量子霍尔效应

量子霍尔效应
霍尔效应是一种发现、研究和应用都比较早的磁电效应，电子在导体中的定向流动形成电流，如果沿垂直于电流方向施加一稳恒磁场，则电子运动必然受到洛伦兹力影响而产生其他效应。

1879年Hall 发现了所谓的经典霍尔效应，恰好100年以后，K.vonKlitzing 于1980年发现了量子霍尔效应[1]，并因此获得1985年诺贝尔物理学奖；1982年5月华裔物理学家崔琦、H.Stormer 和A.Gossard 发现了分数量子霍尔效应，并于1998年获得诺贝尔物理学奖。

霍尔效应从经典的到量子，从整数量子霍尔效应到分数量子霍尔效应，已经取得了不少的研究成果，本文就介绍霍尔效应的发展和量子模型理论。

一、 经典霍尔效应
首先回顾一下经典霍尔效应。

给一个长方形导体两端（x 方向）施加一个静电场（如图1），则在导体中产生的电流密度为
x j nqv (1)=
其中，n 为载流子浓度，q 和v 分别为载流子电荷和速度。

在Z 方向上施加一个稳恒的磁场，则带电粒子会受到洛伦兹力的作用发生偏转，在Y 方向的两个面上放生电荷积累，形成电势差U H ，称为霍尔电压；随着电荷的不断积累，当场
强E y 增大至vB/c （CGS 单位制）时，洛伦兹力与静电力平衡，载流子不在发生
偏转，此时霍尔电压达到稳定值。

定义横向的电阻率（即霍尔电阻率）：
y
H x E (2)j ρ=
由于平衡时E y =vB/c ，结合上面两式有：
H B (3)nqc
ρ= 设导体沿y 方向的宽度为L y ，则
x y
H y y Bj L U E L (4)nqc ==
通过测量U H 、B 、j x ，就可以知道载流子电荷和浓度。

可以利用这个很容易分
辨半导体是N 型还是P 型的，知道了载流子种类，计算载流子浓度，对半导体研究意义很大；同时，由于霍尔电导跟磁场有关系，可以制作各种传感器，应用到测量技术、电子技术、自动化技术等，其中高斯计就是很重要的一个应用。

图1.经典霍尔效应
经典霍尔效应是容易理解的，但我们在不同极限条件下发现了一些新的霍尔效应，比如在一些铁磁材料中，不加磁场时也存在霍尔效应，但原理有根本的不同，被称作反常霍尔效应，当在低温强磁场下，霍尔电阻率不再随B 成比例关系，而是表现出台阶，这就是下面要谈的量子霍尔效应。

二、 量子霍尔效应
K.von Klitzing 、G.Dorda 和M.Pepper 在研究金属-氧化物-半导体场效应晶体管中的反型层载流子输运过程，他们发现在低温（约 1.5K ）、强磁场（约18万高斯）条件下，当增强栅电压时，在硅反型层的霍尔电压随之下降的过程中，陆续出现一系列“平台”。

相应的霍尔电导取e 2/h 的整数倍值。

它的精度超过百万分之一，其中e 、h 分别是电子电荷和普朗克常数，与每个霍尔平台对应的纵向电阻率为零，即电流方向无电势差。

图2.霍尔电压U H 、纵向电压U pp 与门电压VG 的关系图（测量温度T=1.5K ，磁场B=18万高斯，样品电流1=1.0μA ，U H 、U PP 分别与ρxy 、ρxx
成比例，n 是朗道能级的编号；右上角是所用样品顶视图，长度为400μm ，宽为50μm ）[1] 简单地说，在低温强磁场下ρH 与B 出现下图的关系，并且阶梯平台可表示
为
H 2,N 1,2,3,Ne ρ== (5)
由上式可以看出霍尔电阻率跟温度、磁场和样品本身是没有关系的，因此可以用作标准电阻研究。

图3. ρH 与B 的关系.实线为经典霍尔效应，虚线为量子霍尔效应
三、 量子模型理论
霍尔效应实际上应是电子在稳恒电磁场中的运动，因为必须应用量子力学才能得到深入理解。

简单起见，我们取导体中的电子进行研究，同时考虑该电子为自由电子，那么在外磁场下，相应矢势取为
,0(6)
x y z A By A A =-== 对应的薛定谔本征方程是
2221ˆˆˆ(7)2x y z z eB p y p p B E m c ψμψψ⎡⎤⎛⎫-++-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
其中，μz 为自旋磁矩z 分量，因为上式不含有x 和z 的坐标项，所以波函
数可以写成
[](,,)exp ()/()(8)=+ x z x y z i p x p z y ψφ
代入（7）式可得
2220221()+()()0(9)22n
z z p m y E B m y y y m φμωφ⎡⎤⎛⎫+---=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 其中
0,(10)== x cp eB y eB mc
ω 2z z p 19E B n 2m 2⎛⎫⎛⎫+μ-+ω ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）式正是一维谐振子所满足的方程，式中对应能量本征值，即
21(11)22z n z p E n B m ωμ
⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
相应的本征函数
2002()()/(12)2⎡⎤--⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, n n y y y y y H a m a a φω
其中，H n （x ）是埃尔米特多项式;显然能级E n 是简并的，因为相应的波函数
因y 0
不同而异，而y 0可由p x 决定，考虑到p x 的可能取值：
2,0,1,2(13)==±± x x p l l L π
y 0的可能取值的间隔为
02 (14)∆=x
c y eBL π 根据0≤y 0≤L y ，可知能态E n 的简并度为
0(15)y
x y L eB L L y c =∆
或者说，在x-y 平面，E n 能态的态密度为
(16)=B eB n c
若导体沿z 方向足够薄，则P z =0，若磁场B 足够强以致电子完全极化，则可
将μz B 视为常数，而将能量写作
1 (17)2⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭n E n ω 这个结果就是朗道能级。

原则上，电子的运动要考虑相对量效应，由狄拉克方程描写，这是的哈密顿写为
22ˆˆ00ˆ (18)00e H c p A mc c I e c p A mc I c αβσσ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝
⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ˆ,H E ϕψψψχ⎛⎫== ⎪⎝⎭令则由，得
22ˆ()()e E mc c p A c e E mc c p A c ϕσχχσϕ⎛⎫-=⋅+ ⎪⎝
⎭⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭ 消去χ，得
2
2242ˆ()e E m c c p A c χσϕ⎡⎤⎛⎫-=⋅+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 因为 22ˆˆ,e e e p A p A B B A c c c σσ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅+=++⋅=∇⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中
故有
22242ˆE m c e e p A B c c c ϕσϕ⎡⎤-⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
将（6）式代入得
22224222ˆˆˆˆi x y z z E m c e e eB e p By B p y p p B c c c c c ϕσϕσϕ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=-+⋅=-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
,,2z z e s s mc σμ==-应用得
2224222ˆˆˆ2 (19)x y z z E m c eB p y p p m B c c ϕμϕ⎡⎤-⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
与（7）式比较，狄拉克方程和薛定谔方程有相同形式的解，E 要理解为2242E '(E m c )/c =-；由（16）式知电子填充一个能态的态密度，那么填充单位面积N 个能态的电子数应该为eB N c ，认为这些占据朗道能态的电子都是载流子，代入（3）式有
H 2Ne ρ
=
即是实验中所观察到的霍尔电阻率表达式。

简单地理解，可以回到哈密顿量中，含有坐标项，即等价于在y 方向有一简谐振动势，y 方向的运动量子化了，在x-y 平面内做回旋运动，系统就具有和空间谐振子类似的分离能级，就是前面说到的朗道能级（17式），w 为回旋频率。

当磁场增强时，经典的拉莫尔运动轨道半径减小，当它达到可以和载流子的德布罗意波长相比时，量子效应显著。

拉莫尔轨道应该等于电子波长的整数倍，这一要求使能量量子化了；在实验中，强磁场给出的磁能e w 约为10meV ，这就是相邻朗道能级间的间距，而低温条件意味着
1K~0.1meV ，二者相距甚远，当费米能级处在朗道能级间的间隙中时，比它低的整数个能级完全填满，比它高的能级几乎是空的，所以可计算出每个朗道能级上的态密度是（16）式。

四、 量子霍尔效应的应用及研究前沿
量子霍尔效应一个基本的应用就是标准电阻，根据量子霍尔电阻率跟温度、磁场和材料本身都是没有关系的，因此很好的作为标准电阻，1990年1月1日起国际计量委员会就启用量子化霍尔电阻标准代替原来的实物标准，并给出了国际推荐值R H =25812.807Ω；另一个方面的应用就是计算精细结构常数α，它是用
来量度电磁相互作用强度的，在量子电动力学中是个关键的普适常数。

2
00H
c e 2h c i 2R μα=⋅μ=⋅ μ0是真空的磁导，定义为4π×10-7H/m ，c 是光速，可以精确测定，所以从
量子霍尔电阻R H 的测定可以决定α，从其他的途径测定α不仅可以印证量子电
动力学内部自洽，而且对弱作用和强作用的现代理论也是有益的。

目前的量子霍尔效应研究主要集中在具体纳米器件中，诸如场效应管、石墨烯、拓扑绝缘体和超导体系中；也有改变温度，研究高温下的量子霍尔效应，大电流、自旋磁场等霍尔效应也在研究之中。

参考文献：[1]Klitzing K V, Dorda G, Pepper M.1980.Phys.Rev.Lett,4r5:494。