结构力学——静定结构位移计算
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
结构力学静定结构位移计算习题解答
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。
解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。
(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。
1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。
113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
只计弯曲变形。
EI 为常数。
方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。
以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
结构力学-静定结构位移计算
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
05.静定结构的位移计算
3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
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广义力 ：与广义位移对应的就是广义力，可以是 一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反 的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系， 能够在某一组广义位移上做功的力系，才 称为与这组广义位移对应的广义力。
结构力学——静定结构位 移计算
第二节 变形体虚功原理
• 广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必 须具有功的量纲。
第四章 虚位移原理与静定结构的位移计算
学习内容
实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的 互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作 用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。
学习目的和要求
目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构 所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位 移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起 到重要作用。
FP1
FN1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δri→=0
FP2
m 1
m 2
FN2
结构力学——静定结构位 移计算
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
叠加原理适用
可以利用虚功概念计算结构的位移
结构力学——静定结构位 移计算
第二节 变形体虚功原理
1、功的概念
功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作
用点的运动路程上对物体作用的效果。
功 = 力×力作用点沿力方向上的位移
WFPΔ
FP 理解为广义力 Δ 广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。
结构力学——静定结构位 移计算
(3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础.
结构力学——静定结构位 移计算
第一节 位移计算概述
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
结构力学——静定结构位 移计算
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
思考：变形与位移的差别？
两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一
定有变形。
结构力学——静定结构位 移计算
第一节 位移计算概述
形状的改变称变形；位置的改变称位移
FP
Ax
A
Ay A’ A
绝对位移
Ax
A’ A
Bx
B B’
相对位移
AB=Ax+Bx
无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还 是相对位移统称广义位移
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因
各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、 ③支座移动和制造误差结。构力学——静定结构位
移计算
4 体系特征假定
(1) 线弹性 (2) 小变形 (3) 理想联结
• 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力； • 未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变
形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。 虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却 是确定的，真实变形是虚变形中的一个。
结构力学——静定结构位 移计算
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置 处于平衡的必要和充分条件是：
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的；
2 作功双方结均构是力学实—际—静存定在结构的位，但彼此无关。
移计算
第二节 变形体虚功原理
注意：
• 定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功 的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则 称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称 虚功；
也即恒有如下虚功方程成立：
W = W 结构e 力学——静定i 结构位
移计算
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
q
M FN
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法结移构计求力算位学移——。静定结构位
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
第二节 变形体虚功原理
实功：力在自身所产生的位移上所作的功。
(1) 常力作功
FP
O
S
（力与位移有因果关系）
WFPScos
(2) 变力作功
FP
d W (F P d F P )d y F P d y
y
1
W
结构力学——d 静y 定结构位
dW2FPΔP
移计算
第二节 变形体虚功原理
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
结构力学——静定结构位 移计算
第一节 位移计算概述
2、结构位移计算的目的
(1) 结构刚度验算的要求。 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。最大层间位 移< 1/800层高
(2) 施工要求：形情况，以便采取施工措施;
• 为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：
1. 凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布 力，力偶等）
2. 凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、 角位移等）
结构力学——静定结构位 移计算
广义位移 ：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、 角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等 等都可泛称为广义位移。
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
F Ax
F Ay
FP ΔB
FB
结构力学——静定结构位 移计算
第二节 变形体虚功原理
2 虚功原理 （1）刚体系的虚功原理
刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
（2）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
注意：广义位移与广义力的对应关系， 能够在某一组广义位移上做功的力系，才 称为与这组广义位移对应的广义力。
结构力学——静定结构位 移计算
第二节 变形体虚功原理
• 广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必 须具有功的量纲。
第四章 虚位移原理与静定结构的位移计算
学习内容
实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的 互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作 用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。
学习目的和要求
目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构 所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位 移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起 到重要作用。
FP1
FN1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δri→=0
FP2
m 1
m 2
FN2
结构力学——静定结构位 移计算
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
叠加原理适用
可以利用虚功概念计算结构的位移
结构力学——静定结构位 移计算
第二节 变形体虚功原理
1、功的概念
功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作
用点的运动路程上对物体作用的效果。
功 = 力×力作用点沿力方向上的位移
WFPΔ
FP 理解为广义力 Δ 广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。
结构力学——静定结构位 移计算
(3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础.
结构力学——静定结构位 移计算
第一节 位移计算概述
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
结构力学——静定结构位 移计算
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
思考：变形与位移的差别？
两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一
定有变形。
结构力学——静定结构位 移计算
第一节 位移计算概述
形状的改变称变形；位置的改变称位移
FP
Ax
A
Ay A’ A
绝对位移
Ax
A’ A
Bx
B B’
相对位移
AB=Ax+Bx
无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还 是相对位移统称广义位移
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因
各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、 ③支座移动和制造误差结。构力学——静定结构位
移计算
4 体系特征假定
(1) 线弹性 (2) 小变形 (3) 理想联结
• 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力； • 未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变
形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。 虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却 是确定的，真实变形是虚变形中的一个。
结构力学——静定结构位 移计算
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置 处于平衡的必要和充分条件是：
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的；
2 作功双方结均构是力学实—际—静存定在结构的位，但彼此无关。
移计算
第二节 变形体虚功原理
注意：
• 定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功 的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则 称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称 虚功；
也即恒有如下虚功方程成立：
W = W 结构e 力学——静定i 结构位
移计算
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
q
M FN
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法结移构计求力算位学移——。静定结构位
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
第二节 变形体虚功原理
实功：力在自身所产生的位移上所作的功。
(1) 常力作功
FP
O
S
（力与位移有因果关系）
WFPScos
(2) 变力作功
FP
d W (F P d F P )d y F P d y
y
1
W
结构力学——d 静y 定结构位
dW2FPΔP
移计算
第二节 变形体虚功原理
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
结构力学——静定结构位 移计算
第一节 位移计算概述
2、结构位移计算的目的
(1) 结构刚度验算的要求。 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。最大层间位 移< 1/800层高
(2) 施工要求：形情况，以便采取施工措施;
• 为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：
1. 凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布 力，力偶等）
2. 凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、 角位移等）
结构力学——静定结构位 移计算
广义位移 ：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、 角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等 等都可泛称为广义位移。
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
F Ax
F Ay
FP ΔB
FB
结构力学——静定结构位 移计算
第二节 变形体虚功原理
2 虚功原理 （1）刚体系的虚功原理
刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
（2）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。