实用文档之解三角形练习题及答案
实用文档之"第一章解三角形"
一、选择题
1.己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为().A.90°B.120°C.135°
D.150°
2.在△ABC中,下列等式正确的是().
A.a∶b=∠A∶∠B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.a sin A=b sin B
3.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为().A.1∶2∶3 B.1∶3∶2
C.1∶4∶9 D.1∶2∶3
4.在△ABC中,a=5,b=15,∠A=30°,则c等于().
A.25B.5C.25或5
D.10或5
5.已知△ABC中,∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC的形状大小().
A.有一种情形B.有两种情形
C.不可求出D.有三种以上情形
6.在△ABC中,若a2+b2-c2<0,则△ABC是().
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形
D.形状不能确定
7.在△ABC中,若b=3,c=3,∠B=30°,则a=().
A.3B.23C.3或23D.2
8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边.如果a ,b ,c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为
2
3
,那么b =( ). A .2
3
1+ B .1+3
C .
2
3
2+ D .2
+3
9.某人朝正东方向走了x km 后,向左转150°,然后朝此方向走了3 km ,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值是( ).
A .3
B .23
C .3或23
D .3
10.有一电视塔,在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°,在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°,若AB =120米,则电视塔的高度为( ).
A .603米
B .60米
C .603米或60米
D .30米 二、填空题
11.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =10,b = . 12.在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,c =2,则b = . 13.在△ABC 中,∠A =60°,a =3,则C
B A c
b a sin sin sin ++++= .
14.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =
2
3
,则∠C = . 15.平行四边形ABCD 中,AB =46,AC =43,∠BAC =45°,那么AD = .
16.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则最大角的余弦值= .
三、解答题
17. 已知在△ABC 中,∠A =45°,a =2,c =6,解此三角形.
18.在△ABC 中,已知b =3,c =1,∠B =60°,求a 和∠A ,∠C .
19. 根据所给条件,判断△ABC 的形状. (1)a cos A =b cos B ; (2)A a cos =B b cos =C
c
cos .
20.△ABC 中,己知∠A >∠B >∠C ,且∠A =2∠C ,b =4,a +c =8,求a ,c 的长.
第一章 解三角形
参考答案
一、选择题 1.B
解析:设三边分别为5k ,7k ,8k (k >0),中间角为 α, 由cos α=k k k k k 85249-64+25222??=2
1
,得 α=60°,
∴最大角和最小角之和为180°-60°=120°. 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.B
解析:依题可得:?????
???
?30cos 2-+=23=30sin 21
2=+222ac c a b ac b
c a ??????ac ac c a b ac b c a 3-2-)+(=6=2=+2
2
代入后消去a ,c ,得b 2=4+23,∴b =3+1,故选B . 9.C 10.A 二、填空题 11.56. 12.2. 13.23.
解析:设
A a
sin =B b sin =C
c sin =k ,则C B A c b a +sin +sin sin ++=k =A a sin =?
60sin 3
=23. 14.
3
2π. 15.43. 16.-
4
1. 三、解答题
17.解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小.
解法1:由正弦定理得sin C =26sin 45°=26
·22=2
3. ∵c sin A =6×
2
2
=3,a =2,c =6,3<2<6, ∴本题有二解,即∠C =60°或∠C =120°,
∠B =180°-60°-45°=75°或∠B =180°-120°-45°=15°. 故b =
A
a
sin sin B ,所以b =3+1或b =3-1, ∴b =3+1,∠C =60°,∠B =75°或b =3-1,∠C =120°,∠B =15°. 解法2:由余弦定理得
b 2+(6)2-26b cos 45°=4, ∴b 2-23b +2=0,解得b =3±1. 又(6)2=b 2+22-2×2b cos C ,得cos C =±2
1
,∠C =60°或∠C =120°, 所以∠B =75°或∠B =15°.
∴b =3+1,∠C =60°,∠B =75°或b =3-1,∠C =120°,∠B =15°. 18.解析:已知两边及其中一边的对角,可利用正弦定理求解. 解:∵
B b sin =C
c
sin ,
∴sin C =
b B
c sin ?=3
60sin 1??=21
.
∵b >c ,∠B =60°,∴∠C <∠B ,∠C =30°,∴∠A =90°. 由勾股定理a =22+c b =2, 即a =2,∠A =90°,∠C =30°.
19.解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. (1)解法1:由余弦定理得
a cos A =
b cos B ?a ·(b
c a c b 2222-+)=b ·(ac c b a 22
22+-)?a 2c 2-a 4-b 2c 2
+b 4=0,
∴(a 2-b 2)(c 2-a 2-b 2)=0, ∴a 2-b 2=0或c 2-a 2-b 2=0, ∴a =b 或c 2=a 2+b 2.
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解法2:由正弦定理得 sin A cos A =sin B cos B ?sin 2A =sin 2B
?2∠A =2∠B 或2∠A =π-2∠B ,∠A ,∠B ∈(0,π) ?∠A =∠B 或∠A +∠B =
2
π, ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 代入已知等式,得
A A R cos sin 2=
B B
R cos sin 2=C C R cos sin 2, ∴
A A cos sin =
B B
cos sin =C
C cos sin , 即tan A =tan B =tan C . ∵∠A ,∠B ,∠C ∈(0,π), ∴∠A =∠B =∠C , ∴△ABC 为等边三角形.
20.解析:利用正弦定理及∠A =2∠C 用a ,c 的代数式表示cos C ;再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ,c 的等量关系;再由a +c =8,解方程组得a ,c .
解:由正弦定理
A a
sin =C
c sin 及∠A =2∠C ,得 C a 2sin =C c sin ,即C C a cos sin 2?=C c
sin , ∴cos C =
c
a
2. 由余弦定理cos C =ab
c b a 22
22-+,
∵b =4,a +c =8, ∴a +c =2b ,
∴cos C =)
()(c a a c c a a +-4++2
22
=)())((c a a c a c a +4+3-5=a c a 43-5,
∴
c a
2=a
c a 43-5, 整理得(2a -3c )(a -c )=0, ∵a ≠c ,∴2a =3c . 又∵a +c =8, ∴a =524,c =5
16
.
解三角形讲义
一、正弦定理 1、在ABC ?中: 2R sinC c sinB b sinA a ===(R 为△ABC 的外接圆半径) 。它的变式有:①a=2RsinA ,b=2RsinB ,c=2RsinC ;②; ,R c C R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a :b :c=sinA :sinB :sinC 。 推论1:△ABC 的面积为:S △ABC =21absinC=21bcsinA=2 1 casinB (证明:由正弦函数定义,BC 边上的高为bsinC ,所以S △ABC = C ab sin 2 1 ) 。 推论2:在△ABC 中,有bcosC+ccosB=a 。(证明:因为B+C=π-A ,所以sin(B+C)=sinA ,即sinBcosC+cosBsinC=sinA ,两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a);还有两个式子为:acosC+ccosA=b ,bcosA+acosB=c 。 2、利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边,求其他两边和一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角。 例1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知a=2,?=45B ,分别求出下 式中角A 的值。①b= 2 1 ;②b=1;③b=332;④b=2;⑤b=2。【答①无解;②A=?90;③A=??12060或; ④A=?45;⑤A=?30。】 例2 在△ABC 中,已知AB=1,?=50C ,当B= 时,BC 的长取最大值。【答:?40】 3、推导并记住:42675cos 15sin -= = ,4 2 615cos 75sin +== 。 例3 在锐角△ABC 中,若C=2B ,则 b c 的范围是( ) A 、(0,2) B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答:C 】 例4 在△ABC 中,c=3,C=?60,求a+b 的最大值。 【答:23】 例5 在等腰△ABC 中,已知 2 1 sinB sinA =,BC=3,则△ABC 的周长为 。 【答:15】 4、角平分线定理:在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则AC AB DC BD = 。 例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6,则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为( ) A 、1:1 B 、1:2 C 、1:4 D 、3:4 【答:B 】 练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解,则x 的取值范围为 ( ) A 、)22,2( B 、22 C 、),2(+∞ D 、]22,2( 【答:A 】
三角形解答题单元培优测试卷
三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知
高中数学竞赛_解三角形【讲义】
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ,B ,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长, 2 c b a p ++= 为半周长。 1.正弦定理:C c B b A a sin sin sin ===2R (R 为△AB C 外接圆半径)。 推论1:△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1 sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2:在△ABC 中,有bcosC+ccosB=a. 推论3:在△ABC 中,A+B=θ,解a 满足 ) sin(sin a b a a -= θ,则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义, BC 边上的高为bsinC ,所以S △ABC =C ab sin 2 1 ;再证推论2,因为B+C=π-A ,所以sin(B+C)=sinA ,即sinBcosC+cosBsinC=sinA ,两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ;再证推论3,由正弦定理B b A a sin sin =, 所以) sin() sin(sin sin A a A a --= θθ,即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ,等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1 -[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)],等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A),因为0<θ-A+a ,θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ,所以a=A ,得证。 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2 -2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?,下面用余弦定理证明几个常用的结论。 (1)斯特瓦特定理:在△ABC 中,D 是BC 边上任意一点,BD=p ,DC=q ,则AD 2=.22pq q p q c p b -++ (1) 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠, 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠, ② 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0, 所以q ×①+p ×②得 qc 2 +pb 2 =(p+q)AD 2 +pq(p+q),即AD 2 =.22pq q p q c p b -++ 注:在(1)式中,若p=q ,则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= (2)海伦公式:因为412 =? ABC S b 2c 2 sin 2 A=4 1b 2c 2 (1-cos 2 A)= 4 1 b 2 c 2 16 14)(12 22222=??????-+-c b a c b [(b+c)2-a 2 ][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 .2 c b a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题
人教版高一必修五解三角形单元试题及答案
高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .2