重庆第二外国语学校2019-2020年中考数学模拟试卷(三) 解析版
2019年重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷含参考答案(3月份)
2019年重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题：（本大题12个小题, 每小题4分, 共48分）在每个小题的下面, 都给出了四个答案, 其中只有一个是正确的, 请在答题卡上将正确答案对应的方框涂黑.1．（4分）下列实数中, 最小的数是（）A．B．2C．0D．2．（4分）剪纸是我国传统的民间艺术, 下列剪纸作品中, 是轴对称图形的为（）A．B．C．D．3．（4分）估计﹣的计算结果应在下列哪两个自然数之间（）A．3和4B．4和5C．5和6D．6和74．（4分）下列调查中, 最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对华为某型号手机电池待机时间的调查B．对全国中学生观看电影《流浪地球》情况的调查C．对中央电视台2019年春节联欢晚会满意度的调查D．对“长征五号B”运载火箭零部件安全性的调查5．（4分）下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字, 其中第①个“山”字中有7颗棋子, 第②个“山”字中有12颗棋子, 第③个“山”字中有17颗棋子, …, 按照此规律, 第⑥个“山”字中棋子颗数为（）颗．6．（4分）若△ABC∽△DEF, 相似比为2：1, 则△ABC与△DEF对应的高线之比为（）A．1：2B．2：1C．4：1D．1：47．（4分）按如图所示的运算程序, 若输入x＝2, 则输出的y值为（）A．5B．11C．23D．478．（4分）三月八日是国际妇女节, 这天花店的鲜花特别畅销．鲜花主要有玫瑰、百合、康乃馨等．若1枝玫瑰和1枝百合需要22元, 刘老师用116元买了8枝玫瑰和3枝百合, 若设每枝玫瑰x元, 每枝百合y元, 由题意可列二元一次方程组得（）A．B．C．D．9．（4分）如图, 已知正△ABC的边长为6, ⊙O是它的内切园, 则图中阴影部分的面积为（）A．3﹣πB．2π﹣2C．3﹣D．4﹣2π10．（4分）山重水复的地形景观造就了网红重庆, 南山的一棵树观景台更是外地游客打卡的必去之地．如图, 山坡AB的坡度为1：2.4, 坡上有一棵树BC, 当太阳光线与水平线成68°沿斜坡照下时, 在斜坡上的树影AB长为13米, 则这棵树BC高度为（）米．（结果保留一位小数, 参考数据：sin68°≈0.93, cos68°≈0.38, tan68°≈2.48）A．29.7B．29.8C．24.8D．24.711．（4分）如图, 矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0, x＞0）, 若矩形ABCD的面积为10, 则k的值为（）A．10B．4C．3D．512．（4分）若整数a使得关于x的方程2﹣＝的解为非负数, 且使得关于y的不等式组至少有三个整数解, 则符合条件的整数a的个数为（）A．6B．5C．4D．3二、填空题：（本大題6个小题, 每小题4分, 共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应题号后面的横线上.13．（4分）小时候我们用肥皂水吹泡泡, 其泡沫的厚度约0.000326毫米, 用科学记数法表示为．14．（4分）如图, ⊙O的直径CD过弦EF的中点G, ∠EOD＝40°, 则∠FCD的度数为．15．（4分）如图所示, 在△ABC中, D、E、F分别在AB、AC、BC上, DE∥BC, DF∥AC, 若AD＝1, DB＝2, △ABC的面积为9, 则四边形DFCE的面积是．16．（4分）不透明的袋子里装有除标号外完全一样的三个小球, 小球上分别标有﹣1, 2, 3三个数, 从袋子中随机抽取一个小球, 记标号为k, 放回后将袋子摇匀, 再随机抽取一个小球, 记标号为b．两次抽取完毕后, 直线y＝kx与反比例函数y＝的图象经过的象限相同的概率为．17．（4分）小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发, 到达终点B地停止运动, 小明从起点A地与小亮同时出发, 到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动, 在返途经过某地时小明的体力下降, 并将速度降至3米/秒跑回终点C地, 结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中, 小亮和小明均保持匀速, 两人距C地的路程和记为y（米）, 小亮跑步的时间记为x（秒）, y与x的函数关系如图所示, 则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时, 他距C地还有米．18．（4分）某商店为促进销售, 将A、B、C三种糖果以甲、乙两种方式进行搭配销售, 两种方式均配成本价为5元的包装袋, 甲方式每袋含A糖果1千克, B糖果1千克, C糖果3千克, 乙方式每袋含A糖果3千克, B糖果1千克, C糖果1千克, 已知每千克C 糖果比每千克A糖果成本价高2.5元, 甲种方式（含包装袋）每袋成本为55元, 现甲、乙两种方式分别在成本价（含包装袋）基础上提价20%和35%进行销售, 两种方式销售完毕后利润率达到30%, 则甲、乙两种方式的销量之比为．三、解答题：（本大题7个小题, 每小题10分, 共70分）解答时, 每小题必须给出必要的验算过程或推理步骤, 画出必要的图形（包括辅助线）, 请将解答过程书写在答题卡对应的位置上19．（10分）计算：（1）（﹣1）2019﹣|﹣2|+（π﹣）0+×（﹣）﹣1（2）（+a﹣2）÷20．（10分）已知：如图, 在△ABC中, D是边AC上一点, AB＝BD＝DC, ∠ABD＝20°, AE∥BD交CB延长线于点E．求∠AEB的度数．21．（10分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元, 其中甲种水果8元/千克, 乙种水果18元/千克．6月份, 这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克, 乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同, 将多支付货款300元, 求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克, 且甲种水果不超过乙种水果的3倍, 则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？22．（10分）赏中华诗词, 寻文化基因, 品生活之美”, 某校举办了首届“中国诗词大会”, 全校同时默写50首古诗词, 每正确默写出一首古诗词得2分, 结果有500名进入决赛, 从这500名的学生中随机抽取50名学生进行成绩分析, 根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：（最高分98分）：组别成绩x分频数（人数）第1组50≤x＜606第2组60≤x＜708第3组70≤x＜8014第4组80≤x＜90a第5组90≤x＜10010Ⅰ．第3组的具体分数为：70, 70, 70, 72, 72, 74, 74, 74, 76, 76, 78, 78, 78, 78Ⅱ.50人得分平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数得分（分）m n 请结合图表数据信息完成下列各题：（1）填空a＝, m＝；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于80分为优秀, 估计进入决赛的本次测试为的优秀的学生有多少？23．（10分）如图, △ABC中, 点P是从顶点B出发, 沿B→C→A以每秒2个单位的速度匀速运动到A点, 设运动时间为x秒, BP长度为y．某学习小组对函数y随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程, 请补充完整：（1）通过取点、画图、测量, 得到了x（秒）与y（单位）的几组值, 如表：x0123567891011y0.0 2.0 4.01.009.08.38 9.010.0（说明：补全表格上相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系, 描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点, 画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象, 解决问题：当x约为时, 线段BP＝CP．24．（10分）如图, 在▱ABCD中, CE⊥AD交DA延长线于点E, 交AB于点H．点F为CD边上的一点, 且CB＝CE＝CF, 连接BF并延长交CE于点G, 交AD的延长线于点L．（1）若∠ADC＝30°, CF＝2, 求EH的长；（2）求证：AB＝ED+CG．25．（10分）如果关于x的一元二次方程a2x+bx+c＝0有2个实数根, 且其中一个实数根是另一个实数根的3倍, 则称该方程为“立根方程”．（1）方程x2﹣4x+3＝0立根方程, 方程x2﹣2x﹣3＝0立根方程；（请填“是”或“不是”）（2）请证明：当点（m, n）在反比例函数y＝上时, 一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；（3）若方程ax2+bx+c＝0是立根方程, 且两点P（p+p2+1, q）、Q（﹣p2+5+q, q）均在二次函数y＝ax2+bx+c上, 请求方程ax2+bx+c＝0的两个根．26．（10分）如图①, 已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0, 3）、B（1, 0）, 其对称轴为直线1：x＝2, 过点A作AC∥x轴交抛物线于点C, ∠AOB的平分线交线段AC于点E, 点P是抛物线上的一个动点, 设其横坐标为m．（1）若动点P在直线OE下方的抛物线上, 连结PE、PO, 当m为何值时, 四边形AOPE 面积最大？当四边形AOPE面积最大时, 在抛物线对称轴直线上找一点M, 使得|MB﹣MP|的值最大, 并求出这个最大值．（2）如图②, F是抛物线的对称轴l上的一点, 在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在, 直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在, 请说明理由．2019年重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题, 每小题4分, 共48分）在每个小题的下面, 都给出了四个答案, 其中只有一个是正确的, 请在答题卡上将正确答案对应的方框涂黑.1．（4分）下列实数中, 最小的数是（）A．B．2C．0D．【解答】解：∵正数和0都大于负数,可见B、C选项错误；∵|﹣|＜|﹣|,∴﹣＞﹣,∴﹣最小,故选：A．2．（4分）剪纸是我国传统的民间艺术, 下列剪纸作品中, 是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形, 故本选项错误；B、不是轴对称图形, 故本选项错误；C、不是轴对称图形, 故本选项错误；D、是轴对称图形, 故本选项正确．故选：D．3．（4分）估计﹣的计算结果应在下列哪两个自然数之间（）A．3和4B．4和5C．5和6D．6和7【解答】解：﹣＝4,∵4＝,∴5＜＜6,故选：C．4．（4分）下列调查中, 最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对华为某型号手机电池待机时间的调查B．对全国中学生观看电影《流浪地球》情况的调查C．对中央电视台2019年春节联欢晚会满意度的调查D．对“长征五号B”运载火箭零部件安全性的调查【解答】解：A．对华为某型号手机电池待机时间的调查, 适合抽样调查；B．对全国中学生观看电影《流浪地球》情况的调查, 适合抽样调查；C．对中央电视台2019年春节联欢晚会满意度的调查, 适合抽样调查；D．对“长征五号B”运载火箭零部件安全性的调查, 需要进行全面调查；故选：D．5．（4分）下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字, 其中第①个“山”字中有7颗棋子, 第②个“山”字中有12颗棋子, 第③个“山”字中有17颗棋子, …, 按照此规律, 第⑥个“山”字中棋子颗数为（）颗．A．32B．37C．22D．42【解答】解：设第n个“山”字中有a n个棋子,观察图形, 可知：a1＝7, a2＝a1+5＝12, a3＝a1+5×2＝17, a4＝a1+5×3＝22, …, （可直接利用列举法, 找出第⑥个“山”字中棋子颗数）∴a n＝a1+5（n﹣1）＝5n+2（n为正整数）,∴a6＝5×6+2＝32．故选：A．6．（4分）若△ABC∽△DEF, 相似比为2：1, 则△ABC与△DEF对应的高线之比为（）A．1：2B．2：1C．4：1D．1：4【解答】解：∵△ABC∽△DEF, 相似比为2：1,∴△ABC与△DEF对应的高线之比2：1,故选：B．7．（4分）按如图所示的运算程序, 若输入x＝2, 则输出的y值为（）A．5B．11C．23D．47【解答】解：把x＝2代入得：y＝4+1＝5, 此时|2﹣5|＝3＜6, 不满足条件, 进行下一轮循坏；令x＝y＝5, y＝10+1＝11, 此时|5﹣11|＝6＝6, 不满足条件, 进行下一轮循坏；令x＝y＝11, y＝22+1＝23, 此时|11﹣23|＝12＞6, 满足条件, 输出结果, 此时y＝23．故选：C．8．（4分）三月八日是国际妇女节, 这天花店的鲜花特别畅销．鲜花主要有玫瑰、百合、康乃馨等．若1枝玫瑰和1枝百合需要22元, 刘老师用116元买了8枝玫瑰和3枝百合, 若设每枝玫瑰x元, 每枝百合y元, 由题意可列二元一次方程组得（）A．B．C．D．【解答】解：设每枝玫瑰x元, 每枝百合y元,依题意, 得：．故选：A．9．（4分）如图, 已知正△ABC的边长为6, ⊙O是它的内切园, 则图中阴影部分的面积为（）A．3﹣πB．2π﹣2C．3﹣D．4﹣2π【解答】解：△ABC是正三角形, ⊙O是它的内切圆,所以△AOB的面积是正△ABC的, 扇形的面积是圆面积的,阴影部分的面积＝S△ABC﹣S⊙O,因为正△ABC的边长为6,则正三角形的高为,⊙O的半径＝,所以S阴影＝S△ABC﹣S⊙O＝（×6×3﹣3π）＝3﹣π．故选：A．10．（4分）山重水复的地形景观造就了网红重庆, 南山的一棵树观景台更是外地游客打卡的必去之地．如图, 山坡AB的坡度为1：2.4, 坡上有一棵树BC, 当太阳光线与水平线成68°沿斜坡照下时, 在斜坡上的树影AB长为13米, 则这棵树BC高度为（）米．（结果保留一位小数, 参考数据：sin68°≈0.93, cos68°≈0.38, tan68°≈2.48）A．29.7B．29.8C．24.8D．24.7【解答】解：延长CB交AD于E．设BC＝xm．在Rt△ABE中, ∵AB＝13m, BE：AE＝1：2.4,∴AE＝12（m）, BE＝5（m）,在Rt△ACE中, ∵tan68°＝,∴2.48＝,∴x＝24.76≈24.8,∴BC＝24.8（m）,故选：C．11．（4分）如图, 矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0, x＞0）, 若矩形ABCD的面积为10, 则k的值为（）A．10B．4C．3D．5【解答】设A（）,∴AB＝,∵矩形的面积为10,∴BC＝,∴矩形ABCD对称中心的坐标为：矩形对称中心的坐标为：（）, 即（）∵对称中心在的图象上,∴,∴mk﹣5m＝0,∴m（k﹣5）＝0,∴m＝0（不符合题意, 舍去）或k＝5,故选：D．12．（4分）若整数a使得关于x的方程2﹣＝的解为非负数, 且使得关于y的不等式组至少有三个整数解, 则符合条件的整数a的个数为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：,不等式组整理得：,得到﹣1＜y≤a,由不等式组至少有三个整数解,解得：a≥2, 即整数a＝2, 3, 4, 5, 6, …,2﹣＝,去分母得：2（x﹣2）﹣3＝﹣a,解得：x＝,∵≥0, 且≠2,∴a≤7, 且a≠3,由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件, 得到a为2, 4, 5, 6, 7．故选：B．二、填空题：（本大題6个小题, 每小题4分, 共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应题号后面的横线上.13．（4分）小时候我们用肥皂水吹泡泡, 其泡沫的厚度约0.000326毫米, 用科学记数法表示为 3.26×10﹣4．【解答】解：0.000326＝3.26×10﹣4,故答案是：3.26×10﹣4．14．（4分）如图, ⊙O的直径CD过弦EF的中点G, ∠EOD＝40°, 则∠FCD的度数为20°．【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∴＝,∴∠DCF＝∠EOD,∵∠EOD＝40°,∴∠FCD＝20°,故答案为：20°．15．（4分）如图所示, 在△ABC中, D、E、F分别在AB、AC、BC上, DE∥BC, DF∥AC, 若AD＝1, DB＝2, △ABC的面积为9, 则四边形DFCE的面积是4．【解答】解：∵AD＝1, DB＝2,∴＝, ＝,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴＝（）2＝（）2＝,∴S△ADE＝S△ABC＝1,同理, S△BDF＝S△ABC＝4,∴平行四边形DFCE的面积为：9﹣S△ADE﹣S△BDF＝9﹣1﹣4＝4,故答案为：4．16．（4分）不透明的袋子里装有除标号外完全一样的三个小球, 小球上分别标有﹣1, 2, 3三个数, 从袋子中随机抽取一个小球, 记标号为k, 放回后将袋子摇匀, 再随机抽取一个小球, 记标号为b．两次抽取完毕后, 直线y＝kx与反比例函数y＝的图象经过的象限相同的概率为．【解答】解：由题意可得,∵从袋子中随机抽取一个小球, 记标号为k, 放回后将袋子摇匀, 再随机抽取一个小球, 记标号为b,∴直线y＝kx与反比例函数y＝的图象经过的象限相同的可能性为：（﹣1, ﹣1）, （2, 2）, （2, 3）, （3, 2）, （3, 3）,∴直线y＝kx与反比例函数y＝的图象经过的象限相同的概率为：．17．（4分）小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发, 到达终点B地停止运动, 小明从起点A地与小亮同时出发, 到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动, 在返途经过某地时小明的体力下降, 并将速度降至3米/秒跑回终点C地, 结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中, 小亮和小明均保持匀速, 两人距C地的路程和记为y（米）, 小亮跑步的时间记为x（秒）, y与x的函数关系如图所示, 则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时, 他距C地还有180米．【解答】解：由图象可知, x＝0时, y＝100, 即开始时小亮在C地小明在A地, 两人相距100米,∴AC＝100,当x＝25时, y最小, 即小明到达C地,∴小明开始速度为：100÷25＝4（米/秒）, 返回速度为4×1.5＝6（米/秒）,当x＝100时, 小明到达B地,∴AB＝4×100＝400（米）,∴BC＝AB﹣AC＝300（米）,当y＝480最大时, 小明休息完20秒, 即x＝120,此时, 小亮离C地距离为480﹣300＝180（米）,∴小亮速度为：180÷120＝（米/秒）,∴两人走完全程所用时间为：300÷＝200（秒）,∴小明返回C地所用时间为：200﹣120＝80（秒）,设小明返回时在a秒时速度下降到3米/秒, 列方程得：6a+3（80﹣a）＝300,解得：a＝20．此时离C地距离为：3×（80﹣20）＝180（米）．故答案为：18018．（4分）某商店为促进销售, 将A、B、C三种糖果以甲、乙两种方式进行搭配销售, 两种方式均配成本价为5元的包装袋, 甲方式每袋含A糖果1千克, B糖果1千克, C糖果3千克, 乙方式每袋含A糖果3千克, B糖果1千克, C糖果1千克, 已知每千克C 糖果比每千克A糖果成本价高2.5元, 甲种方式（含包装袋）每袋成本为55元, 现甲、乙两种方式分别在成本价（含包装袋）基础上提价20%和35%进行销售, 两种方式销售完毕后利润率达到30%, 则甲、乙两种方式的销量之比为5：11．【解答】解：∵两种方式均配成本价为5元的包装袋, 甲方式每袋含A糖果1千克, B 糖果1千克, C糖果3千克, 乙方式每袋含A糖果3千克, B糖果1千克, C糖果1千克, 已知每千克C糖果比每千克A糖果成本价高2.5元,∴一袋甲糖果成本比一袋乙糖果成本多：2.5×2＝5（元/袋）,∵甲种方式（含包装袋）每袋成本为55元,∴乙种方式（含包装袋）每袋成本为50元,设甲、乙两种方式各自的销量分别为x袋和y袋, 根据题意得,55×0.2x+50×0.35y＝30%（55x+50y）,整理得, 5.5x＝2.5y,∴x：y＝5：11．故答案为：5：11．三、解答题：（本大题7个小题, 每小题10分, 共70分）解答时, 每小题必须给出必要的验算过程或推理步骤, 画出必要的图形（包括辅助线）, 请将解答过程书写在答题卡对应的位置上19．（10分）计算：（1）（﹣1）2019﹣|﹣2|+（π﹣）0+×（﹣）﹣1（2）（+a﹣2）÷【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2+1﹣2×（﹣2）＝﹣2+4＝2；（2）原式＝÷＝•＝；20．（10分）已知：如图, 在△ABC中, D是边AC上一点, AB＝BD＝DC, ∠ABD＝20°, AE∥BD交CB延长线于点E．求∠AEB的度数．【解答】解：∵AB＝BD, ∠ABD＝20°,∴∠ADB＝80°,∵BD＝DC,∴∠CBD＝40°,∵AE∥BD,∴∠AEB＝40°．21．（10分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元, 其中甲种水果8元/千克,乙种水果18元/千克．6月份, 这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克, 乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同, 将多支付货款300元, 求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克, 且甲种水果不超过乙种水果的3倍, 则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克, 购进乙种水果y千克,根据题意得：,解得：．答：该店5月份购进甲种水果100千克, 购进乙种水果50千克．（2）设购进甲种水果a千克, 需要支付的货款为w元, 则购进乙种水果（120﹣a）千克,根据题意得：w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400．∵甲种水果不超过乙种水果的3倍,∴a≤3（120﹣a）,解得：a≤90．∵k＝﹣10＜0,∴w随a值的增大而减小,∴当a＝90时, w取最小值, 最小值﹣10×90+2400＝1500．∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．22．（10分）赏中华诗词, 寻文化基因, 品生活之美”, 某校举办了首届“中国诗词大会”, 全校同时默写50首古诗词, 每正确默写出一首古诗词得2分, 结果有500名进入决赛, 从这500名的学生中随机抽取50名学生进行成绩分析, 根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：（最高分98分）：组别成绩x分频数（人数）第1组50≤x＜606第2组60≤x＜708第3组70≤x＜8014第4组80≤x＜90a第5组90≤x＜10010Ⅰ．第3组的具体分数为：70, 70, 70, 72, 72, 74, 74, 74, 76, 76, 78, 78, 78, 78Ⅱ.50人得分平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数得分（分）m n请结合图表数据信息完成下列各题：（1）填空a＝12, m＝3；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于80分为优秀, 估计进入决赛的本次测试为的优秀的学生有多少？【解答】解：（1）a＝50﹣（6+8+14+10）＝12,中位数为第25、26个数的平均数, 而第25、26个数均为78分,所以中位数为78分,故答案为：12, 3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）500×＝220,答：估计进入决赛的本次测试为的优秀的学生有220人．23．（10分）如图, △ABC中, 点P是从顶点B出发, 沿B→C→A以每秒2个单位的速度匀速运动到A点, 设运动时间为x秒, BP长度为y．某学习小组对函数y随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程, 请补充完整：（1）通过取点、画图、测量, 得到了x（秒）与y（单位）的几组值, 如表：x0123567891011y0.0 2.0 4.06 1.009.08.388.39.010.0（说明：补全表格上相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系, 描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点, 画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象, 解决问题：当x约为 2.5或7时, 线段BP＝CP．【解答】解：（1）由图表得：当x＝3时, y＝6,当x＝9时, y＝8.3,故答案为：6, 8.3；（2）描点、连线, 画出图象, 如图所示．（3）由题意得：当0≤x≤5时, P在BC上, 此时y＝10﹣2x,当5＜x≤11时, PC＝2x﹣10, y＝2x﹣10, 画图可得：当x＝2.5或7时, BP＝PC．故答案为：2.5或7．24．（10分）如图, 在▱ABCD中, CE⊥AD交DA延长线于点E, 交AB于点H．点F为CD边上的一点, 且CB＝CE＝CF, 连接BF并延长交CE于点G, 交AD的延长线于点L．（1）若∠ADC＝30°, CF＝2, 求EH的长；（2）求证：AB＝ED+CG．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD, BC＝AD, BC∥AD, AB∥CD,∵CB＝CE＝CF, CF＝2,∴AD＝CE＝2,在Rt△CED中, ∠ADC＝30°,∴CD＝2CE＝4, DE＝＝＝6,∴AE＝DE﹣AD＝6﹣2,∵AB∥CD,∴△EAH∽△EDC,∴＝, 即＝,解得：EH＝2﹣2；（2）证明：延长LE, 截取EP＝CG, 连接CP, 如图所示：∵BC∥AD, CE⊥AD,∴∠CEP＝∠BCG＝90°,在△CEP和△BCG中, ,∴△CEP≌△BCG（SAS）,∴BG＝CP, ∠PCE＝∠GBC,∵∠BGC＝90°﹣∠GBC, ∠CPE＝90°﹣∠PCE,∴∠BGC＝∠CPE,∵BC＝CF,∴∠CBF＝∠CFB,∴∠PCE＝∠CFB,∴∠BGC＝∠CFB+∠FCG＝∠PCE+∠FCG＝∠PCF,∴DP＝CD,∵AB＝CD,∴AB＝DP＝ED+EP＝ED+CG．25．（10分）如果关于x的一元二次方程a2x+bx+c＝0有2个实数根, 且其中一个实数根是另一个实数根的3倍, 则称该方程为“立根方程”．（1）方程x2﹣4x+3＝0是立根方程, 方程x2﹣2x﹣3＝0不是立根方程；（请填“是”或“不是”）（2）请证明：当点（m, n）在反比例函数y＝上时, 一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；（3）若方程ax2+bx+c＝0是立根方程, 且两点P（p+p2+1, q）、Q（﹣p2+5+q, q）均在二次函数y＝ax2+bx+c上, 请求方程ax2+bx+c＝0的两个根．【解答】解：（1）解方程x2﹣4x+3＝0, 得：x1＝3, x2＝1,∵x1＝3x2,∴方程x2﹣4x+3＝0是立根方程；解方程x2﹣2x﹣3＝0, 得：x1＝3, x2＝﹣1,∵x1＝﹣3x2,∴方程x2﹣2x﹣3＝0不是立根方程．故答案为：是, 不是．（2）∵点（m, n）在反比例函数y＝的图象上,∴n＝,mx2+4x+n＝0即mx2+4x+＝0解方程（mx）2+4mx+3＝0得：x1＝﹣, x2＝﹣,∴x1＝3x2,当点（m, n）在反比例函数y＝上时, 一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；（3）∵方程ax2+bx+c＝0是立根方程,∴设x1＝3x2,∵相异两点P（p+p2+1, q）, Q（﹣p2+5+q, q）都在抛物线y＝ax2+bx+c上,∴抛物线的对称轴x＝＝＝,∴x1+x2＝6+p+q,∴3x2+x2＝6+p+q,∴x2＝,∴x1＝3x2＝．所以方程ax2+bx+c＝0的两个根为：x1＝, x2＝．26．（10分）如图①, 已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0, 3）、B（1, 0）, 其对称轴为直线1：x＝2, 过点A作AC∥x轴交抛物线于点C, ∠AOB的平分线交线段AC于点E, 点P是抛物线上的一个动点, 设其横坐标为m．（1）若动点P在直线OE下方的抛物线上, 连结PE、PO, 当m为何值时, 四边形AOPE 面积最大？当四边形AOPE面积最大时, 在抛物线对称轴直线上找一点M, 使得|MB﹣MP|的值最大, 并求出这个最大值．（2）如图②, F是抛物线的对称轴l上的一点, 在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在, 直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D,由对称性得：D（3, 0）,设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）,把A（0, 3）代入得：3＝3a, 解得a＝1,∴抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3,如图1, 作OE的平行线l, 交抛物线于x轴下方一点,∵△AOE的面积是定值, 所以当△OEP面积最大时, 四边形AOPE面积最大, 设P（m, m2﹣4m+3）,∵OE平分∠AOB, ∠AOB＝90°,∴∠AOE＝45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE＝OA＝3,∴E（3, 3）,易得OE的解析式为：y＝x,过P作PG∥y轴, 交OE于点G,∴G（m, m）,∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3,∴S四边形AOPE＝S△AOE+S△POE＝＝＝＝,∵,∴当时, S有最大值是；易知点P的坐标为,∵BP+MP≥MB,∴当点P、M、B在一条直线上时, |MB﹣MP|的值最大,设直线BM的解析式为y＝kx+b．∵将点B, 点P的坐标代入得：, 解得, ∴直线BM的解析式为, ,∵抛物线的对称轴为,点M的横坐标为2,∵将x＝2代入直线BM的解析式得．∴点M的坐标为；（2）分四种情况：①当P在对称轴的左边, 且在x轴下方时, 如图2, 过P作MN⊥y轴, 交y轴于M, 交l于N,∵△OPF是等腰直角三角形, 且OP＝PF,易得△OMP≌△PNF,∴OM＝PN,∵P（m, m2﹣4m+3）,则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m,解得：, （舍）或,∴P的坐标为；②当P在对称轴的左边, 且在x轴上方时, 如图3,同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3,解得：（舍）或,∴P的坐标为；③当P在对称轴的右边, 且在x轴下方时,如图3, 过P作MN⊥x轴于N, 过F作FM⊥MN于M,同理得△ONP≌△PMF,∴PN＝FM,则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2,解得：或, （舍）；P的坐标为；④当P在对称轴的右边, 且在x轴上方时,同理得m2﹣4m+3＝m﹣2,解得：或（舍）P的坐标为：．综上所述, 点P的坐标是：或或．。
重庆第二外国语学校2019年中考数学模拟试卷(4) 含解析
2019年中考数学模拟试卷（4）一．选择题（共12小题）1．﹣6的倒数是（）A．﹣6 B．6 C．D．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1+∠4＝180°4．若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≠﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣65．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：6．下列命题是真命题的是（）A．多边形的内角和为360°B．若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0C．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，2）D．矩形的对角线互相垂直平分7．估计（）÷的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间8．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣29．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中有（）个棋子．A．35 B．40 C．45 D．5010．位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度AB进行了测量．如图，他们从塔底A的点B出发，沿水平方向行走了13米，到达点C，然后沿斜坡CD继续前进到达点D处，已知DC＝BC．在点D处用测角仪测得塔顶A的仰角为42°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．其中测角仪及其支架DE高度约为0.5米，斜坡CD 的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么文峰塔的高度AB约为（）（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．22.5 米B．24.0 米C．28.0 米D．33.3 米11．如图，在平面直角坐标系中，△ABE的顶点E在y轴上，原点O在AB边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过顶点A和B，并与BE边交于点C，若BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣712．若数a既使关于x的不等式组无解，又使关于x的分式方程＝1的解小于4，则满足条件的所有整数a的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共6小题）13．因式分解：3a2﹣6a＝．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB 交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为．15．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝°．16．现有五个小球，每个小球上面分别标着1，2，3，4，5这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字4、5的两个小球放入不透明的口袋A中，把分别标有数字1、2、3的三个小球放入不透明的口袋B中，现随机从A 和B两个口袋中各取出一个小球，把从A口袋中取出的小球上标的数字记作m，从B口袋中取出的小球上标的数字记作n，且m﹣n＝k，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k 与x轴有交点的概率是．17．甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地，乙车先出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足，甲到服务区加油花了6分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到B地，如图是甲、乙两车之间的距离s（km2），乙车出发时间t（h）之间的函数关系图象，则甲车比乙车早到分钟．18．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多元．三．解答题（共4小题）19．计算或化简下列各式：（1）﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|﹣5|（2）20．如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝DF （1）证明：△ABC的等腰三角形；（2）连接AD，若AB＝5，BC＝8，求DE的长．21．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+122．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．（1）点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；（2）如图2，在（1）的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A与点C重合，从而得到△A′H′L′（点A，H，L分别对应点A′，H′，L′），再将△A′H′L′绕点H′逆时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转过程中，边A′L′所在直线交直线DE于Q，交y轴于点R，求当△PQR为等腰三角形时，直接写出PR 的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．﹣6的倒数是（）A．﹣6 B．6 C．D．【分析】根据倒数的定义求解．【解答】解：﹣6的倒数是﹣，故选：D．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1+∠4＝180°【分析】分别根据同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．【解答】解：A、由∠1＝∠2，得到a∥b，所以A选项正确；B、由∠2＝∠3，得到a∥b，所以B选项正确；C、由∠3＝∠4，无法判断a与b的关系所以C选项错误；D、由∠1＝∠3，∠3+∠4＝180°，得到a∥b，所以D选项正确．故选：C．4．若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≠﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣6【分析】根据分式有意义的条件可得2x+6≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3，故选：B．5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．6．下列命题是真命题的是（）A．多边形的内角和为360°B．若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0C．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，2）D．矩形的对角线互相垂直平分【分析】利用多边形的内角和定理、函数与坐标轴的交点坐标及矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、多边形的外角和为360°，故错误，是假命题；B、若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0，正确，是真命题；C、二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，3），错误，是假命题；D、矩形的对角线相等，故错误，是假命题；故选：B．7．估计（）÷的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，估计5＜＜6，可得结论．【解答】解：（3﹣）÷，＝3﹣2，＝﹣2，∵5＜＜6，∴3＜﹣2＜4，故选：C．8．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．【解答】解：连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，AD＝＝2，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选：D．9．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中有（）个棋子．A．35 B．40 C．45 D．50【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，据此可得．【解答】解：∵图1中棋子有5＝1+2+1×2个，图2中棋子有10＝1+2+3+2×2个，图3中棋子有16＝1+2+3+4+3×2个，…∴图7中棋子有1+2+3+4+5+6+7+8+7×2＝50个，故选：D．10．位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度AB进行了测量．如图，他们从塔底A的点B出发，沿水平方向行走了13米，到达点C，然后沿斜坡CD继续前进到达点D处，已知DC＝BC．在点D处用测角仪测得塔顶A的仰角为42°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．其中测角仪及其支架DE高度约为0.5米，斜坡CD 的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么文峰塔的高度AB约为（）（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．22.5 米B．24.0 米C．28.0 米D．33.3 米【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设CD＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝13米，∴设CD＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝132，解得x＝5，∴DG＝5米，CG＝12米，∴EG＝5+0.5＝5.5米，BG＝13+12＝25米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝25米，BM＝EG＝5.5米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝42°，∴AM＝EM•tan42°≈25×0.90＝22.5米，∴AB＝AM+BM＝22.5+5.5＝28米．故选：C．11．如图，在平面直角坐标系中，△ABE的顶点E在y轴上，原点O在AB边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过顶点A和B，并与BE边交于点C，若BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣7【分析】由BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，推出S△OBC＝×＝，设C（m，），则B（4m，），根据S△OBC＝S四边形OCBF﹣S△OBF＝S四边形OCBF﹣S△OKC＝S梯形CKFB，构建方程即可解决问题；【解答】解：连接OC．作CK⊥x轴于K，BF⊥x轴于F．∵BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，∴S△OBC＝×＝，设C（m，），则B（4m，），∵S△OBC＝S四边形OCBF﹣S△OBF＝S四边形OCBF﹣S△OKC＝S梯形CKFB，∴＝•（﹣﹣）×3m，∴k＝﹣7，故选：D．12．若数a既使关于x的不等式组无解，又使关于x的分式方程＝1的解小于4，则满足条件的所有整数a的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程的解小于4，确定出满足条件a的值．【解答】解：解不等式+1≤，得：x≤5a﹣6，解不等式x﹣2a＞6，得：x＞2a+6，∵不等式组无解，∴2a+6≥5a﹣6，解得：a≤4，解方程＝1，得：x＝2﹣2a，∵方程的解小于4，∴2﹣2a＜4且2﹣2a≠±2，解得：a＞﹣1且a≠0、a≠2，则﹣1＜a≤4且a≠0、a≠2，所以满足条件的所有整数a有1、3、4这3个，故选：B．二．填空题（共6小题）13．因式分解：3a2﹣6a＝3a（a﹣2）．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式即可．【解答】解：3a2﹣6a＝3a（a﹣2）．故答案为：3a（a﹣2）．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB 交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为7 ．【分析】由垂直平分线的性质可求得BD＝DA，且可求得∠BDC＝2∠A＝30°，在Rt△BCD 中可求得BC＝BD．【解答】解：∵DE为线段AB的垂直平分线，∴BD＝AD＝14，∴∠BCD＝2∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝BD＝7，故答案为：7．15．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝40 °．【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA＝∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB＝90°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACD＝80°，∴∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠ACD）＝50°，∴∠ABC＝∠ADC＝50°（同弧所对的圆周角相等），∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°．故答案为：40．16．现有五个小球，每个小球上面分别标着1，2，3，4，5这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字4、5的两个小球放入不透明的口袋A中，把分别标有数字1、2、3的三个小球放入不透明的口袋B中，现随机从A 和B两个口袋中各取出一个小球，把从A口袋中取出的小球上标的数字记作m，从B口袋中取出的小球上标的数字记作n，且m﹣n＝k，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x轴有交点的概率是．【分析】画树状图列出所有等可能结果，计算出k的值，由一元二次方程根的判别式求得k的范围，依据概率公式求解可得．【解答】解：画树状图如下：∵y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x轴有交点，∴△＝16﹣8k≥0，即k≤2，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x轴有交点的概率为＝，故答案为：．17．甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地，乙车先出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足，甲到服务区加油花了6分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到B地，如图是甲、乙两车之间的距离s（km2），乙车出发时间t（h）之间的函数关系图象，则甲车比乙车早到11.5 分钟．【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得甲开始的速度和后来的速度和乙的速度，从而可以求得甲车比乙车早到的时间，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，乙车的速度为：40÷0.5＝80km/h，甲车开始时的速度为：（2×80﹣10）÷（2﹣0.5）＝100km/h，甲车后来的速度为：＝120km/h，∴乙车动A地到B地用的时间为：250÷80＝h，甲车从A地到B地的时间为：＝2h，∴＝＝11.5分钟，故答案为：11.5．18．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370 元．【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x ﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．构建方程组，求出x﹣y即可解决问题．【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．由题意：，整理得，∴x﹣y＝400，∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多：（x﹣80）﹣（y﹣50）＝x﹣y﹣30＝370（元），故答案为370．三．解答题（共4小题）19．计算或化简下列各式：（1）﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|﹣5|（2）【分析】（1）根据实数混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣1+4﹣5＝﹣4；（2）原式＝（﹣）•＝•＝•＝﹣（x﹣1）＝﹣x+1．20．如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝DF （1）证明：△ABC的等腰三角形；（2）连接AD，若AB＝5，BC＝8，求DE的长．【分析】（1）求出BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，根据HL证出Rt△BDE≌Rt△CDF，得出∠B＝∠C，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由勾股定理求出AD，根据面积法求出DE即可．【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）得：AB＝AC，∵D是△ABC边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝4，∴AD＝＝＝3，∵△ABD的面积＝AB×DE＝BD×AD，∴DE＝＝＝．21．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+1【分析】（1）设t＝x2+3x﹣1，则原方程可化为：t2+2t＝3，求得t的值再代回可求得方程的解；（2）根据杨辉三角形的特点得出a n，b n，c n，然后代入4（b n﹣a n）•c n+1再因式分解即可．【解答】（1）解：令t＝x2+3x﹣1则原方程为：t2+2t＝3解得：t＝1 或者t＝﹣3当t＝1时x2+3x﹣1＝1解得：或当t＝﹣3时x2+3x﹣1＝﹣3解得：x＝﹣1或x＝﹣2∴方程的解为：或或x＝﹣1或x＝﹣2（2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n＝n﹣1∴4（b n﹣a n）•c n+1＝（n﹣1）（n﹣4）（n﹣2）（n﹣3）+1＝（n2﹣5n+4）（n2﹣5n+6）+1 ＝（n2﹣5n+4）2+2（n2﹣5n+4）+1＝（n2﹣5n+5）222．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．（1）点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；（2）如图2，在（1）的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A与点C重合，从而得到△A′H′L′（点A，H，L分别对应点A′，H′，L′），再将△A′H′L′绕点H′逆时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转过程中，边A′L′所在直线交直线DE于Q，交y轴于点R，求当△PQR为等腰三角形时，直接写出PR 的长．【分析】（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F（m，m2+m+2）．首先说明FH最大时，△EFG的面积最大，构建二次函数求出点F坐标，如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．构建一次函数求出点G，点R的坐标即可解决问题．（2）分两种情形：①如图3中，如图当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR＝120°，PQ ＝PR，求出直线QR的解析式即可解决问题．②如图4中，当△QPR是等腰三角形，可证△QPR是等边三角形，同法可求PR的长．【解答】解：（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F（m，m2+m+2）．由题意可知A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，2），∵抛物线的对称轴x＝﹣4，C，D关于直线x＝﹣4对称，∴D（﹣8，2），∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵DE∥AC，∴直线DE的解析式为y＝x+，由，解得或，∴E（2，），H（m，m+），∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面积为定值，∴△DEF的面积最大时，△EFG的面积最大，∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，∴FH的值最大时，△EFG的面积最大，∵FH＝﹣m2﹣m+，∵a＜0．开口向下，∴x＝﹣3时，FH的值最大，此时F（﹣3，﹣）．如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．∵直线DF的解析式为：y＝﹣x﹣2，由，解得，∴G（﹣，），∵TG⊥AC，∴直线GR的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得，∴R（﹣，），∴RG＝4，OR＝，∵GM＝TM＝RN，∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．∴GM+MN+NO的最小值为4+．（2）如图3中，如图当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR＝120°，PQ＝PR易知直线RQ与x轴的夹角为60°，L′（3﹣，2+），直线RQ的解析式为y＝x+3﹣，∴R（0，3﹣），∴PR＝﹣（3﹣）＝﹣3．如图4中，当△QPR是等腰三角形，∵∠QPR＝60°，∴△QPR是等边三角形，同法可得R（0，2），∴PR＝OP﹣OC＝﹣2＝综上所述，满足条件的PR的值为﹣3或．。
2020届重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷(4)(有解析)
2020届重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷(4)一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 已知a ，b 互为倒数，m ，n 互为相反数，则代数式(m +n −ab 2)2的值是( ) A. −14B. 0C. 14D. −12 2. 单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是( )A. NB. AC. MD. E 3. 如图，下列条件中，能判断AB//CD 的是( )A. ∠3=∠4B. ∠1=∠2C. ∠BAC =∠ACDD. ∠BAD =∠BCD4. 要使分式12+a 有意义，则a 应满足的条件是( ) A. a ≠−2B. a >0C. a ≠0D. a ≠2 5. 若△ABC∽△A 1B 1C 1，其面积比为49，△A 1B 1C 1与△ABC 的周长比为( )A. 23B. 32C. 49D. 94 6. 下列三个命题中，是真命题的有( )①对角线互相平分且垂直的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．④对角线互相平分且相等的四边形是矩形A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个 7. 下列各数中，介于5和6之间的数是( )A. √703B. √1313C. √37D. √41 8. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点，连接OD ，已知BD =1，AD =2，则图中两部分阴影面积的和为( )A. 5+πB. 4+πC. 6+12π D. 8+13π9.如图，下面是按照一定规形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”()A. 32B. 56C. 60D. 6410.一架长5m的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是65°，则梯子顶端到地面的距离为()A. 5sin65°mB. 5cos65°mC. 5tan65°m D. 5cos65°m11.已知点A(−4,y1)，B(−1,y2)，C(3,y3)都在双曲线y=3x上，则y1，y2，y3的大小关系为()A. y1>y2>y3B. y1<y2<y3C. y3>y1>y2D. y2>y1>y312. 2.不等式X−3>1的解集是A. X>2B. X>4C. X>−2D. X>−4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.因式分解：−3x2+3xy+6y2=______．14.在△ABC中，∠B=40°，AB的垂直平分线交直线BC于D.若∠DAC=15°，则∠ACB的度数为______．15.等腰三角形的两条边长分别为3和7，则第三条边长为______ ．16.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(4,3)，且对称轴是x=1，则关于x的方程ax2+bx+c=3的解为______．17.快车和慢车同时从甲地出发以不同的速度匀速前往乙地，当快车到达乙地后停留了一段时间，立即从原路原速度匀速返回，在途中与慢车相遇，相遇后两车朝各自的方向继续行驶，两车之间的距离y(千米)与慢车行驶的时间t(小时)之间的函数图象如图所示，则两车相遇时距甲地的距离是______千米．18. 为了庆祝改革开放70周年，展开改革开放的辉煌成就，某中学举办师生诗词创作大赛，从参赛作品中选出20篇优秀作品，原计划一等奖3篇，二等奖5篇，三等奖12篇，后经校长会研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖篇数实际调整为：一等奖4篇，二等奖6篇，三等奖10篇，调整后一等奖每篇奖金降低10元，二等奖每篇奖金降低20元，三等奖每篇奖金降低30元，调整前一等奖金每篇奖金比三等奖每篇奖金多320元，则调整后一等奖每篇比二等奖每篇奖金多______元．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. (1)计算：|√3−2|+π0+(−1)2019−(12)−1；(2)先化简，再求值：1−a+3a 2−1÷a+3a−1，其中a =2；(3)解方程组：{2x −y =5,3x +4y =2.四、解答题（本大题共3小题，共28.0分）20. (本题10分)在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB =AE ，AF 平分∠CAE 交DE 于F ．(1)如图1，连接CF ，求证：∠ABE =∠ACF ；(2)如图2，当∠ABC =60°时，求证：AF +EF =FB ；(3)如图3，当∠ABC =45°时，若AE//BC ，求证：BD =2EF ．21. 把下列各式分解因式：(1)a2b+ab2(2)ab2−4ab+4a(3)x2(a−b)+y2(b−a)x2相交于B、C两22. 已知直线y=kx+b(k≠0)过点F(0,1)，与抛物线y=14点．(1)如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，设B(m.n)(m<0)，过点E(0.−1)的直线l//x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS.试判断△RFS的形状，并说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵a ，b 互为倒数，m ，n 互为相反数，∴ab =1，m +n =0∴原式=(0−12)2=14．故选C ．a ，b 互为倒数，m ，n 互为相反数，则ab =1，m +n =0，代入所求的代数式即可求解． 本题主要考查了倒数，相反数的定义，理解ab =1，m +n =0是解题的关键． 2.答案：A解析：解：观察后可知，是中心对称图形只有N.故选A ．根据中心对称图形的概念求解．掌握好中心对称与轴对称的概念．中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合． 3.答案：C解析：解：A 、∵∠3=∠4，∴AD//BC ，不符合题意；B 、∵∠1=∠2，∴AD//BC ，不符合题意；C 、∵∠BAC =∠ACD ，∴AB//CD ，符合题意；D 、由∠BAD =∠BCD ，不能判定AB//CD ，不符合题意；故选：C ．根据平行线的判定可得结论．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等两直线平行．4.答案：A解析：解：由题意可知：2+a ≠0，∴a ≠−2故选：A ．根据分式有意义的条件即可求出a 的取值范围．本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型． 5.答案：A解析：解：∵△ABC∽△A 1B 1C 1，∴S△ABCS△A1B1C1=(ABA1B1)2=49，∴ABA1B1=23，∴C△ABCC△A1B1C1=ABA1B1=23，故选A．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得相似比，再根据周长比等于相似比可求得答案．本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比是解题的关键．6.答案：A解析：解：①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故①是假命题；②三个角是直角的四边形是矩形，正确，故②是真命题；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故③是真命题；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，故④是真命题；故选：A．根据矩形的判定方法一一判断即可；本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法，属于中考常考题型．7.答案：B解析：先根据无理数的估计解答即可．本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题的关键．解：A、4<√703<5，错误；B、5<√1313<6，正确；C、6<√37<7，错误；D、6<√41<7，错误；故选：B．8.答案：A解析：试题分析：连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD//AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出tanC=12；设⊙O与BC交于M、N两点，由四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据tanC=12，OE=2，求出EC的长度，根据S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE，即可求出阴影部分的面积．如图，连接OE.设⊙O与BC交于M、N两点．∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，∴AD⊥OD，AE⊥OE，∴∠ADO=∠AEO=90°，又∵∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ADOE是正方形，∴OD//AC，OD=AD=2，∠DOE=90°，∴∠COE+∠BOD=90°，∠BOD=∠C，∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=BDOD =12，∴tanC=12．∵在Rt△EOC中，tanC=OECE =12.OE=2，∴CE=4，∴S扇形DOM +S扇形EON=S扇形DOE=14S圆O=14π×22=π，∴S阴影=S△BOD+S△COE−(S扇形DOM+S扇形EON)=12×1×2+12×4×2−π=5−π，故选：A．9.答案：C解析：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，A6比图A2多出“树枝”4+8+16+32=60个，故选C．10.答案：A解析：解：如图所示；∵梯子、墙、地面恰好构成直角三角形，∠ABC=65°，∴AC=AB⋅sin65°，解得AC=5sin65°m．故选A．根据题意画出图形，由于梯子、墙、地面恰好构成直角三角形，故根据锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11.答案：C，求出y1，y2，y3的值，解析：试题分析：分别把A(−4,y1)，B(−1,y2)，C(3,y3)都在双曲线y=3x再比较出其大小即可．∵点A(−4,y1)，B(−1,y2)，C(3,y3)都在双曲线y=3上，x∴y1=−3，y2=−3，y3=1，4∵1>−3>−3，4∴y3>y1>y2．故选C．12.答案：B解析：根据不等式的性质可知，当不等式的两边都+3时，得X>4．故选：B．13.答案：−3(x+y)(x−2y)解析：解：−3x2+3xy+6y2=−3(x2−xy−2y2)=−3(x+y)(x−2y)．故答案为：−3(x+y)(x−2y)．直接提取公因式−3，进而利用十字相乘法分解因式即可．此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．14.答案：85°或115°解析：解：分两种情况：当∠ACB为锐角时，如图，∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠B=40°，∴∠BAD=40°，∵∠DAC=15°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−40°−(40°+15°)=85°；当∠ACB为钝角时，此时∠ACB=180°−∠B−∠BAC=180°−40°−(40°−15°)=115°，故答案：85°或115°．分为两种情况，画出图形，求出AD=BD，求出∠BAD=∠B=40°，再根据三角形内角和定理求出即可．本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD是解此题的关键．15.答案：7解析：分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．解：当3是腰时，则3+3<7，不能组成三角形，应舍去；当7是腰时，则第三条边长为7．故答案为7．16.答案：x=−2或x=4解析：解：对称轴是x=1，∴点(4,3)关于对称轴对称的点为(−2,3)，∴ax2+bx+c=3的解可以看作y=ax2+bx+c与直线y=3的交点问题，∴方程ax2+bx+c=3的解为x=−2或x=4；故答案为x=−2或x=4；根据函数的对称轴求出点(4,3)关于对称轴对称的点为(−2,3)，ax2+bx+c=3的解可以看作y= ax2+bx+c与直线y=3的交点问题，即可求解；本题考查二次函数的图象及性质；能够将ax2+bx+c=3的解转化为y=ax2+bx+c与直线y=3的交点问题是解题的关键．17.答案：220解析：解：由AB段可知：慢车的行驶时间为6−5=1小时，行驶路程为150−120=30千米，慢车的行驶速度v1=30÷1=30(千米/小时)，由OA段可知：快车和慢车行驶5小时的路程差为150千米，则二者的速度差为1505=30(千米/小时)，快车的速度v2=30+30=60(千米/小时)，由BC段可知：二者相向而行，行驶了120千米，这段时间为12060+30=43小时，二者相遇时慢车行驶的时间为6+43=223小时，此时距离甲地的距离就是慢车的行驶距离，即30×223=220千米，则则两车相遇时距甲地的距离是220千米，故答案为：220．根据图象可知：OA段是快车和慢车同时向乙地前进时二者的距离与时间的关系，AB段快车到达乙地后未返回前二者的距离与时间的关系，BC段是二者相向而行时二者的距离与时间的关系，C点是相遇点，根据AB段可求出慢车的行驶速度，根据OA段可求出快车的行驶速度，根据BC段及快慢车的速度便可求出C点相遇时的时间，两车相遇时距甲地的距离=慢车的速度×C点的时间，即可得到答案．本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．18.答案：190解析：解：设调整前一等奖每篇奖金为x 元，二等奖每篇奖金为y 元，三等奖每篇奖金为z 元， 依题意，得：{x −z =320 ①3x +5y +12z =4(x −10)+6(y −20)+10(z −30) ②， ②整理，得：x +y −2z =460③，2×①−③，得：x −y =180，∴(x −10)−(y −20)=190．故答案为：190．设调整前一等奖每篇奖金为x 元，二等奖每篇奖金为y 元，三等奖每篇奖金为z 元，根据调整前和调整后的总奖金不变且调整前一等奖金每篇奖金比三等奖每篇奖金多320元，即可得出关于x ，y ，z 的三元一次方程组，由方程②可得出x +y −2z =460③，利用(2×①−③)可得出x −y =180，再将其代入[(x −10)−(y −20)]中即可求出结论．本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 19.答案：解：(1)|√3−2|+π0+(−1)2019−(12)−1=2−√3+1+(−1)−2=−√3；(2)1−a +3a 2−1÷a +3a −1=1−a +3(a +1)(a −1)⋅a −1a +3 =1−1a +1 =a +1−1a +1=a a +1当a =2时，原式=22+1=23；(3){2x −y =5①3x +4y =2②， ①×4+②，得11x =22，解得，x =2，将x =2代入①中，得y =−1，故原方程组的解是{x =2y =−1． 解析：(1)根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；(2)根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题；(3)根据解方程组的方法可以解答此方程组．本题考查分式的化简求值、绝对值、零指数幂和负整数指数幂、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．20.答案：证明：(1)∵AB =AE ，∴∠ABE =∠E ，∵AB = AC ，∴AC =AE ，∵AF 平分∠CAE ，∴∠CAF =∠EAF ，在△CAF 和△EAF 中，∵AC =AE ，∠CAF =∠EAF ，AF =AF ，∴△CAF≌△EAF(SAS)，∴∠ACF =∠E ，∴∠ABE =∠ACF(2)连结CF ，在BF 上截取BG =CF ，连结AG ，∵BG =CF ，∠ABE =∠ACF ，AB =AC ，∴△ABG≌△ACF(SAS)∴AG =AF ，∠BAG =∠CAF ，∴∠GAF =∠BAC ，∵∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°=∠GAF ，∴△AGF 为等边三角形，∴AF=GF，∵CF=EF，∴AF+EF=FG+BG=BF(3)连结CF，延长CF、BA交于点N，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠BAC=90°=∠CAN，由(1)有∠ABE=∠ACF，∵∠ABE=∠ACF，AB=AC，∠BAC=∠CAN，∴△ABD≌△ACN(ASA)，∴BD=CN，∵∠ABE=∠ACF，∴∠DFC=∠BAD=90°，即∠BFC=∠BFN=90°，∵AE//BC，∠ABE=∠E，∴∠CBE=∠E=∠ABE，∵∠CBE=∠ABE，BF=BF，∠BFC=∠BFN，∴△BFC≌△BFN(ASA)，∴CF=NF，∴BD=CN=2CF∵CF=EF，∴BD=2EF。
重庆市外国语学校2019-2020学年中考数学模拟试卷
重庆市外国语学校2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列运算正确的是( ) A ．2a 2+a 2＝3a 4B ．(﹣2a 2)3＝8a 6C ．a 2÷a 3＝1aD ．(a ﹣b)2＝a 2﹣b 23．如图，A ，B 是半径为1的O 上两点，且60AOB ∠=︒.点P 从A 出发，在O 上以每秒3π个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束.设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，则下面图象中可能．．表示y 与x 的函数关系的是（ ）A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④4．如果一次函数y ＝2x ﹣4的图象与另一个一次函数y 1的图象关于y 轴对称，那么函数y 1的图象与x 轴的交点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（﹣2，0）C ．（0，﹣4）D ．（0，4）5．12019的倒数是（ ） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣20196．如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列命题是真命题的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形8．下列选项中，下边的平面图形能够折成旁边封闭的立体图形的是（ ）A.B.C. D.9．如图，已知Rt △ABC 的直角顶点A 落在x 轴上，点B 、C 在第一象限，点B 的坐标为（345，4），点D 、E 分别为边BC 、AB 的中点，且tanB ＝12，反比例函数y ＝kx的图象恰好经过D 、E ，则k 的值为（ ）A ．185B ．8C ．12D ．1610．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：A ．众数是60B ．平均数是21C ．抽查了10个同学D ．中位数是5011．一元二次方程2660x x --=配方后化为（ ） A.()2315x -=B.()2315x +=C.()2315x +=D.()233x +=12．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ） A ．平均数 B ．众数C ．中位数D ．方差二、填空题13．在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别是边AB ，BC 边上的动点，沿EF 折叠△BEF ，使点B 的对应点B’始终落在边CD 上，则A 、E 两点之间的最大距离为_____．14．如图，点M(2，m)是函数y 与y ＝kx的图象在第一象限内的交点，则k 的值为_____．15．如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3 cm ，则该扇形的弧长为___cm ，面积为___2cm ．（结果保留π）16．如图，已知MON=30°，OA=4，在OM 、ON 上分别找一点B 、C ，使AB+BC 最小，则最小值为___________.17．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上，若BC=6cm ，AD=4cm ，则正方形EFGH 的边长是______cm ．三、解答题19．先化简，再求值：222441,4x x x x x -+⎛⎫-÷= ⎪-⎝⎭其中 20．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，经过点O 的直线交AB 于E ，交CD 于F ． 求证：OE ＝OF ．21．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． （1）求证：△OCP ∽△PDA ； （2）若tan ∠PAO ＝12，求边AB 的长．22．已知⊙O 的直径AB ＝8，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，垂足为F ．（1）如图（1），若∠ABD＝30°，求弦AC的长；（2）如图（2），若23EBDE=，求弦BD的长．23．点A（－1，0）是函数y＝x2－2x＋m2－4m的图像与x轴的一个公共点．（1）求该函数的图像与x轴的另一个公共点的坐标以及m的值；（2）将该函数图像沿y轴向上平移个单位后，该函数的图像与x轴只有一个公共点．24．我市楚水商城销售一种进价为10元/件的饰品，经调查发现，该饰品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数y＝﹣2x+100，设销售这种饰品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，应将销售单价定为多少元？25．某市礼乐中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成加图所示的两幅不完整的统计图．（1）这次统计共抽取了________本书籍，扇形统计图中的m=________，α∠的度数是________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）请你估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．【参考答案】***一、选择题13．14．15．π , 3π16．17．（0，21009）18．125三、解答题 19．2,1x x+ 【解析】 【分析】先计算括号内的减法，然后把分式的除法转换为乘法的形式，通过约分将分式化为最简形式后，再把x 的值代入进行计算即可． 【详解】解： 222441,4x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭()()()2222,2x x x x x +--=⋅- 2.x x+=当x 时，1= 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20．见解析. 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA ＝OC ，AB ∥CD ，又由∠AOE ＝∠COF ，易证得△OAE ≌△OCF ，则可得OE ＝OF ． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD ， ∴∠OAE ＝∠OCF ， ∵在△OAE 和△OCF 中，AOE COF OA OCOAE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAE ≌△OCF （ASA ）， ∴OE ＝OF ． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．（1）见解析；（2）AB ＝10． 【解析】 【分析】（1）只需要证明两对对应角分别相等即可证明相似（2）根据题①可知CP ＝4，设BO ＝x ，则CO ＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），即可解答【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠CPO＝90°．∵∠APD+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠CPO，∴△OCP∽△PDA；（2）解：由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，AP＝AB，PO＝BO，tan∠PAO＝POAP＝BOAB＝12．∵△OCP∽△PDA，∴12 PO OC CPAP PD DA===∵AD＝8，∴CP＝4．设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），∴AB＝2x＝CD＝PD+CP＝2（8﹣x）+4，解得：x＝5，∴AB＝10．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质和折叠问题，解题关键在于证明全等22．（1）AC＝2）DB＝．【解析】【分析】（1）利用圆周角定理求出∠DOA的度数，再求出∠CAO的度数，解直角三角形即可求出弦AC的长；（2）先证OD与BC平行，再证出线段OF，BC，DF之间的比，设未知数结合径的长度即可求出此三条线段的长度，再通过三次勾股定理即可求出BD的长．【详解】解：（1）如图1，连接BC，∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝60°∵OD⊥AC，垂足为F，∴∠AFO＝90°，AF＝FC，∴∠FAO＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠FAO＝30°，AB＝8，AC＝8=（2）∵OD⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠AFO＝∠ACB，∴OD∥BC，∴△BCE∽△DFE，∴BC BE2 DF DE3==，∵OF＝12 BC，∴设OF＝x，则BC＝2x，DF＝3x，∵OD＝12AB＝4，∴FO＝1，FD＝3，在Rt△AFO中，AF∴在Rt△AFD中，AD=∴在Rt△ABD中，DB=【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线，勾股定理等，能熟练运用圆的相关性质是解答本题的关键．23．（1）另一个公共点的坐标是（3，0）．m1＝1，m2＝3．（2）4．【解析】【分析】（1）求出二次函数对称轴，根据二次函数图像的对称性可得与x轴的另一个交点坐标，将x＝－1，y＝0代入函数解析式可求出m；（2）求出函数图像顶点坐标，根据函数图像平移规律即可得到平移方式.【详解】解：（1）在函数y＝x2－2x＋m2－4m中，∵a＝1，b＝－2，∴该二次函数图像的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线．∵点A（－1，0）是函数y＝x2－2x＋m2－4m的图像与x轴的一个公共点，根据二次函数图像的对称性，∴该函数与x轴的另一个公共点的坐标是（3，0）．将x＝－1，y＝0代入函数y＝x2－2x＋m2－4m中，得0＝3＋m2－4m．解这个方程，得m1＝1，m2＝3．（2）函数解析式为：y＝x2－2x－3，当x=1时，y=－4，∴将该函数图像沿y轴向上平移4个单位后，该函数的图像与x轴只有一个公共点.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性以及对称轴的求法是解题关键. 24．(1) W＝﹣2x2+120x﹣1000；（2）应将销售单价定为25元.【解析】【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），依据题意易得出W与 x之间的函数关系式，（2）令W＝750，求解即可，因为要确保顾客得到优惠，故最后x应取最小值【详解】（1）根据题意，得：W＝（﹣2x+100）（x﹣10）整理得W＝﹣2x2+120x﹣1000∴W与 x之间的函数关系式为：W＝﹣2x2+120x﹣1000（2）∵每天销售利润W为750元，∴W＝﹣2x2+120x﹣1000＝750解得x1＝35，x2＝25又∵要确保顾客得到优惠，∴x＝25答：应将销售单价定为25元【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．25．（1）200,40，36 ；（2）见解析；（3）估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．【解析】【分析】（1）用A的本数÷A所占的百分比，即可得到抽取的本数；用C的本数÷总本数，即可求得m；计算出D的百分比乘以360°，即可得到圆心角的度数；（2）计算出B的本数，即可补全条形统计图；（3）根据文学类书籍的百分比，即可解答.【详解】解：（1）40÷20%=200（本），80÷200×100%=40%，20÷200×360=36°故答案为：200,40，36°；（2）40÷20%=200（本），200-40-80-20=60（本）补全图形如图所示；（3）603000900200⨯=（本）．答：估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.。
重庆第二外国语学校2019年初三上年中数学试卷含解析解析
重庆第二外国语学校2019年初三上年中数学试卷含解析解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号写在答题卷上．1．若关于x的一元二次方程2x2﹣ax+1=0的一个解是x=﹣1，则a的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（）A．B．C．D．3．已知，则的值为（）A．B．C．D．4．某牧场为估计该地山羊的只数，先捕捉20只山羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的山羊完全混合于山羊群后，第二次捕捉80只山羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有山羊（）A．400只B．600只C．800只D．1000只5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=4，AB=5，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．tanA=D．cosA=6．已知A（1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣D．m＜﹣7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长 3.6cm，则对角线的长为（）A．3.6cm B．7.2cm C．1.8cm D．14.4cm8．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2且a≠0 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2：S四边形BCED的值为（）9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADEA．1：B．1：2 C．1：3 D．1：410．已知反比例函数y=（k≠0）的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大，则一次函数y=﹣kx+k的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第一个图形有4个小圆，第二个图形有8个小圆，第三个图形有14个小圆，第四个图形有22个小圆…依此规律，第n个图形的小圆个数是（）A．n（n+1） B．n（n+2） C．n2+n+2 D．（n+1）（n+2）12．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．8二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接写在答卷上．13．一元二次方程x2=3x的解是：．14．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为．15．计算：sin45°﹣2cos60°=．16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为．17．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．18．如图，已知△ABC中，∠BAC=60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，P为BE、CD的交点，连结AP，若AP=1，则AD+AE=．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答卷上.19．计算：﹣12﹣（﹣π）0×（）﹣2++4sin30°．20．如图所示，热气球与水平面AB的距离CD=30米，在A处观察热气球的仰角为30°，在B处观察热气球的仰角为45°，求AB之间的距离是多少？（结果保留根号）21．用指定方法解下列一元二次方程（1）2x2+4x﹣1=0（公式法）（2）x2+6x+5=0（配方法）22．在一个不透明的口袋中放有4个完全相同的小球，他们分别标有数字﹣1，2，3，5．小明先随机摸出一个小球，记下数字为x；小强再随机摸出一个小球，记下数字为y．小明小强共同商议游戏规则为：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．（1）若小明摸出的球不放回，请用列表或画树状图的方法求小明获胜的概率；（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，请问这个游戏规则是公平的吗？请说明理由．23．按照财政预计三峡工程投资需2040亿元（由固定投资1400亿元、贷款利息成本a亿元、物价上涨价差（a+400）亿元三部分组成）．但事实上，因国家经济宏观调整，贷款利息减少了15%，物价上涨价差减少了10%．已知2012年三峡电站发电量为800亿度，预计2014年的发电量为882亿度，这两年的发电量年平均增长率相同．发电量按此幅度增长，到2015年发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量．若从2015年起，每年按照最高发电量发电，并将发电的全部收益用于返还三峡工程投资成本，国家规定电站出售电价为0.25元/度．（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿元？（2）请你通过计算预测：大约需要多少年可以收回三峡工程的投资成本？（结果精确到个位）24．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，（1）如图（1），AC、BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE=AO，若AB=2，求OE的长；（2）如图（2），点P在AC延长线上，点E在BC延长线上，若AP=CE，求证：BP=EP25．如图，一次函数y=k 1x+b （k 1≠0）与反比例函数y=（k 2≠0）（x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点，（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出k 1x+b ﹣＞0时x （x ＞0）的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．26．如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=CB=4，AD=2．点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 运动，运动速度为每秒2个单位；点Q 从D 点出发，沿线段DA 向点A 运动，运动速度为每秒1个单位，当Q 点到达终点时，两点均停止运动．过点Q 作垂直于AD 的直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N ．设运动的时间为t ．（1）分别求出MC 和NC 长（用含有t 的式子表示）；（2）当四边形PCDQ 为平行四边形时，求t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使得直线QN 同时平分△ABC 的周长和面积？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）如图②，连接PM ，请直接写出当t 为何值时，△PMC 为等腰三角形．2015-2016学年重庆市第二外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号写在答题卷上．1．若关于x的一元二次方程2x2﹣ax+1=0的一个解是x=﹣1，则a的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．【解答】解：把x=﹣1代入2x2﹣ax+1=0，得2×（﹣1）2+a+1=0，解得a=﹣3．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一个图形为矩形，第二层图形为正方形．故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．已知，则的值为（）A．B．C．D．【考点】分式的基本性质．【专题】计算题．【分析】将变形得：3（a+b）=5b，所以可以求出的值．【解答】解；由得：3a=2b，让等式两边都加上3b，可得：3（a+b）=5b，因此=，故选C．【点评】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．4．某牧场为估计该地山羊的只数，先捕捉20只山羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的山羊完全混合于山羊群后，第二次捕捉80只山羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有山羊（）A．400只B．600只C．800只D．1000只【考点】用样本估计总体．【分析】捕捉80只山羊，发现其中2只有标志，说明有标志的占到，而有标记的共有20只，根据所占比例列式计算即可．【解答】解：该地区有山羊有：20÷=800（只）；故选C．【点评】本题考查了用样本估计总体的思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=4，AB=5，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．tanA=D．cosA=【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先利用勾股定理计算出BC=3，然后根据锐角三角函数的定义求出∠A的三角函数值，再对各选项进行判断．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，∴BC==3，、∴sinA==，cosA==，tanA==．故选B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦，记作sinA；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）6．已知A（1，y1A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣D．m＜﹣【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据已知得3+2m＞0，从而得出m的取值范围．【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1＞y2，∴3+2m＞0，∴m＞﹣，∴m的取值范围是m＞﹣，故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k＞0时，y随x的增大而减小，当k＜0时，y随x的增大而增大．7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长 3.6cm，则对角线的长为（）A．3.6cm B．7.2cm C．1.8cm D．14.4cm【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据矩形性质得出AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，求出OA=OB，得出△AOB是等边三角形，求出AB=AO=OB，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°﹣120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=OB=3.6cm，∴BD=AC=2AO=7.2cm，故选B．【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出等边三角形AOB和求出BD=AC=2AO．8．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2且a≠0 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2【考点】根的判别式．【分析】根据题意可知△＞0，即22﹣4（a﹣1）×1＞0，解得a＜2，又方程是一元二次方程，故二次项系数不为0，即a﹣1≠0，解得a≠1，故a＜2且a≠1．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即22﹣4（a﹣1）×1＞0，解得a＜2，又∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a＜2且a≠1，故选C．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△＞0?方程有两个不相等的实数根．9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．【解答】解：在△ADE与△ACB中，，∴△ADE∽△ACB，∴S△ADE：S△ACB=（AE：AB）2=1：4，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．10．已知反比例函数y=（k≠0）的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大，则一次函数y=﹣kx+k的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．【分析】通过反比例函数的性质确定k＜0，然后由一次函数的性质即可确定一次函数图象经过的象限．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）中，y随x的增大而增大，∴k＜0，∴一次函数y=﹣kx+k的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B【点评】本题考查了反比例函数图象的性质和一次函数图象的性质．关键是通过反比例函数的性质确定k＜0．11．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第一个图形有4个小圆，第二个图形有8个小圆，第三个图形有14个小圆，第四个图形有22个小圆…依此规律，第n个图形的小圆个数是（）A．n（n+1） B．n（n+2） C．n2+n+2 D．（n+1）（n+2）【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：第一个图形有2+1×2=4个小圆，第二个图形有2+2×3=8个小圆，第三个图形有2+3×4=14个小圆，第四个图形有2+4×5=22个小圆…由此得出，第n个图形的小圆个数为2+n （n+1）=n2+n+2，由此得出答案即可．【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个小圆，第二个图形有2+2×3=8个小圆，第三个图形有2+3×4=14个小圆，第四个图形有2+4×5=22个小圆，…∴第n个图形的小圆个数为2+n（n+1）=n2+n+2．故选：C．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．12．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．8【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，可证得△OGC≌△OAB，从而得到OG=OA=6，再可证△AOG是等腰直角三角形，根据求出AG，也就求得AC=16．【解答】解：在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG∵∠ABO=90°﹣∠AHB，∠OCG=90°﹣∠OHC，∠OHC=∠AHB∴∠ABO=∠OCG∵OB=OC，CG=AB∴△OGC≌△OAB∴OG=OA=6，∠BOA=∠GOC∵∠GOC+∠GOH=90°∴∠GOH+∠BOA=90°即：∠AOG=90°∴△AOG是等腰直角三角形，AG=12（勾股定理）∴AC=16．故选B．【点评】本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接写在答卷上．13．一元二次方程x2=3x的解是：x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2=3x，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．14．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，∴△ABC与△DEF的相似比是3：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为9：4．故答案为：9：4．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并确定出相似比是解题的关键．15．计算：sin45°﹣2cos60°＝0．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=×﹣2×=1﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为3．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】应用题；数形结合．【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，解得：k=3．故答案是：3．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．17．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．【考点】列表法与树状图法；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题．【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；，解①得：x＜7，当a＞0，解②得：x＞，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故=3，即b=6，a=2符合要求，当a＜0，解②得：x＜，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故=3，即b=﹣6，a=﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，故使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法．注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键．18．如图，已知△ABC中，∠BAC=60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，P为BE、CD的交点，连结AP，若AP=1，则AD+AE=．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】作PE⊥AC．PF⊥B垂足分别为M、N，先证明△PND≌△PME，△PAN≌△PAM，可以得AD+AE=AP 即可解决问题．【解答】解：作PE⊥AC．PF⊥B垂足分别为M、N．∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴PA也是∠BAC的平分线，∴PM=PN，∵∠BAC=60°，∴∠BPC=∠MPN=120°，∴∠DPN=∠MPE，在△PDN和△PEM中，，∴△PND≌△PME，∴DN=EM，在△APN和△APM中，，∴△PAN≌△PAM，∴AN=AM，在RT△PAM中，∵∠PAM=30°，∴AM=PA，﹣EM=2AM=PA，∴AD+AE=AN+DN+AM∵PA=1，∴．故答案为．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答卷上.19．计算：﹣12﹣（﹣π）0×（）﹣2++4sin30°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．【解答】解：原式=﹣1﹣1×9+2+4×=﹣6．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．如图所示，热气球与水平面AB的距离CD=30米，在A处观察热气球的仰角为30°，在B处观察热气球的仰角为45°，求AB之间的距离是多少？（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】通过解Rt△ACD和Rt△BCD分别求得AD、BD的长度，所以通过AB=AD+BD来求AB的长度即可．【解答】解：∵CD⊥AB，CD=30米，∠A=30°，∴AD===30（米）．又∵∠B=45°，∴BD===30（米），∴AB=AD+BD=（30+30）米．答：AB之间的距离是（30+30）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．21．用指定方法解下列一元二次方程（1）2x2+4x﹣1=0（公式法）（2）x2+6x+5=0（配方法）【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；（2）利用配方法得到（x+3）2=4，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵a=2，b=4，c=﹣1∴b2﹣4ac=42﹣4×2×（﹣1）=24＞0，∴x==，∴x1=，x2=；（2）x2+6x=﹣5，x2+6x+9=4，（x+3）2=4，x+3=±2，所以x1=﹣5，x2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解一元二次方程．22．在一个不透明的口袋中放有4个完全相同的小球，他们分别标有数字﹣1，2，3，5．小明先随机摸出一个小球，记下数字为x；小强再随机摸出一个小球，记下数字为y．小明小强共同商议游戏规则为：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．（1）若小明摸出的球不放回，请用列表或画树状图的方法求小明获胜的概率；（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，请问这个游戏规则是公平的吗？请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）通过列表展示所有12种等可能性的结果数，即可求出小明获胜的概率；（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．【解答】解：（1）根据题意，列表如下：﹣1 2 3 5小明摸出的x小强摸出的y﹣1 / （2，﹣1）（3，﹣1）（5，﹣1）2 （﹣1，2）/ （3，2）（5，2）3 （﹣1，3）（2，3）/ （5，3）5 （﹣1，5）（2，5）（3，5）/一共有12中等可能结果，其中x＞y的结果有6种，∴P（小明获胜）=；（2）不公平，理由如下：由题意，列表为：﹣1 2 3 5小明摸出的x小强摸出的y﹣1 （﹣1，﹣1）（2，﹣1）（3，﹣1）（5，﹣1）2 （﹣1，2）（2，2）（3，2）（5，2）3 （﹣1，3）（2，3）（3，3）（5，3）5 （﹣1，5）（2，5）（3，5）（5，5）一共有16中等可能结果，其中x＞y的结果有6种，∴P（小明获胜）=，=1﹣=，P（小强获胜）＜P（小强获胜）P（小明获胜）∴游戏规则不公平．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．按照财政预计三峡工程投资需2040亿元（由固定投资1400亿元、贷款利息成本a亿元、物价上涨价差（a+400）亿元三部分组成）．但事实上，因国家经济宏观调整，贷款利息减少了15%，物价上涨价差减少了10%．已知2012年三峡电站发电量为800亿度，预计2014年的发电量为882亿度，这两年的发电量年平均增长率相同．发电量按此幅度增长，到2015年发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量．若从2015年起，每年按照最高发电量发电，并将发电的全部收益用于返还三峡工程投资成本，国家规定电站出售电价为0.25元/度．（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿元？（2）请你通过计算预测：大约需要多少年可以收回三峡工程的投资成本？（结果精确到个位）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）依题意知：三峡工程投资需2040亿元=静态投资1400亿元+贷款利息成本a亿元+物价上涨价差（a+400）亿元，根据这个等量关系先求a，然后求得投资减少总额即可．（2）根据增长率问题求最高年发电量、三峡电站的年发电总收益及回收成本需要的年数．【解答】解：（1）由题意：1400+a+（a+400）=2040解得：a=120，∴减少的投资=a×15%+（a+400）×10%=120×15%+520×10%=70（亿元）；（2）设发电量的年增长率为x，则由题意得：800（1+x）2=882，解得：x=﹣2.05（舍）或x=0.05=5%，∴2015年最高发电量=882×（1+5%）=926.1（亿度）．设y年能收回投资成本，则：926.1y×0.25=2040﹣70，解得：y≈8.5≈9∴大约需要9年可以收回投资成本．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，具有一定的综合性，需要从题意中发现相关的等量关系，列方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．24．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，（1）如图（1），AC、BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE=AO，若AB=2，求OE的长；（2）如图（2），点P在AC延长线上，点E在BC延长线上，若AP=CE，求证：BP=EP【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°=∠E+∠EOC，证出OB=OE，由三角函数求出OB，即可得出OE的长；（2）先由SAS证明△ABP≌△CDE，得出BP=DE，∠ABP=∠CDE，再由SAS证明△BCP≌△DCP，得出DP=BP，∠CBP=∠CDP，得出DP=DE，然后证明△DPE是等边三角形，即可得出结论．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC，AC⊥BD，AO=CO，∠ABO=∠OBC=∠ABC=30°，∵CE=AO，∴CE=CO，∴∠E=∠EOC，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°=∠E+∠EOC，∴∠E=∠EOC=30°=∠OBC，∴OB=OE，∵AB=2，∠ABO=30°，∴OB=AB?cos30°=2×=，∴OE=；（2）证明：连接DP、DE，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠BAC=∠DAC，∴∠DCE=∠ABC=60°，∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DCE，在△ABP和△CDE中，，∴△ABP≌△CDE（SAS），∴BP=DE，∠ABP=∠CDE，又∵AC平分∠DCB，∴∠ACB=∠ACD=60°，∴∠BCP=∠DCP=120°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）∴DP=BP，∠CBP=∠CDP，∴DP=DE，∠CDE﹣∠CDP=∠ABP﹣∠CBP，即∠EDP=∠ABC=60°，∴△DPE是等边三角形，∴DE=PE，∴BP=EP．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要两次证明三角形全等才能得出结论．25．如图，一次函数y=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点，（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣＞0时x（x＞0）的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）由反比例函数y=（k2≠0）（x＞0）的图象过A（1，6），B（a，3）两点，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式与点B的坐标，然后由y=k1x+b过A（1，6），B（2，3），利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）结合图象，即可求得k1x+b﹣＞0时x（x＞0）的取值范围；（3）首先过点B作BF⊥OD于点F，易证得Rt△OBF≌Rt△DCE（HL），即可得OF=DE，然后设C（a，3），由梯形OBCD的面积为12，即可求得a的值，继而求得线段PC与PE的长，则可证得结论．【解答】解：（1）∵y=过A（1，6），B（a，3），∴6=，3=，∴k2=6，a=2，∴反比例函数解析式为：y=，B（2，3），∵y=k1x+b过A（1，6），B（2，3），∴，解得：．∴一次函数解析式为：y=﹣3x+9；（2）由图象得：k1x+b﹣＞0时，x（x＞0）的取值范围为：1＜x＜2；（3）PC=PE，理由如下：过点B作BF⊥OD于点F，∵四边形OBCD是等腰梯形，BC∥OD，CE⊥OD，∴OB=CD，BF=CE，在Rt△OBF和Rt△DCE中，，∴Rt△OBF≌Rt△DCE（HL），∴OF=DE，∵B（2，3），∴OF=DE=2，BF=3，设C（a，3），∴BC=a﹣2，OD=a+2，∵梯形OBCD的面积为12，∴（a﹣2+a+2）×3=12，解得：a=4，∴C（4，3），∴x P=4，∴y P==，∴P（4，），∵C（4，3），E（4，0），∴PC=3﹣=，PE=﹣0=，∴PC=PE．【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的性质．注意准确作出辅助线，利用方程思想求解是解此题的关键．26．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=CB=4，AD=2．点P从B点出发，沿线段BC向点C运动，运动速度为每秒2个单位；点Q从D点出发，沿线段DA向点A运动，运动速度为每秒1个单位，当Q点到达终点时，两点均停止运动．过点Q作垂直于AD的直线交线段AC于点M，交线段BC于点N．设运动的时间为t．（1）分别求出MC和NC长（用含有t的式子表示）；（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，求t的值；（3）是否存在某一时刻t，使得直线QN同时平分△ABC的周长和面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）如图②，连接PM，请直接写出当t为何值时，△PMC为等腰三角形．【考点】四边形综合题．【分析】（1）设QD=t，BP=2t，再利用等腰直角三角形和三角函数的性质进行解答即可；（2）根据平行四边形的性质进行解答即可；（3）根据三角形的面积公式和一元二次方程的解法进行解答即可；（4）分三种情况利用等腰三角形的性质进行解答即可．【解答】解：（1）由题意可知：QD=t，BP=2t，AQ=2﹣t=BN，∴NC=4﹣（2﹣t）=t+2，∵∠B=90°，AB=CB，∴∠BCA=45°，∴MC=（t+2）=t+2；（2）若四边形PCDQ为平行四边形，则PC=DQ，。
重庆市渝中区2019-2020学年中考数学三模考试卷含解析
重庆市渝中区2019-2020学年中考数学三模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 4=a 8B ．2a 2+a 2=3a 4C ．a 6÷a 2=a 3D ．（ab 2）3=a 3b 62．如图，三角形纸片ABC ，AB ＝10cm ，BC ＝7cm ，AC ＝6cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长为（ ）A ．9cmB ．13cmC ．16cmD ．10cm 3．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：23224x x x x +-++-”. 小明的做法：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的4．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量， 对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,1．对于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是15B ．众数是10C ．中位数是17D ．方差是4435．某班选举班干部，全班有1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，1．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令1,,0,i i j a j i j 第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选⎧=⎨⎩其中i ＝1，2，…，1；j ＝1，2，…，1．则a 1，1a 1，2+a 2，1a 2，2+a 3，1a 3，2+…+a 1，1a 1，2表示的实际意义是（ ） A ．同意第1号或者第2号同学当选的人数B ．同时同意第1号和第2号同学当选的人数C ．不同意第1号或者第2号同学当选的人数D ．不同意第1号和第2号同学当选的人数7．估计7+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间8．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，则250000用科学记数法表示为( )A．25×104m2B．0.25×106m2C．2.5×105m2D．2.5×106m29．世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是()A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、3010．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．211．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是() A．B．C．D．12．一、单选题在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价．某户5月份高峰时段用电量是空闲时段用电量2倍，6月份高峰时段用电量比5月份高峰时段用电量少50%，结果6月份的用电量和5月份的用电量相等，但6月份的电费却比5月份的电费少25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=48°，则∠ACB′=_____．15．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[1.3]=1，（1.3）=3，[1.3）=1．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x ）+[x ）=6；②当x=﹣1.1时，[x]+（x ）+[x ）=﹣7；③方程4[x]+3（x ）+[x ）=11的解为1＜x ＜1.5；④当﹣1＜x ＜1时，函数y=[x]+（x ）+x 的图象与正比例函数y=4x 的图象有两个交点．16．如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P 、P′所在的直线都是经过同一点O ，且有OP′=k·OP(k≠0)，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O 叫做位似中心，已知△ABC 与△A′B′C′是关于点O 的位似三角形，OA′=3OA ，则△ABC 与△A′B′C′的周长之比是________.17．若方程x 2﹣4x+1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为_____．18．如图，在△ABC 中，AB=AC=25，BC=1．点E 为BC 边上一动点，连接AE ，作∠AEF=∠B ，EF 与△ABC 的外角∠ACD 的平分线交于点F ．当EF ⊥AC 时，EF 的长为_______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x =–1，P 为抛物线上第二象限的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P 的纵坐标为2时，求点P 的横坐标；（3）当点P 在运动过程中，求四边形PABC 面积最大时的值及此时点P 的坐标．20．（6分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．21．（6分）如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．22．（8分）货车行驶25km与轿车行驶35km所用时间相同．已知轿车每小时比货车多行驶20km，求货车行驶的速度．23．（8分）如图，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．24．（10分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．求证：BE = DF ；连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．25．（10分）计算：（﹣2）2+20180﹣3626．（12分）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线；若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．27．（12分）如图,矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,8 ,6OA OC ==.(1)求直线AC 的表达式;(2)若直线y x b =+与矩形OABC 有公共点，求b 的取值范围;(3)直线: 10l y kx =+与矩形OABC 没有公共点，直接写出k 的取值范围.参考答案题目要求的．）1．D【解析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A 、a 2•a 4=a 6，故此选项错误；B 、2a 2+a 2=3a 2，故此选项错误；C 、a 6÷a 2=a 4，故此选项错误；D 、（ab 2）3=a 3b 6，故此选项正确．．故选D ．考点：同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方．2．A【解析】试题分析：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE ．易求AE 及△AED 的周长．解：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE=7cm ．∵AB=10cm ，BC=7cm ，∴AE=AB ﹣BE=3cm ．△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm ）．故选A ．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．C【解析】 试题解析：23224x x x x +-++- =()()32222x x x x x +--++- =3122x x x +-++ =3-12x x ++ =22x x ++ =1．所以正确的应是小芳．故选C ．【解析】【详解】解：中位数应该是15和17的平均数16，故C选项错误，其他选择正确．故选C．【点睛】本题考查求中位数，众数，方差，理解相关概念是本题的解题关键.5．B【解析】【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加．【详解】第1，2，3，……，1名同学是否同意第1号同学当选依次由a1，1，a2，1，a3，1，…，a1，1来确定，是否同意第2号同学当选依次由a1，2，a2，2，a3，2，…，a1，2来确定，∴a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a1，1a1，2表示的实际意义是同时同意第1号和第2号同学当选的人数，故选B．【点睛】本题考查了推理应用题，题目比较新颖，是基础题．6．A【解析】【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数.【详解】点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为(－1，2)【点睛】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，牢记关于坐标轴对称的点的性质是解题的关键.7．B【解析】分析：直接利用27＜3，进而得出答案．详解：∵27＜3，∴37+1＜4，的取值范围是解题关键．8．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数． 【详解】解：由科学记数法可知：250000 m 2=2.5×105m 2， 故选C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．9．C【解析】分析：由表提供的信息可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数． 详解：根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30.故选C.点睛：考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键.10．D【解析】【分析】解不等式得到x≥12m+3，再列出关于m 的不等式求解. 【详解】 23m x -≤﹣1， m ﹣1x≤﹣6，﹣1x≤﹣m ﹣6， x≥12m+3， ∵关于x 的一元一次不等式23m x -≤﹣1的解集为x≥4， ∴12m+3=4，解得m=1． 故选D ．考点：不等式的解集试题分析：观察可得，只有选项C的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.12．C【解析】【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．60%【解析】【分析】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，根据总价＝单价×数量结合6月份的电费却比5月份的电费少25%，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y之间的关系，进而即可得出结论．【详解】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，依题意，得：（1﹣25%）（ax+2ay）＝2ax+ay，解得：x＝0.4y，∴该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低y xy×100%＝60%．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．14．6°【解析】∠B=48°，∠ACB=90°，所以∠A=42°，DC是中线，所以∠BCD=∠B=48°，∠DCA=∠A=48°，因为∠BCD=∠DCB’=48°，所以∠ACB′=48°-46°=6°.15．②③【解析】试题解析：①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+1+1=5，故①错误；②当x=﹣1.1时，[x]+（x）+[x）=[﹣1.1]+（﹣1.1）+[﹣1.1）=（﹣3）+（﹣1）+（﹣1）=﹣7，故②正确；③当1＜x＜1.5时，4[x]+3（x）+[x）=4×1+3×1+1=4+6+1=11，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为②③．考点：1.两条直线相交或平行问题；1.有理数大小比较；3.解一元一次不等式组．16．1:1分析：根据相似三角形的周长比等于相似比解答．详解：∵△ABC 与△A′B′C′是关于点O 的位似三角形，∴△ABC ∽△A′B′C′．∵OA′=1OA ，∴△ABC 与△A′B′C′的周长之比是：OA ：OA′=1：1．故答案为1：1．点睛：本题考查的是位似变换的性质，位似变换的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．17．5【解析】由题意得，124x x += ，121x x ⋅=.∴原式1122415x x x x =++=+=18．1+5【解析】【分析】当AB=AC ，∠AEF=∠B 时，∠AEF=∠ACB ，当EF ⊥AC 时，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF ，即可得到AE ⊥BC ，依据Rt △CFG ≌Rt △CFH ，可得CH=CG=255，再根据勾股定理即可得到EF 的长． 【详解】解：如图，当AB=AC ，∠AEF=∠B 时，∠AEF=∠ACB ，当EF ⊥AC 时，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF ， ∴AE ⊥BC ，∴CE=12BC=2， 又∵5∴AE=1，EG=AE CE AC ⨯=455∴22CE EG -255， 作FH ⊥CD 于H ，∵CF 平分∠ACD ，∴FG=FH ，而CF=CF ，∴Rt △CFG ≌Rt △CFH ，∴， 设EF=x ，则∵Rt △EFH 中，EH 2+FH 2=EF 2，∴（）2+（）2=x 2， 解得故答案为【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）二次函数的解析式为223y x x =--+，顶点坐标为（–1，4）；（2）点P 横坐标为–1；（3）当3x 2=-时，四边形PABC 的面积有最大值758，点P （31524-，）． 【解析】试题分析: （1）已知抛物线2y ax bx c =++ ()0a ≠与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l 为x =﹣1，由此列出方程组，解方程组求得a 、b 、c 的值，即可得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，直接写出顶点坐标即可；（2）把y=2代入解析式，解方程求得x 的值，即可得点P 的横坐标，从而求得点P 的坐标；（3）设点Ｐ（x ，y ），则2--23y x x =+ ,根据 OBC OAP OPC BCPA S S S S ∆∆∆=++四边形得出四边形PABC 与x 之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得x 的值，即可求得点P 的坐标.试题解析:（1）∵抛物线2y ax bx c =++ ()0a ≠与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x =﹣1，∴0312a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩ ， 解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为2--23y x x =+ =()214x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）（2）设点P （x ，2），即2--23y x x =+=2，解得1x 1（舍去）或2x =﹣1，∴点P 1，2）.（3）设点Ｐ（x ，y ），则2--23y x x =+ , OBC OAP OPC BCPA S S S S ∆∆∆=++四边形,∴ 2339332222BCPAS x x x =--+-四边形＝23375228x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ∴当32x =-时，四边形PABC 的面积有最大值758. 所以点P （315,24-）. 点睛：本题是二次函数综合题，主要考查学生对二次函数解决动点问题综合运用能力，动点问题为中考常考题型，注意培养数形结合思想，培养综合分析归纳能力，解决这类问题要会建立二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题.20．路灯高CD 为5.1米．【解析】【分析】根据AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA 得到MA ∥CD ∥BN ，从而得到△ABN ∽△ACD ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【详解】设CD 长为x 米，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，∴MA ∥CD ∥BN ，∴EC ＝CD ＝x 米，∴△ABN ∽△ACD ， ∴BN CD ＝AB AC ，即1.8 1.21.8x x =-， 解得：x ＝5.1．经检验，x ＝5.1是原方程的解，∴路灯高CD 为5.1米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形． 21．证明见解析.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM ，可证△BDM ≌△CEM ，可得MD=ME ，即可解题．试题解析：证明：△ABC 中，∵AB=AC ，∴∠DBM=∠ECM.∵M 是BC 的中点，∴BM=CM.在△BDM 和△CEM 中，∵{BD CEDBM ECM BM CM=∠=∠=，∴△BDM ≌△CEM （SAS ）.∴MD=ME ．考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.22．50千米/小时.【解析】【分析】根据题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出方程求解即可．【详解】解：设货车的速度为x 千米/小时，依题意得：解：根据题意，得253520x x =+ ． 解得：x=50经检验x=50是原方程的解.答：货车的速度为50千米/小时.【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出题中的等量关系，列出关系式是解题的关键.23．（1）6y x=（2）(-6,0)或(-2,0). 【解析】分析：（1）把A 点坐标代入直线解析式可求得m 的值，则可求得A 点坐标，再把A 点坐标代入双曲线解析式可求得k 的值，可求得双曲线解析式；（2）设P （t ，0），则可表示出PC 的长，进一步表示出△ACP 的面积，可得到关于t 的方程，则可求得P 点坐标． 详解：（1）把A 点坐标代入y=12x+2，可得：3=12m+2，解得：m=2，∴A （2，3）．∵A 点也在双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=6x； （2）在y=12x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C （﹣4，0）．∵点P 在x 轴上，∴可设P 点坐标为（t ，0），∴CP=|t+4|，且A （2，3），∴S △ACP =12×3|t+4|．∵△ACP 的面积为3，∴12×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P 点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）四边形AEMF 是菱形，证明见解析.【解析】【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE ≌△ADF ；（2）由于四边形ABCD 是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD ；联立（1）的结论，可证得EC=CF ，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC （即AM ）垂直平分EF ；已知OA=OM ，则EF 、AM 互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF 是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠D=90°，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，∵AD AB AF AE ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADF ≌Rt △ABE （HL ）∴BE=DF ；（2）四边形AEMF 是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC （正方形四条边相等），∵BE=DF （已证），∴BC-BE=DC-DF （等式的性质），即CE=CF ，在△COE 和△COF 中，CE CF ACB ACD OC OC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△COE ≌△COF （SAS ），∴OE=OF ，又OM=OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．25．﹣1【解析】分析：首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．详解：原式=4+1-6=-1．点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．26．解：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是7.5cm．【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O 的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【详解】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD =连接CD ．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE ，∴△ACD ∽△ADE ． ∴AD AC AE AD=．∴3= 则AC=15（cm ）．∴⊙O 的半径是7.5cm ．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．27．（1）364y x =-+；（2）86b -≤≤；（3）12k >- 【解析】【分析】（1）由条件可求得A 、C 的坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的表达式；（2）结合图形，当直线平移到过C 、A 时与矩形有一个公共点，则可求得b 的取值范围；（3）由题意可知直线l 过（0，10），结合图象可知当直线过B 点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得k 的取值范围．【详解】解:(1) 8 , 6OA OC ==Q ()()8,0 , 0,6A C ∴，设直线AC 表达式为y kx b =+,806k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 表达式为364y x =-+; (2) Q 直线 y x b =+可以看到是由直线y x =平移得到,∴当直线 y x b =+过A C 、时，直线与矩形OABC 有一个公共点,如图1，当过点A 时,代入可得08b =+,解得8b =-.当过点C 时,可得6b =∴直线 y x b =+与矩形OABC 有公共点时，b 的取值范围为86b -≤≤;(3) 10y kx =+Q ,∴直线l 过()0, 10D ，且()8, 6B ,如图2，直线l 绕点D 旋转,当直线过点B 时,与矩形OABC 有一个公共点,逆时针旋转到与y 轴重合时与矩形OABC 有公共点,当过点B 时,代入可得6810k =+,解得12k =- ∴直线l :10y kx =+与矩形OABC 没有公共点时k 的取值范围为12k >-【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形OABC 有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2019-2020年重庆市第二外国语学校九年级上学期第一次月考模拟试卷 数学(人教版)(含答案)
2019-2020年重庆市第二外国语学校九年级上学期第一次月考模拟试卷数学（人教版）一．选择题（共12小题）1．一元二次方程x2＝9的根是（）A．3 B．±3 C．9 D．±92．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A．线段B．角C．菱形D．平行四边形3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．B．C．D．4．如图，已知△ADE∽△ABC，若AD：AB＝1：3，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为（）A．1 B．3 C．27 D．815．如图，如图是按照一定规律画出的“分形图”，经观察可以发现，图A2比图A1多2根“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多的根数为（）A．28 B．56 C．60 D．1246．已知x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的解，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．57．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠28．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根9．已知反比例函数y＝的图象上有三点A（4，y1），B（2．y2），c（，y3）则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y210．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A 重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．2611．如图，过点O作直线与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴，y轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是（）A．S1＝S2B．2S1＝S2C．3S1＝S2D．4S1＝S212．从3、1、﹣1、﹣2、﹣3这五个数中，取一个数作为函数y＝和关于x的方程（k+1）x2+2kx+1＝0中k的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k的值共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）13．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解是．14．若＝且a+b﹣c＝1，则b+c﹣a的值为．15．已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2）．则它们的另一个交点坐标是．16．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD垂足分别为E，F，若CF＝3，DE＝2，∠A＝60°，则平行四边形ABCD的周长为．17．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距千米．18．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少个窗口．三．解答题（共8小题）19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE 是矩形．20．重庆二外的学生除了体育课要进行体育锻炼外，寒暑假期间还要自己抽时间进行体育锻炼为了了解同学们假期体育锻炼的情况，初三开学体育老师随机抽取了部分同学进行调查，并按同学课后锻炼的时间x（分钟）的多少分为以下四类：A类（0≤x≤15），B 类（15＜x≤30），C类（30＜x≤45），D类（x＞45）对调查结果进行整理并绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为，并补全折线统计图；（2）现从A类中选出两名男同学和三名女同学，从以上五名同学中随机抽取两名同学进行采访，请利用画树状图或列表的方法求出抽到的学生恰好为一男一女的概率．21．（1）化简：（÷．（2）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．22．如图，已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A（2，4）B（﹣4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．23．在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人3：1的总战绩，斩获2017年度脑王巔峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来某商场去年5月份某款智能机器人售价为29000元，当月销出615台，据了解，每涨价1000元，销量就减少5台．（1）若该商场要想该款智能机器人月销量不低于600台，则售价应不高于多少元？（2）据悉，6月份该商场便购进该款智能机器人600台，并按（1）问的最高售价销售，结果全部售出，7月份，全国经济出现通货膨胀，商品价格进一步上涨，去年7月份该款智能机器人的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%商场为了促进销量，8月份决定对该款智能机器人实行九折优惠促销，受此政策的刺激，该款智能机器人销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．24．如图1，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE ＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝DG+BG．25．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，且m+n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上，OA、OB的长是方x2﹣6x+8＝0的两根，把△AOB折叠，使点B落在y轴正半轴上，折痕与AB边相交于点C．（1）求A点的坐标．（2）求折痕OC所在直线的解析式．（3）点P是直线OC上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是一个菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．一元二次方程x2＝9的根是（）A．3 B．±3 C．9 D．±9【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵x2＝9，∴x＝±3，故选：B．2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A．线段B．角C．菱形D．平行四边形【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：根据轴对称图形的性质，D不一定是轴对称图形，若平行四边形不是矩形时就不是轴对称图形，A、B、C都是轴对称图形．故选：D．3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先利用列举法可得：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；∴出现两个正面朝上的概率是：．故选：D．4．如图，已知△ADE∽△ABC，若AD：AB＝1：3，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为（）A．1 B．3 C．27 D．81【分析】根据相似三角形的性质得出＝（）2，代入求出即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，∴＝（）2，∵△ABC的面积为9，∴＝，∴S△ADE＝1，故选：A．5．如图，如图是按照一定规律画出的“分形图”，经观察可以发现，图A2比图A1多2根“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多的根数为（）A．28 B．56 C．60 D．124【分析】主干1枝，第二层2叉，每叉1枝，多21枝，第三层在第二层的基础上每叉有多2枝，共多2×21＝22枝，依次下去，每层比前一层多2n﹣1【解答】解：图A1有：1枝图A2有：（1+21）枝图A3有：（1+21+22）枝图A4有：（1+21+22+23）枝…图A n有：（1+21+22+23+…+2n﹣1）则图A6比图A2多（1+21+22+23+24+25）﹣（1+21）＝60（枝）故选：C．6．已知x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的解，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5【分析】利用一元二次方程的定义，把x＝2代入x2﹣ax+6＝0得4﹣2a+6＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝2代入x2﹣ax+6＝0得4﹣2a+6＝0，解得a＝5．故选：D．7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．【解答】解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．故选：C．8．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝5代入△＝b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D．9．已知反比例函数y＝的图象上有三点A（4，y1），B（2．y2），c（，y3）则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【分析】把A、B、C的坐标分别代入y＝分别求出y1、y2、y3的值，从而得到它们的大小关系．【解答】解：把A（4，y1），B（2．y2），c（，y3）分别代入y＝得y1＝＝，y2＝＝1，y3＝＝4，所以y1＜y2＜y3．故选：C．10．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A 重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND ＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB ﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．11．如图，过点O作直线与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴，y轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是（）A．S1＝S2B．2S1＝S2C．3S1＝S2D．4S1＝S2【分析】根据题意，易得AB两点关与原点对称，可设A点坐标为（m，﹣n），则B的坐标为（﹣m，n）；在Rt△EOF中，由AE＝AF，可得A为EF中点，分析计算可得S2，矩形OCBD中，易得S1，比较可得答案．【解答】解：设A点坐标为（m，﹣n），过点O的直线与双曲线y＝交于A、B两点，则A、B两点关与原点对称，则B的坐标为（﹣m，n）；矩形OCBD中，易得OD＝n，OC＝m；则S1＝mn；在Rt△EOF中，AE＝AF，故A为EF中点，由中位线的性质可得OF＝2n，OE＝2m；则S2＝OF×OE＝2mn；故2S1＝S2．故选：B．12．从3、1、﹣1、﹣2、﹣3这五个数中，取一个数作为函数y＝和关于x的方程（k+1）x2+2kx+1＝0中k的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k的值共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由函数y＝的图象经过第二、四象限，可得k﹣2＜0，由关于x的方程（k+1）x2+2kx+1＝0有实数根，可得（2k）2﹣4×（k+1）≥0或k+1＝0，继而求得答案．【解答】解：∵函数y＝的图象经过第二、四象限，则k﹣2＜0，解得：k＜2，∴符合要求的有1，﹣1，﹣2，﹣3，∵关于x的方程（k+1）x2+2kx+1＝0有实数根，∴（2k）2﹣4×（k+1）≥0或k+1＝0，∴符合要求的有，﹣1，﹣2，﹣3，∴恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k的值共有3个．故选：C．二．填空题（共6小题）13．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解是x1＝2，x2＝3 ．【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，x1＝2，x2＝3，故答案为x1＝2，x2＝3．14．若＝且a+b﹣c＝1，则b+c﹣a的值为 5 ．【分析】设＝＝t，利用比例性质得到a＝2t，b＝3t，c＝4t，所以2t+3t﹣4t ＝1，解得t＝1，然后利用b+c﹣a＝5t进行计算．【解答】解：设＝＝t，∴a＝2t，b＝3t，c＝4t，∵a+b﹣c＝1，∴2t+3t﹣4t＝1，解得t＝1，∴b+c﹣a＝3t+4t﹣2t＝5t＝5．故答案为5．15．已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2）．则它们的另一个交点坐标是（1，2）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵点A与另一个交点关于原点对称，点A的坐标为（﹣1，﹣2），∴另一个交点的坐标为（1，2）．故答案是：（1，2）．16．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD垂足分别为E，F，若CF＝3，DE＝2，∠A＝60°，则平行四边形ABCD的周长为28 ．【分析】根据平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠A＝60°，∴∠C＝60°，∵CF＝3，BF⊥CD，∴BC＝6，∵DE＝2，∴AE＝6﹣2＝4，∵BE⊥AD，∴AB＝8，∴平行四边形ABCD的周长＝（6+8）×2＝28，故答案为：2817．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距600 千米．【分析】当x＝0时，y＝300，故此可得到AB两地的距离为300，3小时后两车相遇，从而可求得两车的速度之和，然后依据5小时后两车的距离最大，可知甲车到达B地用5小时，从而可乙车的速度，设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，根据甲乙两车的路程相差300千米，列方程可求得t的值，最后根据乙的路程得到B、C之间的距离．【解答】解：由图象可得：当x＝0时，y＝300，∴AB＝300千米．∴甲车的速度＝300÷5＝60千米/小时，又∵300÷3＝100千米/小时，∴乙车的速度＝100﹣60＝40千米/小时，设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，依题意可得60t﹣40t＝300，解得t＝15，∴B，C两地的距离＝40×15＝600千米．故答案为：600．18．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 6 个窗口．【分析】设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，并设同时开n个窗口，根据并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若在15分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%．在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂15分钟内卖完午餐，可列出不等式求解．【解答】解：设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，并设同时开n个窗口，依题意有，由①、②得y＝x，z＝90x，代入③得15nx≥90x﹣3x，所以n≥5.8．因此，至少要同时开6个窗口．故答案为：6三．解答题（共8小题）19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE 是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．20．重庆二外的学生除了体育课要进行体育锻炼外，寒暑假期间还要自己抽时间进行体育锻炼为了了解同学们假期体育锻炼的情况，初三开学体育老师随机抽取了部分同学进行调查，并按同学课后锻炼的时间x（分钟）的多少分为以下四类：A类（0≤x≤15），B 类（15＜x≤30），C类（30＜x≤45），D类（x＞45）对调查结果进行整理并绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为18°，并补全折线统计图；（2）现从A类中选出两名男同学和三名女同学，从以上五名同学中随机抽取两名同学进行采访，请利用画树状图或列表的方法求出抽到的学生恰好为一男一女的概率．【分析】（1）先由A类型的人数及其所占百分比求出总人数，再用360°乘以D类型人数占被调查人数的比例可得其对应圆心角度数，利用各类型人数之和等于总人数求出B 类型人数，从而补全折线图；（2）用A表示女生，B表示男生，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为48÷40%＝120（人），∴扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为360°×＝18°，B类型人数为120﹣（48+24+6）＝42（人），补全折线统计图如下：故答案为：18°；（2）用A表示女生，B表示男生，画树状图如下：共有20种情况，其中一名男同学和一名女同学的有12种结果，所以抽到的学生恰好为一男一女的概率为＝．21．（1）化简：（÷．（2）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝÷＝；（2）∵2x2﹣3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9+8＝17，∴x＝22．如图，已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A（2，4）B（﹣4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值；由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析；（2）结合函数图象即可得出一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）待定系数法求得一次函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝．（2）∵点B（﹣4，n）在反比例函数y2＝的图象上，∴n＝＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．观察函数图象，发现：使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围为x≤﹣4或0＜x≤2．（3）将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入到y1＝ax+b中，得：解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，求得x＝﹣2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+2×4＝6．23．在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人3：1的总战绩，斩获2017年度脑王巔峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来某商场去年5月份某款智能机器人售价为29000元，当月销出615台，据了解，每涨价1000元，销量就减少5台．（1）若该商场要想该款智能机器人月销量不低于600台，则售价应不高于多少元？（2）据悉，6月份该商场便购进该款智能机器人600台，并按（1）问的最高售价销售，结果全部售出，7月份，全国经济出现通货膨胀，商品价格进一步上涨，去年7月份该款智能机器人的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%商场为了促进销量，8月份决定对该款智能机器人实行九折优惠促销，受此政策的刺激，该款智能机器人销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．【分析】（1）设售价为x元，该款智能机器人月销量不低于600台，可列出一元一次不等式，求解即可；（2）根据该款智能机器人销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，可列出一元二次方程，求解，并根据问题的实际意义作出取舍即可．【解答】解：（1）设售价为x元，由题意得：615﹣×5≥600解得：x≤32000∴售价应不高于32000元．（2）由题意得：32000（1+m%）×0.9×[600（1﹣2m%）+220]＝32000×600×（1+15.5%）令m%＝t，原方程化简得：120t2+38t﹣5＝0解得t1＝，t2＝﹣（舍）∴m%＝∴m的值为10．24．如图1，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE ＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝DG+BG．【分析】（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE＝∠DBF，由∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，推出∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．（2）如图3中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM ＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，由CH⊥BG，推出∠GCH＝30°，推出CG＝2GH，由CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，即可证明2GH＝DG+GB．【解答】（1）解：如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，在△DAE和△BDF中，，∴△DAE≌△BDF，∴∠ADE＝∠DBF，∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．（2）证明：如图3中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接BD、CG．∵∠MGB＝60°，GM＝GB，∴△GMB是等边三角形，∴∠MBG＝∠DBC＝60°，∴∠MBD＝∠GBC，在△MBD和△GBC中，，∴△MBD≌△GBC，∴DM＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，∵CH⊥BG，∴∠GCH＝30°，∴CG＝2GH，∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，∴2GH＝DG+GB．25．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，且m+n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．【分析】（1）由题意代入验证即可解答；（2）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【解答】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121；（2）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m＝，即mn＝1，∵m+n＝﹣2，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上，OA、OB的长是方x2﹣6x+8＝0的两根，把△AOB折叠，使点B落在y轴正半轴上，折痕与AB边相交于点C．（1）求A点的坐标．（2）求折痕OC所在直线的解析式．（3）点P是直线OC上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是一个菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）首先解方程求得OA和OB的长，然后利用勾股定理求得OA的长，则A的坐标即可求得；（2）作CD⊥y轴于点D，则CD＝BC，根据S△ABO＝S△AOC+S△OBC，即可求得CD的长，则C 的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线解析式；（3）存在，分类讨论：①当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，且P1点在C点下方；②当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P2点在C点上方，Q2在直线OC的左侧时；③当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P3点在C点上方，Q3在直线OC 的右侧时．由菱形的性质和等边三角形的性质求出Q点的坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0得x＝2或4，则OB＝2，OA＝4，则A的坐标是（0，4）；（2）作CD⊥y轴于点D，如答图（1）．∵B、D关于OC对称，∴CD＝CB，OB＝OD＝2，设CD＝CB＝x，∵S△ABO＝S△AOC+S△OBC，∴AB•OB＝OA•CD+OB•BC，∴2×＝2x+4x，解得：x＝，则C的坐标是（，2），设直线OC的解析式是y＝kx，则k＝2，解得：k＝，则OC的解析式是y＝x；（3）存在；∵C（，2），∴OC＝＝，①当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，且P1点在C点下方时，∵AC＝OC＝，∴P1点与O点重合．∵C（，2）∵AO是菱形ACP1Q1的对角线，而AO在y轴上，∴点Q1与点C关于y轴对称，∴Q1（﹣，2）．②当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P2点在C点上方，Q2在直线OC的左侧时，连接Q2C、AP2，交于点M．∵∠ACP2＝∠OAB+∠AOC＝60°，∴∠ACQ2＝30°，∴Q2C∥y轴，∴AP2∥x轴，∵A（0，4），C（，2）∴M（，4），∵Q2M＝MC＝4﹣2＝2．∴Q2（，6）．③当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P3点在C点上方，Q3在直线OC的右侧时，∵∠ACP3＝∠OAB+∠AOC＝60°，AP3＝AC＝，∴△ACP3是等边三角形．∴∠P3AC＝60°，∴∠P3AO＝90°，∴P3A∥x轴，∵P3A∥Q3C，∴Q3C∥x轴，∵C（，2），Q3C＝AC＝，∴Q3（，2）．④当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的对角线，且P4点在C点上方时，可证得Q4与Q1重合⑤当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的对角线，且P5点在C点下方时，由于∠ACP5＝120°，所以这样的菱形不存在．综上所述，点Q的坐标为Q1（﹣，2）、Q2（，6）或Q3（，2）．。
2019-2020学年最新重庆市九年级中考模拟(三)数学试题及答案解析
第4题图中考数学模拟试题（本卷共五个大题 满分：150分 考试时间：120分钟）参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24()24b ac b a a --，，对称轴公式为2b x a =-.一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷中对应的方框涂黑.1．在3,0,2,--个数中，最小的数是（ ） A ．3- B. 0 C. －2D. 2．下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ）A B C D3．下列运算正确的是（ ）A ．(1)1a a --=-- B. 326(2)4a a -= C ．222()a b a b -=- D. 3252a a a +=4．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则12∠+∠的度数是（ ）A ．45° B. 60° C. 90° D. 180° 5．下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是（ ）A ．了解全国每天丢弃的废旧电池数 B. 了解某班同学的身高情况第8题图C ．了解一批炮弹的杀伤半径 D. 了解我国农民的人均年收入情况6．如图，已知直线AB 、CD 被EF 所截，GH 交CD 于D ，50EGB BGH ECD ∠=∠∠=︒，，则CDH ∠为（ ）A ．130︒B ．150︒C ．80︒D ．100︒7．二元一次方程组2123x y y x-=-⎧⎨=⎩的解为（ ）A ．1234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ B. 3213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ C. 1423x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ D. 1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 8．如图，AB 是O 的直径，O 半径32，弦BC = 1，那么tan CDB ∠的值是（ ） A ．13B. 4C.D. 39．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD = 2，AB = 3，BC = 6，沿AE翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B '，连结B E '交CD于F ，则DF FC的值为（ ） A ．13 B. 14 C. 15 D. 1610．如图所示，把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间一个小三角形，对剩下的三个小三角形再重复以上做法……一直到第六次挖去后剩下的三角形有（ ）个A ．53 B. 531+ C. 63 D. 631+ 第6题图第9题图11．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地. 已知轮船在静水中的速度为15km/h ，水流速度为5km/h. 轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地. 设轮船从甲地出发后所用时间为t （h ），航行的路程为s （km ），则s 与t 的函数图象大致是（ ）A B C D12．如图，等腰Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，B 、C 均在y 轴的正半轴上，且B 点坐标为(0，，D 为AB 中点，反比例函数k y x =的图象刚好过A 、D 两点，则k 的值为（ ）A ．3B ．4 C．D．二、填空题：(本题共6小题，每小题4分，共24分)请把下列各题的正确答案填写在答题卡对应的横线上.13．三峡工程是具有防洪、发电、航运、养殖，供水等巨大综合利用效益的特大水利水电工程，其防洪库容量约为22150000000m 3，这个数用科学记数法表示为 m 3.14．分解因式：39a a -= .15．某天我国7个城市的平均气温分别是5℃，3℃，5℃，22℃，12℃，16℃，28℃. 则这7个城市气温的中位数是 ℃.16．如图，矩形ABCD 中，AD = 4，CD = 1，以AD 为直径作半圆O ，则阴影部分面积为 .第12题图第16题图17．从－1，0，2，3这四个数中，任取两个数作为a ，b ，分别代入一元二次方程220ax bx ++=中，那么所有可能的一元二次方程中有实数解的一元二次方程的概率为 .18．如图，正方形ABCD 中绕B 点逆时针旋转得正方形BPQR ，连接DQ ，延长CP 交DQ 于E ，若,4C E ED ==，则AB= .三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19．计算：()201352π-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭20．已知，如图，在Rt ABC ∆中，90C AC ∠=︒=，点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，60ADC ∠=︒. （1）求AB 的长；（2）求tan B ∠.四、解答题：（本大题共个4小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．先化简，再求值：226939393x x x x x x -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中x 是方程2430x x -+=的解.第18题图22．某中学在不久前结束的体育中考中取得较好成绩，现随机抽取了部分学生的成绩作为一个样本，按A（满分）、B（优秀）、C（良好）、D（及格）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下2幅不完整的统计图，请你结合图表所给信息解答下列问题：（1）此次调查共随机抽取了名学生，其中学生成绩的中位数落在等级；（2）将折线统计图在图中补充完整；（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为满分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为满分的学生有中4名女生，且满分的男、女生中各有2名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率.23．某蔬菜店第一次用800元购进某种蔬菜，由于销售状况良好，该店又用了1400元第二次购进该品种蔬菜，所购数量是第一次购进数量的2倍，但进货价每千克少了0.5元.（1）第一次所购该蔬菜的进货价是每千克多少元？（2）蔬菜店在销售中，如果两次售价均相同，第一次购进的蔬菜有3%的损耗，第二次购进的蔬菜有5%的损耗，若该蔬菜店售完这些蔬菜获利不低于1244元，则该蔬菜每千克售价至少为多少元？24．如图，ABC ∆中，,90CA CB ACB =∠=︒，D 为ABC ∆外一点，且AD BD ⊥，BD 交AC 于E ，G 为BC 上一点，且BCG DCA ∠=∠，过G 点作GH CG ⊥交CB 于H.（1）求证：CD = CG ；（2）若AD = CG ，求证AB AC BH =+.25．如图，在平面直角坐标系中，直线12y x b =+与抛物线211322y x x =--+交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为4-，点P 为直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，作PH AB ⊥于H.（1）求b 的值及sin PQH ∠的值；（2）设点P 的横坐标为t ，用含t 的代数式表示点P 到直线AB 的距离PH 的长，并求出PH 之长的最大值以及此时t 的值；（3）连接PB ，若线段PQ 把PBH ∆分成的PQB ∆与PQH ∆的面积相等，求此时点P 的坐标.26．如图，已知平行四边形ABCD ，,2,AD BD AD BD AD ⊥==过D 点作DE AB⊥于E ，以DE 为直角边作等腰直角三角形DEF ，点F 落在DC 上，将DEF ∆在同一平面内沿直线DC 翻折，所得的等腰直角三角形记为PQR ∆，点R 与D 重合，点Q 与F 重合，如图①所示，平行四边形ABCD 保持不动，将PQR ∆沿折线D B C --匀速平移，点R 的移动的速度为位，设运动时间为t ，当R 与C 重合时停止运动.（1）当点Q 落在BC 边上时，求t 的值；（2）记PQR ∆与DBC ∆的重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（3）当PQR ∆平移动到R 与B 重合时，如图②所示，再将PQR ∆绕R 点沿顺时针方向旋转α（0360α︒≤≤︒），得到11PQ R ∆，若直线11PQ 与直线BC 、直线DC 分别相交于M 、N ， 问在旋转的过程中是否存在CMN ∆为直角三角形，若存在，求出CN 的长；若不存在，请说明理由.。
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2020年重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷（三）一．选择题（共12小题）1．在，﹣3，0，这四个数中，无理数是（）A．B．﹣3C．0D．2．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1+∠4＝180°4．若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3B．x≠﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣65．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4B．4：3C．：2D．2：6．下列命题是真命题的是（）A．多边形的内角和为360°B．若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0C．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，2）D．矩形的对角线互相垂直平分7．估计（）÷的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间8．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣29．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中有（）个棋子．A．35B．40C．45D．5010．位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度AB进行了测量．如图，他们从塔底A的点B出发，沿水平方向行走了13米，到达点C，然后沿斜坡CD继续前进到达点D处，已知DC＝BC．在点D处用测角仪测得塔顶A的仰角为42°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．其中测角仪及其支架DE高度约为0.5米，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么文峰塔的高度AB约为（）（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．22.5 米B．24.0 米C．28.0 米D．33.3 米11．若数a既使关于x的不等式组无解，又使关于x的分式方程＝1的解小于4，则满足条件的所有整数a的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴的一个交点坐标为（0，3），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；④方程ax2+bx+c＝0有一个实根大于2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共6小题）13．计算：﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2＝．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝°．15．现有五个小球，每个小球上面分别标着1，2，3，4，5这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字4、5的两个小球放入不透明的口袋A中，把分别标有数字1、2、3的三个小球放入不透明的口袋B中，现随机从A和B两个口袋中各取出一个小球，把从A口袋中取出的小球上标的数字记作m，从B口袋中取出的小球上标的数字记作n，且m﹣n＝k，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x 轴有交点的概率是．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的一边OA在x轴上，OA＝3，反比例函数y＝（k≠0）过菱形的顶点C和AB边上的中点E，则k的值为．17．甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地，乙车先出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足，甲到服务区加油花了6分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到B地，如图是甲、乙两车之间的距离s（km2），乙车出发时间t（h）之间的函数关系图象，则甲车比乙车早到分钟．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为．三．解答题（共8小题）19．（1）解方程组：（2）化简：（1﹣）÷20．如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝DF （1）证明：△ABC的等腰三角形；（2）连接AD，若AB＝5，BC＝8，求DE的长．21．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1000名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：min）：男生：20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40女生：75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90统计数据，并制作了如下统计表：时间x x≤3030＜x≤6060＜x≤9090＜x≤120男生2882女生1m n3分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示极差平均数中位数众数男生a65.75b90女生c75.575d（1）请将上面的表格补充完整：m＝，n＝，a＝，b＝，c＝，d＝，（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90min以上的同学约有多少人？（3）李老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持李老师观点的理由．22．甲、乙两个工厂需加工生产550台某种机器，已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工生产的机器台数的1.5倍，并且加工生产240台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器？（2）若甲工厂每天加工的生产成本是3万元，乙工厂每天加工生产的成本是2.4万元，要使得加工生产这批机器的总成本不得高于60万元，至少应该安排甲工厂生产多少天？23．小东同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣1|+|x+3|进行了探究，下面是他的探究过程：（1）已知x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0，化简：①当x＜﹣3时，y＝；②当﹣3≤x≤1时，y＝；③当x＞1时，y＝；（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：；（3）根据上面的探究，解决下面问题：已知A（a，0）是x轴上一动点，B（1，0），C（﹣3，0），则AB+AC的最小值是．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，当S 取何值时，对应的点E有且只有三个？25．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+126．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在，﹣3，0，这四个数中，无理数是（）A．B．﹣3C．0D．【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．【解答】解：在，﹣3，0，这四个数中，无理数是，故选：A．2．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1+∠4＝180°【分析】分别根据同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．【解答】解：A、由∠1＝∠2，得到a∥b，所以A选项正确；B、由∠2＝∠3，得到a∥b，所以B选项正确；C、由∠3＝∠4，无法判断a与b的关系所以C选项错误；D、由∠1＝∠3，∠3+∠4＝180°，得到a∥b，所以D选项正确．故选：C．4．若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3B．x≠﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣6【分析】根据分式有意义的条件可得2x+6≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3，故选：B．5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4B．4：3C．：2D．2：【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．6．下列命题是真命题的是（）A．多边形的内角和为360°B．若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0C．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，2）D．矩形的对角线互相垂直平分【分析】利用多边形的内角和定理、函数与坐标轴的交点坐标及矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、多边形的外角和为360°，故错误，是假命题；B、若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0，正确，是真命题；C、二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，3），错误，是假命题；D、矩形的对角线相等，故错误，是假命题；故选：B．7．估计（）÷的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，估计5＜＜6，可得结论．【解答】解：（3﹣）÷，＝3﹣2，＝﹣2，∵5＜＜6，∴3＜﹣2＜4，故选：C．8．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．【解答】解：连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，AD＝＝2，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选：D．9．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中有（）个棋子．A．35B．40C．45D．50【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，据此可得．【解答】解：∵图1中棋子有5＝1+2+1×2个，图2中棋子有10＝1+2+3+2×2个，图3中棋子有16＝1+2+3+4+3×2个，…∴图7中棋子有1+2+3+4+5+6+7+8+7×2＝50个，故选：D．10．位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度AB进行了测量．如图，他们从塔底A的点B出发，沿水平方向行走了13米，到达点C，然后沿斜坡CD继续前进到达点D处，已知DC＝BC．在点D处用测角仪测得塔顶A的仰角为42°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．其中测角仪及其支架DE高度约为0.5米，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么文峰塔的高度AB约为（）（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．22.5 米B．24.0 米C．28.0 米D．33.3 米【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设CD ＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝13米，∴设CD＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝132，解得x＝5，∴DG＝5米，CG＝12米，∴EG＝5+0.5＝5.5米，BG＝13+12＝25米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝25米，BM＝EG＝5.5米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝42°，∴AM＝EM•tan42°≈25×0.90＝22.5米，∴AB＝AM+BM＝22.5+5.5＝28米．故选：C．11．若数a既使关于x的不等式组无解，又使关于x的分式方程＝1的解小于4，则满足条件的所有整数a的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程的解小于4，确定出满足条件a的值．【解答】解：解不等式+1≤，得：x≤5a﹣6，解不等式x﹣2a＞6，得：x＞2a+6，∵不等式组无解，∴2a+6≥5a﹣6，解得：a≤4，解方程＝1，得：x＝2﹣2a，∵方程的解小于4，∴2﹣2a＜4且2﹣2a≠±2，解得：a＞﹣1且a≠0、a≠2，则﹣1＜a≤4且a≠0、a≠2，所以满足条件的所有整数a有1、3、4这3个，故选：B．12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴的一个交点坐标为（0，3），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；④方程ax2+bx+c＝0有一个实根大于2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y 轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是正确的；由对称轴为x＝﹣＝1得2a+b＝0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以a+2a+c＜0，即3a+c＜0，又a＜0，4a+c＜0，故结论②不正确；当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2+bx+c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且﹣1＜x1＜0，由对称轴x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有4个，故选：A．二．填空题（共6小题）13．计算：﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2＝1．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2﹣1+4＝1．故答案为：1．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝40°．【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA＝∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB＝90°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACD＝80°，∴∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠ACD）＝50°，∴∠ABC＝∠ADC＝50°（同弧所对的圆周角相等），∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°．故答案为：40．15．现有五个小球，每个小球上面分别标着1，2，3，4，5这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字4、5的两个小球放入不透明的口袋A中，把分别标有数字1、2、3的三个小球放入不透明的口袋B中，现随机从A和B两个口袋中各取出一个小球，把从A口袋中取出的小球上标的数字记作m，从B口袋中取出的小球上标的数字记作n，且m﹣n＝k，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x 轴有交点的概率是．【分析】画树状图列出所有等可能结果，计算出k的值，由一元二次方程根的判别式求得k的范围，依据概率公式求解可得．【解答】解：画树状图如下：∵y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x轴有交点，∴△＝16﹣8k≥0，即k≤2，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x轴有交点的概率为＝，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的一边OA在x轴上，OA＝3，反比例函数y ＝（k≠0）过菱形的顶点C和AB边上的中点E，则k的值为﹣2．【分析】由菱形OABC的边长OA＝3，可以表示出点A的坐标（﹣3，0），进而得出OA ＝AB＝BC＝CO＝3，设出点C的坐标，表示出点B的坐标，再根据E是AB的中点，可以表示出点E的坐标，把点C、E的坐标代入反比例函数关系式，可求出a的值，即ON 的长，再由勾股定理求出CN，确定b的值，进而求出k的值．【解答】解：设C坐标为（a，b），∵菱形ABCO的一边OA在x轴上，OA＝3，∴点B（a﹣3，b），∵E是AB的中点，A（﹣3，0），∴点E（，），把点C、E的坐标代入反比例函数关系式得，ab＝k＝×，解得，a＝﹣2，即ON＝2，∵OC＝OA＝3，∴CN＝＝，即，b＝，∴k＝ab＝﹣2×＝﹣2，故答案为：﹣2．17．甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地，乙车先出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足，甲到服务区加油花了6分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到B地，如图是甲、乙两车之间的距离s（km2），乙车出发时间t（h）之间的函数关系图象，则甲车比乙车早到11.5分钟．【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得甲开始的速度和后来的速度和乙的速度，从而可以求得甲车比乙车早到的时间，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，乙车的速度为：40÷0.5＝80km/h，甲车开始时的速度为：（2×80﹣10）÷（2﹣0.5）＝100km/h，甲车后来的速度为：＝120km/h，∴乙车从A地到B地用的时间为：250÷80＝h，甲车从A地到B地的时间为：＝2h，∴＝＝11.5分钟，故答案为：11.5．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD ＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．三．解答题（共8小题）19．（1）解方程组：（2）化简：（1﹣）÷【分析】（1）直接利用加减消元法解方程组得出答案；（2）直接利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1），②﹣①×2得：7y＝﹣14，解得：y＝﹣2，故x＝3，故方程组的解为：；（2）原式＝×＝＝＝1﹣x．20．如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝DF （1）证明：△ABC的等腰三角形；（2）连接AD，若AB＝5，BC＝8，求DE的长．【分析】（1）求出BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，根据HL证出Rt△BDE≌Rt△CDF，得出∠B＝∠C，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由勾股定理求出AD，根据面积法求出DE即可．【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）得：AB＝AC，∵D是△ABC边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝4，∴AD＝＝＝3，∵△ABD的面积＝AB×DE＝BD×AD，∴DE＝＝＝．21．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1000名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：min）：男生：20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40女生：75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90统计数据，并制作了如下统计表：时间x x≤3030＜x≤6060＜x≤9090＜x≤120男生2882女生1m n3分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示极差平均数中位数众数男生a65.75b90女生c75.575d（1）请将上面的表格补充完整：m＝4，n＝12，a＝100，b＝75，c＝90，d＝75，（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90min以上的同学约有多少人？（3）李老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持李老师观点的理由．【分析】（1）根据频数统计的方法分别统计调查m、n的值，利用极差、中位数、众数的意义分别求出a、b、c、d，并补全表格；（2）根据男女生样本中锻炼时间超过90min的所占的百分比，进而求出相应的人数；（3）从极差，平均数得出结论．【解答】解：（1）根据频数统计方法可得m＝4，n＝12；a＝120﹣20＝100；c＝120﹣30＝90；男生的锻炼时间从小到大排列处在第10、11位的两个数的平均数为（70+80）÷2＝75，即，b＝75；女生锻炼时间出现次数最多74min，出现4次，因此众数为75分钟，d＝75；补全表格如下：故答案为：4，12，100，75，90，75；（2）500×+500×＝125（人），答：初三年级周末在家锻炼的时间在90min以上的同学约有125人；（3）①男生的极差为100，女生的极差为90，因此女生的锻炼时间比较整齐，离散程度不大，②从平均数上看，女生的比男生的高，因此女生成绩较好．22．甲、乙两个工厂需加工生产550台某种机器，已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工生产的机器台数的1.5倍，并且加工生产240台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器？（2）若甲工厂每天加工的生产成本是3万元，乙工厂每天加工生产的成本是2.4万元，要使得加工生产这批机器的总成本不得高于60万元，至少应该安排甲工厂生产多少天？【分析】（1）设乙工厂每天加工生产的机器台数为x，根据题意列出方程即可求出答案．（2）设应该安排甲工厂生产x天，根据题意列出一元一次不等式即可求出答案．【解答】解：（1）设乙工厂每天加工生产的机器台数为x，则甲工厂每天加工生产的机器台数为1.5x，根据题意可知：＝﹣4，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产30和20台这种机器．（2）设应该安排甲工厂生产x天，根据题意可知：3x+2.4×≤60，解得：x≥10，答：至少应该安排甲工厂生产10天23．小东同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣1|+|x+3|进行了探究，下面是他的探究过程：（1）已知x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0，化简：①当x＜﹣3时，y＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时，y＝4；③当x＞1时，y＝2x+2；（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：函数图象不过原点；（3）根据上面的探究，解决下面问题：已知A（a，0）是x轴上一动点，B（1，0），C（﹣3，0），则AB+AC的最小值是4．【分析】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象，则易得一条函数性质；（3）A（a，0）位于点B（1，0）和点C（﹣3，0）之间时，AB+AC等于线段BC的长，此时为其最小值．【解答】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0∴当x＜﹣3时，y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时，y＝1﹣x+x+3＝4；③当x＞1时，y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，如图所示：根据图象，该函数图象不过原点．故答案为：函数图象不过原点；（3）根据上面的探究可知当A（a，0）位于点B（1，0）和点C（﹣3，0）之间时，AB+AC 有最小值4．故答案为：4．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，当S 取何值时，对应的点E有且只有三个？【分析】（1）先利用一次函数解析式确定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）由于E点在直线BC的下方的抛物线上时，存在两个对应的E点满足△BEC面积为S，则当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，所以过E点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为y＝﹣x+b，利用方程组只有一组解求出b得到E点坐标，然后计算此时S△BEC．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，则C（4，0），把B（0，3），C（4，0）代入y＝ax2+x+c得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）当E点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E点满足△BEC面积为S，所以当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为y＝﹣x+b，方程组只有一组解，方程﹣x2+x+3＝﹣x+b有两个相等的实数解，则△＝122﹣4×3×（﹣24+8b）＝0，解得b＝，解方程得x1＝x2＝2，E点坐标为（2，2），此时S△BEC＝×4×（2﹣）＝1，所以当S＝1时，对应的点E有且只有三个．25．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+1【分析】（1）设t＝x2+3x﹣1，则原方程可化为：t2+2t＝3，求得t的值再代回可求得方程的解；（2）根据杨辉三角形的特点得出a n，b n，c n，然后代入4（b n﹣a n）•c n+1再因式分解即可．【解答】（1）解：令t＝x2+3x﹣1则原方程为：t2+2t＝3解得：t＝1 或者t＝﹣3当t＝1时x2+3x﹣1＝1解得：或当t＝﹣3时x2+3x﹣1＝﹣3解得：x＝﹣1或x＝﹣2∴方程的解为：或或x＝﹣1或x＝﹣2（2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n＝n﹣1∴4（b n﹣a n）•c n+1＝（n﹣1）（n﹣4）（n﹣2）（n﹣3）+1＝（n2﹣5n+4）（n2﹣5n+6）+1＝（n2﹣5n+4）2+2（n2﹣5n+4）+1＝（n2﹣5n+5）226．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．【分析】（1）结论：DE＝DG．如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF＝CM，GM＝GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题．（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．证明方法类似．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当E，F，C共线时．②如图3﹣2中，当E，F，C共线时，分别求解即可．【解答】解：（1）结论：DE＝DG．理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）如图2中，结论成立．理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，在Rt△ADC中，AC＝＝＝5，在Rt△AEC中，EC＝＝＝7，∴CF＝CE﹣EF＝6，∴CG＝CF＝3，∵∠DGC＝90°，∴DG＝＝＝4．∴DE＝DG＝4．②如图3﹣2中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝3．综上所述，DE的长为4或3．。