实用文档之解三角形练习题及答案
(完整word)解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是( )．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为（ )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5,b＝15，∠A＝30°，则c等于( )．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中,∠A＝60°，a＝6，b＝4,那么满足条件的△ABC的形状大小（ )．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0，则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a＝（）．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B,∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°,△ABC的面积为23,那么b＝（ )．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后,向左转150°，然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km,那么x的值是（）．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔,在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为( )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°,c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3,则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2）A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ,且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析:设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0），中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1，故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1：由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2,c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1, ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°,∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋（6)2－26b cos 45°＝4，∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21，∠C ＝60°或∠C ＝120°，所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin ， ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ,∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1:由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0， ∴(a 2－b 2）(c 2－a 2－b 2）＝0，∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，）⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式,得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2, ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π）,∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．解:由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ，得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4,a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ，∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得(2a －3c )（a －c ）＝0，。
解三角形(含答案)
解答题1．已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域. 解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-，………………8分 因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分2.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=， 所以T =π． ……2分 所以2ω=． 当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266x x x ππ=+-12cos 222x x =- sin(2)6x π=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分3．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值； （2）求函数)(x f 的单调增区间. （3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分 所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分（2换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分4.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ……4分因为22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分 所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分 当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分5.已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分 令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤. 所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=，…………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07sin 29x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()9x =--=. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2()2)2)22443x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=.……………………………………10分 所以20π12cos()1()433x +=-=. ……………………………………11分 所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=.6.已知π2sin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域． 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且π2sin()410A +=，所以ππ3π244A <+<，π2cos()410A +=-ππππcos()cossin()sin 4444A A +++31021025=-+=． 所以3cos 5A =． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =．212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+，x ∈R ．因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． 7.已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-n ，求当⋅m n 取最 小值时，)4tan(π-A 值.解：所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. ……… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹.所以1cos 2B =. ……… 5分3B π=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos 25A A ⋅=-+m n ， ………………… 8分 所以2212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n . …10分所以当3cos 5A =时，⋅m n 取得最小值.……12分 所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+. …………… 13分8.已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求AB BC 的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． 4分 （Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ． …6分 20π<<x Θ， 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1．…8分 （Ⅲ）Θ)32sin()(π-=x x f ，若x 是三角形的内角，则π<<x 0 令21)(=x f ，得解得4π=x 或127π=x ． ……10分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ， ∴4π=A ，127π=B ， ∴6π=--π=B A C ． …11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥- （均值定理在三角中的应用）所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ． （ 取等条件别忘）所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤ 所以三角形面积的最大值为 ……………………13分 10. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=11cos 22x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分11. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =--o , …………………4分………5分（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ． ∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分13.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知(1) 求sin(B+C)的值；(2) 若a=2, 求b,c 的值.【知识点】诱导公式；三角形的面积公式；解三角形.【答案解析】（2解析： A C B -=+π又,分83ΛΛΛ=∴bcA bc c b a cos 2222-+=又分10622ΛΛΛ=+∴c b【思路点拨】(1)由诱导公式及平方关系得sin(B+C)的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理得关于b 、c 的方程组求解.14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案一、解三角形练习题1. 已知三角形ABC，AB=5cm，AC=8cm，BC=7cm，求角A的大小。
2. 已知三角形DEF，DE=6cm，EF=9cm，DF=12cm，求角D的大小。
3. 已知三角形GHI，GH=5cm，HI=5cm，GI=7cm，求角G的大小。
4. 已知三角形JKL，JK=8cm，KL=10cm，JL=12cm，求角K的大小。
5. 已知三角形MNO，MN=4cm，NO=6cm，MO=8cm，求角M的大小。
二、解三角形练习题答案1. 解题过程：根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解角A的大小。
余弦定理公式为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2b*c)其中，a、b、c分别表示三角形对应边的长度。
代入已知条件可得： cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2*7*8)= (49 + 64 - 25) / 112= 88 / 112≈ 0.786通过查表或计算器的反余弦函数，可以得到角A的近似值为38°。
2. 解题过程：同样利用余弦定理，我们可以求解角D的大小。
代入已知条件可得：cos(D) = (9^2 + 12^2 - 6^2) / (2*9*12)= (81 + 144 - 36) / 216= 189 / 216≈ 0.875通过反余弦函数，可以得到角D的近似值为 30°。
3. 解题过程：同理，利用余弦定理求解角G的大小。
代入已知条件可得：cos(G) = (5^2 + 7^2 - 5^2) / (2*5*7)= (25 + 49 - 25) / 70= 49 / 70≈ 0.7通过反余弦函数，可以得到角G的近似值为 45°。
4. 解题过程：利用余弦定理求解角K的大小。
代入已知条件可得：cos(K) = (10^2 + 12^2 - 8^2) / (2*10*12)= (100 + 144 - 64) / 240= 180 / 240= 3 / 4= 0.75通过反余弦函数，可以得到角K的近似值为 41.4°。
解三角形经典练习题集锦(附答案)
解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
解三角形经典练习题集锦（附答案）
解三角形经典练习题集锦（附答案）A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角解三角形2. _______________________________________________ 在厶ABC 中，若 a 2b 2bc c 2,则A _____________________________ 。
3. _____________________________________________________ 在厶ABC 中，若b 2,B 30°,C 135°,则a _______________________ 。
4. 在厶 ABC 中，若 si nA : sin B : si nC 7 : 8 : 13，贝UC _____________ 。
°5. 在厶ABC 中，AB .、62, C 30°，则AC BC 的最大值是。
三、解答题一、选择题1. 在厶 ABC 中，A: B: C 1:2:3，则 a:b:c 等于（）A . 1: 2:3B . 3:2:1C . 1: .3:2D . 2^ 3 :1 2.在厶ABC 中，若角B 为钝角，则si nB si nA 的值（） A.大于零B.小于零 C.等于零 D .不能确定 3. 在厶ABC 中，若A 2B ，则a 等于（A . 2b si nAB . 2b cosAC . 2bsi nBD . 2b cosB 4. 在厶 ABC 中，若 Ig si nA Ig cos B Ig sin C Ig 2，则△ ABC 的形状是（） A.直角三角形B .等边三角形C .不能确定D .等腰三角形A B a b7.在厶ABC 中，若tan ，则△ ABC 的形状是（）2 a b形或直角三角形二、填空题解三角形一、选择题 1.在厶 ABC 中，若 C 900,a 6, B 300，则 c b 等于（）2.在厶ABC 中，求证:,cos B cos A 、A. 1B. 1C. 2.3D. 2.32. 若A ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） 1 A. sinA B. cosA C . tanA D .- tan A3. 在厶ABC 中，角A, B 均为锐角，且cos A sinB,则厶ABC 的形状是（） A.直角三角形 B .锐角三角形C ?钝角三角形D .等腰三角形 4. 等腰三角形一腰上的高是 3，这条高与底边的夹角为 600，则底边长为（）,3 — A . 2 B . C . 3 D. 2.3 25. 在厶ABC 中，若b 2asin B ，则A 等于（）A . 300或60°B . 450或60° C . 120°或60° D . 30°或150° 3.在锐角△ ABC 中，求证：si nA si nB sinC cosA cosB cosC 。
解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A ．B ． C． D ．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A ． B． C ．或 D ．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B ． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A ．B ． C． D ．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A ．B ．C ．或D ．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A ．B ．C ． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （A ．B ．C ． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B ． C． D ．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B ． C ． D ．19、（）A. B.C.D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C 、D 、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D ．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A ＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c ，若，则A= 。
解三角形专项训练答案
解三角形专项训练一、单选题1．在ABC ∆中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（）A ．03,6,30a b A ===B ．06,5,150a b A ===C．03,60a b A ===D ．09,5,302a b A ===【答案】D【详解】有钝角或直角最多一解，B 错．由sin sin b AB a=，A 中0sin 1,90B B ==，1解，不符．C 中sin 21B =>，无解．D 中051sin ,15092B B =><符合两解．选D.2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，3b =，2sin 3A =，则B =A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】A【详解】由题意可得23sin 13sin 42b A B a ⨯===，则π6B =或5π6B =.因为b a <，所以B A <，所以π6B =.故选：A3．在锐角ABC ∆中,1,2==b c ，则a 的取值范围是A ．()1,3B．(C．(D．【答案】D【详解】由已知及余弦定理得222222a b c b c a ⎧+>⎨+>⎩，由此解得a <，选D ．4．对于ABC ∆，有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B =，则∆ABC 为等腰三角形，②若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形④若coscoscos222a b c AB C ==，则∆ABC 是等边三角形.其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】对于①sin 2sin 2A B =可推出A B =或2A B π+=，故不正确；②若100,10B A =︒=︒，显然满足条件，但不是直角三角形；③由正弦定理得2220a b c +-<，所以cos 0C <,是钝角三角形；④由正弦定理知sinsin sin 222A B C ==,由于半角都是锐角，所以222A B C==，三角形是等边三角形，故正确的有2个，选B.5．在△ABC 中，2222sin()sin()a b A B a b A B ++=--，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形但一定不是直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形但一定不是等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】C【详解】由2222sin()sin()a b A B a b A B ++=--得：()()2222sin()sin()a b A B a b A B +⋅-=-+，且a b ¹，∴()()()()2222sin cos cos sin sin cos cos sin a b A B A B a b A B A B +⋅-=-+，且a b ¹，∴()()()()2222cos cos cos cos a b a B b A a b a B b A +⋅-=-+，∴()()22222222222222222222a c b b c a a c b b c a a b ab a b ab ac bc ac bc ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-+⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理得：()()()2222222a b a b a b c +⋅-=-，即()()222220a b c a b +--=，∴22a b =或222+=a b c ，又a b ¹，∴△ABC 是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C .6．如果ABC ∆的三个内角的正弦值分别等于DEF ∆的三个内角的余弦值，则下列正确的是A ．ABC ∆与DEF ∆都是锐角三角形B ．ABC ∆与DEF ∆都是钝角三角形C ．ABC ∆是锐角三角形且DEF ∆是钝角三角形D ．ABC ∆是钝角三角形且DEF ∆是锐角三角形【答案】D【详解】因为三角形ABC 的三个内角的正弦值都大于零，所以三角形DEF 的三个内角的余弦值都大于零，所以三角形DEF 是锐角三角形.若三角形ABC 是锐角三角形，不妨设πsin cos sin 2A D D ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,πsin cos sin 2B E E ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,πsin cos sin 2C F F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即πππ,,222A D B E C F =-=-=-,三个式子相加，得3π2A B C D E F +++++=，这与三角形内角和定理矛盾，故三角形ABC 不是锐角三角形.若三角形ABC 是直角三角形，该直角的正弦值为1，对应锐角三角形DEF 内角的余弦值为1，这个显然不成立，所以三角形ABC 不是直角三角形.综上所述，ABC ∆是钝角三角形且DEF ∆是锐角三角形，故选D.7．在ABC 中，120B ∠= ，2AB =，A ∠的角平分线AD 的长为3，则AC =（）A ．2B ．3C ．6D ．23【答案】C【详解】在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AD AB BBDA=∠，即32sin sin B BDA=∠，又120B ∠= ，2sin 2BDA ∴∠=，45BDA ∴∠= ，1801204515BAD ∴∠=--= ，则30BAC ∠= ，30C ∴∠= ，2BC AB ∴==，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BC BBAC=∠，6AC ∴=.故选：C.8．在ABC 中，3A π∠=，2AB =，BC 边上的中线AD 的长度为72，则AC =（）A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】A【详解】设,2AC x BC y ==，由AD 为BC 边上的中线，则,CD y BD y ==在ACD △中，由余弦定理得22772cos 42ADC x y y =+-⨯⋅∠⋅在ABD △中，由余弦定理得2772cos 424y A B y D =+-∠⨯⋅⋅因为cos cos ADC ADB ∠=-∠，可得227422x y +=+，即22122y x =+在ABC 中，由余弦定理得22(2)422cos3y x x π=+-⨯⨯⨯代入可得2230x x +-=，解得1x =或3x =-（舍），即1AC =故选：A9．如图所示，在ABC ∆，已知:1:2A B ∠∠=，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3:2两部分，则cos A 等于（）A ．13B ．12C ．34D ．0【答案】C【详解】 角C 的平分线CD ，ACD BCD ∴∠=∠ACD BCDS S ∆∆=1sin 3212sin 2AC CD ACDAC CB CB CD BCD ⋅∠==⋅∠，∴设3,2AC x CB x ==， :1:2A B ∠∠=，设,2A B αα∠=∠=，在ABC ∆中，利用正弦定理233sin sin 22sin cos x x xαααα==，解得：3cos 4α=.10．在锐角ABC ∆中，2A B =，则ABAC的取值范围是A ．()1,3-B ．()1,3C．D ．()1,2【答案】D【详解】在锐角ABC ∆中，02202032B B B ππππ⎧<∠<⎪⎪⎪<∠<⎨⎪⎪<-∠<⎪⎩可得64B ππ<∠<，213cos ,cos ,224B B ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭⎝⎭所以由正弦定理可知3sin 334sin sin sin sin AB c C sin B sinB BAC b B B B -====()2234sin 4cos 11,2B B =-=-∈，故选D.11．在Rt ABC 中，直角C 的平分线的长为1，则斜边长的最小值是A ．2BC．D ．4【答案】A【详解】设角,A B 所对的边分别为,a b ，角C 的平分线为CD ，则1CD =，1sin 452ACD S b =⨯⨯︒=△，1sin 452BCD S a =⨯⨯︒=△，12ABC S ab =△，又ABC ACD BCD S S S =+△△△，则1)2ab a b +，则a b +≥a b ==.2≥，则当且仅当a b == 2.故选A ．12．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是A ．45B ．34C ．18D．7【答案】B【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =，即2cos b C c =，即222b a b c c ab +-=，将1b a =+，1c a =-代入222b a bc c ab+-=得1411a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =，则63cos 284b Cc ===，故选B.13．已知ABC ∆中，3,2,4,AB BC AC G ===为ABC ∆的重心，则AG GC ⋅=A ．6718B ．6718-C ．269D ．269-【答案】A【详解】因为ABC ∆中，3,2,4,AB BC AC G ===为ABC ∆的重心，所以3,4,2AB AC BC === ，由余弦定理可得：2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅且11(),()33AG AC AB GC AC BC =+=+ 所以21()()(19)9AC AB AC BC AC AC AB AC BC A B A B G C C G ++=+⋅+⋅+⋅⋅⋅==22221167()[4432(cos )]9918AC AC AB BC B ++⋅=++⨯⨯-= 14．设锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知cos 2B B =，1c =，则ABC 面积的取值范围为（）A．2⎭B．42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．8⎛ ⎝D．82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】由cos 2B B +=得：2sin 26B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,663B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，62B ππ∴+=，解得：3B π=，11sin sin 2234ABC S ac B ac a π∴=== ；由正弦定理得：()sin sin sin cos cos sin 1sin sin sin 2sin 2B C c A B C B C C a C C C C ++====+；ABC 为锐角三角形，203202A C C πππ⎧<=-<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得：62C ππ<<，cos 0C ∴≠，tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，11,222a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，82ABC S ⎛∴∈ ⎝⎭ .故选：D.15．已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则平面四边形ABCD 面积的最大值为（）A ．232B ．C ．11D 【答案】B【详解】在ABC ∆中，22224224cos 2016cos AC B B =+-⨯⨯⨯=-，在ADC ∆中，22235235cos 3430cos AC D D =+-⨯⨯⨯=-，由上两式得2016cos 3430cos 15cos 8cos 7B D D B -=-⇒-=.①又平面四边形ABCD 的面积1124sin 35sin 28sin 15sin 22S B D S B D =⨯⨯+⨯⨯⇒=+②，①②平方相加得：244964225240(sin sin cos cos )S B D B D +=++-，化简即24240240cos()S B D =-+，当B D π+=时，24S 取得最大值480，从而S ≤故选：B.16．在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为AB C ．D ．【答案】A【详解】由余弦定理知：在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A=+-⋅2214214cos 178cos A A =+-⨯⨯⋅=-，在BCD △中，有2222cos BD CB CD CB CD C =+-⋅2222222cos 88cos C C =+-⨯⨯⋅=-，则9178cos 88cos cos cos 8A C A C -=-⇒-=，由四边形ABCD 的面积=三角形ABD 的面积+三角形BCD 的面积，故1111sin sin 14sin 22sin 2222S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯2(sin sin )A C =+，在三角形中，易知,(0,)A C π∈，sin ,sin 0A C >，()22sin sin (cos cos )A C A C ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos A C A C A C A C =++++-22cos()4A C =-+≤，当且仅当A C π+=时等号成立，此时229(sin sin )4sin sin 88A C A C ⎛⎫++≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，故2(sin sin )2S A C =+≤⨯A.17．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】△ABC 中2222cos a b c bc A =+-，1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，∴sin 2(1cos )A A =-；即22sincos 4sin 222A A A=，∵sin 02A >，∴1tan 22A =，∴21242tan 3112A ⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴43sin ,cos 55A A ==，∴sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C cC C C C ++====+，∵△ABC 为锐角三角形，∴2A C π+>,∴022C A ππ<-<<，∴140tan tan tan 23C A C π⎛⎫<=-<= ⎪⎝⎭，∴34344325555tan 5535153C <+<⨯+==,∴35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．18．在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A．)+∞B．C．(6D．6【答案】C【详解】∵22a c bc -=，∴22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-=sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C+-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan2tan 2tan 2tan C C A A A AC A C C C C C -+-+-+=-+=+113sin 3sin 2sin cos sin A A C C A=+=+，设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,),(0,),(0,)22222A A A C B A ππππ∈=∈=--∈，∴(,)32A ππ∈∴sin ,1)2A t =∈，1+3t t在t ∈上单调递增，∴1113sin +3(4)tan tan 6A t C A t -+=∈，故选：C 19．以BC 为底边的等腰三角形ABC 中，腰AC 边上的中线长为9，当ABC 面积取最大时，腰AB 长为（）A．B．C．D ．前三个答案都不对【答案】C【详解】如下图所示，设D 为AC 中点，由余弦定理，2222222cos 22b c a b a A bc b +--==，在ABD △中，222222222(22324222b b b a BD b b a b b -=+-⨯⨯⨯⇒+=，∴12S =12=272a =时，S有最大值，此时223242180b a b =-=⇒=AB =C ．20．已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C .若222sin 2sin 3sin C A B =-，则tan B 的最大值为（）ABCD【答案】B【详解】依题意222sin 2sin 3sin C A B =-，由余弦定理得22223c a b =-，2222133b ac =-，所以222222222222114143333cos 2226a c a c a ca c ba c B acac ac ac+-+++-+====⋅1263ac ≥⋅=，当且仅当2a c =时等号成立.即B 为锐角，2cos 13B ≤<，22419cos 1,19cos 4B B ≤<<≤，222222sin 1cos 15tan 10,cos cos cos 4B B B B B B -⎛⎤===-∈ ⎥⎝⎦，所以tan B 的.故选：B 21．ABC 中，角,,A B C 的对边长分别为a,b,c ，若3acosB bcosA=c 5-，则()tan A B -的最大值为(）A ．43B ．1C ．34D【答案】C【详解】3cos cos 5a Bb Ac -= ，∴结合正弦定理与()sin C sin A B =+，可得()3sin cos sin cos sin cos cos sin 5A B B A A B A B -=+，整理得sin cos 4sin cos A B B A =，同除以cos cos A B ，得tan 4tan A B =，由此得()2tan tan 3tan 3tan 11tan tan 14tan 4tan tan A B B A B A B B B B--===+++，,A B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，,A B ∴都是锐角，即tan 0,tan 0A B >>，()33tan 144tan tan A B B B∴-=≤+，当且仅当14tan tan B B =，即1tan 2B =时，()tan A B -的最大值为34，故选 C.22．已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（）A ．3B ．33C ．93D ．273【答案】D【详解】由题设，sin sin sin sin 2B C B A B +=，而sin 0B ≠且222B C Aπ+=-，∴cossin 2sin cos 222A A A A ==，022A π<<，则1sin 22A =，∴3A π=，由题设△ABC 内切圆半径3r =，又()1sin 22ABC r a b c S bc A ++== ，∴23()a b c bc ++=，而222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即a bc ≥，∴63bc bc ≥⋅，可得108bc ≥，当且仅当63a b c ===时等号成立.∴1sin 2732ABC S bc A =≥ .故选：D23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222190a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【答案】B【详解】()2sin sin 22tan tan 2sin sin 2sin sin cos cos cos sin sin sin sin tan tan tan sin ()sin()cos cos cos cos A BA B A B A B C A B C A B C C A B CA B C A B C⋅⋅===+++利用正弦定理和余弦定理得到：2222222222sin sin cos 22018sin 2A B C ab a b c a b c C c ab c +-+-=⋅==故选B24．在ABC 中，D 是边BC 上的一点，40C ∠=︒，60CAD ∠=︒，BD AC =，则DBA ∠=A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒【答案】C【详解】如图所示，在ADC 中，40C ∠=︒，60CAD ∠=︒，所以80ADC ∠=︒，由正弦定理知:sin 40:sin 80AD AC =︒︒，设sin 40AD k =︒，sin 80AC k =︒，0k >，所以sin 80BD AC k ==︒，设()090DBA αα︒∠=<<，在ABD △中，由正弦定理得：sin sin(80)AD BD αα=︒-，则sin 40sin 80sin sin(80)αα︒︒=︒-，即()sin 402sin 40cos 40sin sin 9010αα︒︒︒︒︒=⎡⎤-+⎣⎦，所以12cos 40sin cos(10)αα︒=︒+，整理得()2cos 3010sin cos(10)αα︒︒+=︒+，sin sin10sin cos10cos sin10sin αααα︒︒︒︒-=-cos αα=，所以sin tan cos ααα==090α︒<<，则30α=︒，所以30DBA ∠=︒．故选：C.25．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知224,,33b A ctanC asinB π===，则ABC 的面积为（）A．B．C ．6D．【答案】B【详解】如图，过C 作CD BA ⊥,交BA 的延长线于D ，因为4CA b ==，23CAB π∠=则3CAD CAB ππ∠=-∠=,cos23AD CA π=⋅=，sin3CD CA π=⋅=tan 2CD B BD c ==+所以tan tan 32tan tan()31tan tan 3B c ACB B B πππ-∠=-=+又因为2224tan sin sin 3333c C a B B CD ==⋅==所以83c c =+，即234320c c --=，解得：4c =或83c =-（舍）所以11sin 444222ABCS bc A ==⨯⨯ 故选：B.26．在ABC 中，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 是ABC 的外接圆上的一点，若AP mAB =+ nAC，则m n +的最小值是（）A ．1-B ．12-C ．13-D ．16-【答案】B【详解】由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=14212cos603+-⨯⨯⨯=，所以BC ，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，设P 的坐标为(cos ,sin )θθ，所以12AB ⎛= ⎝⎭ ，(2,0)AC = ，AP =(cos 1,sin )θθ+，又AP mAB nAC =+，所以1(cos 1,sin )2m θθ⎛+=+ ⎝⎭()2,022m n n ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin 3m θ=，cos 122n θθ=+，所以m n+cos 122θθθ=++cos 1111sin 1226222θπθθ⎛⎫++=++≥-+=- ⎪⎝⎭，当且仅当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立．故选：B ．27．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin sin A B C =，则c bb c+取得最大值时，内角A 的值为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】B【详解】由sin 2sin sin A B C =，根据正弦定理，22sin sin sin a bcA B C=，可得22sin a bc A =，再由222cos 2b c a A bc+-=，得222(cos sin )b c bc A A +=+，所以222(cos sin 2(sin cos )sin()4c b b c bc A A A A A b c bc bc π+++===+=+），所以当4A π=时，c b b c+取得最大值 B.28．某同学在研究下学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ）得出如下一些结论：（1）若ABC 是钝角三角形，则tan tan tan 0A B C ++>；（2）若ABC 是锐角三角形，则cos cos sin sin A B A B +>+；（3）在三角形ABC 中，若A B <，则()()cos sin cos tan A B <；（4）在ABC 中，若2sin 5B =，3tan 4C =，则A C B >>.其中错误命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【详解】详解：逐一考查所给命题的真假：(1)∵tanA +tanB =tan (A +B )(1−tanAtanB )∴tanA +tanB +tanC =tan (A +B )(1−tanAtanB )+tanC =tanAtan BtanC ，∴△ABC 是钝角三角形，可得：tanAtanBtanC <0，故错误；(2)∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B >90°,B >90°−A ，∴cosB <sinA ，sinB >cosA ，∴cosB −sinA <0，sinB −cosA >0，∴cosB −sinA <sinB −cosA ，可得cosA +cosB <sinA +sinB ，故错误；(3)当B =2π时，tanB 不存在，故错误；(4)由tanC =34得到0<C <90°,且tan30°=334<<1=tan 45°，因为正切函数在(0,90°)为增函数,所以得到30°<C <45°；由sinB =25可得到0<B <90°或90°<B <180°，在0<B <90°时,sin 30°=1225>,因为正弦函数在(0,90°)为增函数,得到0<B <30°；在90°<B <180°时,sin 150°=1225>,但是正弦函数在90°<B <180°为减函数,得到B >150°,则B +C >180°，矛盾，不成立．所以0<B <30°.由B 和C 的取值得到A 为钝角，所以A >C >B ，故正确；综上可得，错误命题的个数是3.本题选择D 选项.二、解答题29．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =2，且cos 24a cC =-．(1)求角B 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，求ABC 面积的取值范围．解：由余弦定理可得224cos 424a c a c C a +-==-，整理得224a c ac =+-，又由2241cos 22a c B ac +-==，因为()0,B π∈，所以3B π=．(2)由（1）可知：sin b B =，所以a A =，c C ，故16162161sin sin sin sin sin cos sin 333322ac A C A A A A A π⎫⎛⎫=⋅=-=⋅+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，)2881184cos sin sin 2cos 2sin 233222363A A A A A A π⎫⎛⎫=+=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62A ππ<<，可得52,666A πππ骣琪-Î琪琪桫，所以1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，故8,43ac ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又由ABC的面积1sin 234S ac π==，所以S ∈⎝．30．在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222C A A C B +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A CB ++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B ∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=，C A B π++= A C B π∴+=-，()sin sin A C B ∴+=sin sin 2sin A C B ∴+=，根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b +=，又222cos 2a c b B ac+-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦31．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A为锐角，a =，3AB AC ⋅=uu u r uuu r，再从条件①：sin sin 2B Cb a B +=，条件②：tan (2)tan b Ac b B =-，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A ；(2)ABC 的内切圆半径r .(1)若选条件①.由正弦定理得，sin sin sin sin 2AB A B π-=，因为()0,πB ∈，所以0sinB >，所以πsin sin 2A A -=cos 2sin 222A A A ∴=，又π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=,所以.3A π=;若选条件②.由tan (2)tan b A c bB =-，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BBC B A B=-，()0,πB ∈，所以0sinB >,sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A ∴=-，sin()2sin cos A B C A ∴+=，sin 2sin cos C C A ∴=,()0,πC ∈，所以sin 0C >,1cos 2A ∴=，()0,πA ∈ ,3A π∴=.(2)由cos 3AB AC cb A ⋅==，得6bc =.在ABC中，a =由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，218()3b c bc ∴=+-，2()36b c ∴+=，6b c ∴+=,又11sin ()22ABCS bc A a b c r ==++△，6sin 22bc A r a b c ∴====++.32．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件；4a =，222sin sin sin sin sin A B C B C +=+．（I ）求角A 的值；（Ⅱ）求2b c -的范围．【详解】（I ）由222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，利用正弦定理可得222a bc b c +=+，即222bc b c a =+-，故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又(0,)A π∈，3A π∴=（Ⅱ）4a = ，3A π=，利用正弦定理sin sin sin 3a b c A B C===故3b B =，)333c C B π==122)+sin 32b c B B B B B π⎫∴-=⨯-+=-⎪⎪⎝⎭4cos 44cos 8sin 6B B B B B B π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭在ABC 中，3A π=，故203B π<<662B πππ∴-<-<，1sin 126B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，48sin 86B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭所以2b c -的范围是()4,8-33．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，边长均为正整数，且4b =．(1)若角B 为钝角，求△ABC 的面积；(2)若2A B =，求a ．【解析】(1)由角B 为钝角，则222cos 02a c b B ac+-=<，即2216a c +<；又∵4a c +>，即22164a c a c ⎧+<⎨+>⎩，且a ，*c ∈N ，因此23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩符合题意．故13161cos 124B -==-，则sin 4B ==，因此△ABC的面积为11sin 232244S ac B ==⨯⨯=．(2)由2A B =，得sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理，可得2cos a b B =；由余弦定理，得22222a c b a b ac+-=⋅，∵4b =，()()224416a c c -=-．若4c =，则B C =，故2A BB C A B C π=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，则4B C π==，2A π=，此时a =∴4c ≠，由()()224416a c c -=-，得a =c a b -<，即4c a c -=-，则012c <<．∵a ，*c ∈N ，故当5c =时，有6a =，而4b =，故能构成三角形，故6a =．34．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0.(1)求角C 的大小；(2)设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值.【解析】(1)根据题意，由正弦定理可知：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A ++=，则()()2sin cos sin 02sin cos sin 2sin cos sin 0B C A C B C B B C B π++=⇒+-=+=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，则1cos 2C =-，而0C π<<，于是23C π=.(2)由（1）可知，3ACD BCD π∠=∠=，在ABC 中，设(0)AD m m c =<<，则||BD c m =-，在ACD △中，由正弦定理得：2sin sin3m m A π=⇒，在BCD △中，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3c m c m c m B B B π-=⇒-=⇒=+，所以sin sin c A B=+.在ABC中，由正弦定理得：1sin 1sin sin sin sin sin Aa b a b A B A B B ⎧=⎪⎪====⎨⎪=⎪⎩所以111112sin sin 2c c A B a b a b ⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭.由基本不等式可得：111162ab a b +=≥≥，当且仅当4a b ==时取“=”.于是，1sin 2ABC S ab C ==≥ 即△ABC 的面积的最小值为35．如图，在ABC 中，1sin3A =，AB =D ，E 分别在边BC ，AC 上，EC EB =，ED BC⊥且1DE =．(1)求cos C ；(2)求ABE △的面积．【解析】(1)由EC EB =，ED BC ⊥，得1sin DE C EC EB==…①，在AEB △中，2AEB C ∠=∠，由正弦定理得sin sin AB EBAEB A=∠，3EB =…②，将①代入②3sin C =，故cos C =(2)由cos 3C =，0πC <<，得到sin 3C ==，在AEB △中，sin 2sin cos AEB C C ∠==21cos 2cos 13AEB C ∠=-=-，由1sin 3A =，易知A 为锐角，则cos A ==∴7sin sin()sin cos cos sin 9ABE A AEB A AEB A AEB ∠=∠+∠=∠∠+∠∠=．∵1sin BE C ==∴1177sin 22296ABE S BE AB ABE =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=△，∴ABE △的面积是6．36．如图，在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若2PC =，求PA ；（2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S .【解析】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP ==，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠=⋅，所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==（2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭，在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α，在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan α=sin PB α==ABP ∆的面积11sin 22S AB PB α=⋅=⨯=37．如图，四边形ABCD 中90BAC ∠= ，30ABC ∠= ，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.（1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ；（2）若6ADB π∠=，求tan θ.【解析】（1）设AC a =，则AB =，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意4ABC ACD S S ∆∆=，则114cos sin 22a a a θθ=⋅⋅，所以sin 2θ=.（2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，即()sin sin 6BD ππθ=-①BCD ∆中，sin sin BD BCBCD CDB =∠∠，即2sin sin 33BD aππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭②①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin θθ=，所以tan 2θ=.38．ABC 中，角A ，B ，C 满足()cos 2cos 22sin sin sin A B C B C -=-，且3BC =.（1）在AC 边上有一点D ，且AB AD =，若2BD =，求sin ACB ∠；（2）求11tan tan B C+的最小值.【解析】（1）由()cos 2cos 22sin sin sin A B C B C -=-()22212sin 12sin 2sin sin 2sin A B B C C ⇒---=-222sin sin sin sin sin B C A B C ⇒+-=，由正弦定理得222b c a bc +-=，即2221cos 22b c a A bc +-==，又()0,A π∈∴3A π=，又AB AD =，∴ABD 是正三角形，∴23BDC π∠=，由正弦定理得2sin 2sin sin sin 33BC BD BD BDCACB BDC ACB BC⋅∠=⇒∠===∠∠（2）11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin B C C B C B B C B C B C++=+=()sin sin sin sin sin sin B C AB C B C +==2sin sin 3B B π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2sin 216B π==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72666B πππ-<-<，∴1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，11tan tan B C +有最小值为3.39．已知对任意θ，ϕ，都有：()()22sin sin sin sin θϕθϕθϕ-=+-，若ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .a b ¹，且()sin sin 3sin a A b B A B -=-.(1)求c ；(2)若2b a =，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，若4AH =，求ABC 的面积S .【解析】(1)由对任意θ，ϕ，都有：()()22sin sin sin sin θϕθϕθϕ-=+-，可得，()()22sin sin sin sin A B A B A B -=+-设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理，有：2sin sin sin a b cR A B C===，故：2sin a R A =，2sin b R B =所以：()2222sin sin 2sin 2sin 2sin sin a A b B R A R B R A B -=-=-()()2sin sin R A B A B =+-()()2sin sin 3sin R C A B A B =-=-由a b ¹，故A B ≠，则()(),00,A B ππ-∈-⋃，()sin 0A B -≠所以，2sin 3R C =，即3c =(2)如图所示：2b a =，3c =，4AH =，CH AH ⊥，由4AH =，3AB =，得1BH =，又CH AH⊥所以22221CH BC BH a =-=-，2222416CH AC AH a =-=-，则224116a a -=-，解得5a =，故有：221512CH a =-=-=所以ABC 的面积1132322S AB CH =⋅⋅=⨯⨯=，故ABC 的面积为3.40．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=；（1）当π12θ=时，求四边形ABCD 的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值.【解析】（1）连结OD ，则5,126COD AOD ππ∠=∠=，∴四边形ABCD 的面积为115621211sin 11sin 2122644ππ-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+（2）由题意，在BOC 中，2OBC πθ-∠=，由正弦定理1s in 2s in s in 2s in ()c o s c o s222B CO B B C C D θθπθθθθ==∴===-同理在AOD 中，,2OAD DOA θπθ∠=∠=-，由正弦定理sin22cos sin(2)sin sin D A O D D A θθπθθθ=∴==-224sin2cos 24sin2(12sin ),02222l θθθπθθ∴=++=++-<<令sin (02t t θ=<<2221242(12)4444()52l t t t t t ∴=++-=+-=--+12t ∴=时，即3πθ=，l 的最大值为541．如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .设AOB θ∠=.（1）当56πθ=，求四边形OACB 的面积；（2）当θ为何值时，线段OC 最长并求最长值.【详解】（1）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅514212cos6π=+-⨯⨯5=+于是四边形OACB 的面积为21sin 24AOB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+11612224+=⨯⨯⨯+84=（2）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-，∴AB =AC =，在OAB ∆中，由正弦定理得sin sin AB OBOABθ=∠，即sin sin OB OAB AB θ∠==又OB OA <，所以OAB ∠为锐角，∴cosOAB ∠=∴cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=在OAC ∆中，由余弦定理得：2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ⎛=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭.∵(0,)θπ∈，∴当23πθ=时，OC 的最大值为3.42．如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD 的长．【解析】连接BD，由余弦定理得222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A=+-⋅=+-⋅⋅222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=+-⋅⋅即2016cos 5248cos A C -=-.又四边形ABCD 内接于圆O ，则又πA C +=所以()2016cos 5248cos πA A -=--化简得1cos 2A =-，又()0,πA ∈所以2π3A =，同时有π3C =所以12π1π24sin46sin 832323ABA BCD S S S ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=.（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⋅⋅⋅+⋅⋅222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅=+-⋅即2222112446222422446246S sinA sinC cosA cosC⎧=⋅⋅+⋅⋅⎪⎨⎪+-⋅⋅=+-⋅⋅⎩3223SsinA sinC cosC cosA⎧=+⎪⎨⎪=-⎩平方相加得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-即()266cos 16S A C =-+又()0,2πA C +∈当πA C +=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，πA C =-，代入23cos cos C A =-中得1cos 2C =又()0,πC ∈，可得π3C =，在ABCD 中22222π2cos 46246cos283BD BC CD BC CD C =+-⋅=+-⋅⋅=，所以27BD =43．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并连建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，或者如图③，使得DE 平行AB ，且EF 垂直DE ，则两种方案的DEF 的面积分别设为2S ，3S ，则2S 和3S 哪一个更小？【解析】(1)解： 点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，1BC =∴π6PCB ∠=且由余弦定理可得：222cos 2PB PC BC CPB PB PC +-∠=⋅解得：PC =又 π2ACB ∠=∴π3ACP ∠= 在Rt ACB 中，2AB =，1BC =∴AC =在ACP △中，由余弦定理得2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅解得，3AP=AP PC PB ∴++==.(2)解：设图②中的正三角形DEF 的边长为a ，CEF α∠=，（0απ<<）则sin CF a α=，sin AF a α=-，设1EDB ∠=∠，可得213B DEB DEB ππ∠=-∠-∠=-∠233DEB DEB ππαπ=--∠=-∠2133ADF πππα∴∠=--∠=-在ADF 中，由正弦定理得：sin sin DF AF A ADF=∠∠，即sin sin 63a πα=- ⎪⎝⎭即1sin 23a α=- ⎪⎝⎭22sin sin 3a παα⎡⎤⎛⎫⋅-+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴7a=≥（其中，θ为锐角，且tanθ=）∴()22minmin344728S a===图③中，设BE x=，()0,1∈xDE平行AB，且EF垂直DE3DECπ∴∠=，6FEBπ∠=，2EFBπ∠=cos6EF xπ∴=⋅=，222cos3CEDE CE xπ===-()()2311222222S EF DE x x x x∴=⋅=⨯⨯-=-+，()0,1∈x∴当()11212x=-=⨯-时，3S取得最大值8，无最小值，即3S⎛∈⎝⎦()()23min288maxS S∴=>=即方案②面积的最小值大于方案③面积的最大值，即3S更小. 44．如图，在梯形ABCD中，//AB CD，2AB=，5CD=，23ABCπ∠=．(1)若AC=ABCD的面积；(2)若AC BD⊥，求tan ABD∠．【解析】(1)设BC x=，在ABC中，由余弦定理2222cosAC AB BC AB BC ABC=+-⋅∠得：22228222cos3x xπ=+-⋅⋅⋅，即22240x x+-=，而x>0，解得4x=，所以4BC=，则ABC的面积11sin2422ABCS AB BC ABC=⋅⋅∠=⋅⋅=△，梯形ABCD中，//AB CD，ABC与ADC等高，且52ABCD=，所以ADC的面积52ABCADCSS==△△ABCD的面积ABC ADCS S S=+=△△；(2)在梯形ABCD中，设ABDα∠=，而AC BD⊥，则BDCα∠=，2BACπα∠=-，23DBC aπ∠=-，6BCAπα∠=-，在ABC中，由正弦定理sin sinAB BCBCA BAC=∠∠得：2sin()sin()62BCππαα=--，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BCDBC BDC=∠∠得：52sin sin()3BCπαα=-，两式相除得：212sin()2)sin sin 32cos 5sin()sin()62παααααππααα-⋅+=⇒--，整理得227sin cos cos 0αααα--=，即27tan 0αα--解得tan α=tan 5α=，因为(,)62ππα∈，则tan α=tan ABD ∠=．45．如图，边长为2的等边三角形ABC 中，O 是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点（不含端点），记BOD θ∠=.①②（1）在图①中，120DOE ∠=︒，试将AD ，AE 分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD AE +为定值；（2）在图②中，60DOE ∠=︒，问此时AD AE +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD AE +的取值范围.【解析】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE CO θθ=︒-︒+故()sin sin 120BD θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE θθ︒-=︒+，所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒.从而()()()sin 60sin 4sin 120sin 60AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+()()()sin 60sin 4sin 60sin 60θθθθ︒-=--︒+︒+()()sin sin 604sin 60θθθ+︒-=-︒+1sin sin 24322θθθ+-=-，从而3AD AE +=为定值；（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()sin 120sin CE COθθ=︒-，故()sin sin 120BD θθ=︒-，()sin 120sin CE θθ︒-=，所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()sin 1202sin AE θθ︒-=-，()30,90θ∈︒︒，()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，()30,90θ∈︒︒.令()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，()30,90θ∈︒︒()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，设()sin 120sin u θθ︒-=，则1y u u =+，()1sin sin 12022sin sin u θθθθθ+︒-==112tan 2θ=+，由()30,90θ∈︒︒，tan ,3θ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(1tan θ∈，111,22tan 22u θ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又1y u u =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以52,2y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因此34,22AD AE y ⎛⎤+=-∈ ⎥⎝⎦.46．已知函数21())sin()cos22f x x x x ππ=-++-（1）求函数()f x 的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1(),42f A b ==，求ABC 面积S 的取值范围【解析】（1）()()2211sin cos cos cos 222f x x xx x x x ππ⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭1πcos2sin 226x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭由()()πππ2ππ2π22π2π22π26233-+≤+≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z k x k k k x k k 解得：()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）1()2=f A Q ，π1sin 262⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭A ，又π02A <<，π5π266∴+=A ，π3A ∴=，又4b =，1sin 2∴==V ABC S A。
(完整版)解三角形练习题及答案
解三角形习题及答案一、选择题(每题5分，共40分）1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ）． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°2、在△ABC 中，下列等式正确的是（ )．A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin BC ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2C ．1∶4∶9D ．1∶2∶34、在△ABC 中,a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°,则c 等于( ）．A ．25B ．5C ．25或5D ．10或55、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6,b ＝4,那么满足条件的△ABC 的形状大小( ）．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为︒︒-︒︒A.23- B 。
21- C 。
21D 。
238、化简1tan151tan15+-等于 ( ）AB．2C ．3D ．1二、填空题（每题5分,共20分）9、已知cos α－cos β=21,sin α－sin β=31，则cos （α－β)=_______．10、在△ABC 中,∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A cb a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ．班别: 姓名： 序号： 得分：9、10、11、12、 三、解答题13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．14、（14分)已知21)tan(=-βα，71tan -=β，求)2tan(βα-的值15、（16分）已知x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=,(1）求函数)(x f 的取最小值时x 的集合; （2）求函数单调增区间及周期。
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实用文档之"第一章解三角形"
一、选择题
1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为()．A．90°B．120°C．135°
D．150°
2．在△ABC中，下列等式正确的是()．
A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin B
C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B
3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为()．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2
C．1∶4∶9 D．1∶2∶3
4．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于()．
A．25B．5C．25或5
D．10或5
5．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小()．
A．有一种情形B．有两种情形
C．不可求出D．有三种以上情形
6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0，则△ABC是()．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形
D．形状不能确定
7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a＝()．
A．3B．23C．3或23D．2
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为
2
3
，那么b ＝( )． A ．2
3
1+ B ．1＋3
C ．
2
3
2+ D ．2
＋3
9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．
A ．3
B ．23
C ．3或23
D ．3
10．有一电视塔，在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°，若AB ＝120米，则电视塔的高度为( )．
A ．603米
B ．60米
C ．603米或60米
D ．30米 二、填空题
11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ． 12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 13．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C
B A c
b a sin sin sin ++++＝ ．
14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝
2
3
，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ ．
16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．
三、解答题
17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．
18．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．
19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)a cos A ＝b cos B ； (2)A a cos ＝B b cos ＝C
c
cos ．
20．△ABC 中，己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．
第一章 解三角形
参考答案
一、选择题 1．B
解析：设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0)，中间角为 α， 由cos α＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝2
1
，得 α＝60°，
∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°． 2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．B
解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧︒
︒30cos 2－＋＝23＝30sin 21
2＝＋222ac c a b ac b
c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋2
2
代入后消去a ，c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1，故选B ． 9．C 10．A 二、填空题 11．56． 12．2． 13．23．
解析：设
A a
sin ＝B b sin ＝C
c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒
60sin 3
＝23． 14．
3
2π． 15．43． 16．－
4
1． 三、解答题
17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．
解法1：由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26
·22＝2
3． ∵c sin A ＝6×
2
2
＝3，a ＝2，c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，
∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°． 故b ＝
A
a
sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 解法2：由余弦定理得
b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4， ∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又(6)2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±2
1
，∠C ＝60°或∠C ＝120°， 所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．
∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵
B b sin ＝C
c
sin ，
∴sin C ＝
b B
c sin ⋅＝3
60sin 1︒⋅＝21
．
∵b ＞c ，∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°． 由勾股定理a ＝22＋c b ＝2， 即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．
19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． (1)解法1：由余弦定理得
a cos A ＝
b cos B ⇒a ·(b
c a c b 2222-+)＝b ·(ac c b a 22
22+-)⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2
＋b 4＝0，
∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 解法2：由正弦定理得 sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B
⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，π) ⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝
2
π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
(2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得
A A R cos sin 2＝
B B
R cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴
A A cos sin ＝
B B
cos sin ＝C
C cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ． ∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ， ∴△ABC 为等边三角形．
20．解析：利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ，这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．
解：由正弦定理
A a
sin ＝C
c sin 及∠A ＝2∠C ，得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝C c
sin ， ∴cos C ＝
c
a
2． 由余弦定理cos C ＝ab
c b a 22
22-+，
∵b ＝4，a ＋c ＝8， ∴a ＋c ＝2b ，
∴cos C ＝)
()(c a a c c a a ＋－4＋＋2
22
＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5，
∴
c a
2＝a
c a 43－5， 整理得(2a －3c )(a －c )＝0， ∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8， ∴a ＝524，c ＝5
16
．。