命题逻辑小结与例题
逻辑联结词
2、张三既是三好学生，又是优秀共青团员。 判断命题类型：重在结构分析,含有 “或”、“且”、“非”的命题不一定是 复合命题；不含“或”、“且”、“非” 的命题也可能是复合命题，当逻辑联结词 处于缺省状态，要分析结构搞清含义，如： 同时，全都，至少有…
例5：将下列条件命题看成是“复合命题”的形式 指出构成它的“ 简单条件命题”及构成形式。 1 。△ABC是等腰直角三角形。
A：是“p或q”形式命题 B：是“非p”形式的命 题 C：是“p且q”形式的命题 D：不是复合命题
分析：“实数的平方是正数”不能判断真假； “实数的平方是零”也不能判断真假。故选 D
注意：原题的题干虽是真命题，但不是复合命题。 不能用真值表来判断。类似的你能举出来吗？
例4：判断下列命题的类型：
1、方程x2-5x+6的根是x=2或x=3。
注意：原题的题干虽是真命题，但不是复合命题。 不能用真值表来判断。类似的你能举出来吗？
例4：将下列条件命题看成是“复合命题”的形式 指出构成它的“ 简单条件命题”及构成形式。 1 。△ABC是等腰直角三角形。
2 。 x=3
x=2 3 。 x2+1≠0 4 。xy = 0 这些都是条件命题其真假需条件才能确定。 不能用真值表判断真假。
注意：构成复合命题的两个简单命题
之间不一定有关联。
例2：分别指出下列复合命题的形式及构成 它的简单命题；并判断真假。
1 。5 既大于3 又是有理数。
2 。直角不等于900 。 3 。垂直于弦的直径平分这弦且平分弦所对的两条弧。 4 。0 .02 和 –3 都是有理数。 5。 x=3,x=2 是方程x2-5x+6=0的两根。 一般地：若要同时满足则属于“p且q”型 若是并列关系则属于“p或q”型 判断真假应严格按真值表判定
简单的逻辑连接词(很好用)
（2）2是素数且3是素数. （真）
探究（二）：逻辑联结词“或”
命题(3)是由命
思考 下列三个命题间有什么关系？ 题(1)(2)使用联
（1）27是7的倍数；
结词“或”联 结得到的新命
（2）27是9的倍数；
题.
（3）27是7的倍数 或 是9的倍数。
一般地，用逻辑联结词“ ”把命题p和命题q联结起来,
例2 写出下列命题的否定，并判断
它们的真假：
（1）p：y＝sinx是周期函数；
（2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集.
（1）﹁p：y＝sinx不是周期函数.
假命题.
（2）﹁p：3≥2.
真命题.
（3）﹁p：空集不是集合A的子集. 假命题
例3 已知p：函数y＝ax在R上是减函 数，q：不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R， 若﹁(p∧q)和p∨q都是真命题，求a的取
p与﹁p必有一个是真命题， 另一个是假命题.
பைடு நூலகம்真假相反
例5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p:y=sinx 是周期函数；
解： p ： y=sinx不是周期函数。
假
（2）p:3 < 2
解： p ： 3≥2.
真
(3) p:空集是集合A的子集
解： p ： 空集不是集合A的子集。 假
符号“∧”与“∩”开口都是向下
思考4：在如图所示的串联电路中，开
关p、q处于什么状态时灯泡发亮？
pq
同真为真
其余为假
（一假必假)
思考5：如果把上述电路图中开关p、q 的闭合与断开，分别对应命题p、q的真 与假，那么灯泡发亮与命题p∧q的真假 有什么关系？
高中数学思想与逻辑11种数学思想方法总结与例题讲解.doc
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1 x 4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【分析】于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为.小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
命题逻辑的推理理论
前提引入 ①化简 ①化简 前提引入 ②④假言推理 前提引入 ③⑥假言推理 ⑤⑦析取三段论
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附加前提法
有时推理旳形式构造具有如下形式 ： 前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
可将结论中旳前件也作为推理旳前提，使结论只为B。 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
当推理中包括旳命题变项较多时，上述三种措施演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B旳正确推理应该给出严谨 旳证明。
证明是一种描述推理过程旳命题公式序列，其中旳 每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理 规则得到旳结论（中间结论或推理中旳结论）。
要构造出严谨旳证明就必须在形式系统中进行。
31
例题
（2） 形式构造：
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
（3）证明：用附加前提证明法
①s
附加前提引入
② ┐s∨p
前提引入
③p
①②析取三段论
④ (p∧q)→r
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
⑦r
④⑥假言推理
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归谬法（反证法）
有时推理旳形式构造具有如下形式：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：B
只要不出现(3)中旳情况，推理就是正确旳，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中旳情况。
推理正确，并不能确保结论B一定为真。
7
例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
逻辑判断知识点总结
逻辑判断知识点总结逻辑判断：注意复习逻辑判断要分析历年真题中的各种题型比例重点练习。
推理类虽然知识点多，但是题不一定多。
论证类虽然知识点少但考的不少。
要根据历年题型分布确定重点。
┏1、推理：翻译推理、真假推理、分析推理、归纳推理│结构：判断推理：││└2、论证：加强论证、削弱论证■翻译推理：第一步：翻译（成败关键）1、充分条件（前推后）p---→Q。
---P是Q的充分条件满足p，必然Q；不满足p，不必然Q，则p是Q的充分条件。
特点词：......必须.......如果.....那么.....所有......都......只要.....就............是........为了....一定.....可体现因果关系的句子（无连接词形式）例：人活着必须呼吸人活着>>必须呼吸；人不活着>>>不一定呼吸2、必要条件（后推前）p←Q。
如果没有事物情况p，则必然没有事物情况Q；如果有事物情况p而未必有事物情况Q，p就是Q的必要条件。
特点词：只有.....才............才......除非.....否则..... 除非P否则不Q Q--->pp是Q的必要条件■◆谁是条件谁在后边1、p的基础是Q 。
p--->Q2、p是Q的基础。
Q---->p例：好好学习→考上大学好好学习是考大学的必要条件。
或者p ，或者Q -p-->Q ；-Q---->p要想考上大学必须好好学习---------------------------------------▲单句判断：●几种关系：所有的（凡是）S都是P S--->P所有的（凡是）S不是P S---->-P没有S是P P--->-S----等价--S--->-P没有S不是P S--->P不是S都是P -S--->P不是S都不是P -S--->-p ===>P--->S◆否定关系○并非所有的A都是 B = 有的A不是B○并非有的A是 B = 所有的A都不是B注意：出现"并非"时候“所有的”改“有的”, “是“改”不是“举例：并非所有爱吃辣的人都是四川人===有的四川人不爱吃辣的。
经典的逻辑思维训练题及答案
经典的逻辑思维训练题及答案当这两个导游做裁判，看张三、李四和王五三人谁抛石头抛得远时，他们给出不同的结论：一个说：“张三第一、李四第二、王五第三”另一个说：“王五第一、张三第二、李四第三，”那么两个导游各是哪村的?三人名次如何?(写出具体推理过程)二、有张三，李四两个人。
张三只说假话，不说真话;李四只说真话，不说假话。
他们回答问题时只通过点头和摇头来表示，并不说话。
有一天，一个学者面对两条路X和Y，其中一条通向首都，另一条通向小镇。
他面前站着张三和李四其中的一个人，但他不知道是张三还是李四。
也不知道“点头”是表示“是”，还是表示“否”。
他只须问一个问题，就可以确定哪条路通向首都。
这个问题应该如何问?(写出具体推理过程)第一题;两导游的构成只能是：甲村+甲村;乙村+乙村;丙村+丙村;甲村+乙村;甲村+丙村;乙村+丙村;六种结构1.很容易排除：甲村+甲村;甲村+乙村;乙村+丙村3.若两人都是丙村的，他们第一句说的是真话，则后面说的是假话，所以三人排名为：李，王，张;4.若为甲村+丙村结构，丙第一次说了谎话，第二次应该说实话，甲是一直说实话的，所以两人对三人名次的答案应该相同，结果是不相同，所以不为甲村+丙村结构;所以，三人排名很容易确定，分别为：李，王，张两导游可能都来自丙村，也可能都来自乙村。
若三人的真实排名是李第一，王第二，张第三，则两导游只能判断可能来自丙村，也可能来自乙村;若真实排名与推断不符合，则两导游来自丙村。
第二题：很简单他只要站在任何一条路上，对着其中一个人问：“如果我问他(另一个人)，这条路不通往首都，他会怎么回答?”若两人都都摇头，就往这条路走，如果都点头，就往另外一条走。
训练逻辑思维训练题1.哪个数最小?有A、B、C、D四个数，它们分别有以下关系：A、B之和大于C、D之和，A、D之和大于B、C之和，B、D之和大于A、C之和。
请问，你可以从这些条件中知道这四个数中那个数最小吗?训练逻辑思维训练题2.做题。
3-命题逻辑-2
判定蕴含----例题
证明 ¬ P∧(P∨Q)Q
方法三：（真值表法）
P T T F F
Q ¬ P P∨Q ¬ P∧(P∨Q) T F T F F F T F T T T T F T F F
¬ P∧(P∨Q)→Q T T T T
判定蕴含----例题
证明 ¬ P∧(P∨Q)Q
方法四：（公式推导）
根据P→Q的真值表 P T T F F Q T F T F P→Q T F T T
方法一： 假定前件P为真，检查此 要想使P→Q取真， 情况下的Q是否也为真， 需要排除第二种情况 如果Q也是真，则说明 方法二： P→Q取真， P→Q是重 假定后件Q为假，检查此 言式，从而有PQ 情况下的P是否有可能为 真，如果P不可能是真， 则说明P→Q取真， P→Q是重言式，从而有 PQ
蕴含的性质
证明蕴含的传递性 若AB， BC，则AC
证明
∵ AB， BC ∴A→B永真，B→C永真 A→C¬A∨C(¬A∨C)∨(¬B∧B) (¬A∨C∨¬B)∧(¬A∨C∨B) (¬A∨(¬B∨C))∧((¬A∨B)∨C) (¬A∨(B→C))∧((A→B)∨C) (¬A∨T)∧(T∨C) T∨TT 即A→C永真，∴AC
(¬ A∨¬ B∨C)∧(¬ B∨C∨D) (¬ B∨C∨¬ A)∧(¬ B∨C∨D) (¬ B∨C)∨(¬ A∧D) 右边 ¬ (B∧(D→A))∨C ¬ B∨¬ (¬ D∨A))∨C ¬ B∨(D∧¬ A))∨C (¬ B∨C)∨(¬ A∧D) 左边
重言式----定理
命题逻辑的等式推理
推理理论
推理是利用一些推理规则由前提推出结论的思维过程。 在命题逻辑中，前提是已知的命题公式，结论是从前提
高中数学第一章常用逻辑用语12基本逻辑联结词122“非”(否定)素材新人教B版1-1
1.2.2“非”（否定）课堂探究探究一“⌝p”形式的命题及其真假判断“非”是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．U A＝{x∈U|⌝(x∈A)}＝{x∈U|x A}．“p”与“⌝p”真假不同，一个为真，另一个必定为假，它们互为否定，且有⌝(⌝p)＝p.【典型例题1】写出下列命题p的否定，并判断其真假：(1)p：周期函数都是三角函数；(2)p：偶函数的图象关于y轴对称；(3)p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1.思路分析：要写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．解：(1)⌝p：周期函数不都是三角函数．命题p是假命题，⌝p是真命题．(2)⌝p：偶函数的图象不关于y轴对称，命题p是真命题，⌝p是假命题．(3)⌝p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.命题p是真命题，⌝p是假命题．规律小结下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.解答存在性命题与全称命题的否定问题：(1)改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x)成立”改为“⌝p(x)成立”．【典型例题2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∃x∈R，x2＋1＜0；(2)q ：每一个对角互补的四边形有外接圆； (3)r ：有些菱形的对角线互相垂直； (4)s ：所有能被3整除的整数是奇数．思路分析：命题p ，r 是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可． 命题q ，s 是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可． 解：(1) ⌝p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥0.(真)(2)⌝q ：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假) (3)⌝r ：所有菱形的对角线不互相垂直．(假) (4)⌝s ：有些能被3整除的整数不是奇数．(真) 探究三易错辨析 易错点 否定不全面【典型例题3】 若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则实数m 的取值范围是__________．错解：由于“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＞m ”为真命题．令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数，在⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2上是减函数，且f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以f (x )min＝1.故有m ＜1，即实数m 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)错因分析：原命题的否定应为“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”，漏掉了等号成立的情况，导致m 的范围被缩小．正解：令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上为减函数．由于f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1， 所以1≤f (x )≤2.由于“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题， 则其否定“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，所以m≤f(x)min＝1. 答案：(－∞，1]。
中职第三册教案：命题逻辑与条件判断(第二课时)
命题逻辑与条件判断（2）
课型
新授
学时
1
教学目标
1、理解命题逻辑的几个常用联结词（非、且、或）的意义
2、能将一些简单的命题用联结词（非、且、或）廉洁，并判断这些命题公式的真假
教学重点
命题逻辑的几个常用联结词（非、且、或）的意义
教学难点
命题逻辑的几个常用联结词（非、且、或）的意义
教学方法
讲探练结合
学习方法
例2：写出下列各组命题构成的“p且q”形式的复合命题，并确定其真值。
（1）p:雪是黑的；q:太阳从东方升起
（2）p:8=3+4 q:3﹥4
（3）p:60是3的倍数q:60是5的倍数
【练习巩固】
课后练习T1（1）（2）（3）
T2（p∧q）
【课堂总结】
本课时主要学习了命题逻辑联结词非、且、或，要掌握命题p与¬p的关系、p∧q的真值表、p∨q的真值表
一般地，设P是一个命题，则p的非（又称为否定）是一个新的命题，记作:¬p
读作:“非P”（或“P的否定”）
命题p与¬p的关系如表所示：
p
¬p
T真
F假
F假
T真
小结：非P的真值与P的真值相反。
（1）设p为真，则¬p为假
（2）设p为假，则¬p为真
例如，“命题p：南京是江苏省省会”是一个真命题，则“Байду номын сангаасp：南京不是江苏省省会”是一个假命题。
（2）在其他情况下，p且q都为假。
3、或
一般的设p和q是两个命题，用逻辑联结词“或”联结p、q，即得到一个新的命题p或q，记作p∨q,
读作：“p或q”。
p∨q的真值表如下表：
p
q
pvq
指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式：
例1. 判断下列句子是否是命题，且请说明理由：⑴三角形ABC和三角形DEF．⑵一个三角形中不会有两个钝角．⑶1、3、5这三个数全部是偶数．分析：命题是属于逻辑学范畴的名词，命题是判断一件事情的句子．命题有以下特征：⑴命题是一个完整的语句，它必须具有“判断”的作用，判断是指对某一事物的肯定（是什么）或否定（不是什么），也可对某一事态表达是对或是错的意向．⑵命题是一种表现思想的形式逻辑，是对客观现实对象和客观现实现象的表达．解：⑴不是命题，语句不完整．⑵是命题，且是一句完整的否定句．⑶是命题，且是一句完整的肯定句．例2. 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三边对应相等的两个三角形全等．（2）在同一个三角形中，等角对等边．（3）对顶角相等．（4）角平分线上的点到角的两边距离相等．分析：找出命题的条件和结论是理解命题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时要注意把省略的词或句子添加上去．⑴“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．⑵同学们可能会说条件是“在同一个三角形中”，结论是“等角对等边”．其实“等角对等边”的含义是指同一个三角形中有两个角相等即其所对的两条边相等，试问：一个三角形满足什么条件时，有两条边相等？这个命题的条件是什么？结论是什么？值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在同一个三角形中”，在改写时不能遗漏．这个命题可以改写成“在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．⑶注意：对顶角指两个角的位置关系，相等指两个角的度数相等（即数量关系）．把“两个角”添补上去，写成“是对顶角的两个角相等”，这样不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．⑷“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边的距离相等”．例3. 已知：如图，D是⊿ABC边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．求证：AE＝CE．分析：利用三角形全等的公理及定理，证明⊿ADE≌⊿CFE，从而证得AE＝CE．证明：因为FC∥AB（已知）所以∠A ＝∠ACF （两直线平行，内错角相等） ∠F ＝∠ADF （两直线平行，内错角相等） 在⊿ADE 与⊿CFE 中 ∠A ＝∠ACF ∠F ＝∠ADF （已证） DE ＝FE （已知） ⎧⎪⎨⎪⎩所以⊿ADE ≌⊿CFE （AAS ）所以AE ＝CE （全等三角形的对应边相等）例4. 已知：如图，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ．求证：CB ＝CD ．分析：解具体问题时要突出边角转换的环节，要证CB ＝CD ，需构造一个以 CB 、CD 为腰的等腰三角形，连结BD ，需证∠CBD ＝∠CDB ，但已知∠B ＝∠D ，由AB ＝AD 可证∠ABD ＝∠ADB ，从而证得∠CDB ＝∠CBD ，推出CB ＝CD ．证明：连结BD ，在中，（已知）（等边对等角）（已知）即（等角对等边）例5. 如图，AE B D ，，，在同一直线上，在ABC △与DEF △中，AB DE ，AC DF =，AC DF ∥．AB DEF（1）求证：ABC DEF △≌△；（2）你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）．（1）证明：AC DF Q ∥，A D ∴∠=∠，在ABC △和DEF △中AB DE A D AC DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，(SAS)ABC DEF ∴△≌△（2）答案不惟一，如：AE DB =，C F ∠=∠，BC EF ∥等．例6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE ＝DF ，并说明理由．解：需添加的条件是 ．理由是：___________________________．解：需添加的条件是：BD ＝CD ，或BE ＝CF ． 添加BD ＝CD 的理由：如图，∵ AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFD ，CD BD =Θ∴ △BDE ≌△CDF （ASA ）． ∴ DE ＝DF ． 添加BE ＝CF 的理由： 如图，∵ AB ＝AC ， ∴ ∠B ＝∠C ．∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ． 又∵ BE ＝CF ， ∴ △BDE ≌△CDF （ASA ）． ∴DE ＝DF ．例7. 如图，AB AD =，AC AE =，12∠=∠，求证：BC DE =12ABDCE证明：12=Q ∠∠ 12DAC DAC ∴+=+∠∠∠∠即：BAC DAE =∠∠又AB AD =Q ，AC AE = ABC ADE ∴△≌△（SAS ） BC DE ∴=【本节小结】命题与真、假命题的关系．抓住命题的两部分构成，判断一些语句是否为命题．命题中的题设条件，有两个或两个以上，写“如果”时应写全面判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，数学问题要经过证明．【模拟试题】（答题时间：60分钟）★一、填空题1、把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是： 如果_________ ，那么__________ ．2、命题“直角都相等”的题设是________ ，结论是____________ ．3、写出下列假命题的反例：①有两个角是锐角的三角形是锐角三角形． ． ②相等的角是对顶角． ．4、在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝72°，那么与∠A 相邻的一个外角等于______．5、在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝110°，∠C ＝2∠A ，则∠A ＝________，∠B ＝_______．6、在直角三角形中，两个锐角的差为20°，则这两个锐角的度数分别为_____．7、△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝∠C ，则∠B ＝_______°．8、如图，AB ∥CD ，∠A ＝27°，∠C ＝56°．则∠E ＝ 度．★二、选择题1、下列语句中，属于命题的是……………………………………………………（ ） A. 直线AB 和CD 垂直吗？ B. 过线段AB 的中点C 画AB 的垂线C. 同旁内角不互补，两直线不平行D. 连结A、B两点2、下列命题中，属于假命题的是…………………………………………………（）A. 若a⊥c，b⊥c，则a⊥bB. 若a∥b，b∥c，则a∥cC. 若a⊥c，b⊥c，则a∥bD. 若a⊥c，b∥a，则b⊥c3、下列四个命题中，属于真命题的是……………………………………………（）A. 互补的两角必有一条公共边B. 同旁内角互补C. 同位角不相等，两直线不平行D. 一个角的补角大于这个角4、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是…………………（）A. 垂直B. 两条直线C. 同一条直线D. 两条直线垂直于同一条直线5、已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是………………（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6、若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A. 4：3：2B. 3：2：4C. 5：3：1D. 3：1：57、若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为………………………（）A. 55°B. 70°C. 55°或70°D. 以上答案都不对8、如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连结BE，CD．若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是……………………………………………（）A. ∠AEB>∠ADCB. ∠AEB＝∠ADCC. ∠AEB<∠ADCD. 不能确定9、下列条件中，不能成为全等三角形的是………………………………………（）A. 有两角及一边对应相等的两个三角形B. 有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形C. 有一条边对应相等的两个等边三角形D. 有两边及一角对应相等的两个三角形10、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是………（）A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不能确定★★三、解答题1、用“如果……那么……”改写命题，并指出题设与结论．①有三个角是直角的四边形是矩形．②同角的补角相等．③全等三角形的对应边相等．④三角形内角和等于180°．⑤等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线．2、如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A＝27°，∠D＝20°，求∠ACB与∠B的度数．3、如图，∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，求∠BEC的度数．4、如图，AB＝AE，AC＝AD，要使EC＝BD，需添加一个什么条件？请说明理由．5、如图，⊿ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，过点D的直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F．求证：EF＝BE＋CF．6、如图，AD是∠BAC的角平分线，E是AB边上一点，AE＝AC，EF∥BC交AC于点F．求证：CE平分∠DEF．7、如图，AD是∠BAC的角平分线，AB＝AD，E是AD延长线上一点，∠1＝∠3．求证：DC＝BE．几何证明如果那么【试题答案】一、1. 两个角是相等的角，这两个角的补角相等 2. 两个角都是直角，这两个角相等3. ①在ABC ∆中，︒=∠︒=∠20B ,10A ，则ABC ∆是钝角三角形而不是锐角三角形 ②在ABC ∆中，︒=∠=∠70B A ，则B A ∠∠,不是对顶角4. 117°5. 35° 75°6. 55° 35°7. 60°8. 29°二、1. C 2. A 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. B 9. D 10. C三、1. 略2. ︒=∠110ACB ，︒=∠43B3. ︒=∠125BEC4. ,EAD BAC ∠=∠使BAD ∆与CAE ∆全等，从而得到BD EC =5. 证CF DF EB ED ==,6. 先证,DC DE =于是,DEC DCE ∠=∠易证FEC DCE ∠=∠7. 证ADC ABE ∆≅∆。
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命题逻辑 小结与例题一、命题与联结词 1、基本概念 命题与真值；简单命题和复合命题； 命题常项和变项；五个联结词¬, ∧, ∨, →, ↔ ， 真值表。
2、应用。
(1) 选择适当的联结词将命题符号化。
(2) 判断命题(简单或复合)的真假。
二、命题公式及分类 1、基本概念 命题公式的定义；公式的赋值； 重言式，矛盾式，可满足式。
2、应用 (1) 求给定公式的真值表，及成真赋值， 成假赋值。
(2) 用真值表判断给定公式的类型。
三、等值演算 1、基本概念 两个公式等值的含义；等值演算。
2、应用 (1) 灵活运用24个重要等值式。
(2) 用等值演算判断公式的类型及两个公式 是否等值(也可用真值表)。
五、范式 1、基本概念 简单析取式，简单合取式； 析取范式，合取范式；极小项，极大项； 主析取范式，主合取范式。
、应用 求给定公式的主析取范式和主合取范式。
(2) 用主析取范式或主合取范式判断两公式 是否等值。
(3) 用主析取范式或主合取范式求公式的成真 或成假赋值。
(4) 用主析取范式或主合取范式判断公式的类型。
2 (1)1六、推理理论 1、基本概念 推理，推理规则，推理定律；构造证明法。
2、应用 真值表法 (1) 判断推理 是否正确： 等值演算法 主析取范式法(主合取范式法)。
(2) 用8条推理定律构造推理的证明。
例1、判断下列各语句中，命题，简单命题， 复合命题，真命题，假命题，真值待定的 命题各有哪些？ (1) 2 x + 3 > 0 。
(2) 2是素数或是合数。
(3) 若 2 + 2 = 4，则5是偶数。
(4) 只有4是奇数，5才能被3整除。
(5) 明年5月1日是晴天。
例1、判断下列各语句中，命题，简单命题， 复合命题，真命题，假命题，真值待定的 命题各有哪些？ 解：命题有(2)－(5)， 其中(5)是简单命题，(2)，(3)，(4)是复合命题， (2)，(4)为真命题，(3)为假命题，(5)真值待定。
例2、 设 p、q 的真值为0， r 、s 的真值为1， 试求下列命题的真值。
解： p ∨ ( q ∨ r )⇔ 0 ∨ (0 ∨ 1)(1) p ∨ (q ∨ r )⇔1例2、 设 p、q 的真值为0， r 、s 的真值为1， 试求下列命题的真值。
解：( p ↔ q) ∧ (¬r ∨ s)⇔ (0 ↔ 0) ∧ (¬1 ∨ 1) ⇔ 1 ∧ (0 ∨ 1) ⇔ 1∧1 ⇔1(2) ( p ↔ q ) ∧ (¬r ∨ s )例2、 设 p、q 的真值为0， r 、s 的真值为1， 试求下列命题的真值。
解：( p ∧ (r ∨ s)) → (( p ∨ q) ∧ (r ∧ s))⇔ (0 ∧ (1 ∨ 1)) → ((0 ∨ 0) ∧ (1 ∧ 1)) ⇔0→0⇔1(3) ( p ∧ ( r ∨ s )) → (( p ∨ q ) ∧ ( r ∧ s ))2例2、 设 p、q 的真值为0， r 、s 的真值为1， 试求下列命题的真值。
解：¬( p ∨ (q → (r ∧ ¬p))) → (r ∨ ¬s)⇔ ¬(0 ∨ (0 → (1 ∧ ¬0))) → (1 ∨ ¬1)⇔ 0 →1(4) ¬( p ∨ (q → ( r ∧ ¬p ))) → ( r ∨ ¬s )例3、简化下列命题公式。
解：(( p → q) ↔ (¬q → ¬p)) ∧ r⇔ (( p → q ) ↔ ( p → q )) ∧ r ⇔ 1∧ r(1) (( p → q ) ↔ (¬q → ¬p )) ∧ r⇔r⇔1例3、简化下列命题公式。
解：p ∨ (¬p ∧ (q ∨ ¬q))⇔ p ∨ (¬p ∧ 1)(2) p ∨ (¬p ∧ ( q ∨ ¬q ))例3、简化下列命题公式。
⇔ ( p ∨ ¬p ) ∧ (q ∧ r )解：( p ∧ q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ q ∧ r )⇔ 1 ∧ (q ∧ r ) ⇔ q∧r(3) ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ q ∧ r )⇔ p ∨ ¬p ⇔1例3、简化下列命题公式。
解：(( p → q) ∧ p ∧ r ) ∨ r⇔r(4) (( p → q ) ∧ p ∧ r ) ∨ r例4、判断下列各命题公式，哪些是重言式， 矛盾式，可满足式？(1) ( p ∧ q ) ∧ r (2) p → ( p ∨ q ) (3) ¬ ( ( ( p → q ) → p ) ↔ q )解：可用真值表法，等值演算法，主析取(主合取) 范式等方法判断公式的类型， (2)为重言式，(1)，(3)均为可满足式。
3例5、求命题公式 (¬p → q) → (¬q ∨ p) 的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：先求主析取范式(¬ p → q ) → (¬ q ∨ p )例5、求命题公式 (¬p → q) → (¬q ∨ p) 的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：先求主析取范式(¬ p → q ) → (¬ q ∨ p )⇔ ¬( p ∨ q ) ∨ ¬q ∨ p ⇔ (¬ p ∧ ¬q ) ∨ ( ( p ∨ ¬p ) ∧ ¬q ) ∨ ( p ∧ ( q ∨ ¬q ) )⇔ (¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( p ∧ q )⇔ m0 ∨ m2 ∨ m3故主合取范式为(¬p → q) → (¬q ∨ p)⇔ M1⇔ ∑ (0, 2,3)例5、求命题公式 (¬p → q) → (¬q ∨ p) 的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：成真赋值为极小项角码对应的二进制数， 即00，10，11。
成假赋值为极大项角码对应的二进制数， 即01。
例 6、 设 A = ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r ) ∨ ¬ p (1) 求 A 的真值表。
(2) 求 A 的主析取范式、主合取范式。
解：例 6、 设 A = ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r ) ∨ ¬ p (2) 求 A 的主析取范式、主合取范式。
解：A ⇔ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r )∨ (¬ p ∧ q ∧ ¬ r ) ∨ ( ¬ p ∧ q ∧ r )∨ ( p ∧ ¬q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ ∑ (0,1, 2,3,5, 7)4例 6、 设 A = ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r ) ∨ ¬ p (2) 求 A 的主析取范式、主合取范式。
解： A ⇔ ( ¬ p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ r )⇔ M4 ∧ M6⇔ ∏ (4, 6)例7、写出对应下面推理的证明。
有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。
如果 红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；或者白 队不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。
因此，如果白队第一，那么蓝队第四。
证明： 证明：设 p ：红队第三， q ：黄队第二， r ：蓝队第四， s ：白队第一。
前提： p → (q → r ), ¬s ∨ p, q 结论：s → r前提： p → (q → r ), ¬s ∨ p, q 结论：s → r ① ¬s ∨ p 前提引入 附加前提引入 ②s ①②析取三段论 ③p 前提引入 ④ p → (q → r ) ③④假言推理 ⑤ q→r前提： p → (q → r ), ¬s ∨ p, q 结论：s → r ⑤ q→r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑤⑥假言推理 ⑦r 由附加前提证明法知推理正确。
例8、一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： (1) 甲或乙盗窃了录音机； (2) 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能 发生在午夜前； (3) 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭； (4) 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前； (5) 午夜时屋里灯光灭了。
问是谁盗窃了录音机。
解：设 p ：甲盗窃了录音机。
q：乙盗窃了录音机。
r ：作案时间发生在午夜前。
s ：乙的证词正确。
t：午夜灯光灭了。
前提： p ∨ q ， p → ¬r ，s → ¬t， ¬s → r ， t 结论：p 或者 q5¬s → r， t s → ¬t， 前提： p ∨ q ， p → ¬r ， ①t 前提引入 ② s → ¬t 前提引入 ③ ¬s ①②拒取式 前提引入 ④ ¬s → r ⑤r ③④假言推理前提： p ∨ q ， p → ¬r ，s → t ，¬s → r，¬t ⑤r ③④假言推理 p → ¬ r ⑥ 前提引入 ⑦ ¬p ⑤⑥拒取式 ⑧ p∨q 前提引入 ⑨q ⑦⑧析取三段论 所以是乙盗窃了录音机。
6。