电阻电路的等效变换2
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第二章 电阻电路的等效变换
＋
i
＋
… i
＋ －
u
－
K=1，2 ， i
＋ －
u
Reg
u
G1
in Gn
u
－
Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
2
⑤
i′2
1
1
R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
3
i3 2
1
1
2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
i
＋
… i
＋ －
u
－
K=1，2 ， i
＋ －
u
Reg
u
G1
in Gn
u
－
Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
2
⑤
i′2
1
1
R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
3
i3 2
1
1
2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
第二章电阻电路的等效变换
ab
20 100 60
120 60
ab 20 100
100 Rab＝70
ab
20 100 60
40
例2 求: Rab
5
15 6
a 20
b
缩短无
电阻支路
7
6
Rab＝10
4 a b
15
10
20
5
a
15 b
7 6 6 4 a
b
15 7
3
例6
求: Rab c
对称电路 c、d等电位
R
R
R
c R
a R
断路 a
+a
2 +
U
6V –
(a)
b
3 9V +
(b)
解: a
+
+a U b
a +
3A 2 U
3A 3 U
b
(a)
b
(b)
例1: 求下列各电源等效变换
+a
3A 1 U
解:
(c)
b
a
+
1 +
U
3V –
(c)
b
+a
2A 5 U
(d) b
a
+
5 -
U
10V +
(d)
b
例2: 试用电压源与电流源等效变换的方法，计算2
2.1 概述
1 一些概念
1）电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路。
2）等效的概念：
若结构、元件参数不相同的两部分电路N1、N2，具 有相同的电压、电流关系，则称它们彼此等效。
i
02第二章电阻电路的等效变换
i1
i1
'
1 i12
'
R1
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3 i31
'
'
3
i2
2
i23
'
i2
'
2
3
（a）
（b）
设在它们对应端子间有相同的电压u12、 u23 、 u31。 如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相 ' ' ' 等。应当有： i1 i1 , i2 i2 , i3 i3
解：
Req 40 // 40 30 // 30 // 30
40 30 30 2 3
40
30
Req
40
30
30
30
例4.
100 的电阻与120V的电源串联，为了使电阻上的功率不超过 100W，至少应再串入多大的电阻R？电阻R上消耗的功率是多少？
i
120V
R
解： 未接电阻R时 2 120 p 144 100W 100
KVL
Req R1 R2 .... Rn RK K 1
n
电阻 Req 称串联电阻的等效电阻。 等效电阻与这些串联电阻所引起的作用完全一样。 这种替代称等效替代。
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 功率关系
p1 R1 i
2
p2 R2 i
2
.....
2
2
pn Rn i
（1）
i3 i31 i23
' ' '
1
i1
R1
对Y ，端子间的电压分别为：
i1
'
1 i12
'
R1
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3 i31
'
'
3
i2
2
i23
'
i2
'
2
3
（a）
（b）
设在它们对应端子间有相同的电压u12、 u23 、 u31。 如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相 ' ' ' 等。应当有： i1 i1 , i2 i2 , i3 i3
解：
Req 40 // 40 30 // 30 // 30
40 30 30 2 3
40
30
Req
40
30
30
30
例4.
100 的电阻与120V的电源串联，为了使电阻上的功率不超过 100W，至少应再串入多大的电阻R？电阻R上消耗的功率是多少？
i
120V
R
解： 未接电阻R时 2 120 p 144 100W 100
KVL
Req R1 R2 .... Rn RK K 1
n
电阻 Req 称串联电阻的等效电阻。 等效电阻与这些串联电阻所引起的作用完全一样。 这种替代称等效替代。
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 功率关系
p1 R1 i
2
p2 R2 i
2
.....
2
2
pn Rn i
（1）
i3 i31 i23
' ' '
1
i1
R1
对Y ，端子间的电压分别为：
二章电阻电路等效变换
2、理想电流源
（1）并联： 所连接的各电流源端为同一电压。
保持端口电流、电 压相同的条件下，图
(a)等效为图(b)。等效 is1
变换式：
i
is2
is
is = is1 - is2
(a)
(b)
（2）串联：只有电流数值、方向完全相同的理想电流 源才可串联。
1
二、实际电源模型：
1、实际电压源模型
（1）伏安关系：
i=1.5A Uab=6(i-1)=3V R=Uab/1=3Ω
13
四、三个电阻的星形、三角形连接及等效变换 1、电阻的星形、三角形连接
(a) 星形连接（T形、Y形）
(b) 三角形连接（形、形）
14
2、从星形连接变换为三角形连接
R1
R3
R2
R31 R12 R23
变换式：R12
R1
R2
R1R2 R3
∴i3=i2/3 KCL: i2+i3=I
∴i3=i/4 ∴u=3i+2i = 5i
- 2i0 +
i0
i1 i2
i3
R= u/I=5Ω
21
二、含受控源简单电路的分析：
基本分析思想：运用等效概念将含受控源电路化简、 变换为只有一个单回路或一个独立节点的最简形式， 然后进行分析计算。 例1：求电压u、电流i。
R23
R2
R3
R2 R3 R1
15
3、从三角形连接变换为星形连接
R1
R3
R2
变换式：R1
R12
R12 R31 R23
R31
R31 R12 R23
R2
R12
R23 R23
R31
（1）并联： 所连接的各电流源端为同一电压。
保持端口电流、电 压相同的条件下，图
(a)等效为图(b)。等效 is1
变换式：
i
is2
is
is = is1 - is2
(a)
(b)
（2）串联：只有电流数值、方向完全相同的理想电流 源才可串联。
1
二、实际电源模型：
1、实际电压源模型
（1）伏安关系：
i=1.5A Uab=6(i-1)=3V R=Uab/1=3Ω
13
四、三个电阻的星形、三角形连接及等效变换 1、电阻的星形、三角形连接
(a) 星形连接（T形、Y形）
(b) 三角形连接（形、形）
14
2、从星形连接变换为三角形连接
R1
R3
R2
R31 R12 R23
变换式：R12
R1
R2
R1R2 R3
∴i3=i2/3 KCL: i2+i3=I
∴i3=i/4 ∴u=3i+2i = 5i
- 2i0 +
i0
i1 i2
i3
R= u/I=5Ω
21
二、含受控源简单电路的分析：
基本分析思想：运用等效概念将含受控源电路化简、 变换为只有一个单回路或一个独立节点的最简形式， 然后进行分析计算。 例1：求电压u、电流i。
R23
R2
R3
R2 R3 R1
15
3、从三角形连接变换为星形连接
R1
R3
R2
变换式：R1
R12
R12 R31 R23
R31
R31 R12 R23
R2
R12
R23 R23
R31
第二章 电阻电路的等效变换
Ib Ic
c
将Y形联接等效变换为∆形联结时 形联接等效变换为∆ 3R 若 Ra=Rb=Rc=RY 时，有Rab=Rbc=Rca= R∆ = 3RY； 将∆形联接等效变换为Y形联结时 形联接等效变换为Y 若 Rab=Rbc=Rca=R∆ 时，有Ra=Rb=Rc=RY =R∆/3
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+ U –
2.3.2 电阻的并联
I + I1 U – I2 R1 R2 特点: 特点: (1)各电阻联接在两个公共的结点之间； (1)各电阻联接在两个公共的结点之间 各电阻联接在两个公共的结点之间； (2)各电阻两端的电压相同； (2)各电阻两端的电压相同； 各电阻两端的电压相同 (3)等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和； (3)等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和； 等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和 1 1 1 = + Req R1 R2 (4)并联电阻上电流的分配与电阻成反比。 (4)并联电阻上电流的分配与电阻成反比 并联电阻上电流的分配与电阻成反比。 两电阻并联时的分流公式： 两电阻并联时的分流公式： Req
R R ab ca R = a R +R +R ab bc ca R R bc ab R = b R +R +R ab bc ca R R ca bc R = c R +R +R ab bc ca
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Ia a Ra Ib Ic b Rb Rc c 等效变换
Ia
a Rab RbcRca b
第2章 电阻电路的等效变换 章
2.1 引言 2.2 电路的等效变换 2.3 电阻的串联和并联 2.4 电阻星型联结与三角型联结的等效变换 电阻星型联结与三角型联结的等效变换 2.5 电压源、电流源的串联和并联 电压源、 2.6 实际电源的两种模型及其等效变换 实际电源的两种模型及其等效变换 2.7 输入电阻
第2章电阻电路的等效变换
总电流
U S 18 I= = A = 6A R 3
由分流公式得
6 I1 = I = × 6A = 4A 4× 4 9 6 + (1 + ) 4+4
再分流得
6
1 I x = I 1 = 2A 2
返回
电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.2.4 Y形电路和Δ形电路之间 的等效变换
返回
电路分析基础
如何等效化简电桥测温电路? 如何等效化简电桥测温电路?
返回
电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.1 等效变换
电阻电路
线性电阻电路
非线性电阻电路
简化线性电阻电路的主要依据是等效变换
返回
电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.1.1 一端口网络的定义
二端网络
一端口网络
流入一个端子的电流必定等于流出另一端子的电流
Ig =
Rp Rg + R p
× 10 × 10 −3 = 1 × 10 −3 mA
解之得应并联的电阻为
0.1RG 2 × 10 3 Rp = = Ω ≈ 222.22Ω 0.9 9
返回
电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.2.3 电阻的混联
判别电路的串并联关系根据以下原则： 判别电路的串并联关系根据以下原则： （1）看电路的结构特点。 看电路的结构特点。 （2）看电压、电流关系。 看电压、电流关系。 （3）对电路作变形等效。 对电路作变形等效。 （4）找出等电位点。 找出等电位点。
R4 R5 R2(R3 + ) R4+R5 R = R1 + R4 R5 R2 + (R3 + ) R4 + R5
第2章 电阻电路的等效变换
第二章 电阻电路的等效变换
2-1 电路的等效变换
2-2 2-3 2-4
2-5 2-6 2-7
支路电流法 网孔电流法 节点电压法
叠加定理 置换定理 戴维宁定理和诺顿定理
1
§2-1电路的等效变换
电阻电路 分析方法
仅由电源和线性电阻构成的电路 ①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据； ②等效变换的方法,也称化简的 方法。
IS=US /RS GS=1/RS
U=US – RS I I = US/RS– U/RS
比较可得等效条件
30
小结 电压源变换为电流源：
+ US _ RS I + U _
Is Us
I IS GS + U _
RS
RS
,
GS 1
电流源变换为电压源： I + IS GS U _
US
+ US _ RS
1/3k 1/3k R
+ E
-
1k
1k
-
+ E
3k R
-
3k
3k
25
例2
计算90电阻吸收的功率
1 i + 20V i1 90
-
1 + 20V
4 90
9 1
9 9 9
10
10 90 R 1 10Ω 10 90 3
-
1 + 20V
4 90
2
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流， 则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 无 源 一 端 口
i
i
无 源
3
两端电路等效的概念
2-1 电路的等效变换
2-2 2-3 2-4
2-5 2-6 2-7
支路电流法 网孔电流法 节点电压法
叠加定理 置换定理 戴维宁定理和诺顿定理
1
§2-1电路的等效变换
电阻电路 分析方法
仅由电源和线性电阻构成的电路 ①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据； ②等效变换的方法,也称化简的 方法。
IS=US /RS GS=1/RS
U=US – RS I I = US/RS– U/RS
比较可得等效条件
30
小结 电压源变换为电流源：
+ US _ RS I + U _
Is Us
I IS GS + U _
RS
RS
,
GS 1
电流源变换为电压源： I + IS GS U _
US
+ US _ RS
1/3k 1/3k R
+ E
-
1k
1k
-
+ E
3k R
-
3k
3k
25
例2
计算90电阻吸收的功率
1 i + 20V i1 90
-
1 + 20V
4 90
9 1
9 9 9
10
10 90 R 1 10Ω 10 90 3
-
1 + 20V
4 90
2
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流， 则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 无 源 一 端 口
i
i
无 源
3
两端电路等效的概念
第二章电阻电路的等效变
第二章-电阻电路的等效变第二章 电阻电路的等效变换2.1 学习要点1. 电阻的等效变换：电阻的串并联， Y 与△的等效变换。
2. 电源的串联、并联及等效变换。
3. “实际电源”的等效变换。
4. 输入电阻的求法。
2.2 内容提要 2.2.1 电阻的等效变换1. 电阻的串联：等效电阻： R eq ＝∑1=k nk R ；分压公式：u k ＝eqkeq ×R R u ； 2. 电阻的并联：等效电导：G eq ＝∑1=k nk G ；分流公式：qe G G i i keqk ×=；2.2.2. 电阻的Y 与△的等效变换1. △→Y ：一般公式：Y 形电阻＝形电阻之和形相邻电阻的乘积∆∆；即31232331*********231231212311++=++=++R R R R R R R R R R R R R R R R R R 2312＝2. Y →△：一般公式：形不相邻电阻形电阻两两乘积之和形电阻＝Y Y ∆；即：213322131113322123313322112++=++=++=R R R R R R R RR R R R R R R R R R R R R R R R2.2.3 电源的串联、并联等效变换 电源的串联、并联等效变换见表2.1。
表2.1 电源的串联、并联等效变换图2.2.4 “实际电源”的等效变换 1. “实际电压源”→“实际电流源” R i ＝R u 或 G i ＝1/R u i s ＝u s /R u 2. “实际电流源”→“实际电压源”R u ＝R i ＝1/G i u s ＝i s R i ＝i s /G i两者等效互换的原则是保持其端口的V AR 不变。
2.2.5 输入电阻的求法一端口无源网络输入电阻的定义（见图2.2）：R in ＝u/ i1. 当一端口无源网络由纯电阻构成时，可用电阻的 串并联、Y 形与△形等效变换化简求得。
2. 当一端口无源网络内含有受控源时，可采用外加电压法或外加电流法求得： 即输入电阻R in ＝u s /i 或 R in ＝u/ i s方法是：在端口处加一电压源u s （或电流源i s ）, 再求比值u s /i 或u/ i s ，该比值即是一端口无源网络的输入电阻。
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据KVL，得 Ri Ri uC uS uR Ri
uR uR 4uR uS
uR
uS 6
12 6
2V
P44
R
uC+
－
讨论题
c +
10V - d 2A
I 10 2 7 A
哪
2
个 答
I 10 4 3 A
案
2
对 I 10 5 A
2
I
I=?
2
答案1和2错再哪里？
Ic
10V +
-
2 +
uS 0
（不存在）
（4）进行电路计算时，恒压源串电阻和恒流源并电阻两者之间 均可等效变换。RO和 RO’ 不一定是电源内阻。（将它们视 为电源内阻）
（5）待求解量不能参与变换。
等效变换的注意事项
等效电源变换法适用于将多电源电路化简。
例2-2 求R5中的电流I = ？
R5
R1 R2
R3 I
+ US1 -
R2 R3 R1
R3 R1
R31
R1 R2
R2 R3 R2
R3 R1
电阻电路的等效变换（2）
主要内容：
§2-6 电压源和电流源的等效变换 §2-7 输入电阻
§2-6 两种实际电源模型的 等效变换
等效变换的原则：—— +
端口的电压、电流关系完全 -
ia
R0 +
us
uab
_
i’ a
iS R0'
+
ua' b
U3 91 9V U4 2 2 4V
I2 =3+6=9A
22 R2 2 2 1
例2-4
已知 uS 12V, R 2, VCCS : iC 2uR ,
求uR 。
解 将受控电流源变换为 受控电压源
Ri + uR－
+
uS
－
iC
R
Ri + uR－
+
uS
－
uC RiC 2 2 uR 4uR
R R1 R2
Rn
通过各电阻的电流 —— 分流公式
ik
Gku
Gk G
i
● 两个电阻并联的分流公式：
a
i +
i1 i2
i1
R2 R1 R2
i
u b-
R1 R2
i2
R1 R1 R2
i
2.电阻的△形连接和Y形连接的等效变换
● △形连接变换成Y形连接的电阻关系
i1'
i31
R31
1 R12
i12
i3' 3 i23 R23 2 i2' △形连接
d - 4V
变换时, 不能将待求 解量变换掉!
例A 求I = ?
+ - 6V 2A
2Ω
3Ω
6Ω
a
+ 4V
I
- 1Ω
4Ω
b
电压源变换为电流源
2A
2Ω 2A
3Ω
6Ω
等效变换成电流源，据分流公式
及VCR
I
RO RL RO
IS
1 22 1
230 1
10A
US RO
IS
aI
U+
RO
U Ro -
RL
U RLI 2210 220V
P0
U RO
2
RO
48.4kW
U U R0 RO RO 220V
b
对外等效，对 内不等效。
等效变换的注意事项
（1） “等效”是指“对外”等效（等效互换前后对外伏安 特性一致），对内不等效。
第二章 电阻电路的等效变换
§2-1 引言 §2-2 电路的等效变换 §2-3 电阻串联和并联 §2-4 电阻的 Y形连接和△形连接等效变换 §2-5 恒压源和恒流源的串联和并联 §2-6 电压源和电流源的等效变换 §2-7 输入电阻
上次课主要内容回顾
1. 电路的等效变换
● 串联电阻等效变换
串联电路
i1
1 R1
R3 3
R2 2
i3
i2
Y形连接
Y形电阻 ＝ Δ形相邻两电阻之积 Δ形各电阻之和
若 R12 R23 R31 R
则
R1
R2
R3
1 RY = 3
R
R1
R12
R12 R31 R23
R31
R2
R12
R23 R12 R23
R31
R3
R12
R31 R23 R23
R31
● Y 形连接变换成△形连接的电阻关系
总电阻
n
R R1 R2 Rn Rk
k 1
分压公式
uk
Rk i
Rk R
u
Rk
● 两电阻串联的分压公式
a i R1 R2 + + u1- + u2u
b-
u1
R1 R1 R2
u
u2
R2 R1 R2
u
●并联电阻等效变换
并联电路总电导
G
i u
G1
G2
Gn
n
Gk
k 1
或： 1 1 1 L 1
（2） 注意转换前后 us 与 is 的方向要一致。
ia
+ -
R0
us
+
uab
_
b
i’ a
iS R0'
+
ua' b
-
b
ia
_
R0
+
us
uab
+
b
i’ a -
iS R0'
ua' b
+
b
等效变换的注意事项
（3）恒压源和恒流源不能等效互换。
ia
+
+
-
us uab
_
i’ a
iS
+
ua' b
-
b
b
iS
uS Ro
例2-1
已知 U S 230V, R0 1, RL 22,
用电源的两种电路模型分别求电压U和电流I；内阻 功耗与压降。
aI
+ -
US Ro
+ U -
RL
解 对电压源，据KVL及VCR
b
I US 230 10A RL RO 22 1
U RLI 2210 220V
P0 RO I 2 1102 100W UR0 RO I 110 10V
i1
1 R1
R3 3
i3
R2 2
i2
i1'
i31
R31
1 R12
i12
i3' 3 i23 R23 2 i2'
Δ形电阻 ＝ Y形电阻两两乘积之和 Y形不相邻的那个电阻
若 R1 R2 R3 RY
则 R12 R23 R31 R =3RY
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
R4
Rd
IS
Id =I1+I3 Rd =R1//R2//R3
例2－3
2 6A + 2 6V -
2A
I 2
7
I=?
电压源变 电流源
3A 2
6A 2
P43
2A I
2 7
6 I1 2 3A
并联的恒流源合并 并联的电阻合并
据KVL得
2 + 4V -
1
I
+
9V
7
-
电流源变 电压源 9A 1
2A
I 2
7
I 9 4 0.5A 1 2 7
-
相同。
即： i = i´
uab = uab'
b
uab us iRo
b
i'
iS
ua' b R0'
电压源中： i us uab R0 R0
电流源中：
i
is
uab R0
即等效变换的条件为
is
us R0
，
R0
R0
即：对外电路而言，一个有内阻的电源有两种模型可供选 用，因为它们可以互相等效变换。
注意：理想电压源与理想电流源之间不存在等效变换关系！
+ - US3
R4
Is
等效变换的注意事项
用电源模型的等效变换法化简电路的过程。
R5
R5
R1 + R2 U- S1
Байду номын сангаасRI
+-3US3
R4
Is
R1 R
I1
2
I
I3 R3
R4
Is
R5
电流源变
电压源
Rd
I R4
+ - Ud
+ US
-
I
d
I Ud US Rd R5 R4
合并恒流源、合 并并联的电阻
R
5
I