三角函数的符号
y y y
+
o
+
x
－
o
+
x
－
o
+
x
－
－
－
+
+
－ tanα
sinα
cosα
由三角函数的定义，还可以知道：终边相同的角 的同一三角函数的值相等，由此，得到一组公式：
sin （ k 360 ） sin
o
cos （ k 360 ） cos
o
0 A、 sin(-660 ) 0 C、cos(-740 )
B、 tan1600 D、 sin(4200 ) cos5700
4、若 tan sin 0且 tan cos 0，则是（ B ）
A、 第 一 象 限 角 B、 第 二 象 限 角 C、 第 三 象 限 角 D、 第 四 象 限 角
sin cos 1
2 2
sin tan cos
( k
2
,k Z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于 角 的正切.
“同角”二层含义:一是”角相同”, 二是”任意”一个角.
3 已知 sin ,求 cos , tan 的值. 5 解:因为 sin 0, sin 1, 所以 是第三或第四象限角.
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
(1) sin 4 cos4 sin 2 cos2
(2) sin sin cos cos 1
4 2 2 2
小结:
1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系. 发现规律
2.同角三角函数关系的基本关系的应用 规律的应用
tan （ k 360 ） tan
o
其中k Z
2 1、已知角的终边在y x上，则sin cos _______
2、若 sin tan 0, 则的终边在( D ) A、第一象限 C、第二或第三象限 B、 第四象限 D、第一或第四象限
3、下列各三角函数值中 ，取负值的是( B )
x
（1）y叫做 的正弦，记作
sin ，即
y （3） 叫做 的正切，记作 tan ，即 y x tan =AT ( x 0)
有向线段MP、OM、AT,分别叫做角 的正弦线、 余弦线、正切线，统称为三角函数线.
同一个角的不同三角函数之间的关 系如何?
同角三角函数的基本关系
平方关系: 商数关系:
例1 由
sin cos 1 得
2 2
2 2 2
3 16 cos 1 sin 1 . 5 25 16 4 . 如果 是第三象限角,那么 cos 25 5 sin 3 5 3 . 从而 tan cos 5 4 4 如果 是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3 . 5 4
5、若三角形ABC两内角A、B满足 sin A cos B 0, 则此三角形的形状是（C ）
A、 直 角 三 角 形 B、 锐 角 三 角 形 C、 钝 角 三 角 形 C、 不 能 确 定
1.2.2
同角三角函数 的基本关系
任意角的三角函数
α的终边
P(x,y) M O T y
sin y =MP x叫做 的余弦，记作 cos ，即 A(1,0) （2） x cos x =OM
练 习
5 1.已知 cos ,求 sin , tan 的值. 13
2.已知 tan
2 , 求 sin , cos 的值.
例2 求证
cos x 1 sin x 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
1.化简 (1) cos tan 2.求证
(1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角
函数值;
(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.
任意角的三角函数的符号
（2）此关系式是对于同角而言的．
2 如： sin cos 1, 2 2
2
sin 3 tan 3 cos3
（3）注意某些变式的运用． 2 2 2 2 1 如： sin cos , sin 1 cos ,
思考： 请计算
sin cos
2 2
的值．
由三角函数定义我们可以看到：
y x y2 x2 r 2 2 2 sin cos 2 1 2 r r r r
2
2
同角三角函数关系式的推导 ？
当 思考： k 且 k
2
k Ζ 时sin 、 cos
及 tan 之间有什么关系？
y y r sin tan x x cos r
同角三角函数的基本关系式
(1) sin cos 1 （平方关系） sin (2) tan （商数关系） cos
2 2
几点说明：
y sin a r
y
x a cos r
y
( )
y a tan x
y
( )
(+ ) ( )
（+ ）
( )
-
(+ )
-
(+ )
-
-
x
( )
x
x
(+ ) ( )
-
(+ )
-
符号口诀：
y
（一全正 二正弦 三正切 四余弦）
正 弦 正 切
全 正 余 弦
x
（二）同角三角函数关系式的推导
？
y tan x
sinacosatana象限符号
sinacosatana象限符号
在三角函数中，sin、cos 和 tan 分别代表正弦、余弦和正切，这些函数通常与角度相关。
这些函数的值在不同象限上有不同的符号。
在标准的直角坐标系中，象限如下：
1. 第一象限（Quadrant I）：x 和 y 都为正。
2. 第二象限（Quadrant II）：x 为负，y 为正。
3. 第三象限（Quadrant III）：x 和 y 都为负。
4. 第四象限（Quadrant IV）：x 为正，y 为负。
在这个背景下，sin、cos 和 tan 的象限符号如下：
1. sinθ（正弦）：
•在第一象限中，sinθ 为正。
•在第二象限中，sinθ 为正。
•在第三象限中，sinθ 为负。
•在第四象限中，sinθ 为负。
2. cosθ（余弦）：
•在第一象限中，cosθ 为正。
•在第二象限中，cosθ 为负。
•在第三象限中，cosθ 为负。
•在第四象限中，cosθ 为正。
3. tanθ（正切）：
•在第一象限中，tanθ 为正。
•在第二象限中，tanθ 为负。
•在第三象限中，tanθ 为正。
•在第四象限中，tanθ 为负。
这些规则是根据在直角坐标系中的位置来定义的。
注意，在不同的数学和物理上下文中，角度的测量单位也可能不同，可能是弧度（radians）或度数（degrees）。
在使用这些函数时，请确保你理解所使用的角度单位。
三角函数在各象限的符号
不存在
公式一的作用：
把求任意角的三角函数值转化为求 00到3600角的三角函数值。
例3、求下列三角函数的值： 9 0 1 sin1480 2 cos 4 11 3 tan 6
特殊角的三角函数值表
0
例2 根据条件,判断 是第几象限角
(1)sin 0且 tan 0
(2) cos tan 0
终边相同的角的同一三角函数值相等：
sin k 3600 sin 0 公式一cos k 360 cos , k Z 0 tan k 360 tan
y 3 、正切函数值 tan x
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
cos
tan 、 cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
sincostancotyrxryxxy一三角函数在各象限的符号0xxyprxyry第二四象限k0x
三角函数在各象限 的符号
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
各象限角的三角函数值的符号
( B) ( D)
sin 0 且cos 0 sin 0 且cos 0
3、在△ABC中，下列函数中可以是负值的是（ D ）
( A) sin A
( B) A BC (C ) cos tan 2 2
( D) tan A
二、填空题
25 1、计算： tan 3
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
(1) sin 280 (4)
25 sin 4
0
(2) cos473
0
742.3 ) (3) tan(
0
Hale Waihona Puke 38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
o
x
x 第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
三角函数的符号
y
正弦为正 正弦为正 其余为负
o
三角函数全 三角函数全为 正
x
正切为正 正切为正 其余为负
余弦为正 余弦为正 其余为负
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 正弦， 正切，
X<0 a的终边 y>0 P(x，y)
y
X>0 y>0 a的终边 P(x，y)
x
o
P(x，y) a的终边 X<0 y<0
P(x，y) X>0 y<0
a的终边
r>0
y
y sin a = r y sin a = r
=
y>0
r>o
y<0
>0
o
y sin a = r y sin a = r
=
y>0
r>o
x 对于第一、 余弦值 对于第一、四象限的角是正的， r 对于第二、 对于第二、三象限的角是负的。
y
y y>0 tan a = = <0 x X<0
o
y tan a = = x y tan a = = x
y>0 X>0
>0
x
y tan a = = x
y<0 X<0
y<0
>0
<0
X>0
y 正切值 对于第一、三象限的角是正的， x 对于第二、四象限的角是负的。
y<0
>0
x
=
r>o
<0
=
r>o <0
y 对于第一、 正弦值 对于第一、二象限的角是正的，对 r四象限的角是负的。 于第三、 于第三、
三角函数的值在各象限的符号
（2） 复习正弦线、余 弦线、正切线并观察三角
函数在各象限的符号. （单击右边的按钮）
连接到 几何画板
•
2. 三角函数的值在各象限的符号
y
y
y
x
x
x
O
O
O
sin a csc a
cos a sec a
tan a cot a
三角函数的值在各象限的符号（记法二）
y
sin a csc a
为正
O
tan a cot a
sec(a k 360) seca
csc (a k 360) csca
其中k Z
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值， 转化为求0o到360o角的三角函数值.
用弧度表示，公式一为：
sin(a 2k ) sina cos (a 2k ) cosa tan(a 2k ) tana cot (a 2k ) cota sec(a 2k ) seca csc(a 2k ) csca
为正
全正 x
cos a sec a
为正
•
3. 由三角函数的定义，可以知道，
•
终边相同的角的同一三角函数的值相等.
•
公式一：
sin(a k 360) sina
cos (a k 360) cosa
tan (a k 360) tana
cot (a k 360) cota
三角函数的值 在各象限的符号
•
1，y)为 a 终边上任一
点，P 点到原点的距离为 r ).
a
的正弦 sina =
y，
r
a 的余弦 cosa =
5.4三角函数在各象限的符号
解 （2）因为 27 角为第 象限角，
解 （1） 因为 54327º角为第
象限角，
故故sinsin2754327o 0， co0s，275
0，
co2s74327o tatnan54327o
0．
0， 0．
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 y
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
三 角 函 数
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
再见
y
函
++
-+
数
-o - x
sinα
+o - x
tanα
三 角 函 数
应用知识 强化练习 练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号
（1）525º；（2）-235
º；（3）
19 6
；（4）
3 4
．
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 ,
确定 是第几象限的角．
几个特殊角的三角函数
sinα>0 y
cosα<0 tanα<0
sinα>0 cosα>0 tanα>0
sinα<0 o
cosα<0 tanα>0
sinα<0 x
cosα>0 tanα<0
动脑思考 探索新知
三
任意角三角函数的符号：
y
角++
y
-+
数学中的字母符号大全
数学中的字母符号大全
数学中的字母符号有很多，以下是其中的一些常见符号：
1.三角函数相关：
(1)sin：正弦
(2)cos：余弦
(3)tan：正切
(4)cot：余切
(5)sec：正割
(6)csc：余割
2.指数和对数相关：
(6)e：自然对数的底数
(7)π：圆周率
(8)ln：自然对数
(9)log：对数（以10为底）
(10)lg：对数（以2为底）
3.集合相关：
(11)N：自然数集
(12)Z：整数集
(13)Q：有理数集
(14)R：实数集
4.代数相关：
(15)a, b, c, d等：代数式中的变量
(16)+、-、×、÷等：基本的四则运算符号
5.维度和方向相关：
(17)x, y, z等：代表不同的维度或方向
6.其他常见符号和常数：
(18)i：虚数单位，平方等于-1
(19)Σ：求和符号，用于表示一系列数的和
(20)⊥：垂直于符号，表示两线段或平面垂直
(21)∞：无穷大的符号，表示一个无限大的数或无穷多的数量
7.数学中的希腊字母：
α（阿而法）、β（贝塔）、γ（伽马）、δ（德尔塔）、ε（艾普西龙）、ζ（截塔）、η（艾塔）、θ（西塔）、ι（约塔）、κ（卡帕）、λ（兰姆达）、μ（米尤）、ν（纽）、ξ（可系）、ο（奥密克戎）、π （派）、ρ （若）、σ （西格马）、τ （套）、υ （英文或拉丁字母）、φ（斐）、χ（喜）、ψ（普西）和ω（欧米伽）等。
以上是一些常见的数学字母符号，它们在数学中有着广泛的应用。
这些符号的使用使得数学的表达更加简洁和规范。
了解三角函数值符号
三角函数值符号三角学是研究三角函数及其应用的一个数学分支．三角函数包括正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，再加上正矢，余矢，在我国总称为八线．在建立了直角坐标系以后，人们利用坐标的观点，给出了三角函数的意义．如图所思，在角α终边上任取一点P（x，y），它到原点的距离为r，则r=角α的六个三角函数的定义如下：1464年，德国数学家雷基奥蒙坦在其著作《论各种三角形》中，开始用符号“sine”表示正弦．1626年，数学家阿贝尔特·格洛德进一步把sine简化为“sin”，这就是正弦号．英国数学家根日尔，1620年在伦敦出版的著作《炮兵测量学》中，开始用符号“cosine”“cotangent”分别表示余弦、余切．到1675年，英国数学家奥屈特进一步把“cosine”“cotan- gent”简化为“cos”“cot”，它们分别是余弦号和余切号．丹麦数学家托玛斯·劳克，1591年在其著作《圆几何学》一书中，采用符号“secant”“tangent”分别表示正割和正切．到1626年，还是阿贝尔·格洛德，把“secant”“tangent”，简化为“sec”“tan”，它们分别是正割号和正切号．建国后，由于受前苏联教材的影响，把“cot”改成为“ctg”，“tan”改成为“tg”，至今仍在我国使用着．1596年，英国数学家锐梯卡斯在他的著作《宫廷乐曲》一书中，用符号“cosecant”表示余割，到1675年，英国人奥屈特把cosecant进一步简化为“csc”，这就是余割号．正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，它们都是以角为自变量，比值为函数值的函数，总称为三角函数．我国对三角早有研究．春秋战国时代，齐国有一部叫《考工记》的书，书中就记载过几种特殊角的名称，比如把90度的角叫做“矩”，45度的角叫做“宣”，135度角叫做“罄折”等．公元3世纪我国著名数学家刘徽在计算圆内接正六边形的边长及13世纪数学家赵友钦在计算圆内接正方形的边长时，实际上已求得了某些特殊的正弦值．我国古代历法中，根据竿的不同影长来确定季节的方法，实际上已构成了一份余切值表．18世纪末期，数学家欧拉把三角函数看成是线段比的新观点，使三角学无论在理论上，还是应用方面都得到了较大的发展．欧拉本人非常欣赏前人创用的三角函数符号，由于他的大力倡导，表示三角函数的符号终于得到了公认．。
2、三角函数值在各象限的符号
y
x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
o
x
y 3 、正切函数值 tan x
y 第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x
三角函数值在各象 限的符号
复习旧知
任意角三角函数的定义：
在角α的终边上任取一点P(x,y),点P到原点的距离记作r，
有：r | OP |
x2 y 2 r 0
x r , tan α y x
那么我们定义
sin α
y r
, cos α
新课讲授
三角函数值在各象限内的符号：
y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
y
y 第三象限：xБайду номын сангаас 0, y 0, 故 为正值； x
第四象限：x 0, y 0, 故 y 为负值； x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
口诀：
cos
tan 、 cot
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”
例题赏析
例1 、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
y 1 、正弦函数值 sin r
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r
y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r