载流子种类，计算载流子浓度，对半导体研究意义很大；同时，由于霍尔电导跟磁场有关系，可以制作各种传感器，应用到测量技术、电子技术、自动化技术等，其中高斯计就是很重要的一个应用。
图1.经典霍尔效应经典霍尔效应是容易理解的，但我们在不同极限条件下发现了一些新的霍尔效应，比如在一些铁磁材料中，不加磁场时也存在霍尔效应，但原理有根本的不同，被称作反常霍尔效应，当在低温强磁场下，霍尔电阻率不再随B 成比例关系，而是表现出台阶，这就是下面要谈的量子霍尔效应。
强磁场下的量子霍尔效应
强磁场下的量子霍尔效应量子霍尔效应（Quantum Hall Effect，简称QHE）是一种令人着迷的物理现象，它在强磁场下发生。
本文将介绍强磁场下的量子霍尔效应及其相关原理、实验验证以及应用领域。
1. 引言量子霍尔效应是1980年由生于美国的物理学家克劳斯·冯·克里茨弗尔德和霍拉米·阿哈罗诺夫（Klaus von Klitzing and Horst L. Störmer）以及德国物理学家陶尔·普林兹（Theodor W. Hänsch）通过实验发现的。
他们因此成果而于1985年共同获得诺贝尔物理学奖。
2. 量子霍尔效应原理量子霍尔效应的基础是电子在二维电子气中受到磁场的约束运动。
在强磁场下，电子的能级会发生分立的变化，这种能级在确定的填充因子下会出现量子化。
量子霍尔效应中最重要的参量是霍尔电导，其可用于衡量系统的导电性。
3. 量子霍尔效应的实验验证为了验证量子霍尔效应的存在，科学家们进行了一系列的实验观测。
其中最具代表性的实验是通过测量霍尔电阻来确认电子在强磁场下表现出量子霍尔效应。
实验结果显示，在特定的填充因子条件下，霍尔电阻将会出现为精确的整数倍数。
4. 量子霍尔效应的应用领域量子霍尔效应在实际中找到了广泛的应用领域。
其中最重要的应用是在电阻标准和精确测量领域。
由于量子霍尔效应具有精确的整数倍性质，可以用于制造精密的电阻器，用于标定电流和电压的标准。
此外，量子霍尔效应还在电子学、凝聚态物理学以及拓扑量子计算中具有重要意义。
总结：强磁场下的量子霍尔效应是一项具有重要物理意义的现象。
它引起了科学界的广泛关注，不仅揭示了量子化现象的本质，还在实际应用中发挥了重要作用。
通过对量子霍尔效应的研究，我们可以更好地理解和应用于其他领域的量子效应。
尽管还有许多未解决的问题，但量子霍尔效应无疑是现代物理学的一大突破，为我们揭示了宇宙中微小尺度的奥秘。
量子霍尔效应的物理意义
量子霍尔效应的物理意义摘要：1.量子霍尔效应的定义和发现2.量子霍尔效应的物理意义3.量子霍尔效应在实际应用中的重要性4.我国在量子霍尔效应研究方面的进展5.量子霍尔效应的未来发展趋势正文：量子霍尔效应是凝聚态物理学中的一种重要现象，它揭示了量子力学与固体物理的深刻联系。
本文将从量子霍尔效应的定义、物理意义、实际应用、我国研究进展和未来发展趋势等方面进行详细阐述。
量子霍尔效应是由德国物理学家霍尔斯特发现的一种电子输运现象。
在低温、强磁场条件下，某些半导体或金属材料的电阻随磁场强度呈量子化变化。
这种现象违反了经典霍尔效应的线性关系，体现了量子力学的特性。
量子霍尔效应的物理意义在于，它揭示了电子在固体中的输运行为受到量子力学规律的严格控制。
在量子霍尔效应中，电子形成了一种称为“分数量子霍尔液体”的量子态，这种态具有分数化电荷和液态特性。
这为研究量子流体和量子固体提供了重要线索。
量子霍尔效应在实际应用中具有重要意义。
例如，在半导体器件、磁传感器和高温超导体等领域，量子霍尔效应可为新型材料的研发提供理论指导。
此外，分数量子霍尔液体在磁存储、磁随机存储器和磁传感器等方面具有广泛应用前景。
我国在量子霍尔效应研究方面取得了世界领先的成果。
科学家们通过实验和理论研究，不断深入探索量子霍尔效应的微观机制，为发展新型量子器件提供了有力支持。
在国家重点研发计划等项目的支持下，我国在量子霍尔效应研究方面将继续保持领先地位。
展望未来，量子霍尔效应研究将继续向纵深发展。
随着实验技术和理论方法的不断完善，科学家们将对量子霍尔效应有更为全面的认识，进而为量子计算、量子通信和量子信息等领域带来更多创新成果。
同时，量子霍尔效应在新型材料、能源转换等领域的应用前景也将日益凸显。
总之，量子霍尔效应作为凝聚态物理学的一个重要现象，不仅具有深刻的物理意义，还为实际应用和创新研究提供了广阔空间。
量子霍尔效应
量子霍尔效应霍尔效应，它实际上一种电磁效应的。
我们给一块半导体通电，在导体外面外加一个与电流方面垂直的磁场，磁场会使半导体中的电子与空穴（可以视为正电荷）受到不同方向的洛伦兹力而在不同方面上聚集，聚集起来的电子和空穴之间会产生电场，此时在半导体两侧产生了垂直于磁场和电流方向的电压，而且在此电压生成的电场力和磁场的洛伦兹力平衡以后，后来的电子和空穴就不在聚集，顺利通过不发生偏移。
这种现象是由美国物理学家霍尔于1879年研究金属导电机制的时候发现的，所以命名为“霍尔效应”，且在实际生活中产生了广泛的应用，根据霍尔效应做成的霍尔器件，就是以磁场为工作媒介，将物体的运动参数转变为数字电压的形式输出，使之具备传感和开关功能。
如：汽车的点火系统，设计人员将霍尔传感器放在分电器内取代机械断电器，用作机械断电器，用作点火脉冲发生器。
这种霍尔点火发生器随着转速变化的磁场在带电半导体内产生脉冲电压，控制电控单元的初级电流。
相对于机械断电器而言，霍尔式点火脉冲发生器无磨损免维护，能够适应恶劣的环境，同时能够精确的控制点火，具有明显的优势。
什么是量子霍尔效应（二维）我们上面所说的霍尔效应是在三维的导体中实现的，其中的电子可以在导体中自由运动。
现在科学家通过某些手段将电子限制在一个二维平面内，之后添加一个垂直于该平面的磁场，同时沿着二维电子平面一个方向通以电流，此时在二维平面的另一个方向上测量到电压。
这种现象称为量子霍尔效应，属于量子力学版的霍尔效应。
该现象是由德国物理学家冯•克利青发现，并因此获得1985年的诺贝尔物理学奖。
但是为何在霍尔效应提出100年后才有人发现量子霍尔效应。
主要原因是理想的二维电子气难以实现，在半导体技术高速发展之后，人们才能在“金属-氧化物-半导体场效应晶体管”中实现比较理想的二维电子气，而且想要观测到这种现象还需要提供极低温和强磁场环境。
量子霍尔效应与上一节提到的霍尔效应最大不同之处在于横向电压对磁场的响应不同。
量子霍尔效应
量子霍尔效应量子霍尔效应是一种在二维材料中观察到的量子输运现象，具有诸多重要的物理和应用意义。
本文将介绍量子霍尔效应的基本原理、实验观测以及相关应用领域。
一、量子霍尔效应的基本原理量子霍尔效应是指当在二维电子气体中施加一弱的磁场时，电子在垂直于磁场方向的平面内沿着边界形成准连续的态，而趋于不散射。
这种不散射的现象可以通过霍尔电阻测量，即电子在横向电场下的电流在垂直方向的电压降。
量子霍尔效应的本质是由于二维系统中的电子受到磁场的束缚，导致电子只能运动在垂直磁场方向的能级上，形成了称为“朗道能级”的能带结构。
在这个结构中，电子的态密度非常紧凑且高度定域，导致电子不易发生散射，从而实现了量子霍尔效应。
二、量子霍尔效应的实验观测量子霍尔效应最早由物理学家冯·克莱因在量子霍尔材料中实验观测到，并因此获得了诺贝尔物理学奖。
他们使用了非常低温以及超高纯度的半导体材料，以观察到这一现象。
实验观测量子霍尔效应的关键在于霍尔电阻的测量。
在二维电子气体中，施加横向电场后，由于电子发生霍尔效应，沿垂直方向会产生电压差。
通过测量这个电压差和施加电场的比值，即得到了霍尔电阻。
当温度趋近于绝对零度时，霍尔电阻呈现出量子化的特征，即呈现为离散的平台。
这种离散的霍尔电阻是量子霍尔效应的直接证据。
三、量子霍尔效应的应用领域量子霍尔效应在凝聚态物理学以及纳米电子学领域具有重要的应用。
其中最重要的应用之一是准粒子和拓扑能带的研究。
在量子霍尔系统中，由于存在较强的相互作用效应以及拓扑性质，准粒子如磁极子、准粒子夸克等得以在这个平面上实现。
这种拓扑态准粒子的研究对于理解凝聚态物理和发展新的量子计算技术具有重要的意义。
另外，量子霍尔效应还在纳米电子器件中有广泛的应用。
由于量子霍尔效应使得电子传输在边界上趋于无散射，因此可以用于构建更加稳定和可控的纳米电子器件。
例如，在量子霍尔体系中可以实现高精度的电流标准以及高灵敏度的传感器，这对于电子技术的发展具有重要的作用。
量子霍尔效应的条件和原因
量子霍尔效应的条件和原因量子霍尔效应是一种非常神奇且复杂的物理现象呢。
先来说说量子霍尔效应的条件吧。
在极低温和强磁场的条件下，量子霍尔效应才会比较明显地展现出来哦。
极低温这个条件很关键，因为在低温环境下，电子的热运动被大大抑制啦。
你想啊，要是电子热运动很剧烈的话，就会干扰到我们想要观察到的量子霍尔效应相关的电子行为呢。
强磁场也是必不可少的呀。
强磁场能够对电子产生一种约束作用，就像是给电子的运动划定了一些特殊的轨道一样。
这个磁场的强度得达到一定的数值，不然的话，对电子的影响就不够显著，量子霍尔效应就难以出现。
而且呢，这个体系往往是在二维的电子气系统中观察到的。
二维的电子气系统比较特殊，电子在这样的系统里的运动自由度相对比较有限，这就使得在强磁场和极低温下，电子更容易呈现出量子霍尔效应相关的特殊行为。
再讲讲量子霍尔效应产生的原因吧。
这就不得不提到电子的量子特性啦。
在强磁场和极低温的环境下，电子的能量状态是量子化的哦。
电子在磁场中的运动轨迹会形成一些分立的朗道能级。
电子只能处在这些特定的能级上，而不能处于能级之间的能量状态。
当我们在这个系统中施加电场的时候，电子在这些分立的能级之间跃迁或者移动的方式就很特别啦。
电子在这种特殊的环境下，会以一种非常有序的方式来传导电流，这就导致了霍尔电阻呈现出量子化的数值。
这种量子化的数值不是连续变化的，而是以一个个离散的值出现，这是非常违反我们日常对于电阻变化的认知的。
这是因为电子在磁场和低温的双重约束下，它们的运动已经不再是经典物理中的那种自由运动啦，而是受到量子力学规则严格控制的运动。
就好像电子们在一个被精心编排的舞台上跳舞，每个电子都遵循着量子力学的规则来走位，从而产生了这种神奇的量子霍尔效应。
量子霍尔效应真的是很迷人的一个物理现象呢。
它的这些特殊的条件和背后的原因，都是物理学家们不断探索和研究的结果。
虽然理解起来有些困难，但是只要我们深入地去学习量子力学的相关知识，就能够逐渐揭开量子霍尔效应神秘的面纱。
量子霍尔效应详解
量子霍尔效应是过去二十年中，凝体物理研究里最重要的成就之一。
要解释这个效应，需要用上许多量子物理中最微妙的概念。
1998年的诺贝尔物理奖，由美国普林斯顿大学的崔琦（Daniel C. Tsui）、哥伦比亚大学的史特莫（Horst L. Stormer）及史丹佛大学的劳夫林（Robert B. Laughlin）三人获得。
得奖理由是“他们发现了一种新形态的量子流体，其中有带分数电荷的激发态”。
在他们三位的新发现之前，物理学者认为除了夸克一类的粒子之外，宇宙中的基本粒子所带的电荷皆为一个电子所带的电荷-e（e=1.6×10-19库伦）的整数倍。
而夸克依其类别可带有±1e/3或±2e/3电荷。
夸克在一般状况下，只能存在于原子核中，它们不像电子可以自由流动。
所以物理学者并不期待在普通凝体系统中，可以看到如夸克般带有分数电子电荷的粒子或激发态。
这个想法在1982年崔琦和史特莫在二维电子系统中，发现分数霍尔效应后受到挑战。
一年后劳夫林提出一新颖的理论，认为二维电子系统在强磁场下由于电子之间的电力库伦交互作用，可以形成一种不可压缩的量子液体（incompressible quantum fluid），会展现出分数电荷。
分数电荷的出现可说是非常神秘，而且出人意表，其实却可以从已知的量子规则中推导出来。
劳夫林还曾想利用他的理论，解释夸克为什么会带分数电子电荷，虽然这样的想法还没有成功。
劳夫林的理论出现后，马上被理论高手判定是正确的想法。
不过对很多人而言，他的理论仍很难懂。
在那之后五、六年间，许多重要的论文陆续出现，把劳夫林理论中较隐晦的观念阐释得更清楚，也进一步推广他的理论到许多不同的物理状况，使整个理论更为完备。
以下扼要说明什么是分数量子霍尔效应，以及其理论解释。
霍尔电导系数编辑我们研究的对象是二维电子系统。
假设电子仅能活动于x-y平面上，而在z轴方向有一均匀磁场B，如图一所示。
霍尔效应就是当x轴方向有电流I时，在y轴方向就会有电位差VH。
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量子霍尔效应 童国平 浙江师范大学数理信息学院内容提要 引言 经典Hall 效应 电子的Landau 能级 磁通量子化 整数量子Hall 效应(IQHE) 分数量子Hall 效应(FQHE) 展 引言 (1985年第一次诺贝奖)1930年, Landau 证明量子力学下电子对磁化率有贡献, 同时也指出动能的量子化导致磁化率随磁场的倒数周期变化. 引言• 1975年S.Kawaji 等首次测量了反型层的霍尔电导, 1978年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发现霍尔平台, 但直到1980年, 才注意到霍尔平台的量子化单位• 1985年, Klaus von Klitzing 获诺贝尔物理奖.引言1998年第二次诺贝尔奖• 1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数量子数的霍尔平台, 一年后,ughlin 给出了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出了很好的解释. • 1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer, 崔琦和Robert Laughlin, 以表彰他们发现分数量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深刻理解.量子霍尔效应经典霍尔效应1879年,由Johns Hopkins 大学的研究生Edwin Hall 发现, 其导师是Henry A. Rowland 教授. 经典霍尔效应 长条形导体:电流密度: 横向电场: 霍尔电阻率:电阻率与磁场成正比2ehx j nev=y E vB=H yx E j B neρ==经典霍尔效应根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t 内在电场下加速, 散射后速度为零. τ称为弛豫时间. 电子的平均迁移速度为电流密度为若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量此处 , 仍然成立.有磁场时, 加入罗仑兹力, 平面电子运动的Langevin 方程为稳态时, , 假定磁场沿z 方向, 在xy 平面内其中 (回旋频率)(经典电导率)由此易得电导率与电阻率的关系为如果 , 则当 时, 也为0.另一方面d v eE mτ=-20d ne j nev E Emτσ=-==, xx xy xxxy yxyyyxyy σσρρσρσσρρ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭j=E σ⋅E=j ρ⋅()dd d v evE v B m τ=-+⨯-d j nev =-00x c y x y c xyE j j Ej j σωτσωτ=+=-+c eB m ω=20e n mστ=0c 01 =xx yy xy yx ρρσρρωτσ==⎧⎪⎨=-⎪⎩220220(1)(1)xx yy c xyyx c c σσσωτσσσωτωτ⎧==+⎪⎨=-=-+⎪⎩2222(), ()xx xx xx xy xy xy xx xyσρρρσρρρ=+=-+0xy ρ≠0xx σ=xxρ由此, 当 时, , 为霍尔电导电子在均匀磁场中运动的Landau 能级由量子力学, 电子处在磁场中的哈密顿量为这里选择矢量势波函数为(因为H 中不显含x, z)根据薛定谔方程可求得电子的能量为 或其中 n = 0, 1, 2, 3, 4, … H 的本征函数为在xy 平面内单位面积态之数目为对于某一个Landau 能级, 在y 方向的平衡位置数目也由 决定,故能级的简并度是 .xy xx cne B σσωτ=-+0xx σ=x xy y j E σ=xy σH xy ne Bσσ==-2221[()]2x y z z H p eB y p p S Bmμ=+++-(,0,0)By =-A (,,)()exp[()]ix z x y z y p x p z ψφ=+ 212()2n c zz E n pm S Bωμ=++- 12()n cE n ω=+****1/2const ()2, ()2mnzz nmc c c z z e z z z x iy l z x iy l l eB ψ-∂∂⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+=-⎛⎫= ⎪⎝⎭B n eB h=BnBn磁通量子化选标量函数仅依赖方位角作规范变换,并选取 若波函数描述延展态,则方位角可以取任意值. 若满足周期性,则单值性要求:其中为磁通量子.整数量子Hall 效应(IQHE)• 二维电子系统目前, 二维电子气主要以下面三个方式实现 1, MOSFET(金属-氧化物-半导体场效应管)硅中空穴向z 方向运动,在SiO2和Si 的表面出现负电荷.电子密度为:MOSFET 示意图 p-Si 空穴型12L r RA d l R R χπφ=∂⋅=⋅=Φ∂⎰ ()2χχφφπΦ==00exp A i ψφ'=⎛⎫Φ'=- ⎪Φ⎝⎭()exp A A A ie αψψαψ'→=+∇'→= αχ=-0, 0,1,2,...m m Φ==±±Φ0h e Φ=13-210cmρMOSFET 的电子能级结构2, 超晶格例: GaAs/AlGaAs 异质结的电子能级结构 电子密度: 3, 液氦表面液氦表面有一个超过1eV 的势垒,阻止电子透射到液氦中去,而镜象电荷(+e)势又吸引电子于表面.电子密度:9-210cmρ 11-210cmρ整数量子Hall效应(IQHE) •实验条件•极低温(1.5K)•强磁场(18T)•比较纯的样品•实验装置示意图实验观测到的霍尔电阻1. 霍尔电阻有台阶2.台阶处纵向电阻为零.3. 台阶高度为 , i 为整数, 对应于占满第 i 个Landau 能级, 精度大约为5ppm.由于杂质的作用, Landau 能级的态密度将展宽(如下图).两种状态: 扩展态 和 局域态只有扩展态可以传导霍尔电流(0度下), 因此若扩展态的占据数不变, 则霍尔电流不变. 当Fermi 能级位于能隙中时, 出现霍尔平台.Laughlin(1981) 和 Halperin(1982)基于规范变换证明, 只要第 i 个扩展态占满, 则霍尔电阻由下式精确给出霍尔平台是怎样产生的?无序引起的金属—绝缘体相变问题朗道的费米液体理论，实质上说的是库仑相互作用仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属—金属无相变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑相互作用可能导致金属—绝缘体的相变。
那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出在一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金属—绝缘体的相变。
这一工作在当时并未引起注意，因为结论似乎是在意料之中的。
2h ie 2Hh R e i• 从紧束缚近似提供的能带图像不难理解，在能带中心附近的态应该保持扩展态，至少对不是非常强的无序系统来说应该成立；在能带边缘的那些态是局域态。
• 1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过渡，提出了迁移率边缘的临界能量Ec 的概念。
• 莫特在1973年又进一步提出Ec 处有一个电导率的突变，即从局域态的σmin=0到扩展态σmin ≠0的突变.1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度描述。
1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变化而不是突变的。
以后就有一系列用场论的重整化群方法研究无序引起的金属-绝缘体相变。
结论是D=l ，2维在无序的作用下应该是绝缘体，无相变。
而在D=3时有金属-绝缘体相变。
但在有磁场存在时，上述结论并不成立。
负磁阻现象(D=2)表明，此时无序系统可能有扩展态。
事实上，量子霍尔效应正是在研究电子的局域化问题时发现的。
量子霍尔效应表明，在有磁场时，2维无序系统应有扩展态，否则σ=0了。
怎么来解释实验中 出现的平台呢？(见上图)。
平台的存在说明有电子的态仅对电子密度n 有贡献，但对 无贡献。
这就表明有局域态，为解释这一点必须考虑杂质的存在。
杂质使朗道能级变宽而成了能带，并且互相重叠起来。
理论计算表明大部分电子状态局域化了，即被杂质所束缚，只有那些处在能带中心的状态仍然是扩展态。
改变电子浓度就改变了费米能级。
当费米能级处在局域态区时霍尔电导取量子数值，而当费米能级跨过一个扩展态时，霍尔电导率就改变一个量子数。
然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为局域态的存在并不影响霍尔电流。
当电子费米能级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域态贡献的霍尔电流。
后来，劳甫林(Laughlin)又提出了规范不变的观点。
所谓规范不变实质即电荷守恒。
从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉格观点的另一种更实质化、一般化的说法。
然而作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边界流”观点是十分重要的。
边界流是一种拓扑元激发流。
正是边界流的存在，才得以使量子化在有局域态存在时仍成立。
不过，对此也有人持反对意见。
应该说，即使在今天，整数量子霍尔效应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。
整数量子霍尔效应的发现是在MOS 器件上作出的，这是一个2维有边界的现象。
所谓边界，就是系统的拓扑结构。
在有一定的拓扑结构下考虑无序(杂质)问题，这本身就是一个新问题。
在这一方面，一些形式上拓扑问题的研究固然重要，但可能还只是问题的第一步，真正的物理还在于考虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问题。
应用:1. 1990年起, 国际电阻标准为:精度2. 精细结构常数精度分数量子霍尔效应225812.806h e =Ω8210-⨯2146453.2015h e ==Ω克利青电阻0.3ppm整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦(Taui ，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特(Gossard)又发现了分数量子霍尔效应(FQHE)，这就提出了更深层的问题。
他们在GaAs —AlGaAs 异质结上观察到，上述 的表示式中M 为分数，而不仅是整数。
实验是在高度净化，温度更低(～1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条件下进行的。
此后的大量实验却发现M=p/q ，p 是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q 总是奇数。
1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。
如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可以用单粒子近似很好地描述，其物理图像已基本清楚。
不过仍存在一些问题值得深入研究。
分数量子霍尔效应(FQHE)必须是高迁移率的样品在更低的温度下才能观察到。
分数量子霍尔效应也是一个强磁场中的电子强关联系统，因为要解释分数量子霍尔效应必须考虑电子相互作用。
这从理论上提出了一类全新的问题。
分数效应崔琦, Stomer 等发现, 当Landau 能级的占据数这里 p, m 为整数, m 为奇数时, 有霍尔平台.()c n p g E mνω==2H h R e ν=分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释, 引入相互作用在超强磁场下, 电子位于第一Landau 能级. 其单粒子波函数为这里 z =x+i y. 这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动.Laughlin 建议了如下形式的波函数2212[()]i i imi i j i jeA eH p V r cr r >=+++-∑∑mψ=这一状态的占据数为Laughlin 计算了m=3, m=5时这一波函数的能量, 发现比对应密度下CDW的能量要低. 这一状态称为分数量子霍尔态, 或Laughlin态, 当密度改变从而偏离占据数1/3, 1/5时, 对应于准粒子激发, 激发谱具有能隙, 准粒子的电荷为分数(1/3, 1/5?). 因此Laughlin态是一个不可压缩的量子液体状态.FQHE 态. 绿球代表被暂时冻结的电子, 蓝色为代表性电子的电荷密度, 黑色箭头代表磁通线.同IQHE一样, Fermi 能级处于能隙位置时, 出现FQHE 平台. 不同之处在于IHQE 的能隙来源于单粒子态在强磁场中的量子化, 而FQHE的能隙来源于多体关联效应.Haldane 和Halperin, 利用级联模型, 指出Laughlin 态的准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态, 如从1/3 态出发, 加入准粒子导致2/5态, 加入空穴导致2/7态. 准粒子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态? .P 为偶数,对应于粒子型元激发对应于空穴型元激发级联模型的特点: 1, 无法解释那一个子态是较强的态.2, 几次级联后, 准粒子的数目将超过电子的数目.3, 系统在分数占据数之间没有定义.4, 准粒子具有分数电荷.复合费米子模型(CF) Jain一个复合费米子由一个电子和偶数个磁通线构成. 复合费米子包含了所有的多体相互作用.FQHE是CF在一个有效磁场下的IQHE.CF 具有整数电荷.CF 模型可以给出所有观察到的分数态, 包括这些态的相对强度及当减小温度, 提高样品质量时出现的次序. CF 指出: v=1/2 态, 对应的有效磁场为0, 是具有金属特征的特殊状态.利用一维结观察分数电荷(Kane, Fisher )C.L. Kane and M.P.A. Fisher, 揂Shot in the Arm for Fractional Charge,?Nature 389, 119 (1997).利用边缘态研究Luttinger液体, (文小刚, X. G. Wen)C.L. Kane and M.P.A. Fisher, "T ransport in a Single Channel Luttinger Liquid," Phys. Rev. Lett- 68, 1220 (1992).•量子霍尔效应是一个很有意思的物理现象，是近10多年来凝聚态理论取得重大进展的低维系统中极为重要的领域。