基于AHP的模糊综合评价算法及应用

基于AHP的模糊综合评价算法及应用

徐亮

中国矿业大学（北京校区）资源学院（100083）

E-mail：xuliang_168@

摘 要：在应用AHP的多方案综合评价中，由于判断矩阵的一致性检验难以通过，就很难准确求取各方案的权重值，因此本文提出了一种基于AHP和模糊理论的综合评价算法。该算法采用AHP求取各层次指标的权重，采用模糊方法确定各方案的属性值，并将此算法应用在信息系统性能的综合评价中。

关键词：层次分析法；模糊评价；信息系统；算法

针对多方案综合评价问题中，判断矩阵的一致性检验难以通过，单一的应用层次分析法在求取各方案的权重值时就有了局限性[1]，本文在AHP方法中专家组相对于优选目标的每一个指标的实现程度进行两两比较时，引入模糊评价矩阵和评价集的隶属度向量从而得到所需求的综合评价指标，提出了一种基于AHP和模糊理论的综合评价算法。结合信息系统性能评价指标体系研究的基础上，根据评价工作的系统性、动态性、可操作性和定性分析与定量分析相结合的原则，此算法不仅提高了AHP中专家模糊性权重判断的准确性；对于促进信息系统的建设，及时维护和改进信息系统的缺陷和功能，加速信息化进程，具有十分重要的意义。

1. 建立评价指标

中国矿业大学（北京校区）研究生院在2004年重新设计开发了教务信息系统，经过一段时间的使用，为了对新系统的使用效果和系统性能进行综合评价，建立指标体系以反映所评价信息系统性能的主要特征和基本状况。

经调查研究，确定如下评价指标，以保证综合评价的全面性和可信度[2]，如图1所示：

图1 MIS性能评价的AHP算法

2. 计算权重

在构造n阶方阵A之前，我们要用1-9标度含义表列出八个指标的相对重要程度之比，如表1所示。

表1 标度含义表

标度值 两者关系

1

3

5

7

9

2，4，6，8 两者同等重要

前者比后者重要

前者比后者稍重要

前者比后者强烈重要

前者比后者极端重要

表示上述相邻判断的中间状态

若元素a与元素b的重要性之比为a ij, 那么元素b与元素a的重要性之比为a ij=1/a ji

专家组按照评价指标的重要性给出指标两两之间相对于目标的重要程度的比较矩阵A=(a ij )n×n ,如表2所示。

表2 指标相对于目标层的成对比较矩阵

A u 1

u 2

u 3

u 4

u 5

u 6

u 7

u 8

u 9

u 1 1 3 4 3 3 5 7 3 3 u 21/3 1 3 3 1 5 5 1 6 u 31/4 1/3 1 1 1/4 6 3 1 3 u 41/3 1/4 1 1 1/3 1 3 1/3 4 u 51/4 1 4 3 1 2 5 1 7 u 61/5 1/5 1/6 1 1/2 1 3 1/3 3 B 71/7 1/5 1/3 1/3 1/5 1/3 1 1/3 1 B 81/3 1 1 3 1 3 3 1 7 B 9

1/3

1/5

1/3

1/4

1/7

1/3

1

1/7

1

由线性代数中的Frobinius定理知,当A为正矩阵(a ij >0)时,A的最大特征值所对应的特征向量是正的[3]

。为保证权重的非负性,我们采用其最大特征值所对应的特征向量。所以在此基础上还要求解方阵A的最大特征值λmax 及相应的特征向量,并对特征向量标准化。由于各指标的客观性，我们采用基于AHP算法的根法来计算：

（1）判断矩阵的元素按行相乘，得到行元素的乘积

A i M ∏===n

i ij

i n j i a M 1

),...,2,1,(

[] 000037863.0000,0.0.0000705,00,0.0100,111,210.001.1250,0.1,450.0000,34020.0000=M

（2）各行的乘积分别开次方，得到i M n i W ′

i W ′=n i M (i=1,2,…,n)

[] 3236,1.585,0.0.599,0.34783,1.811,2,1.013,0.3.188,1.97'=W

（3）将向量W 归一化

′n i W W W n

j j

i i ,....,11

=′

′

=∑=

[]0280,0.136,0.0.052,0.03067,0.156,0,0.087,0.0.274,0.17=W

（4）计算判断矩阵的最大特征根max λ

[]∑==n

i i i nW AW 1

max )(λ

[]Τ

=2886,1.283,0.0.520,0.27639,1.530,3,0.940,0.2.763,1.59AW

9.836max =λ

3. 进行一致性检验

在判断矩阵的构造过程中，并不要求判断具有一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识多样性决定。但要求判断有大体的一致性却是应该的，因此在得到λmax 后，需要进行一致性检验，其步骤如下：

（1）计算一致性指标C.I.

0.1051

C.I.max ＝−−=

n n

λ 式中n 为判断矩阵的阶数9

（2）平均随机一致性指标R.I.

用随机方法构造500个样本矩阵，分别对N＝1～9阶各500个随机样本矩阵计算其一致性指标C.I.值，然后取算术平均值，即得到评价随机一致性指标值。对于1～15阶判断矩阵，评价随机一致性指标的R.I.值见表1所示。

表1 平均随机一致性指标R.I.

阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

13

14 15 R.I.

0.00

0.00

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.46

1.49

1.52 1.54 1.56

1.58

1.59

这里。

46.1=RI （3）计算一致性比率C.R.

1.007

2.046

.1105

.0R.I.C.I.C.R.<=

＝＝ 认为判断矩阵具有满意的一致性，所求的的权重是可以接受的。

4. 模糊评价算法的建立与求解

（1）评价集的设定

对于每个评价指标进行定量分析时都可以给出5个元素组成的评价集，比如：{很高，高，一般，低，很低}、{很好，好，一般，差，很差}、{100%,[95%,100%],[90%,95%],[80%,90%],<80%}等，这里采用百分制评价，把评价集V 划分为五个评价等级，即{}{}

很差差一般好很好,,,,,,,,54321==v v v v v V 。 其中：评分区间为，中值为95； 1v [100,90]]]]] 评分区间为，中值为84.5； 2v [89,80 评分区间为，中值为74.5；

3v [79,704v 评分区间为，中值为64.5；

[69,605v 评分区间为，中值为49.5；

[59,40通常把各区间的中值作为等级的参数，则此参数列向量为()Τ

=5.495.645.745.8495，，，，µ。

（2）构造模糊关系矩阵和模糊评价矩阵