量子霍尔效应(试用版)
量子霍尔效应的物理机制
量子霍尔效应的物理机制量子霍尔效应（Quantum Hall Effect，简称QHE）是一种在低温和强磁场下观察到的极端电导现象，它在凝聚态物理领域中具有重要地位。
在这个现象中，电子在自然界的限制下，展现出一系列惊人的量子行为。
量子霍尔效应的发现不仅丰富了我们对电子行为的认识，也对未来的新型电子器件和量子计算提供了理论依据。
在20世纪80年代初期，诺贝尔物理学奖得主冯·克尔斯·金和亚历山大·阿末雷特斯在磁性二维系统中观察到了这一现象。
他们发现，在低温和强磁场下，电阻率呈现出明显的量子级数关系，即霍尔电阻的平方与磁场的倒数之比为普朗克常数的整数倍。
这一发现引起了广泛的关注，并为诺贝尔奖的颁发奠定了基础。
量子霍尔效应的实验可以通过制备高品质的二维电子气系统来实现。
这些系统通常由用金属电极分隔开的半导体层构成。
当施加了外部磁场后，通过霍尔电阻的测量可以确定电子的电导性质。
对于强磁场下的电荷输运过程，主要依赖于勒让德能级（Landau Levels）的形成。
勒让德能级是在二维平面中携带着电子的量子态。
在零磁场条件下，电子呈现连续态，能量呈现连续分布。
而在外部磁场存在的情况下，电子处于受约束的状态，能量的分布变得离散。
勒让德能级呈现出梯度状的形态，并描述了电子在动量空间和能量空间中的布局。
这些勒让德能级的波函数形成了分立的能级，在电荷输运中发挥关键作用。
在量子霍尔效应中，一个重要的概念是朗道级数（Landau Level），它描述了二维电子气系统中电子的能级结构。
朗道级数是以勒让德能级的顺序编号的，每个朗道级对应着一系列的量子态。
在强磁场下，低能态（接近费米能级）主导了电导行为。
这些低能态形成了所谓的朗道填充序列，即一些朗道级有着占据满的电子态。
霍尔电阻的量子级数关系是从勒让德和朗道能级之间的能量差异导出的。
当外部磁场增大时，勒让德能级间的距离变大，它们的能量差异增加。
而当朗道能级被完全占据时，电子无法在输运过程中改变朗道能级，只能通过沿着边缘的拓扑导电模式进行。
量子霍尔效应
* zz* nm const z * z e z z z ( x iy) 2lc , z* ( x iy) 2lc lc eB
1/ 2
m
n
在xy平面内单位面积态之数目为 nB eB h 对于某一个Landau能级, 在y方向的平衡位置数目也由n B 决定, 故能级的简并度是 n B .
怎么来解释实验中 H 出现的平台呢？(见上 图)。平台的存在说明有电子的态仅对电子密度 H n有贡献，但对 无贡献。这就表明有局域态， 为解释这一点必须考虑杂质的存在。杂质使朗 道能级变宽而成了能带，并且互相重叠起来。 理论计算表明大部分电子状态局域化了，即被 杂质所束缚，只有那些处在能带中心的状态仍 然是扩展态。改变电子浓度就改变了费米能级。 当费米能级处在局域态区时霍尔电导取量子数 值，而当费米能级跨过一个扩展态时，霍尔电 导率就改变一个量子数。
然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导 仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为 局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能 级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域 态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林(Laughlin)又 提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电 荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉 格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而 作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边 界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元 激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在 有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反 对意见。应该说，即使在今天，整数量子霍尔效 应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。
电导率与电阻率的关系为
x x x x 2 x x
量子霍尔效应
量子霍尔效应霍尔效应，它实际上一种电磁效应的。
我们给一块半导体通电，在导体外面外加一个与电流方面垂直的磁场，磁场会使半导体中的电子与空穴（可以视为正电荷）受到不同方向的洛伦兹力而在不同方面上聚集，聚集起来的电子和空穴之间会产生电场，此时在半导体两侧产生了垂直于磁场和电流方向的电压，而且在此电压生成的电场力和磁场的洛伦兹力平衡以后，后来的电子和空穴就不在聚集，顺利通过不发生偏移。
这种现象是由美国物理学家霍尔于1879年研究金属导电机制的时候发现的，所以命名为“霍尔效应”，且在实际生活中产生了广泛的应用，根据霍尔效应做成的霍尔器件，就是以磁场为工作媒介，将物体的运动参数转变为数字电压的形式输出，使之具备传感和开关功能。
如：汽车的点火系统，设计人员将霍尔传感器放在分电器内取代机械断电器，用作机械断电器，用作点火脉冲发生器。
这种霍尔点火发生器随着转速变化的磁场在带电半导体内产生脉冲电压，控制电控单元的初级电流。
相对于机械断电器而言，霍尔式点火脉冲发生器无磨损免维护，能够适应恶劣的环境，同时能够精确的控制点火，具有明显的优势。
什么是量子霍尔效应（二维）我们上面所说的霍尔效应是在三维的导体中实现的，其中的电子可以在导体中自由运动。
现在科学家通过某些手段将电子限制在一个二维平面内，之后添加一个垂直于该平面的磁场，同时沿着二维电子平面一个方向通以电流，此时在二维平面的另一个方向上测量到电压。
这种现象称为量子霍尔效应，属于量子力学版的霍尔效应。
该现象是由德国物理学家冯•克利青发现，并因此获得1985年的诺贝尔物理学奖。
但是为何在霍尔效应提出100年后才有人发现量子霍尔效应。
主要原因是理想的二维电子气难以实现，在半导体技术高速发展之后，人们才能在“金属-氧化物-半导体场效应晶体管”中实现比较理想的二维电子气，而且想要观测到这种现象还需要提供极低温和强磁场环境。
量子霍尔效应与上一节提到的霍尔效应最大不同之处在于横向电压对磁场的响应不同。
自旋量子霍尔效应
自旋量子霍尔效应自旋量子霍尔效应是一种量子现象，它在凝聚态物理学中具有重要意义。
它不仅有助于我们理解物质世界的基本性质，还可能为未来的信息存储和量子计算领域提供新的突破。
本文将探讨自旋量子霍尔效应的基本概念、产生机制以及其潜在应用。
首先，我们来介绍一下自旋量子霍尔效应的基本概念。
霍尔效应是指当导电物质中施加一定的电场后，电流会沿着与电场垂直的方向流动。
而自旋量子霍尔效应则是基于自旋的概念，自旋指的是粒子固有的自转角动量。
在自旋量子霍尔效应中，自旋被用作携带和操作信息的方式。
接下来我们来探讨自旋量子霍尔效应的产生机制。
自旋量子霍尔效应通常发生在拓扑绝缘体中。
拓扑绝缘体是一类特殊的材料，其内部存在一个能隙，使得材料表面的电子能够在能隙中传导。
在拓扑绝缘体中，自旋和运动自由度是耦合在一起的，这种耦合使得电子在传导过程中具有相干的自旋转动。
当外加磁场作用在材料表面时，自旋将会形成一个激发态，这个激发态则可以携带和传递信息，实现自旋量子霍尔效应。
自旋量子霍尔效应的潜在应用非常广泛。
一方面，它可以为量子计算提供新的途径。
在传统计算中，信息的存储和操作是通过电子的电荷来实现的。
而在量子计算中，可以利用自旋来进行信息的编码和操控，这将极大地提高计算的速度和效率。
此外，自旋量子霍尔效应还有望实现高效的量子通信，这将对加密和安全通信等领域产生重要影响。
另一方面，自旋量子霍尔效应还可以为拓扑量子材料的研究提供新的突破。
拓扑材料是一类具有特殊电子结构的材料，其具有奇特的电子输运性质。
自旋量子霍尔效应的发现为拓扑材料的研究提供了新的指导。
通过进一步研究自旋量子霍尔效应，我们可以深入理解拓扑材料的本质，并寻找新的拓扑材料。
总结起来，自旋量子霍尔效应是一种重要的量子现象，其具有广泛的潜在应用价值。
学习和理解自旋量子霍尔效应的基本概念和产生机制对于深入研究和应用该效应具有重要意义。
随着科学技术的不断发展，相信自旋量子霍尔效应将会为我们带来更多惊喜和突破。
低维材料中的量子霍尔效应
低维材料中的量子霍尔效应量子霍尔效应在凝聚态物理领域中被广泛研究和应用。
它是指当电子在二维材料中运动时，在特定的磁场下产生的局域化现象。
本文将讨论低维材料中的量子霍尔效应及其重要性。
1. 量子霍尔效应简介量子霍尔效应是1980年代初发现的，是由德国物理学家克劳斯·冯·克莱茨博士领导的研究团队发现的。
他们在高纯度的二维硅材料上进行了实验，通过精确的测量发现了霍尔电阻随着磁场的变化而呈现间断的量子级别变化。
2. 二维材料的量子霍尔效应二维材料是指具有平面拓扑结构的材料，如石墨烯、硼硝烯等。
在这些材料中，电子只能在二维平面内运动，其运动受到磁场限制。
当磁场达到一定强度时，电子在横向受力下进入局域化状态，形成谷能带。
此时，电子在横向移动时产生的霍尔电压呈现间断性变化，即量子霍尔效应。
3. 除了二维材料外，低维材料也可以展现出量子霍尔效应。
低维材料包括一维纳米线、零维纳米点等。
当这些低维结构的尺寸趋近于电子波长时，量子效应变得显著，量子霍尔效应也会显现出来。
通过调控低维材料的尺寸和形态，可以精确控制量子霍尔效应的特性。
4. 量子霍尔效应的应用量子霍尔效应在现代科技中有着广泛的应用前景。
首先，量子霍尔效应可以用于准粒子的操控和研究，为量子计算和量子信息领域提供了新的可能性。
其次，量子霍尔效应可以用于高精度电阻计量和标准，为电子测量提供了重要的参考基准。
此外，量子霍尔效应在微纳尺度热电转换和热量计量等领域也有着广泛的应用前景。
5. 量子霍尔效应研究的挑战与展望尽管量子霍尔效应在凝聚态物理中有着重要的地位，但其研究仍然面临着一些挑战。
首先，多数量子霍尔效应需要低温和强磁场条件下进行实验，限制了其应用范围。
其次，低维材料的合成和制备仍然困难，制约了量子霍尔效应的研究和应用。
未来，我们需要通过发展新的合成方法和研究技术，推动量子霍尔效应的进一步应用研究。
综上所述，低维材料中的量子霍尔效应是一个重要的研究领域，具有广泛的科学和技术应用前景。
量子霍尔效应的条件和原因
量子霍尔效应的条件和原因量子霍尔效应是一种非常神奇且复杂的物理现象呢。
先来说说量子霍尔效应的条件吧。
在极低温和强磁场的条件下，量子霍尔效应才会比较明显地展现出来哦。
极低温这个条件很关键，因为在低温环境下，电子的热运动被大大抑制啦。
你想啊，要是电子热运动很剧烈的话，就会干扰到我们想要观察到的量子霍尔效应相关的电子行为呢。
强磁场也是必不可少的呀。
强磁场能够对电子产生一种约束作用，就像是给电子的运动划定了一些特殊的轨道一样。
这个磁场的强度得达到一定的数值，不然的话，对电子的影响就不够显著，量子霍尔效应就难以出现。
而且呢，这个体系往往是在二维的电子气系统中观察到的。
二维的电子气系统比较特殊，电子在这样的系统里的运动自由度相对比较有限，这就使得在强磁场和极低温下，电子更容易呈现出量子霍尔效应相关的特殊行为。
再讲讲量子霍尔效应产生的原因吧。
这就不得不提到电子的量子特性啦。
在强磁场和极低温的环境下，电子的能量状态是量子化的哦。
电子在磁场中的运动轨迹会形成一些分立的朗道能级。
电子只能处在这些特定的能级上，而不能处于能级之间的能量状态。
当我们在这个系统中施加电场的时候，电子在这些分立的能级之间跃迁或者移动的方式就很特别啦。
电子在这种特殊的环境下，会以一种非常有序的方式来传导电流，这就导致了霍尔电阻呈现出量子化的数值。
这种量子化的数值不是连续变化的，而是以一个个离散的值出现，这是非常违反我们日常对于电阻变化的认知的。
这是因为电子在磁场和低温的双重约束下，它们的运动已经不再是经典物理中的那种自由运动啦，而是受到量子力学规则严格控制的运动。
就好像电子们在一个被精心编排的舞台上跳舞，每个电子都遵循着量子力学的规则来走位，从而产生了这种神奇的量子霍尔效应。
量子霍尔效应真的是很迷人的一个物理现象呢。
它的这些特殊的条件和背后的原因，都是物理学家们不断探索和研究的结果。
虽然理解起来有些困难，但是只要我们深入地去学习量子力学的相关知识，就能够逐渐揭开量子霍尔效应神秘的面纱。
反常量子霍尔效应 陈数 某一能带 积分
反常量子霍尔效应陈数某一能带积分示例文章篇一：哇塞，看到“反常量子霍尔效应”“陈数”“某一能带”“积分”这些词，我简直一头雾水！这对我这个小学生（初中生）来说，简直就像走进了一个神秘的魔法世界，充满了让人摸不着头脑的谜题。
你说反常量子霍尔效应，这到底是个啥呀？就好像我在玩一个超级难的游戏，怎么都找不到通关的秘诀。
我想象着它就像一个调皮的小精灵，总是在我面前跳来跳去，我就是抓不住它的真面目。
陈数呢？这名字听起来怪怪的。
难道它是像数学课本里的那些数字一样，乖乖地等着我们去计算？才不是呢！它就像一个神秘的密码，非得我们解开才能明白其中的奥秘。
还有那个某一能带，这是个啥？难道是像一条神奇的带子，带着我们进入一个未知的世界？我真的搞不懂啦！积分，哎呀，每次看到这个词，我就感觉像是面对着一座高高的大山，怎么爬也爬不上去。
老师在课堂上讲这些的时候，我周围的小伙伴们也都一脸迷茫。
我忍不住问同桌：“你能听懂吗？”他摇摇头说：“这简直比外星人的语言还难懂！”可不是嘛！我就想啊，这些东西怎么这么难理解？难道是大人们故意弄出这些来为难我们的？不过，我又想，虽然现在我不懂，但说不定以后我努力学习，就能像解开一个超级大谜团一样，把它们都弄明白！也许到那个时候，我会发现，原来这个神秘的世界也有它有趣的地方。
反正我觉得，不管这些东西有多难，我都不会轻易放弃，一定要把它们搞清楚！示例文章篇二：哎呀呀，这些词“反常量子霍尔效应”“陈数”“某一能带”“积分”，对我这个小学生/初中生来说，简直就像是外太空来的神秘语言！你能想象吗？就好像我正在快乐的玩耍，突然来了一堆超级复杂的外星符号，让我一头雾水！反常量子霍尔效应，这到底是个啥？难道是说有个神奇的磁场世界，里面的东西都不按常理出牌？陈数呢？这名字听起来倒挺不错，可它在这个神秘的科学领域里到底扮演着啥角色？难道是打开某个神秘大门的密码数字？还有那个某一能带，这是不是像一个藏着无数秘密的宝藏带？谁能找到进入的钥匙，谁就能发现超级神奇的东西。
霍尔效应和量子霍尔效应
霍尔效应和量子霍尔效应霍尔效应和量子霍尔效应是材料物理学中重要的研究课题，两者都与电子在材料中的运动和自旋相关。
在本文中，首先将介绍经典霍尔效应的原理和应用，然后将讨论量子霍尔效应及其在拓扑物理学中的重要性。
霍尔效应是指当电流通过处于磁场中的材料时，会在材料横向产生一定的电势差。
这种现象最早由爱德华·霍尔于1879年发现，被称为霍尔效应。
经典霍尔效应的原理是基于洛伦兹力和量子力学的带结构。
当电流通过材料中的载流子时，在磁场作用下，洛伦兹力将使得载流子偏离轨道，导致在材料的边缘形成电势差。
这个电势差正比于电流和磁场的乘积，也与载流子的电荷和速度有关。
经典霍尔效应的应用非常广泛。
例如，在电子器件中，霍尔元件常用于测量磁场的强度和方向。
霍尔传感器是一种基于霍尔效应的传感器，它能够对磁场进行测量，并将磁场信号转化为电压信号。
此外，霍尔效应也被广泛应用于磁共振成像（MRI）中，用于诊断和研究人体内部结构。
与经典霍尔效应相比，量子霍尔效应是在低温和强磁场条件下观察到的一种现象。
量子霍尔效应的研究始于20世纪80年代，它是拓扑物理学的一项重要发现，因此被称为拓扑相变。
量子霍尔效应的核心是量子霍尔态。
当材料的电子能带被填满到某一整数倍的数量时，会出现能隙，这种能隙中的边界态被称为霍尔边界态。
霍尔边界态只能存在于系统边界，因此不受杂质散射的影响，具有极高的迁移率和相干性。
量子霍尔效应的研究对拓扑物理学有重要意义。
拓扑绝缘体是一种特殊的量子态，它在外部条件不发生变化的情况下保持不变，这和常规的绝缘体和导体的区别非常大。
拓扑绝缘体具有霍尔边界态，这些态对材料的边缘非常敏感。
因此，量子霍尔效应为研究拓扑绝缘体和拓扑超导体提供了基础。
总结一下，霍尔效应和量子霍尔效应都是与电子在材料中的运动和自旋相关的重要现象。
经典霍尔效应是爱德华·霍尔于19世纪末发现的，它在电子器件和磁共振成像等众多领域有着广泛的应用。
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经典霍尔效应
长条形导体:
电流密度: 横向电场:
j x nev
E y vB
电阻率与磁场成正比
霍尔电阻率: H
Ey
j x B ne
经典霍尔效应
根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一 段时间t内在电场下加速, 散射后速度为零. τ称为弛豫时间. 电子的平均迁移速度为
v d eE m
A ( B y , 0, 0)
波函数为(因为H中不显含x, z)
i ( x , y , z ) ( y ) exp[ ( p x x p z z )]
根据薛定谔方程可求得电子的能量为
En (n 1 ) c p z 2m S z B 2
2
或
En (n 1 ) c 2
如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可 以用单粒子近似很好地描述，其物理图像 已基本清楚。不过仍存在一些问题值得深 入研究。分数量子霍尔效应(FQHE)必须是 高迁移率的样品在更低的温度下才能观察 到。分数量子霍尔效应也是一个强磁场中 的电子强关联系统，因为要解释分数量子 霍尔效应必须考虑电子相互作用。这从理 论上提出了一类全新的问题。
两种状态: 扩展态 和 局域态
只有扩展态可以传导霍尔电流 (0度下), 因此若扩展态的占据数不 变, 则霍尔电流不变. 当Fermi能级 位于能隙中时, 出现霍尔平台.
Laughlin(1981) 和 Halperin(1982)基于规范变换 证明, 只要第 i 个扩展态占满, 则霍尔电阻由下式精 确给出 R h
c eB m
0 e n m
2
其中
(回旋频率) (经典电导率)
由此易得
xx yy 1 0 xy yx = c 0
电导率与电阻率的关系为
xx
yy
0 (1 c )
2 2 yx
量子霍尔效应（试用版）
童国平
浙江师范大学数理信息学院
内容提要
• 引言 • 经典Hall效应 • 电子的Landau能级 • 磁通量子化 • 整数量子Hall效应(IQHE) • 分数量子Hall效应(FQHE) • 展望
引言
(1985年第一次诺贝奖)
1930年, Landau 证明量子力学下电 子对磁化率有贡献, 同时也指出动能的 量子化导致磁化率随磁场的倒数周期 变化.
1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度 描述。 1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础 上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变 化而不是突变的。以后就有一系列用场论的重整化群方 法研究无序引起的金属-绝缘体相变。结论是D=l，2维在 无序的作用下应该是绝缘体，无相变。而在D=3时有金 属-绝缘体相变。但在有磁场存在时，上述结论并不成立 。 负磁阻现象(D=2)表明，此时无序系统可能有扩展态。 事实上，量子霍尔效应正是在研究电子的局域化问题时 发现的。量子霍尔效应表明，在有磁场时，2维无序系 统应有扩展态，否则σ=0了。
• 1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数 量子数的霍尔平台, 一年后, ughlin给 出了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出 了很好的解释. • 1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer, 崔 琦和Robert Laughlin, 以表彰他们发现分数 量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深 刻理解.
1/ 2
在xy平面内单位面积态之数目为 n B eB h 对于某一个Landau能级, 在y方向的平衡位置数目也由n B 决定, 故能级的简并度是 n B .
磁通量子化
选标量函数仅依赖方位角
( )
2
2 R
rR
A 0 exp i 0
• 从紧束缚近似提供的能带图像不难理解， 在能带中心附近的态应该保持扩展态，至 少对不是非常强的无序系统来说应该成立； 在能带边缘的那些态是局域态。 • 1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过 渡，提出了迁移率边缘的临界能量Ec的概 念。 • 莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电 导率的突变，即从局域态的σmin=0到扩展 态σmin≠0的突变.
H
e i
2
霍尔平台是怎样产生的?
无序引起的金属—绝缘体相变问题
朗道的费米液体理论，实质上说的是库仑相互作 用仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属—金属 无相变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑 相互作用可能导致金属—绝缘体的相变。 那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出 在一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金 属—绝缘体的相变。这一工作在当时并未引起注意， 因为结论似乎是在意料之中的。
量子霍尔效应
• Stormer, Horst L. • Email:
horst@
• Telephone: (212)854-3279
量子霍尔效应
• DANIEL C. TSUI, 崔琦 Professor • Room B-426, Engineering Quadrangle • Carol Agans, Administrative Assistant • 609-258-3217 • Connie Brown, Assistant • 609-258-4641 • 609-258-6279 (f)
整数量子霍尔效应的发现是在MOS器件 上作出的，这是一个2维有边界的现象。所 谓边界，就是系统的拓扑结构。在有一定 的拓扑结构下考虑无序(杂质)问题，这本 身就是一个新问题。在这一方面，一些形 式上拓扑问题的研究固然重要，但可能还 只是问题的第一步，真正的物理还在于考 虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问 题。
有磁场时, 加入罗仑兹力, 平面电子运动的 Langevin方程为
vd e m ( E vd B ) vd
稳态时, 面内
j n ev d
, 假定磁场沿z方向, 在xy 平
0 E x c j y j x 0 E y c j x j y
• 实验条件
1. 极低温(1.5K) 2. 强磁场(18T) 3. 比较纯的样品
• 实验装置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1. 霍尔电阻有台阶
2. 台阶处纵向电阻为零.
3. 台阶高度为 h ie 2 , i 为整数, 对应于占满第 i 个Landau能级, 精度大约为5ppm.
由于杂质的作用, Landau能级 的态密度将展宽(如下图).
然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导 仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为 局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能 级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域 态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林(Laughlin)又 提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电 荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉 格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而 作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边 界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元 激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在 有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反 对意见。应该说，即使在今天，整数量子霍尔效 应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。
1 L A d l R
作规范变换,并选取
A A A
若波函数描述延展态,则方位 角可以取任意值. 若满足周期性,则 单值性要求:
0 m , m 0, 1, 2, ...
ex p ie
由此, 当
xx
0 时,
jx
xy
Ey
,
xy
为霍尔电导
H xy n e B
电子在均匀磁场中运动的Landau能级
由量子力学, 电子处在磁场中的哈密顿量为
H 1 2m [( p x eB y ) p y p z ] S z B
2 2 2
这里选择矢量势
MOSFET 的电子能级结构
2, 超晶格 例: GaAs/AlGaAs 异质结的电子能级结构 电子密度: 10 11 cm -2
3, 液氦表面
液氦表面有一 个超过1eV的势垒, 阻止电子透射到液 氦中去,而镜象电 荷(+e)势又吸引电 子于表面.电子密 度:
1 0 cm
9 -2
整数量子Hall效应(IQHE)
应用:
1. 1990年起, 国际电阻标准为:
h e 2 5 8 1 2 .8 0 6
2
精度
2
2 10
8
1克 利 青 电 阻 h 4 e 6 4 5 3 .2 0 1 5
2. 精细结构常数 精度
0 .3 p p m
分数量子霍尔效应
整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦 (Taui，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特 (Gossard)又发现了分数量子霍尔效应(FQHE)， 这就提出了更深层的问题。他们在GaAs— AlGaAs异质结上观察到，上述 H 的表示式中M 为分数，而不仅是整数。实验是在高度净化， 温度更低(～1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条 件下进行的。此后的大量实验却发现M=p/q，p 是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q总是奇数。 1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。
xy
0 c (1 c )
2 2
xx xx ( xx xy ), xy xy ( xx xy )
2 2 2 2
xy 0 如果 另一方面
, 则当
xx
0 时,
xx 也为0.