全国统考2022高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线学案理含解析北师大版
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线

直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
1 2
对点训练3(1)已知抛物线y= 4 x 上的动点P到直线l:y=-3距离为d,A点坐标
为(2,0),则|PA|+d的最小值等于(
)
B.2+ 5
A.4
C.2 5
D.3+ 5
(2)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的两个动点,且
不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,
所以抛物线 C 的焦点坐标为
1
,0
2
.
规律方法 1.求抛物线方程的方法
(1)求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外,还可以利用统一
方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或
x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式
可由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)(2022河南南阳期末)设抛物线y2=6x上一点P到其焦点F的距
离为
9
,O为坐标原点,则△POF的面积为
2
.
(2)(2021北京,12)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且
为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',
由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1+2 +x2+2 =x1+x2+p.
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证明:(1)由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=
x1+x2+p. (2)当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x=p2,x1x2
=p42,y1y2=- 2px1· 2px2=-p2; 当直线 AB 的斜率存在时,
程为 x=-4.故选 D.
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已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的
两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )
A.34
B.1 C.54
D.74
解:易知抛物线 y2=x 的准线方程为 x=-14.设 A(x1,y1),B(x2, y2),线段 AB 的中点 P(x0,y0),则由抛物线的定义得|AF|=x1+14, |BF|=x2+14.
标准 方程
y2=2px (p>0)
y2= -2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2= -2py (p>0)
图形
焦点 ①
( ) ② -p2,0 ③
( ) ④ 0,-p2
准线 ⑤x=-p2 ⑥
⑦y=-p2 ⑧
性
范围
⑨x≥0, y∈R
⑩
⑪
⑫ y≤0 , x∈R
质
对称 轴
⑬
⑭y 轴
顶点
⑮原点 O(0,0)
类型二 抛物线焦点弦的性质
如图,AB 为过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,点 A,B 在抛
物线准线上的射影分别为 A1,B1,且 A(x1,y1),B(x2,y2).求证:
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)x1x2=p42,y1y2=-p2; (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切;
2022届高中数学(理科)【统考版】一轮复习学案:9.7 抛物线 【含解析】

第七节 抛物线【知识重温】一、必记2个知识点1.抛物线定义、标准方程及几何性质定义(几 何条件) 平面上,到定直线与到该定直线外一定点的距离①________的点的轨迹叫做抛物线标准方程y 2=2px (p >0) ②________ ________ ③________ ________ ④________________图形对称轴x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 顶点坐标 O (0,0) O (0,0) O (0,0)O (0,0) 焦点坐标 F (p2,0) ⑦________ ⑧________ ⑨________离心率e e =1 e =1 ⑩________e =1 准线方程 ⑪________x =p 2 y =p 2⑫________焦半径 公式|PF |=x 0+p2|PF |=-x 0+p 2⑬|PF |= ________ ⑭|PF |=________ 范围x ≥0 y ∈R x ≤0 y ∈R⑮________ x ∈R ⑯________x ∈R设AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则(1)x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2.(2)弦长|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角).(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长等于2p . 二、必明2个易误点1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线.2.抛物线标准方程中参数p 易忽视,只有p >0,才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离,否则无几何意义.【小题热身】一、判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)抛物线y 2=4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )(4)方程y =ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4,0,准线方程是x =-a4.( )二、教材改编2.过点P (-2,3)的抛物线的标准方程是( )A .y 2=-92x 或x 2=43yB .y 2=92x 或x 2=43yC .y 2=92x 或x 2=-43yD .y 2=-92x 或x 2=-43y3.抛物线y 2=8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .4个三、易错易混4.已知抛物线C 与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方程是( )A .y 2=±22xB .y 2=±2xC .y 2=±4xD .y 2=±42x5.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是________.四、走进高考 6.[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =( )A .2B .3C .6D .9考点一 抛物线的定义和标准方程 [自主练透型]1.[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A .经过点OB .经过点PC .平行于直线OPD .垂直于直线OP 2.[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线,与抛物线在第一象限内交于点A ,若|AF |=4,则p =( )A .2B .1 C.3 D .43.[2021·成都高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0,-2),则此抛物线的标准方程为________.4.[2021·郑州一中高三摸底考试]从抛物线y =14x 2上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5.设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为________.悟·技法应用抛物线定义的2个关键点 (1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ,y )到焦点F 的距离|PF |=|x |+p 2或|PF |=|y |+p2.考点二 抛物线的几何性质[互动讲练型][例1] (1)[2021·合肥市第二次质量检测]已知抛物线y 2=2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ,则直线MF 的斜率为( )A .±3B .±1C .±34D .±33(2)[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,点P 为C 上的动点,点M 为C 的准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其周长为( )A. 2 B .2 C .3 2 D .6 悟·技法1.求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p ,所以只需一个条件确定p 值即可. (2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.2.确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化为标准方程.(2)要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解. [变式练]——(着眼于举一反三)1.[2021·山西晋城一模]已知P 是抛物线C :y 2=2px (p >0)上的一点,F 是抛物线C 的焦点,O 为坐标原点.若|PF |=2,∠PFO =π3,则抛物线C 的方程为( )A .y 2=6xB .y 2=2xC .y 2=xD .y 2=4x 2.[2021·东北四市模拟]若点P 为抛物线y =2x 2上的动点,F 为抛物线的焦点,则|PF |的最小值为________.考点三 直线与抛物线的位置关系[互动讲练型][例2] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;(2)若AP →=3PB →,求|AB |.悟·技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB |=x 1+x 2+p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程;(2)若过M 作MN ⊥F A ,垂足为N ,求点N 的坐标.第七节 抛物线【知识重温】①相等 ②y 2=-2px (p >0) ③x 2=-2py (p >0) ④x 2=2py (p >0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (-p 2,0) ⑧F (0,-p 2) ⑨F (0,p 2)⑩e =1 ⑪x =-p 2 ⑫y =-p 2 ⑬-y 0+p 2 ⑭y 0+p2⑮y ≤0 ⑯y ≥0【小题热身】1.答案:(1)× (2)× (3)× (4)×2.解析:设抛物线的标准方程为y 2=kx 或x 2=my ,代入点P (-2,3),解得k =-92,m =43.∴y 2=-92x 或x 2=43y . 答案:A3.解析:抛物线y 2=8x 的准线方程为x =-2,则抛物线顶点到准线的距离为2,因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等,则根据抛物线的对称性可知抛物线y 2=8x 上到其焦点F 距离为5的点有2个.答案:C4.解析:由已知可知双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).设抛物线方程为y 2=±2px (p >0),则p2=2,所以p =22,所以抛物线方程为y 2=±42x ,故选D. 答案:D5.解析:Q (-2,0),当直线l 的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l 的方程为y =k (x +2),代入抛物线方程,消去y 整理得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0,由Δ=(4k 2-8)2-4k 2·4k 2=64(1-k 2)≥0,解得-1≤k ≤1.答案:[-1,1]6.解析:设焦点为F ,点A 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线定义得|AF |=x 0+p2,∵点A 到y 轴距离为9,∴x 0=9,∴9+p2=12,∴p =6.故选C. 答案:C课堂考点突破考点一1.解析:解法一 不妨设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),P (x 0,y 0)(x 0>0),则Q ⎝⎛⎭⎫-p2,y 0,F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,直线FQ 的斜率为-y 0p ,从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0,又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0,y 02,所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y -y 02=py 0(x -0),即2px -2y 0y +y 20=0,将点P 的横坐标代入,得2px 0-2y 0y +y 20=0,又2px 0=y 20,所以y =y 0,所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上,故选B.解法二 连接PF ,由题意及抛物线的定义可知|PQ |=|FP |,则△QPF 为等腰三角形,故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.答案:B2.解析:过点A 作AB 垂直x 轴于点B ,则在Rt △ABF 中,∠AFB =π3,|AF |=4,∴|BF |=12|AF |=2,则x A =2+p 2,∴|AF |=x A +p2=2+p =4,得p =2,故选A. 答案:A3.解析:依题意可设抛物线的方程为x 2=-2py (p >0),因为焦点坐标为(0,-2),所以-p2=-2,解得p =4.故所求抛物线的标准方程为x 2=-8y .答案:x 2=-8y4.解析:由题意,得x 2=4y ,则抛物线的准线方程为y =-1.从抛物线上一点P 引抛物线准线的垂线,设P (x 0,y 0),则由抛物线的定义知|PM |=y 0+1,所以y 0=4,所以|x 0|=4,所以S △MPF =12×|PM |×|x 0|=12×5×4=10.答案:10 考点二例1 解析:(1)设M (x M ,y M ),由抛物线定义可得|MF |=x M +p 2=2p ,解得x M =3p2,代入抛物线方程可得y M =±3p ,则直线MF 的斜率为y M x M -p 2=±3pp =±3,选项A 正确.(2)解法一 作出图形如图所示,因为△FPM 为等边三角形,所以PM 垂直C 的准线于M ,易知|PM |=4|OF |,因为|OF |=12,所以|PM |=2,所以△FPM 的周长为3×2=6,故选D.解法二 因为△FPM 为等边三角形,|PF |=|PM |,所以PM 垂直C 的准线于M ,设P ⎝⎛⎭⎫m 22,m ,则M ⎝⎛⎭⎫-12,m ,所以|PM |=12+m 22,又F ⎝⎛⎭⎫12,0,且|PM |=|MF |,所以12+m 22=⎝⎛⎭⎫12+122+m 2,解得m 2=3,所以|PM |=2,所以△FPM 的周长为3×2=6,故选D. 答案:(1)A (2)D 变式练 1.解析:过点P 作PQ 垂直于x 轴,垂足为Q .∵∠PFO =π3,|PF |=2,∴|PQ |=3,|QF |=1,不妨令点P 坐标为⎝⎛⎭⎫p 2-1,3,将点P 的坐标代入y 2=2px ,得3=2p ⎝⎛⎭⎫p2-1,解得p =3(负值舍去),故抛物线C 的方程为y 2=6x .故选A.答案:A2.解析:由题意知x 2=12y ,则F ⎝⎛⎭⎫0,18, 设P (x 0,2x 20), 则|PF |=x 20+⎝⎛⎭⎫2x 20-182 =4x 40+12x 20+164=2x 20+18, 所以当x 20=0时,|PF |min =18.答案:18考点三例2 解析:设直线l :y =32x +t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34,0,故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32,由题设可得x 1+x 2=52. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y =32x +t ,y 2=3x可得9x 2+12(t -1)x +4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t =-78.所以l 的方程为y =32x -78.(2)由AP →=3PB →可得y 1=-3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =32x +t ,y 2=3x可得y 2-2y +2t =0. 所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB |=4133.变式练3.解析:(1)抛物线y 2=2px 的准线为x =-p2,于是4+p2=5,所以p =2.所以抛物线方程为y 2=4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4), 由题意得B (0,4),M (0,2).又因为F (1,0),所以k F A =43.因为MN ⊥F A ,所以k MN =-34.又F A 的方程为y =43(x -1),①MN 的方程为y -2=-34x ,②联立①②,解得x =85,y =45,所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85,45.。
2022届高考一轮复习第9章解析几何第7节抛物线课时跟踪检测理含解

第九章 解析几何第七节 抛物线A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届沈阳质检)抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为( ) A .1 B .2 C .4D .8解析:选B 由x 2=2px 的焦点到准线的距离为p ,得x 2=4y 中的焦点到准线的距离为2,故选B . 2.(2019届广东七校第二次联考)已知抛物线y 2=24ax(a>0)上的点M(3,y 0)到其焦点的距离是5,则该抛物线的方程为( )A .y 2=8x B .y 2=12x C .y 2=16xD .y 2=20x解析:选A 抛物线y 2=24ax(a>0)的准线方程为x =-6a ,点M(3,y 0)到其焦点的距离是5,根据抛物线的定义可知,点M(3,y 0)到准线的距离也为5,即3+6a =5,∴a=13,∴y 2=8x ,故选A .3.(2019届石家庄市质检)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M(2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF|∶|FM|等于( )A .1∶2B .1∶3C .1∶ 2D .1∶ 3解析:选A 解法一:由题意知抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),M(2,22),∴直线l 的方程为y =22(x -1).由⎩⎨⎧y 2=4x ,y =22(x -1),得2x 2-5x +2=0,解得x =2或x =12,∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2=4x 的准线方程为x =-1,∴|NF|=32,|MF|=3,∴|NF|∶|MF|=1∶2,故选A .解法二:由题意知抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),M(2,22),∴直线l 的方程为y =22(x-1).由⎩⎨⎧y 2=4x ,y =22(x -1),得y 2-2y -4=0,解得y =22或y =-2,∴点N 的纵坐标为- 2.过点M 作MM′⊥x 轴,垂足为M′,过点N 作NN′⊥x 轴,垂足为N′,则△MM′F∽△NN′F,∴|NF|∶|MF|=|NN′|∶|MM′|=|-2|∶22=1∶2,故选A .解法三:∵M(2,22)是抛物线上的点,且抛物线y 2=4x 的准线方程为x =-1,∴|MF|=3.又1|MF|+1|NF|=2p =1,∴|NF|=32,∴|NF|∶|MF|=1∶2,故选A .解法四:设直线l 的倾斜角为α,则|MF|=p 1-cos α,|NF|=p1+cos α,∴|NF|∶|MF|=(1-cosα)∶(1+cos α),又M(2,22),F(1,0),∴tan α=22,∴cos α=13,∴|NF|∶|MF|=1∶2,故选A .4.(2019届江西五校联考)过抛物线C :y 2=2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与抛物线C 的准线相交于点M ,若|MN|=|AB|,则直线l 的倾斜角为( )A .15°B .30°C .45°D .60°解析:选B 分别过A ,B ,N 作抛物线准线的垂线,垂足分别为A′,B′,N′,由抛物线的定义知|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,所以|NN′|=12(|AA′|+|BB′|)=12|AB|.因为|MN|=|AB|,所以|NN′|=12|MN|,即在△MNN′中,cos ∠MNN ′=12,所以∠MNN′=60°,即直线MN 的倾斜角为120°.又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角,所以直线l 的倾斜角为30°,故选B .5.(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C :y 2=2x ,过原点O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ,B 两点(A ,B 均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( )A .2B .3C .32D .4解析:选C 设直线AB 的方程为x =my +t ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),把直线AB 的方程代入抛物线的方程得y 2-2my -2t =0,Δ=4m 2+8t>0,所以y 1+y 2=2m ,y 1y 2=-2t.由题意得OA⊥OB,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即y 212×y 222+y 1y 2=0,得y 1y 2=-4,所以-2t =-4,即t =2,故直线AB 恒过定点(2,0),则抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0到直线AB 的距离的最大值为2-12=32,故选C . 6.(2019届湖南岳阳二模)过抛物线x 2=4y 的焦点F 作直线,交抛物线于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点,若y 1+y 2=6,则|P 1P 2|=( )A .5B .6C .8D .10解析:选C 过P 1作P 1M ⊥准线l ,垂足为M ,过P 2作P 2N ⊥准线l ,垂足为N ,由抛物线定义知|P 1F|=|P 1M|=y 1+1,|P 2F|=|P 2N|=y 2+1,∴|P 1P 2|=|P 1F|+|P 2F|=y 1+y 2+2=8,故选C .7.(2019届江西五校协作体2月联考)已知点A(0,2),抛物线C :y 2=2px(p>0)的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,若|FM||MN|=55,则p 的值等于( )A .18B .14C .2D .4解析:选C 过点M 向准线作垂线,垂足为P ,由抛物线的定义可知,|MF|=|MP|,因为|FM||MN|=55,所以|MP||MN|=55,所以sin ∠MNP =55,则tan ∠MNP =12.又∠OFA+∠MNP=90°(O 为坐标原点),所以tan∠OFA =2= 2 12p ,则p =2,故选C .8.(2019届沈阳市第一次质量监测)抛物线y 2=6x 上一点M(x 1,y 1)到其焦点的距离为92,则点M 到坐标原点的距离为________.解析:由y 2=6x ,知p =3,由抛物线定义得,x 1+p 2=92,即x 1=3,代入y 2=6x 中,得y 21=18,则|MO|=x 21+y 21=33(O 为坐标原点).答案:3 39.(2020届成都摸底)已知抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点为F ,准线为l ,若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上,线段AF 与抛物线C 相交于点B ,|AF||BF|-|AF|=1,则抛物线C 的标准方程为________.解析:如图,设直线l 与x 轴交于点D ,过点B 作BE⊥l 于点E ,则|DF|=p.由抛物线的定义知|BE|=|BF|.设|BE|=|BF|=m ,因为△AEB∽△ADF,所以|AF||AB|=|DF||BE|,即|AF||AF|-|BF|=|DF||BF|,所以|AF||AF|-m =p m ,所以|AF|=pm p -m .由|AF||BF|-|AF|=1,得pmp -m m -pmp -m=1,解得p =1,所以抛物线C 的标准方程为y 2=2x. 答案:y 2=2x10.(2019届河北省“五个一名校”高三考试)如果点P 1,P 2,P 3,…,P 10是抛物线y 2=2x 上的点,它们的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,…,x 10,F 是抛物线的焦点,若x 1+x 2+x 3+…+x 10=5,则|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+…+|P 10F|=________.解析:由抛物线的定义可知,抛物线y 2=2px(p>0)上的点P(x 0,y 0)到焦点F 的距离|PF|=x 0+p 2,在y 2=2x 中,p =1,所以|P 1F|+|P 2F|+…+|P 10F|=x 1+x 2+…+x 10+5p =10.答案:1011.(2019届昆明市高三诊断测试)过点E(-1,0)的直线l 与抛物线C :y 2=4x 交于A ,B 两点,F 是抛物线C 的焦点.(1)若线段AB 中点的横坐标为3,求|AF|+|BF|的值; (2)求|AF|·|BF|的取值范围.解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=6. 由抛物线的定义知|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1, 则|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8. (2)设直线l 的方程为x =my -1,由⎩⎪⎨⎪⎧x =my -1,y 2=4x 得y 2-4my +4=0. 由Δ=16m 2-16>0,得m 2>1,则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=4. 由抛物线的定义知|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1, 则|AF|·|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2. 因为m 2>1,所以|AF|·|BF|>4. 故|AF|·|BF|的取值范围是(4,+∞).12.(2019届郑州市第一次质量预测)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,过A ,B 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为M ,N.R 为准线上一点.(1)若AR∥FN,求|MR||MN|的值;(2)若点R 为线段MN 的中点,设以线段AB 为直径的圆为圆E ,判断点R 与圆E 的位置关系.解:由已知,得F(1,0),设直线l 的方程为x =my +1,与抛物线y 2=4x 联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,x =my +1,消去x ,得y 2-4my -4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 由题知M(-1,y 1),N(-1,y 2),设R(-1,y R ).(1)∵AR∥FN,即AR →∥FN →,AR →=(-1-x 1,y R -y 1),FN →=(-2,y 2),∴0=(-1-x 1)y 2+2(y R -y 1)=(-2-my 1)y 2+2(y R -y 1)=-2(y 1+y 2)-my 1y 2+2y R =-4m +2y R ,∴y R =2m =y 1+y 22,∴R 是MN 的中点,∴|MR||MN|=12.(2)若R 是MN 的中点,则R(-1,2m),RA →·RB →=(x 1+1,y 1-2m)·(x 2+1,y 2-2m)=(my 1+2,y 1-2m)·(my 2+2,y 2-2m)=(my 1+2)(my 2+2)+(y 1-2m)(y 2-2m)=(m 2+1)y 1y 2+4m 2+4=-4(m 2+1)+4m 2+4=0.∴RA →⊥RB →,即RA⊥RB, ∴点R 在以AB 为直径的圆E 上.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线C 上一点,PQ 垂直l 于点Q ,M ,N 分别为PQ ,PF 的中点,直线MN 与x 轴交于点R ,若∠NFR =60°,则|FR|=( )A .2B . 3C .2 3D .3解析:选A 如图,连接MF ,QF ,设准线l 与x 轴交于H ,∵y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,P 为C 上一点,∴|FH|=2,|PF|=|PQ|.∵M,N 分别为PQ ,PF 的中点,∴MN∥QF.∵PQ 垂直l 于点Q ,∴PQ ∥OR.∵|PQ|=|PF|,∠NFR=60°,∴△PQF 为等边三角形,∴MF⊥PQ.又M 为PQ 的中点,∴F 为HR 的中点,∴|FR|=|FH|=2.故选A .14.(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过焦点F 与抛物线C 交于A ,B 两点,且直线l 不与x 轴垂直,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5,0),O 为坐标原点,则S △AOB =( )A .2 2B . 3C . 6D .3 6解析:选A 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),设直线l :y =k(x -1)(k≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线y =k(x -1)代入y 2=4x ,化简整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,所以x 1+x 2=2+4k 2,x 1x 2=1,y 1+y 2=k(x 1+x 2)-2k =2k +4k -2k =4k ,所以AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2k 2,2k ,AB 的垂直平分线方程为y -2k =-1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1-2k 2.由于AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5,0),所以0-2k =-1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5-1-2k 2,化简得k =±1,即直线AB 的方程为y =±(x-1).点O 到直线AB 的距离d =|1|1+1=22,又|AB|=1+1|x 1-x 2|=1+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2×36-4=8,所以S △AOB =12×22×8=22,故选A .15.(2019届洛阳市第二次联考)如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,点S(0,3),SA ,SB 与圆C :x 2+y 2-my =0(m>0)和抛物线x 2=-2py(p>0)都相切,切点分别为M ,N 和A ,B ,SA∥ON,则点A 到抛物线准线的距离为( )A .4B .2 3C .3D .3 3解析:选A 连接OM ,∵SM,SN 是圆C 的切线,∴|SM|=|SN|,|OM|=|ON|.又SA∥ON,∴SM∥ON,∴四边形SMON 是菱形,∴∠MSN=∠MON.连接MN ,由切线的性质得∠SMN=∠MON,则△SMN 为正三角形,又MN 平行于x 轴,所以直线SA 的斜率k =tan 60°= 3.设A(x 0,y 0),则y 0-3x 0= 3 ①.又点A 在抛物线上,∴x 2=-2py 0 ②.由x 2=-2py ,得y =-x 22p ,y′=-1p x ,则-1px 0= 3 ③,由①②③得y 0=-3,p =2,所以点A 到抛物线准线的距离为-y 0+p2=4,故选A .16.(2020届湖北部分重点中学联考)已知点A(0,1),抛物线C :y 2=ax(a >0)的焦点为F ,连接FA ,与抛物线C 相交于点M ,延长FA ,与抛物线C 的准线相交于点N ,若|FM|∶|MN|=1∶2,则实数a 的值为________.解析:依题意得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4,0,过M 作抛物线的准线的垂线,垂足为K ,由抛物线定义知|MF|=|MK|.因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|KN|∶|KM|=3∶1.又k FN =0-1a 4-0=-4a ,k FN =-|KN||KM|=-3,所以-4a =-3,解得a =433.答案:43317.(2019届昆明市教学质量检测)已知抛物线y 2=4x 上一点P 到准线的距离为d 1,到直线l :4x -3y +11=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为________.解析:如图,设抛物线的准线为m ,焦点为F ,分别过点P ,F 作PA⊥m,PM⊥l,FN⊥l,垂足分别为A ,M ,N.连接PF ,因为点P 在抛物线上,所以|PA|=|PF|,所以(d 1+d 2)min =(|PF|+|PM|)min =|FN|.点F(1,0)到直线l 的距离|FN|=|4+11|42+(-3)2=3,所以(d 1+d 2)min =3.答案:3。
高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 7 第7讲 抛物线教案 理-高三全册数学教案

第7讲 抛物线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等; (3)定点不在定直线上.2.抛物线的标准方程和几何性质标准 方程y 2=2px(p >0)y 2=-2px(p >0)x 2=2py(p >0)x 2=-2py(p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y =0x =0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0,p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-p 2离心率 e =1准线 方程 x =-p 2x =p 2y =-p 2y =p 2范围 x ≥0,y ∈Rx ≤0,y ∈Ry ≥0,x ∈Ry ≤0, x ∈R开口方向 向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0, y 0))|PF |=x 0+p 2|PF |= -x 0+p2|PF |= y 0+p 2|PF |= -y 0+p23.与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)y 1y 2=-p 2,x 1x 2=p 24.(2)|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角).(3)1|AF |+1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切. (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.( )(3)若一抛物线过点P (-2,3),则其标准方程可写为y 2=2px (p >0).( )(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)抛物线y =-14x 2的焦点坐标是( )A .(0,-1)B .(0,1)C .(1,0)D .(-1,0)解析:选A.抛物线y =-14x 2的标准方程为x 2=-4y ,开口向下,p=2,p2=1,故焦点为(0,-1).顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P (-4,-2)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=-xB .x 2=-8yC .y 2=-8x 或x 2=-yD .y 2=-x 或x 2=-8y解析:选D.设抛物线为y 2=mx ,代入点P (-4,-2),解得m =-1,则抛物线方程为y 2=-x ;设抛物线为x 2=ny ,代入点P (-4,-2),解得n =-8,则抛物线方程为x 2=-8y .(教材习题改编)焦点在直线2x +y +2=0上的抛物线的标准方程为________.解析:抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上,直线2x +y +2=0与坐标轴的交点分别为(-1,0)与(0,-2),故所求的抛物线的焦点为(-1,0)或(0,-2),当焦点为(-1,0)时,易得抛物线标准方程为y 2=-4x .当焦点为(0,-2)时,易得抛物线标准方程为x 2=-8y . 答案:y 2=-4x 或x 2=-8y设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是________.解析:如图所示,抛物线的准线l 的方程为x =-2,F 是抛物线的焦点,过点P 作PA ⊥y 轴,垂足是A ,延长PA 交直线l 于点B ,则|AB |=2,由于点P 到y 轴的距离为4,则点P 到准线l 的距离|PB |=4+2=6,所以点P 到焦点的距离|PF |=|PB |=6. 答案:6抛物线的定义(高频考点)抛物线的定义是高考的热点,考查时多以选择题、填空题形式出现,个别高考题有一定难度.高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度:(1)求抛物线的标准方程;(2)求抛物线上的点与焦点的距离; (3)求距离和的最值.[典例引领]角度一 求抛物线的标准方程(2018·天津模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,且与直线x =-p2相切,其中p >0,则动圆圆心的轨迹E 的方程为________________.【解析】 依题意得,圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0的距离与到直线x =-p2的距离相等,再依抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹E 为抛物线,其方程为y 2=2px . 【答案】 y 2=2px角度二求抛物线上的点与焦点的距离(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M 是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=____________.【解析】法一:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),所以a=1,b=22,所以N(0,42),|FN|=4+32=6.法二:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,则点M的横坐标为1,所以|MF|=1-(-2)=3,|FN|=2|MF|=6.【答案】6角度三求距离和的最值已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.【解析】如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.【答案】4若本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|+|PF|的最小值.解:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,所以|PB |+|PF |≥|BF |=42+22=16+4=2 5.即|PB |+|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ,y )到焦点F 的距离|PF |=|x |+p 2或|PF |=|y |+p2. [通关练习]1.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=54x 0,则x 0=( ) A .1 B .2 C .4D .8解析:选A.由题意知抛物线的准线为x =-14.因为|AF |=54x 0,根据抛物线的定义可得x 0+14=|AF |=54x 0,解得x 0=1.2.已知动点P 的坐标(x ,y )满足方程5(x -1)2+(y -2)2=|3x +4y +12|,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线D .抛物线解析:选 D.由5(x -1)2+(y -2)2=|3x +4y +12|⇒(x -1)2+(y -2)2=|3x +4y +12|5,所以动点P 到定点(1,2)的距离等于其到直线l :3x +4y +12=0的距离,所以点P 的轨迹是抛物线.3.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,且|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B .1 C.54D.74解析:选C.如图所示,设抛物线的准线为l ,AB 的中点为M ,作AA 1⊥l 于A 1,BB 1⊥l 于B 1,MM 1⊥l 于M 1,由抛物线的定义知p =12,|AA 1|+|BB 1|=|AF |+|BF |=3,则点M 到y 轴的距离为|MM 1|-p 2=12(|AA 1|+|BB 1|)-14=54.故选C.抛物线的性质[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( )A .2B .4C .6D .8(2)(2018·东北四市模拟)若点P 为抛物线y =2x 2上的动点,F 为抛物线的焦点,则|PF |的最小值为( ) A .2 B.12 C.14D.18【解析】 (1)由题意,不妨设抛物线方程为y 2=2px (p >0),由|AB |=42,|DE |=25,可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p,22,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,5,设O 为坐标原点,由|OA |=|OD |,得16p 2+8=p24+5,得p =4,所以选B.(2)由题意知x 2=12y ,则F ⎝⎛⎭⎪⎫0,18,设P (x 0,2x 20),则|PF |=x 2+⎝⎛⎭⎪⎫2x 20-182=4x 40+12x 20+164=2x 20+18,所以当x 20=0时,|PF |min =18.【答案】 (1)B (2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质以形助数.[通关练习]1.(2018·河南中原名校联考)抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,O 为坐标原点,M 为抛物线上一点,且|MF |=4|OF |,△MFO 的面积为43,则抛物线的方程为( ) A .y 2=6x B .y 2=8x C .y 2=16xD .y 2=15x 2解析:选 B.设M (x ,y ),因为|OF |=p2,|MF |=4|OF |,所以|MF |=2p ,由抛物线定义知x +p2=2p ,所以x =32p ,所以y =±3p ,又△MFO 的面积为43,所以12×p2×3p =43,解得p =4(p =-4舍去).所以抛物线的方程为y 2=8x .2.如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m .当水面宽为2 6 m 时,水位下降了________ m.解析:以抛物线的顶点为坐标原点,水平方向为x 轴建立平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x 2=-2py (p >0),把(2,-2)代入方程得p =1,即抛物线的标准方程为x 2=-2y .将x =6代入x 2=-2y 得:y =-3,又-3-(-2)=-1,所以水面下降了1 m.答案:1直线与抛物线的位置关系[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p >0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由. 【解】 (1)由已知得M (0,t ),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ,t .又N 为M 关于点P 的对称点,故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ,t ,ON 的方程为y =ptx ,代入y 2=2px ,整理得px 2-2t 2x =0,解得x 1=0,x 2=2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ,2t .所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH 的方程为y -t =p2t x ,即x =2tp(y -t ).代入y 2=2px 得y 2-4ty +4t 2=0, 解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.直线与抛物线位置关系的判断直线y =kx +m (m ≠0)与抛物线y 2=2px (p >0)联立方程组,消去y ,得到k 2x 2+2(mk -p )x +m 2=0的形式.当k =0时,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴平行,此时与抛物线只有一个交点;当k ≠0时,设其判别式为Δ,(1)相交:Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点; (2)相切;Δ=0⇔直线与抛物线有一个交点; (3)相离:Δ<0⇔直线与抛物线没有交点.[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线.[通关练习]1.过点(-2,1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2=4x 只有一个公共点,则由k 的值组成的集合为________. 解析:设l 的方程为y -1=k (x +2),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +(2k +1)y 2=4x,得ky 2-4y +4(2k +1)=0,①当k =0时,y =1,此时x =14,l 与抛物线仅有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14,1. ②当k ≠0时,由Δ=-16(2k 2+k -1)=0,得k =-1或k =12,所以k的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,-1,12.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,-1,122.(2018·湖南长沙四县联考)如图,已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且|AF |=3. (1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G (-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:GF 为∠AGB 的平分线.解:(1)由抛物线定义可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)证明:因为点A (2,m )在抛物线E 上, 所以m 2=4×2,解得m =22,即A (2,22), 又F (1,0),所以直线AF 的方程为y =22(x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧y =22(x -1),y 2=4x ,得2x 2-5x +2=0,解得x =2或12,所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-2. 又G (-1,0),所以k GA =223,k GB =-223,所以k GA +k GB =0,所以∠AGF =∠BGF , 所以GF 为∠AGB 的平分线.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”;一个动点M ,一个定点F (抛物线的焦点),一条定直线l (抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率). 抛物线最值问题的求法(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离,可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离,再利用函数求最值的方法求解,亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时,两直线间的距离问题.(2)求抛物线上一点到定点的最值问题,可以利用两点间的距离公式表示出所求距离,在利用函数求最值的方法求解时,要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围. 易错防范(1)区分y =ax 2(a ≠0)与y 2=2px (p >0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).1.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .-43B .-1C .-34D .-12解析:选C.由已知,得准线方程为x =-2,所以F 的坐标为(2,0).又A (-2,3),所以直线AF 的斜率为k =3-0-2-2=-34.2.若点A ,B 在抛物线y 2=2px (p >0)上,O 是坐标原点,若正三角形OAB 的面积为43,则该抛物线方程是( ) A .y 2=233xB .y 2=3x C .y 2=23xD .y 2=33x解析:选 A.根据对称性,AB ⊥x 轴,由于正三角形的面积是43,故34AB 2=43,故AB =4,正三角形的高为23,故可以设点A 的坐标为(23,2),代入抛物线方程得4=43p ,解得p =33,故所求的抛物线方程为y 2=233x .故选A. 3.(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C :x 2=2py (p >0),若直线y =2x 被抛物线所截弦长为45,则抛物线C 的方程为( ) A .x 2=8yB .x 2=4yC .x 2=2y D .x 2=y解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2py ,y =2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =4p ,y =8p ,即两交点坐标为(0,0)和(4p ,8p ),则(4p )2+(8p )2=45,得p =1(舍去负值),故抛物线C 的方程为x 2=2y .4.(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2=2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF |>2,则点A 到原点的距离为( ) A.41 B .22 C .4D .8解析:选B.令点A 到点F 的距离为5a ,点A 到x 轴的距离为4a ,则点A的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a -12,4a ,代入y 2=2x 中,解得a =12或a =18(舍),此时A (2,2),故点A 到原点的距离为2 2.5.(2018·太原模拟)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →=4FQ →,则|QF |等于( ) A.72 B.52 C .3D .2解析:选C.因为FP →=4FQ →,所以|FP →|=4|FQ →|,所以|PQ ||PF |=34.如图,过Q 作QQ ′⊥l ,垂足为Q ′,设l 与x 轴的交点为A ,则|AF |=4,所以|PQ ||PF |=|QQ ′||AF |=34,所以|QQ ′|=3,根据抛物线定义可知|QQ ′|=|QF |=3.6.(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中,有一定点M (-1,2),若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点,则该抛物线的准线方程是________.解析:依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x -4y +5=0,把焦点坐标⎝⎛⎭⎪⎫0,p 2代入可求得p =52,所以准线方程为y =-54.答案:y =-547.(2018·河北六校模拟)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点O 是坐标原点,过点O ,F 的圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为________. 解析:设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上, 又因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,则|MF |=x M +p 2=6,即x M =6-p2,又由题意可知x M =p 4,所以p 4=6-p2,解得p =8.所以抛物线方程为y 2=16x .答案:y 2=16x8.已知抛物线C 1:y =12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2:x 23-y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p =________.解析:抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,p 2,双曲线的右焦点坐标为(2,0),所以上述两点连线的方程为x 2+2yp=1.双曲线的渐近线方程为y =±33x .对函数y =12p x 2,y ′=1p x .设M (x 0,y 0),则1p x 0=33,即x 0=33p ,代入抛物线方程得y 0=16p ,由于点M 在直线x 2+2y p =1上,所以36p +2p ×p 6=1,解得p =43=433.答案:4339.顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线截直线y =2x -4所得的弦长|AB |=35,求此抛物线方程.解:设所求的抛物线方程为y 2=ax (a ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),把直线y =2x -4代入y 2=ax ,得4x 2-(a +16)x +16=0,由Δ=(a +16)2-256>0,得a >0或a <-32. 又x 1+x 2=a +164,x 1x 2=4,所以|AB |=(1+22)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a +1642-16=35,所以5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a +1642-16=45, 所以a =4或a =-36.故所求的抛物线方程为y 2=4x 或y 2=-36x .10.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程;(2)若过M 作MN ⊥FA ,垂足为N ,求点N 的坐标. 解:(1)抛物线y 2=2px 的准线为x =-p2,于是4+p2=5,所以p =2.所以抛物线方程为y 2=4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4), 由题意得B (0,4),M (0,2). 又因为F (1,0),所以k FA =43,因为MN ⊥FA ,所以k MN =-34.又FA 的方程为y =43(x -1),①MN 的方程为y -2=-34x ,②联立①②,解得x =85,y =45,所以点N的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85,45.1.(2018·甘肃兰州模拟)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM |=2|MF |,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D .1解析:选C.由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ,y 0, 显然当y 0<0时,k OM <0;当y 0>0时,k OM >0.要求k OM 的最大值,则y 0>0,则OM →=OF →+FM →=OF →+13FP →=OF →+13(OP →-OF →)=13OP →+23OF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p +p 3,y 03,所以k OM =y 03y 206p +p 3=2y 0p +2p y 0≤22y 0p ·2p y 0=22, 当且仅当y 20=2p 2时,取得等号.2.(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,交其准线于点C ,且A ,C 位于x 轴同侧,若|AC |=2|AF |,则|BF |等于( ) A .2 B .3 C .4D .5解析:选C.设抛物线的准线与x 轴交于点D ,则由题意,知F (1,0),D (-1,0),分别作AA 1,BB 1垂直于抛物线的准线,垂足分别为A 1,B 1,则有|AC ||FC |=|AA 1||FD |,所以|AA 1|=43,故|AF |=43.又|AC ||BC |=|AA 1||BB 1|,即|AC ||AC |+|AF |+|BF |=|AF ||BF |,亦即2|AF |3|AF |+|BF |=|AF ||BF |,解得|BF |=4,故选C.3.(2017·高考北京卷)已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.解:(1)由抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1),得p =12.所以抛物线C的方程为y 2=x . 抛物线C的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14,0,准线方程为x =-14.(2)证明:由题意,设直线l 的方程为y =kx +12(k ≠0),l 与抛物线C 的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +12,y 2=x得4k 2x 2+(4k -4)x +1=0. 则x 1+x 2=1-k k 2,x 1x 2=14k2.因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y =x ,点A 的坐标为(x 1,x 1).直线ON 的方程为y =y 2x 2x ,点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1,y 2x 1x 2.因为y 1+y 2x 1x 2-2x 1=y 1x 2+y 2x 1-2x 1x 2x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1+12x 2+⎝⎛⎭⎪⎫kx 2+12x 1-2x 1x 2x 2=(2k -2)x 1x 2+12(x 2+x 1)x 2=(2k -2)×14k 2+1-k 2k2x 2=0, 所以y 1+y 2x 1x 2=2x 1. 故A 为线段BM 的中点.4.(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2=2py (p >0),其焦点为F ,点O 为坐标原点,过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点M . (1)求OA →·OB →;(2)设直线MF 与抛物线交于C ,D 两点,且四边形ACBD 的面积为323p 2,求直线AB 的斜率k .解:(1)设直线AB 的方程为y =kx +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2py ,y =kx +p 2,得x 2-2pkx -p 2=0, 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2pk ,x 1·x 2=-p 2, 所以OA →·OB →=x 1·x 2+y 1·y 2=-34p 2.(2)由x 2=2py ,知y ′=xp,所以抛物线在A ,B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ,x 2p,所以直线AM 的方程为y -y 1=x 1p(x -x 1),直线BM 的方程为y -y 2=x 2p (x -x 2),则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ,-p 2.所以k MF =-1k,所以直线MF 与AB 相互垂直.由弦长公式知,|AB |=k 2+1|x 1-x 2|=k 2+1·4p 2k 2+4p 2=2p (k 2+1),用-1k代替k 得,|CD |=2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2+1,四边形ACBD 的面积S =12·|AB |·|CD |=2p 2⎝⎛⎭⎪⎫2+k 2+1k 2=323p 2,解得k 2=3或k 2=13,即k =±3或k =±33.。
2022届北师大版高考数学一轮复习抛物线含解析

抛物线[A 组 基础保分练]1.(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到点C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =( ) A .2 B .3 C .6 D .9解析:设A (x ,y ),由抛物线的定义知,点A 到准线的距离为12,即x +p2=12.又因为点A到y 轴的距离为9,即x =9,所以9+p2=12,解得p =6.答案:C2.已知抛物线y 2=2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A .4 B .9 C .10 D .18解析:抛物线y 2=2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2,0,准线方程为x =-p 2.由题意可得4+p2=9,解得p =10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10. 答案:C 3.(2021·安阳模拟)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,l 与x 轴的交点为P ,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA ′⊥l ,垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14,且cos ∠F AA ′=35,则抛物线C 的方程为( ) A .y 2=x B .y 2=2x C .y 2=4x D .y 2=8x解析:过点F 作FF ′⊥AA ′,垂足为F ′.设|AF ′|=3x ,因为cos ∠F AA ′=35,故|AF |=5x ,则|FF ′|=4x ,由抛物线定义可知,|AF |=|AA ′|=5x ,则|A ′F ′|=2x =p ,故x =p2.四边形AA ′PF 的面积S=(|PF |+|AA ′|)·|FF ′|2=⎝⎛⎭⎫p +52p ·2p2=14,解得p =2,故抛物线C 的方程为y 2=4x .答案:C4.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,若|AF |=2|BF |,则|AB |等于( )A .4B .92C .5D .6解析:易知直线l 的斜率存在,设为k ,则其方程为y =k (x -1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,得x A ·x B =1,① 因为|AF |=2|BF |,由抛物线的定义得x A +1=2(x B+1),即x A =2x B +1,② 由①②解得x A =2,x B =12,所以|AB |=|AF |+|BF |=x A +x B +p =92.答案:B5.(2021·合肥检测)已知双曲线y 24-x 2=1的两条渐近线分别与抛物线y 2=2px (p >0)的准线交于A ,B 两点.O 为坐标原点.若△OAB 的面积为1,则p 的值为( ) A .1 B . 2 C .2 2 D .4解析:双曲线的两条渐近线方程为y =±2x ,抛物线的准线方程为x =-p2,故A ,B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫-p 2,±p ,|AB |=2p ,所以S △OAB =12×2p ×p 2=p22=1,解得p =2. 答案:B 6.(2021·广东六校联考)抛物线y =2x 2上有一动弦AB ,中点为M ,且弦AB 的长为3,则点M 的纵坐标的最小值为( )A .118B .54C .32D .1解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),直线AB 的方程为y =kx +b ,由题意知y 0≥b>0,联立得⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +b ,y =2x 2,整理得2x 2-kx -b =0,Δ=k 2+8b >0,x 1+x 2=k 2,x 1x 2=-b 2,则|AB |=1+k 2·k 24+2b ,点M 的纵坐标y 0=y 1+y 22=x 21+x 22=k 24+b .因为弦AB 的长为3,所以1+k 2·k 24+2b =3,即(1+k 2)⎝⎛⎭⎫k 24+2b =9,故(1+4y 0-4b )(y 0+b )=9,即(1+4y 0-4b )(4y 0+4b )=36.由基本不等式得,(1+4y 0-4b )+(4y 0+4b )≥2(1+4y 0-4b )(4y 0+4b )=12,当且仅当⎩⎨⎧b =18,y 0=118时取等号,得1+8y 0≥12,y 0≥118,故点M 的纵坐标的最小值为118.答案:A 7.已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0,-2),则此抛物线的标准方程为_________.解析:依题意可设抛物线的方程为x 2=-2py (p >0),因为焦点坐标为(0,-2),所以-p2=-2,解得p =4.故所求的抛物线的标准方程为x 2=-8y . 答案:x 2=-8y 8.直线l 过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F (1,0),且与C 交于A ,B 两点,则p = ,1|AF |+1|BF |=_________. 解析:由p2=1,得p =2.当直线l 的斜率不存在时,l :x =1,代入y 2=4x ,得y =±2,此时|AF |=|BF |=2,所以1|AF |+1|BF |=12+12=1;当直线l 的斜率存在时,设l :y =k (x -1)(k ≠0),代入抛物线方程,得k 2x 2-2(k 2+2)x +k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=1,1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=x 1+x 2+2(x 1+1)(x 2+1)=x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1=x 1+x 2+21+x 1+x 2+1=1.综上,1|AF |+1|BF |=1.答案:2 19.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程;(2)若过M 作MN ⊥F A ,垂足为N ,求点N 的坐标.解析:(1)抛物线y 2=2px 的准线为x =-p 2,于是4+p2=5,∴p =2,∴抛物线方程为y 2=4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4),由题意得B (0,4),M (0,2).又∵F (1,0),∴k F A =43.∵MN ⊥F A ,∴k MN =-34.又F A 的方程为y =43(x -1),故MN 的方程为y -2=-34x ,解方程组得x =85,y =45,∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85,45. 10.(2021·襄阳联考)动点P 到定点F (0,1)的距离比它到直线y =-2的距离小1.设动点P 的轨迹为曲线C ,过点F 的直线交曲线C 于A ,B 两个不同的点,过点A ,B 分别作曲线C 的切线,且两切线相交于点M . (1)求曲线C 的方程;(2)求证:AB →·MF →=0. 解析:(1)由已知得动点P 在直线y =-2的上方,条件可转化为动点P 到定点F (0,1)的距离等于它到直线y =-1的距离,∴动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点,直线y =-1为准线的抛物线,故其方程为x 2=4y .(2)证明:设直线AB 的方程为y =kx +1. 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2=4y ,y =kx +1,得x 2-4kx -4=0. 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则x A +x B =4k ,x A x B =-4.由x 2=4y 得y =14x 2,∴y ′=12x .∴直线AM 的方程为y -14x 2A =12x A (x -x A ),①直线BM 的方程为y -14x 2B =12x B (x -x B ).② ①-②,得14(x 2B -x 2A )=12(x A -x B )x +12(x 2B -x 2A ), ∴x =x A +x B 2=2k .将x =x A +x B2代入①,得y -14x 2A=12x A x B -x A 2=14x A x B -14x 2A, ∴y =14x A x B =-1,∴M (2k ,-1).∵MF →=(-2k ,2),AB →=(x B -x A ,k (x B -x A )), ∴AB →·MF →=-2k (x B -x A )+2k (x B -x A )=0.[B 组 能力提升练]1.若抛物线y 2=2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为( ) A .y 2=4x B .y 2=36x C .y 2=4x 或y 2=36x D .y 2=8x 或y 2=32x解析:因为抛物线y 2=2px (p >0)上一点到抛物线对称轴的距离为6,所以可设该点为P (x 0,±6).因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0的距离为10,所以根据抛物线的定义得x 0+p 2=10.① 因为P 在抛物线上,所以36=2px 0.② 由①②解得p =2,x 0=9或p =18,x 0=1,所以抛物线的方程为y 2=4x 或y 2=36x . 答案:C 2.(2021·武汉模拟)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,点A (5,3),M 为抛物线上一点,且M 不在直线AF 上,则△MAF 周长的最小值为( ) A .10 B .11 C .12 D .13解析:由题意知,当|MA |+|MF |的值最小时,△MAF 的周长最小.设点M 在抛物线的准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|MD |=|MF |,因此|MA |+|MF |的最小值即|MA |+|MD |的最小值.根据平面几何的知识可得,当D ,M ,A 三点共线时,|MA |+|MD |最小,最小值为x A -(-1)=5+1=6.又|F A |=(5-1)2+(3-0)2=5,所以△MAF 周长的最小值为6+5=11. 答案:B 3.(2021·河北六校模拟)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点O 是坐标原点,过点O ,F 的圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为_________. 解析:设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上. 又∵圆的面积为36π,∴圆的半径为6,则|MF |=x M +p 2=6,则x M =6-p2.又由题意可知x M =p 4,∴p 4=6-p2,解得p =8.∴抛物线方程为y 2=16x . 答案:y 2=16x 4.(2021·成都摸底)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l .若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上,线段AF 与抛物线C 相交于点B ,且|AF ||BF |-|AF |=1,则抛物线C 的标准方程为_________.解析:如图,设直线l 与x 轴交于点D ,过点B 作BE ⊥l 于点E ,则|DF |=p .由抛物线的定义知|BE |=|BF |.设|BE |=|BF |=m ,因为△AEB ∽△ADF ,所以|AF ||AB |=|DF ||BE |,即|AF ||AF |-|BF |=|DF ||BF |,所以|AF ||AF |-m =p m ,所以|AF |=pm p -m.由|AF ||BF |-|AF |=1,得pmp -m m -pm p -m=1,解得p =1,所以抛物线C 的标准方程为y 2=2x .答案:y 2=2x5.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点A 在抛物线C 上,若|AO |=|AF |=32.(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 与抛物线C 交于P ,Q 两点,若线段PQ 的中点的纵坐标为1,求△OPQ 的面积的最大值.解析:(1)因为点A 在C 上,|AO |=|AF |=32,所以点A 的纵坐标为p 4,所以p 4+p 2=32,所以p=2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +b (b ≥0),代入抛物线方程,可得x 2-4kx -4b =0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b ,所以y 1+y 2=4k 2+2b ,因为线段PQ 的中点的纵坐标为1,所以2k 2+b =1,即2k 2=1-b ≥0,所以0<b ≤1,S △OPQ =12b |x 1-x 2|=12b (x 1+x 2)2-4x 1x 2=12b 16k 2+16b =b 2+2b =2b 3+b 2(0<b ≤1).设y =b 3+b 2,y ′=3b 2+2b >0,函数单调递增,所以当b =1时,△OPQ 的面积取最大值为2.6.已知抛物线C :x 2=2py (p >0)和定点M (0,1),设过点M 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点,抛物线C 在A ,B 处的切线的交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上,求p 的值;(2)若△ABN 的面积的最小值为4,求抛物线C 的方程. 解析:设直线AB :y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2-2pkx -2p =0,则x 1+x 2=2pk ①,x 1x 2=-2p ②.(1)由x 2=2py 得y ′=x p ,则A ,B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2=-2p,因为点N 在以AB 为直径的圆上,所以AN ⊥BN ,所以-2p =-1,所以p =2.(2)易得直线AN :y -y 1=x 1p (x -x 1),直线BN :y -y 2=x 2p(x -x 2),联立,得⎩⎨⎧y -y 1=x 1p(x -x 1),y -y 2=x 2p (x -x 2),结合①②式,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =pk ,y =-1,即N (pk ,-1).|AB |=1+k 2|x 2-x 1|=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 24p 2k 2+8p ,点N 到直线AB 的距离d =|kx N +1-y N |1+k 2=|pk 2+2|1+k 2,则△ABN 的面积S △ABN=12·|AB |·d =p (pk 2+2)3≥22p ,当k =0时,取等号.因为△ABN 的面积的最小值为4,所以22p =4,所以p =2,故抛物线C 的方程为x 2=4y .[C 组 创新应用练]1.(2021·兰州模拟)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,过点M (4,0)的直线与抛物线相交于A ,B 两点,与抛物线的准线相交于点C ,|BF |=4,则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF=( )A .34B .45C .56D .25解析:由抛物线方程y 2=8x ,得焦点F 的坐标为(2,0),准线方程为x =-2.如图,过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为E ,N .设直线AB 的方程为y =k (x -4)(k ≠0),则由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -4),y 2=8x ,消去y 并整理得k 2x 2-(8k 2+8)x +16k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=16.由抛物线的定义知|BF |=|BN |=x 2+2=4,所以x 2=2,所以x 1=8,所以|AE |=x 1+2=10.因为BN ∥AE ,所以S △BCF S △ACF =|BC ||AC |=|BN ||AE |=410=25.答案:D2.已知抛物线x =18y 2的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点(点A 在第一象限),抛物线的准线交x 轴于点K ,则|AF ||AK |最小时,直线AK 的斜率为( )A .1B . 2C . 3D .2 2解析:x =18y 2可化为y 2=8x .如图,过A 作准线的垂线,垂足为A 1.因为|AF |=|AA 1|,所以|AF ||AK |=|AA 1||AK |=sin ∠AKA 1.若|AF ||AK |最小,则sin ∠AKA 1最小,即∠AKA 1最小.数形结合可得,直线AK 与抛物线y 2=8x 相切时,∠AKA 1最小.设直线AK 的方程为y =k (x +2),且k >0,与y 2=8x 联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2),y 2=8x ,消去x ,得ky 2-8y +16k =0,由Δ=64-64k 2=0,得k =1.答案:A。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.7 抛物线学案(文,含解析)新人教A版

学习资料9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理 1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的 的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线。
2。
抛物线的几何性质Fp2,0 F —p2,0 F 0,p 2F 0,-p 2e=1。
设AB 是过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),如图所示,则 (1)x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2;(2)弦长|AB|=x 1+x 2+p=2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角);(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切;(4)S △AOB =p 22sinα(α为弦AB 所在直线的倾斜角); (5)∠CFD=90°。
2.抛物线y 2=2px (p 〉0)的通径长为2p 。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”。
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( ) (3)若一抛物线过点P (—2,3),则其标准方程可写为y 2=2px (p 〉0). ( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形。
( )(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a,0.4()2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A。
2√3B。
4 C.6 D.123。
(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l。
P是抛物线上异于O 的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A。
经过点O B。
经过点PC。
平行于直线OP D.垂直于直线OP4。
北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何抛物线教学案理

一、知识梳理1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:(1)在平面内.(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等.(3)定点不在定直线上.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=—2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e=1准线方程x=—错误!x=错误!y=—错误!y=错误!范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P (x0,y0))|PF|=x0+错误!|PF|=—x0+错误!|PF|=y0+错误!|PF|=—y0+错误!1.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F错误!的距离|PF|=x0+错误!,也称为抛物线的焦半径.2.y2=ax(a≠0)的焦点坐标为错误!,准线方程为x=—错误!.3.如图,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)y1y2=—p2,x1x2=错误!.(2)|AB|=x1+x2+p=错误!(θ为AB的倾斜角).(3)错误!+错误!为定值错误!.(4)以AB为直径的圆与准线相切.(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.二、教材衍化1.过点P(—2,3)的抛物线的标准方程是()A.y2=—错误!x或x2=错误!yB.y2=错误!x或x2=错误!yC.y2=错误!x或x2=—错误!yD.y2=—错误!x或x2=—错误!y解析:选A.设抛物线的标准方程为y2=kx或x2=my,代入点P(—2,3),解得k=—错误!,m=错误!,所以y2=—错误!x或x2=错误!y.故选A.2.抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点P有()A.0个B.1个C.2个D.4个解析:选C.设P(x1,y1),则|PF|=x1+2=5,y错误!=8x1,所以x1=3,y1=±2错误!.故满足条件的点P有两个.故选C.3.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=________.解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=—1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.答案:8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(—2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏错误!错误!(1)忽视抛物线的标准形式;(2)忽视p的几何意义;(3)忽视k=0的讨论;(4)易忽视焦点的位置出现错误.1.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为()A.(0,—2)B.(0,2)C.错误!D.错误!解析:选C.由8x2+y=0,得x2=—错误!y.2p=错误!,p=错误!,所以焦点为错误!,故选C.2.已知抛物线C与双曲线x2—y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()A.y2=±2错误!xB.y2=±2xC.y2=±4xD.y2=±4错误!x解析:选D.由已知可知双曲线的焦点为(—错误!,0),(错误!,0).设抛物线方程为y2=±2px (p>0),则错误!=错误!,所以p=2错误!,所以抛物线方程为y2=±4错误!x.故选D.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.解析:由已知可得Q(—2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y=k (x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2—8)x+4k2=0,当k=0时,l与抛物线有公共点;当k≠0时,Δ=64(1—k2)≥0得—1≤k<0或0<k≤1.综上,—1≤k≤1.答案:[—1,1]4.若抛物线的焦点在直线x—2y—4=0上,则此抛物线的标准方程为________.解析:令x=0,得y=—2;令y=0,得x=4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0,—2),故所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=—8y.答案:y2=16x或x2=—8y抛物线的定义(典例迁移)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.【解析】如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.【答案】4【迁移探究1】(变条件)若将本例中“B(3,2)”改为“B(3,4)”,如何求解?解:由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.因为|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,由例题知,F(1,0),所以|PB|+|PF|≥|BF|=错误!=2错误!,即|PB|+|PF|的最小值为2错误!.【迁移探究2】(变问法)在本例条件下,求点P到点A(—1,1)的距离与点P到直线x=—1的距离之和的最小值.解:如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=—1,由抛物线的定义知点P到直线x=—1的距离等于点P到F的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到点A(—1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小,显然,连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点P,此时最小值为错误!=错误!.【迁移探究3】(变问法)在本例条件下,求点P到直线l1:4x—3y+6=0和l2:x=—1的距离之和的最小值.解:由题可知l2:x=—1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l的距离等于|PF|,故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x—3y+62=0的距离,所以最小值是错误!=2.错误!(1)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+错误!或|PF|=|y|+错误!.1.(2020·江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:选D.设圆心C(x,y),弦为BD,过点C作CE⊥y轴,垂足为E,则|BE|=2,则有|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2,所以(x—2)2+y2=22+x2,化为y2=4x,则圆心C的轨迹为抛物线.故选D.2.(2020·成都模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=—1,点M在抛物线C上,点M在直线l:x=—1上的射影为A,且直线AF的斜率为—错误!,则△MAF的面积为()A.错误!B.2错误!C.4错误!D.8错误!解析:选C.如图所示,设准线l与x轴交于点N.则|FN|=2.因为直线AF的斜率为—错误!,所以∠AFN=60°.所以∠MAF=60°,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,所以△AMF是边长为4的等边三角形.所以S△AMF=错误!×42=4错误!.故选C.抛物线的标准方程(师生共研)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=错误!x【解析】如图,过点A,B分别作准线的垂线,交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由抛物线定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,因为|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,2|AE|=|AC|,所以3+3a=6,从而得a=1,|FC|=3a=3,所以p=|FG|=错误!|FC|=错误!,因此抛物线的方程为y2=3x,故选C.【答案】C错误!求抛物线的标准方程应注意以下几点(1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种.(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系.(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.1.(2020·重庆调研)已知抛物线y2=2px(p>0),点C(—4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=—4xC.y2=8xD.y2=—8x解析:选D.因为AB⊥x轴,且AB过点F,所以AB是焦点弦,且|AB|=2p,所以S△CAB=错误!×2p×错误!=24,解得p=4或—12(舍),所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=—8x.故选D.2.已知双曲线C1:错误!—错误!=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p >0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程是()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=错误!yD.x2=错误!y解析:选A.因为双曲线C1:错误!—错误!=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以错误!=2.因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为2,所以错误!=错误!·错误!=错误!=2,解得p=8,所以抛物线C2的方程是x2=16y.抛物线的性质(师生共研)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:(1)y1y2=—p2,x1x2=错误!;(2)错误!+错误!为定值;(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【证明】(1)由已知得抛物线焦点坐标为F(错误!,0).由题意可设直线方程为x=my+错误!,代入y2=2px,得y2=2p错误!,即y2—2pmy—p2=0.(*)则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=—p2.因为y错误!=2px1,y错误!=2px2,所以y错误!y错误!=4p2x1x2,所以x1x2=错误!=错误!=错误!.(2)错误!+错误!=错误!+错误!=错误!.因为x1x2=错误!,x1+x2=|AB|—p,|AB|=x1+x2+p,代入上式,得错误!+错误!=错误!=错误!(定值).(3)设AB的中点为M(x0,y0),如图,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=错误!(|AC|+|BD|)=错误!(|AF|+|BF|)=错误!|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.错误!抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题,可直接应用公式求解.解题时,需依据抛物线的标准方程,确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定,是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差,这是正确解题的关键.1.(2020·河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.错误!D.4解析:选C.设直线AB的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).由错误!⇒y2—2my—2t=0⇒y1y2=—2t,由OA⊥OB⇒x1x2+y1y2=错误!+y1y2=0⇒y1y2=—4,所以t=2,即直线AB过定点(2,0).所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2—错误!=错误!.故选C.2.(2020·洛阳模拟)已知F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,错误!为半径的圆,直线4x—3y—2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则错误!=()A.16 B.4C.错误!D.错误!解析:选A.因为直线4x—3y—2p=0过C1的焦点F(C2的圆心),故|BF|=|CF|=错误!,所以错误!=错误!.由抛物线的定义得|AF|—错误!=x A,|DF|—错误!=x D.由错误!整理得8x2—17px+2p2=0,即(8x—p)(x—2p)=0,可得x A=2p,x D=错误!,故错误!=错误!=错误!=16.故选A.直线与抛物线的位置关系(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为错误!的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若错误!=3错误!,求|AB|.【解】设直线l:y=错误!x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F错误!,故|AF|+|BF|=x1+x2+错误!,由题设可得x1+x2=错误!.由错误!可得9x2+12(t—1)x+4t2=0,则x1+x2=—错误!.从而—错误!=错误!,得t=—错误!.所以l的方程为y=错误!x—错误!.(2)由错误!=3错误!可得y1=—3y2.由错误!可得y2—2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而—3y2+y2=2,故y2=—1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=错误!.故|AB|=错误!.错误!解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.[提醒] 涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.1.(2020·河南郑州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F与抛物线C分别交于A,B两点,且直线l不与x轴垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),则S△AOB=()A.2错误!B.错误!C.错误!D.3错误!解析:选A.如图所示,F(1,0).设直线l的方程为y=k(x—1)(k≠0),A(x1,y1),B(x,y2),线段AB的中点E(x0,y0).2则线段AB的垂直平分线的方程为y=—错误!(x—5).联立错误!化为ky2—4y—4k=0,所以y1+y2=错误!,y1y2=—4,所以y0=错误!(y1+y2)=错误!,x0=错误!+1=错误!+1,把E错误!代入线段AB的垂直平分线的方程y=—错误!(x—5),可得错误!=—错误!·错误!,解得k2=1.S△OAB=错误!×1×|y1—y2|=错误!错误!=错误!错误!=2错误!.故选A.2.设A,B为曲线C:y=错误!上两点,A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=错误!,y2=错误!,x1+x2=2,故直线AB的斜率k=错误!=错误!=1.(2)由y=错误!,得y′=x.设M(x3,y3),由题设知x3=1,于是M错误!.设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(1,1+m),|MN|=错误!.将y=x+m代入y=错误!,得x2—2x—2m=0.由Δ=4+8m>0,得m>—错误!,x1,2=1±错误!.从而|AB|=错误!|x1—x2|=2错误!.由题设知|AB|=2|MN|,即错误!=错误!,解得m=错误!或m=—2(舍).所以直线AB的方程为y=x+错误!.解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段,它的精彩在于设而不求,化繁为简.解题过程中,巧妙设点,避免解方程组,常见类型有:(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题;(2)根据题意,整体消参或整体代入等.类型一巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系,从而设而不求在平面直角坐标系xOy中,双曲线错误!—错误!=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|=y1+错误!,|BF|=y2+错误!,|OF|=错误!,由|AF|+|BF|=y1+错误!+y2+错误!=y1+y2+p=4|OF|=2p,得y1+y2=p.k AB=错误!=错误!=错误!.由错误!得k AB=错误!=错误!=错误!·错误!,则错误!·错误!=错误!,所以错误!=错误!⇒错误!=错误!,所以双曲线的渐近线方程为y=±错误!x.【答案】y=±错误!x类型二中点弦或对称问题,可以利用“点差法”,“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法△ABC的三个顶点都在抛物线E:y2=2x上,其中A(2,2),△ABC的重心G是抛物线E 的焦点,则BC边所在直线的方程为________.【解析】设B(x1,y1),C(x2,y2),边BC的中点为M(x0,y0),易知G错误!,则错误!从而错误!即M错误!,又y错误!=2x1,y错误!=2x2,两式相减得(y1+y2)(y1—y2)=2(x1—x2),则直线BC 的斜率k BC=错误!=错误!=错误!=错误!=—1,故直线BC的方程为y—(—1)=—错误!,即4x +4y+5=0.【答案】4x+4y+5=0类型三中点弦或对称问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证Δ>0已知双曲线x2—错误!=1,过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?【解】假设存在直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点.设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,由错误!两式相减得(x1+x2)(x1—x2)—错误!=0,又错误!=1,错误!=1,所以2(x1—x2)—(y1—y2)=0,所以k AB=错误!=2,故直线l的方程为y—1=2(x—1),即y=2x—1.由错误!消去y得2x2—4x+3=0,因为Δ=16—24=—8<0,方程无解,故不存在一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点.类型四求解直线与圆锥曲线的相关问题时,若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系,可用“替代法”,“替代法”的实质是设而不求已知F为抛物线C:y2=2x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为________.【解析】法一:由题意知,直线l1,l2的斜率都存在且不为0,F错误!,设l1:x=ty+错误!,则直线l1的斜率为错误!,联立方程得错误!消去x得y2—2ty—1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=—1.所以|AB|=错误!|y1—y2|=错误!·错误!=错误!错误!=2t2+2,同理得,用—错误!替换t可得|DE|=错误!+2,所以|AB|+|DE|=2错误!+4≥4+4=8,当且仅当t2=错误!,即t=±1时等号成立,故|AB|+|DE|的最小值为8.法二:由题意知,直线l1,l2的斜率都存在且不为0,F错误!,不妨设l1的斜率为k,则l1:y=k错误!,l2:y=—错误!错误!.由错误!消去y得k2x2—(k2+2)x+错误!=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1+错误!.由抛物线的定义知,|AB|=x1+x2+1=1+错误!+1=2+错误!.同理可得,用—错误!替换|AB|中k,可得|DE|=2+2k2,所以|AB|+|DE|=2+错误!+2+2k2=4+错误!+2k2≥4+4=8,当且仅当错误!=2k2,即k=±1时等号成立,故|AB|+|DE|的最小值为8.【答案】8[基础题组练]1.(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆错误!+错误!=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8解析:选D.由题意,知抛物线的焦点坐标为错误!,椭圆的焦点坐标为(±错误!,0),所以错误!=错误!,解得p=8,故选D.2.(2020·河北衡水三模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|错误!|+|错误!|+|错误!|=10,则x1+x2=()A.6 B.5C.4D.3解析:选A.根据抛物线的定义,知|错误!|,|错误!|,|错误!|分别等于点A,B,C到准线x=—1的距离,所以由|错误!|+|错误!|+|错误!|=10,可得2+x1+1+x2+1=10,即x1+x2=6.故选A.3.(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5m,跨径为12m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.错误!m B.错误!mC.错误!m D.错误!m解析:选D.建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的解析式为x2=—2py,p>0,因为抛物线过点(6,—5),所以36=10p,可得p=错误!,所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为错误!m.故选D.4.(2020·河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AA′⊥l,垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为14,且cos∠FAA′=错误!,则抛物线C的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x解析:选C.过点F作FF′⊥AA′,垂足为F′.设|AF′|=3x,因为cos∠FAA′=错误!,故|AF|=5x,则|FF′|=4x,由抛物线定义可知,|AF|=|AA′|=5x,则|A′F′|=2x=p,故x=错误!.四边形AA′PF的面积S=错误!=错误!=14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.5.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:选D.设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=—2,直线y=k(x+2)恒过定点P(—2,0),如图,过A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,所以点B为线段AP的中点,连接OB,则|OB|=错误!|AF|,所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1,因为k>0,所以点B的坐标为(1,2错误!),所以k=错误!=错误!.故选D.6.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4错误!,|DE|=2错误!,则C的焦点到准线的距离为________.解析:由题意,不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),由|AB|=4错误!,|DE|=2错误!,可取A错误!,D错误!,设O为坐标原点,由|OA|=|OD|,得错误!+8=错误!+5,得p=4.答案:47.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则l的斜率为________.解析:设抛物线的准线为m,分别过点A,N,B作AA′⊥m,NN′⊥m,BB′⊥m,垂足分别为A′,N′,B′.因为直线l过抛物线的焦点,所以|BB′|=|BF|,|AA′|=|AF|.又N是线段AB的中点,|MN|=|AB|,所以|NN′|=错误!(|BB′|+|AA′|)=错误!(|BF|+|AF|)=错误! |AB|=错误!|MN|,所以∠MNN′=60°,则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l,所以直线l的倾斜角为30°,斜率是错误!.答案:错误!8.(一题多解)已知点M(—1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.解析:法一:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x—1)(k≠0),由错误!消去y得k2(x—1)2=4x,即k2x2—(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y),B(x2,y2),则x1+x2=错误!,x1x2=1.由错误!消去x得y2=4错误!,即y2—错误!y—41=0,则y1+y2=错误!,y1y2=—4,由∠AMB=90°,得错误!·错误!=(x1+1,y1—1)·(x2+1,y2—1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2—(y1+y2)+1=0,将x1+x2=错误!,x1x2=1与y+y2=错误!,y1y2=—4代入,得k=2.1法二:设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则错误!所以y错误!—y错误!=4(x1—x),则k=错误!=错误!,取AB的中点M′(x0,y0),分别过点A,B作准线x=—1的垂线,垂足分别2为A′,B′,又∠AMB=90°,点M在准线x=—1上,所以|MM′|=错误!|AB|=错误!(|AF|+|BF|)=错误!(|AA′|+|BB′|).又M′为AB的中点,所以MM′平行于x轴,且y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.答案:29.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2错误!的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.2(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若错误!=错误!+λ错误!,求λ的值.解:(1)由题意得直线AB的方程为y=2错误!·错误!,与y2=2px联立,消去y有4x2—5px+p2=0,所以x1+x2=错误!.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=错误!+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得4x2—5px+p2=0,即x2—5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=—2错误!,y2=4错误!,从而A(1,—2错误!),B(4,4错误!),设C(x3,y3),则错误!=(x3,y3)=(1,—2错误!)+λ(4,4错误!)=(4λ+1,4错误!λ—2错误!).又y错误!=8x3,所以[2错误!(2λ—1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ—1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.10.(2020·河北衡水二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m >0)在抛物线上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.解:(1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+错误!=2,1又M(2,m)在抛物线上,所以2pm=4,2由12解得p=2,m=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明:1当x0=0,即点P为原点时,显然符合;2x0≠0,即点P不在原点时,由(1)得,x2=4y,则y′=错误!x,所以抛物线在点P处的切线的斜率为错误!x0,所以抛物线在点P处的切线l0的方程为y—y0=错误!x0(x—x0),又x错误!=4y0,所以y—y0=错误!x0(x—x0)可化为y=错误!x0x—y0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y—1=—错误!x.联立方程得错误!消去x,得y=—错误!(y—1)x错误!—y0.(*)因为x错误!=4y0,所以(*)可化为y=—yy0,即(y0+1)y=0,由y0>0,可知y=0,即垂足必在x轴上.综上,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.[综合题组练]1.(2020·陕西西安一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B 两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()A.6 B.8C.10 D.12解析:选B.抛物线y2=6x的焦点坐标为错误!,准线方程为x=—错误!,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|=3|BF|,所以x1+错误!=3错误!,所以x1=3x2+3,因为|y1|=3|y2|,所以x1=9x2,所以x1=错误!,x2=错误!,所以|AB|=错误!+错误!=8.故选B.2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()A.错误!B.错误!C.错误!D.2错误!解析:选C.由题意设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),如图所示,|AF|=x1+1=3,所以x1=2,y1=2错误!.设AB的方程为x—1=ty,由错误!消去x得y2—4ty—4=0.所以y1y2=—4,所以y2=—错误!,x2=错误!,所以S△AOB=错误!×1×|y1—y2|=错误!,故选C.3.(2020·江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|—1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16 D.错误!解析:选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线定义得y1+y2+2=|AF|+|BF|,因为错误!=|AB|—1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB=错误!=错误!≥错误!=错误!,当且仅当|AF|=|BF|时取等号.所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,联立错误!消去y得,x2—4错误!x—4=0,所以x1+x3=4错误!,所以y1+y3=错误!(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.4.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则实数a的取值范围为________.解析:如图,设C(x0,x错误!)(x错误!≠a),A(—错误!,a),B(错误!,a),则错误!=(—错误!—x0,a—x错误!),错误!=(错误!—x0,a—x错误!).因为CA⊥CB,所以错误!·错误!=0,即—(a—x错误!)+(a—x错误!)2=0,(a—x错误!)(—1+a—x错误!)=0,所以x错误!=a—1≥0,所以a≥1.答案:[1,+∞)5.已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),其焦点为F,点O为坐标原点,过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点M.(1)求错误!·错误!;(2)设直线MF与抛物线交于C,D两点,且四边形ACBD的面积为错误!p2,求直线AB的斜率k.解:(1)设直线AB的方程为y=kx+错误!,A(x1,y1),B(x2,y2),由错误!得x2—2pkx—p2=0,则错误!所以y1·y2=错误!,所以错误!·错误!=x1·x2+y1·y2=—错误!p2.(2)由x2=2py,知y′=错误!,所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为错误!,错误!,所以直线AM的方程为y—y1=错误!(x—x1),直线BM的方程为y—y2=错误!(x—x2),则可得M错误!.所以k MF=—错误!,所以直线MF与AB相互垂直.由弦长公式知,|AB|=错误!|x1—x2|=错误!·错误!=2p(k2+1),用—错误!代替k得,|CD|=2p错误!,四边形ACBD的面积S=错误!·|AB|·|CD|=2p2错误!=错误!p2,解得k2=3或k2=错误!,即k=±错误!或k=±错误!.6.已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B 两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.解:设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2—2pkx—2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=—2p.1(1)由x2=2py得y′=错误!,则A,B处的切线斜率的乘积为错误!=—错误!,因为点N在以AB为直径的圆上,所以AN⊥BN,所以—错误!=—1,所以p=2.(2)易得直线AN:y—y1=错误!(x—x1),直线BN:y—y2=错误!(x—x2),联立,得错误!结合1式,解得错误!即N(pk,—1).|AB|=错误!|x2—x1|=错误!错误!=错误!错误!,点N到直线AB的距离d=错误!=错误!,则△ABN的面积S△ABN=错误!·|AB|·d=错误!≥2错误!,当k=0时,取等号,因为△ABN的面积的最小值为4,所以2错误!=4,所以p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.。
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9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的 的点的轨迹叫作抛物线.点F 叫作抛物线的 ,直线l 叫作抛物线的 .注意若定点F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线. 2.抛物线的几何性质标准方程y 2=2px (p>0) y 2=-2px (p>0) x 2=2py (p>0) x 2=-2py (p>0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离图 形顶 点 对称轴 x 轴焦 点 Fp2,0 F -p2,0F 0,p 2 F 0,-p2离心率 e=准线方程x=-p2 x=p2y=-p2y=p2范 围x ≥0,y ∈Rx ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x∈R 开口方向 向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0,y 0))|PF|= x 0+p 2 |PF|= -x 0+p 2 |PF|= y 0+p 2 |PF|=-y 0+p 21.设AB 是过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2pppp2p(α为弦AB所在直线的倾斜角);(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(4)S△AOB=p22pppα(α为弦AB所在直线的倾斜角);(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是p4,0.()2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A.2√3B.4C.6D.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.95.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B 两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|= .关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P(92,0)为圆心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于()A.8B.18C.2√2D.4(2)(2020新高考全国1,13)斜率为√3的直线过抛物线C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则|AB|= .思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P (x 0,y 0)为抛物线y 2=2px (p>0)上一点,由定义易得|PF|=x 0+p2;若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长为|AB|=x 1+x 2+p ,x 1+x 2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y 2=8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,与抛物线的准线交于点C ,若B 是AC 的中点,则|AB|=( )A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( )A.72B.52C.3D.2考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y 2=2px (p>0),点C (-4,0),过抛物线的焦点F 作垂直于x 轴的直线,与抛物线交于A ,B 两点,若△CAB 的面积为24,则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=8xD.y 2=-8x(2)(2020全国3,理5)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px (p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( )A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y 2=mx或x 2=my (m ≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M (x 0,2√2)(p 0>p2)是抛物线C上的一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p 2交于E ,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程为( )A.y 2=xB.y 2=2xC.y 2=4xD.y 2=8x(2)已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2),若线段AF 的中点B 在抛物线上,则|BF|=( )A.54B.52C.√22D.3√24考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=2π3,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则|pp ||pp |的最大值是( )A.√34B.√33C.√32D.√3(2)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与抛物线C 交于A ,B 两点,直线l 2与抛物线C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.10 思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的? 解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C :y 2=2x ,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ,B 两点(A ,B 均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( )A.2B.3C.32D.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l 过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F (1,0),且与C 交于M ,N 两点,则p= ,|pp |9−1|pp |的最小值是 .考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C :y 2=4x 焦点F 的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆x 2+y 2-2x=0于M ,N 两点,其中P ,M 位于第一象限,则1|pp |+4|pp |的值不可能为( )A.3B.4C.5D.6(2)已知P 是抛物线y 2=4x 上任意一点,Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为( )A.52B.3C.√3+1D.2√3-1思考求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题要注意什么?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F 为抛物线C 1:y 2=2px (p>0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|pp ||pp |=( )A.16B.4C.83D.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E 与圆M (x-1)2+y 2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心E 的轨迹方程为 ;过点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心E 的轨迹相交于A ,B 两点,则直线AB 的斜率为 .考点直线与抛物线的关系【例5】(1)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,其准线与x 轴的交点为Q ,过点Q 作斜率为k (k<0)的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF|=2|BF|,则k 的值为( )A.-2√23B.-√73C.-√63D.-√53(2)(2020山东临沂二模,8)已知F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,过点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过点C 作抛物线准线的垂线交准线于点C 1,若CC 1的中点为M (1,4),则p=( )A.4B.8C.4√2D.8√2 解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x 2+p (焦点在x 轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,设点M (3,0).若△MAB 的面积为4√2,则|AB|=( )A.2B.4C.2√3D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k>0)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ,O 为坐标原点,若S △OBM ∶S △OBA =1∶2,则k= .1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax 2与y 2=2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.指点迷津(二) 求曲线轨迹方程的方法曲线C 与方程F (x ,y )=0满足两个条件:(1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解;(2)以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上.则称曲线C 为方程F (x ,y )=0的曲线,方程F (x ,y )=0为曲线C 的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程. (3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x ,y ),另一个在已知曲线上运动,设为(x 0,y 0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即{x 0=f(x,y),y 0=g(x,y),将x 0,y 0代入已知曲线即得所求.(4)参数法:引入参数t ,求出动点(x ,y )与参数t 之间的关系{x =f(t),y =g(t),消去参数即得所求轨迹方程.(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程. 一、直接法求轨迹方程【例1】已知△ABC 的三个顶点分别为A (-1,0),B (2,3),C (1,2√2),定点P (1,1). (1)求△ABC 外接圆的标准方程;(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ,F 两点,求弦EF 中点的轨迹方程. 解(1)由题意得AC 的中点坐标为(0,√2),AB 的中点坐标为(12,32),k AC =√2,k AB =1,故AC 中垂线的斜率为-√22,AB 中垂线的斜率为-1,则AC 的中垂线的方程为y-√2=-√22x ,AB 的中垂线的方程为y-32=-(p -12).由{p -32=-(p -12),p -√2=-√22p ,得{p =2,p =0,所以△ABC 的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC 外接圆的标准方程为(x-2)2+y 2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MN⊥MP,得pp⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·pp⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为(p-32)2+(p-12)2=12.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点→列式→化简→检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C 的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A :(x+2)2+y 2=1与点B (2,0),分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程.(1)△PAB 的周长为10;(2)圆P 与圆A 外切,且过B 点(P 为动圆圆心);(3)圆P 与圆A 外切,且与直线x=1相切(P 为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图所示,抛物线E :y 2=2px (p>0)与圆O :x 2+y 2=8相交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0,y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ,D 两点,分别以C ,D 为切点作抛物线E 的切线l 1,l 2,l 1与l 2相交于点M.(1)求p 的值;(2)求动点M 的轨迹方程.解(1)由点A 的横坐标为2,可得点A 的坐标为(2,2),代入y 2=2px ,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E :y 2=2x.设C (p 122,p 1),D (p 222,p 2),y 1≠0,y 2≠0,切线l 1的斜率为k ,则切线l 1:y-y 1=k (p -p 122),代入y 2=2x ,得ky 2-2y+2y 1-k p 12=0,由Δ=0,解得k=1p 1,所以l 1的方程为y=1p 1x+p12, 同理l 2的方程为y=1p 2x+p 22.联立{p =1p 1p +p 12,p =1p 2p +p 22,解得{p =p 1·p 22,p =p 1+p 22. 易知CD 的方程为x 0x+y 0y=8,其中x 0,y 0满足p 02+p 02=8,x 0∈[2,2√2],由{p 2=2p ,p 0p +p 0p =8,得x 0y 2+2y 0y-16=0, 则{p 1+p 2=-2p 0p 0,p 1p 2=-16p 0,代入{p =p 1p 22,p =p 1+p 22,可得M (x ,y )满足{p =-8p 0,p =-p0p 0,即{p 0=-8p ,p 0=8pp,代入p 02+p 02=8,化简得p28-y 2=1,因为x 0∈[2,2√2],所以x ∈[-4,-2√2].所以动点M 的轨迹方程为p 28-y 2=1,x ∈[-4,-2√2].方法总结对点训练3如图,已知P 是椭圆p 24+y 2=1上一点,PM ⊥x 轴于点M.若pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λpp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求点N 的轨迹方程;(2)当点N 的轨迹为圆时,求λ的值.四、参数法求轨迹方程【例4】点A 和点B 是抛物线y 2=4px (p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB 于点M ,求点M 的轨迹方程.解当AB 所在直线的斜率不存在时,M 为一定点,坐标为(4p ,0). 当AB 所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b (k ≠0),由{p =pp +p ,p 2=4pp ,得k 2x 2+2(kb-2p )x+b 2=0.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2(2p -pp )p 2,x 1x 2=p 2p 2.所以y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=4ppp.由OA ⊥OB ,知x 1x 2+y 1y 2=0,则b=-4pk. ①设点M (x ,y ),由OM ⊥AB ,知pp ·k=-1,y ≠0, 则k=-pp .②由①②及y=kx+b 消去k ,b ,得x 2+y 2-4px=0(y ≠0).又点(4p ,0)的坐标满足x 2+y 2-4px=0,所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px=0.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参—求参—消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.对点训练4在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (1,0),B (2,2),若点C 满足pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t (pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t ∈R ,则点C 的轨迹方程是 .五、交轨法求轨迹方程【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C :p 218+p 29=1的短轴端点分别为B 1,B 2,点M 是椭圆C 上的动点,且不与B 1,B 2重合,点N 满足NB 1⊥MB 1,NB 2⊥MB 2. (1)求动点N 的轨迹方程;(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值.解(1)(方法1)设点N (x ,y ),M (x 0,y 0)(x 0≠0). 由题意知点B 1(0,-3),B 2(0,3),所以p pp 1=p 0+3p 0,p pp 2=p 0-3p 0. 因为MB 1⊥NB 1,MB 2⊥NB 2, 所以直线NB 1:y+3=-p 0p 0+3x , ① 直线NB 2:y-3=-p 0p 0-3x , ②①×②得y 2-9=p 02p 02-9x 2. 又p 0218+p 029=1,所以y 2-9=18(1-p 029)p 02-9x 2=-2x 2,所以动点N 的轨迹方程为p 29+p 292=1(x ≠0).(方法2)设点N (x ,y ),M (x 0,y 0)(x 0≠0). 由题意知点B 1(0,-3),B 2(0,3), 所以p pp 1=p 0+3p 0,p pp 2=p 0-3p 0. 因为MB 1⊥NB 1,MB 2⊥NB 2, 所以直线NB 1:y+3=-p 0p 0+3x , ① 直线NB 2:y-3=-p 0p0-3x ,②联立①②,解得{p =p 02-9p 0,p =-p 0.又p 0218+p 029=1,所以x=-p02,故{p 0=-2p ,p 0=-p ,代入p 0218+p 029=1,得p 29+p 292=1.所以动点N 的轨迹方程为p 29+p 292=1(x ≠0).(方法3)设直线MB 1:y=kx-3(k ≠0), 则直线NB 1:y=-1p x-3. ①直线MB 1与椭圆C :p 218+p 29=1的交点M 的坐标为(12p2p 2+1,6p 2-32p 2+1).则直线MB 2的斜率为p pp 2=6p 2-32p 2+1-312p 2p 2+1=-12p .所以直线NB 2:y=2kx+3. ②由①②得点N 的轨迹方程为p 29+p 292=1(x ≠0).(2)由(1)(方法3)得直线NB 1:y=-1px-3,① 直线NB 2:y=2kx+3. ②联立①②,解得x=-6p2p 2+1,即x N =-6p2p 2+1,又x m =12p2p 2+1,故四边形MB 2NB 1的面积S=12|B 1B 2|(|x M |+|x N |)=3×(12|p |2p 2+1+6|p |2p 2+1)=54|p |2p 2+1=542|p |+1|p |≤27√22,当且仅当|k|=√22时,S 取得最大值27√22.方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.对点训练5(2020河北唐山一模,文20)已知P 是x 轴上的动点(异于原点O ),点Q 在圆O :x 2+y 2=4上,且|PQ|=2.设线段PQ 的中点为M.(1)当直线PQ与圆O相切于点Q,且点Q在第一象限时,求直线OM的斜率;(2)当点P移动时,求点M的轨迹方程.9.7抛物线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离相等焦点准线2.(0,0)y轴 1考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.A由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),(0,p2),两焦点的距离为√1+p24=2,解得p=2√3.故选A.3.B因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.4.C设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.√15由于焦点F(1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l:y-1=k(x-1),由{p-1=p(p-1),p2=4p消去x,得ky2-4y+4-4k=0,由P为线段AB的中点可知y1+y2=4p=2,所以k=2,所以直线l的方程为y=2x-1,y1y2=-2,所以|AB|=√1+(1p)2·√(p1+p2)2-4p1p2=√15.关键能力·学案突破例1(1)A (2)163 (1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),抛物线的焦点坐标为(12,0),则|PF|=92−12=4,则圆的方程为(p -92)2+y 2=16,与抛物线方程联立,消去y ,得x 2-7x+174=0,则x 1+x 2=7.根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x 1+12+x 2+12=8.故选A. (2)如图所示,直线与抛物线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p 2+x 2+p2=x 1+x 2+p.由{p =√3(p -1),p 2=4p ,得3x 2-10x+3=0, 所以x 1+x 2=103, 则|AB|=103+2=163. 对点训练1(1)B (2)C(1)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为D ,E ,设|AB|=|BC|=m ,直线l 的倾斜角为α.则|BE|=m|cos α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m (1-|cos α|),所以|cos α|=|pp ||pp |=p (1-|cos p |)2p, 解得|cos α|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2p sin 2p ,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)∵pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4p ⃗⃗⃗⃗ ,∴|pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4|pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴|pp ||pp |=34.过Q 作QQ'⊥l ,垂足为Q',设l 与x 轴的交点为A (图略),则|AF|=4,∴|pp ||pp |=|pp '||pp |=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C .例2(1)D (2)B (1)因为AB ⊥x 轴,且AB 过焦点F ,所以|AB|=2p ,所以S △CAB =12×2p×(p2+4)=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y 2=8x ,所以直线AB 的方程为x=2,所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2=-8x.故选D .(2)∵抛物线C 关于x 轴对称,直线x=2垂直于x 轴,又OD ⊥OE , ∴△ODE 是等腰直角三角形.不妨设点D 在第一象限,则点D 的坐标为(2,2),将其代入y 2=2px ,得p=1,所以抛物线C 的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)C (2)D(1)如图所示,作MD ⊥EG ,垂足为D.因为点M (x 0,2√2)(p 0>p2)在抛物线上,所以8=2px 0,即px 0=4.①由题意,可知|DM|=x 0-p2,|MF|=x 0+p2,因为sin ∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|,即x 0-p2=13(p 0+p2), 解得x 0=p.②由①②,解得x 0=p=-2(舍去)或x 0=p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x.故选C. (2)由已知得点F 的坐标为p2,0,因为点A (0,2),所以AF 的中点B 的坐标为p 4,1.因为点B 在抛物线上,所以1=p 22,解得p=√2或p=-√2(舍去).所以点F 的坐标为√22,0,点B的坐标为√24,1,所以|BF|=√(√22-√24)2+(0-1)2=3√24.故选D .例3(1)B (2)A (1)设A ,B 在直线l 上的投影分别是A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|.又因为M 是AB 中点,所以|MN|=12(|AA 1|+|BB 1|), 则|pp ||pp |=12·|pp 1|+|pp 1||pp |=|pp |+|pp |2|pp |.在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos2π3=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|≥(|AF|+|BF|)2-(|pp |+|pp |2)2=34(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以(|pp |+|pp |)2|pp |2≤43,即|pp |+|pp ||pp |≤2√33, 所以|pp ||pp |≤√33.故选B .(2)由题意,可知直线l 1,l 2的斜率都存在且不为0,点F (1,0).设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k (x-1)(k ≠0).由{p =p (p -1),p 2=4p ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2p 2+4p 2.因为l 1⊥l 2,所以直线l 2的方程为y=-1p (x-1).同理,x 3+x 4=2+4k 2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+2+x 3+x 4+2=2p 2+4p 2+2+4k 2+4=4k 2+4p 2+8≥2√4p 2·4p 2+8=16,当且仅当4k 2=4p 2,即k=±1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.对点训练3(1)C (2)2 -13 (1)设直线AB 的方程为x=my+t ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{p =pp +p ,p 2=2p ,得y 2-2my-2t=0,所以y 1y 2=-2t. 由题意可知pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 1x 2+y 1y 2=(p 1p 2)24+y 1y 2=0,即t 2-2t=0.由题意可知t ≠0,所以t=2,所以直线AB 过定点(2,0).所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2-12=32.故选C .(2)因为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F (1,0),所以p=2.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x=my+1,联立{p =pp +1,p 2=4p ,得y 2-4my-4=0, 所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=1. (方法1)|pp |9−1|pp |=p 1+19−1p2+1=p 1+19−11p 1+1=p 1+19+1p1+1-1≥-13,当且仅当x 1+1=3,即x 1=2时,等号成立.(方法2)1|pp |+1|pp |=1p1+1+1p2+1=1pp 1+2+1pp 2+2=p (p 1+p 2)+4(pp 1+2)(pp 2+2)=p (p 1+p 2)+4p 2p 1p 2+2p (p1+p 2)+4=4p 2+4-4p 2+8p 2+4=1,所以|pp |9−1|pp |=|pp |9−(1-1|pp |)=|pp |9+1|pp |-1≥-13,当且仅当|MF|=3时,等号成立.例4(1)A (2)D (1)作图如下.由题意可知,F 为圆x 2+y 2-2x=0的圆心,设|PF|=m ,|QF|=n ,则|PM|=m-1,|pp |=n-1.根据抛物线的常用结论,可知1p +1p =2p =1,则p +ppp =1,即m+n=mn , 所以1|pp |+4|pp |=1p -1+4p -1=4p +p -5pp -(p +p )+1=4m+n-5.又4m+n=(4m+n )·(1p +1p )=4+4p p +p p +1≥5+2√4p p ·p p =9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-5≥4,即1|pp |+4|pp |≥4.故1|pp |+4|pp |的值不可能为3.故选A .(2)设点P 的坐标为14m 2,m ,由圆的方程(x-4)2+y 2=1,可得圆心坐标为A (4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14p 2-4)2+m 2=116(m 2-8)2+12≥12,所以|PA|≥2√3.因为Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2√3-1.故选D . 对点训练4(1)A (2)y 2=4x -1 (1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C 1的焦点F ,所以|BF|=|CF|=p 2,所以|pp ||pp |=|pp |-p2|pp |-p 2.设点A (x A ,y A ),D (x D ,y D ),由抛物线的定义得|AF|-p 2=x A ,|DF|-p 2=x D .由{4p -3p -2p =0,p 2=2pp ,整理得8x 2-17px+2p 2=0,解得x A =2p ,x D =p 8.故|pp ||pp |=p p pp=2pp 8=16.故选A .(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-12,则|NE|+12=|ME|,所以点E 到直线x=-1的距离等于到点M (1,0)的距离,所以动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点,以x=-1为准线的抛物线,则其轨迹方程为y 2=4x.点P 坐标为(1,2),则点P 在圆心E 的轨迹上. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由已知设直线PA :m (y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y 2=4my-8m+4,即y 2-4my+8m-4=0, 则y 1+2=4m ,故y 1=4m-2.设直线PB :-m (y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y 2=-4my+8m+4,即y 2+4my-8m-4=0, 则y 2+2=-4m ,故y 2=-4m-2.x 1-x 2=my 1-2m+1-(-my 2+2m+1)=m (y 1+y 2)-4m=-8m.直线AB 的斜率k AB =p 2-p 1p 2-p 1=-8p 8p=-1.例5(1)A (2)B (1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F (2,0),准线x=-2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|=x 1+2,|BF|=x 2+2,由|AF|=2|BF|得x 1+2=2(x 2+2),即有x 1=2x 2+2, ①联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0,则有x 1+x 2=-4p 2+8p 2(k<0), ②x 1x 2=4.③由①③得x 1=4,x 2=1,代入②中得5=-4p 2+8p 2(k<0),解得k=-2√23.故选A.(方法2)韦达定理消去y设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),从而有y 1=2y 2.联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得ky 2-8y+16k=0,则有y 1+y 2=8p ,① y 1y 2=16,② 由y 1=2y 2则有y 1+y 2=3y 2=8p ,③ y 1y 2=2p 22=16,④消去y 2得(8p )216=92(k<0),解得k=-2√23,故选A.(方法3)几何法设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|,则B'是QA'的中点,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),从而有y A =2y B .则B 是QA 的中点,则有|OB|=12|AF|(O 是原点),而|BF|=12|AF|,则|OB|=|FB|,故点B 在线段OF 的垂直平分线上,则x B =1,从而y B =-2√2,则y A =-4√2,x A =4,故k=-2√23,故选A.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ).由题意CC 1的中点坐标为(1,4), 所以可得y A +y B =8,x C -p2=2×1,所以x C =2+p2,x A +x B =4+p.设直线AB 的方程为x=my+p2,代入抛物线的方程可得y 2-2pmy-p 2=0,所以y A +y B =2pm ,x A +x B =m (y A +y B )+p=8m+p. 则{8=2pp ,8p +p =4+p , 解得p=8,m=12.对点训练5(1)D (2)2√2 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),可设直线l 的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y 2-4ty-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4,则|AB|=√1+p 2·|y 1-y 2|=√1+p 2·√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√1+p 2·√16p 2+16,△MAB 的面积为12|MF|·|y 1-y 2|=12×2|y 1-y 2|=4√2, 即√16p 2+16=4√2,解得t=±1. 则|AB|=√1+1×√16+16=8.故选D . (2)联立{pp -p -p =0,p 2=4p消去x ,得y 2-4p y-4=0,设A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2),则M (-1,y 2),则y 1+y 2=4p,y 1y 2=-4,∵k OM =p 2-1=-y 2=4p 1,k OA =p 1p 1=4p 1,∴A ,O ,M 三点共线,∴S △OBM ∶S △OAB =|OM|∶|OA|=1∶2,∴|OA|2=4|OM|2,p 12+p 12=4(1+p 22),p 12+4x 1=4(1+16p 12),p 12+4x 1=4(1+164p 1),则(p 12-4)(1+4p 1)=0,∵x 1>0,∴x 1=2,∴A (2,2√2).又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0), ∴k=2√2-02-1=2√2,故答案为2√2.指点迷津(二) 求曲线轨迹方程的方法对点训练1解(1)由|MP|=5|MQ|,得√(p -26)2+(p -1)2=5√(p -2)2+(p -1)2,化简得x 2+y 2-2x-2y-23=0,所以点M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆. (2)当直线l 的斜率不存在时,l :x=-2,此时所截得的线段的长度为2×√52-32=8, 所以l :x=-2符合题意.当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y-3=k (x+2),即kx-y+2k+3=0, 圆心(1,1)到l 的距离d=|3p +2|√p 2+1.由题意,得(|3p +2|√p 2+1)2+42=52,解得k=512,所以直线l 的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.综上,直线l 的方程为x=-2或5x-12y+46=0.对点训练2解(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故点P 轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=√5.又点P 不在x 轴上,因此所求轨迹方程为p 29+p 25=1(y ≠0).(2)设圆P 的半径为r ,则|PA|=r+1,|PB|=r ,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P 的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=√152,因此所求轨迹方程为4x 2-415y 2=1(p ≥12).(3)依题意,知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此所求轨迹方程为y 2=-8x.对点训练3解(1)设点P (x 1,y 1),N (x ,y ),则M 的坐标为(x 1,0),且x=x 1, 所以pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 1,y-y 1)=(0,y-y 1), pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-x ,-y )=(0,-y ), 由pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λpp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得(0,y-y 1)=λ(0,-y ). 所以y-y 1=-λy ,即y 1=(1+λ)y.因为点P (x 1,y 1)在椭圆p 24+y 2=1上,所以p 124+p 12=1,所以p 24+(1+λ)2y 2=1,故p 24+(1+λ)2y 2=1为所求的N 点的轨迹方程.(2)要使点N 的轨迹为圆,则(1+λ)2=14,解得λ=-12或λ=-32.故当λ=-12或λ=-32时,N 点的轨迹是圆.对点训练4y=2x-2 设点C (x ,y ),则pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t (pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t ,2t ),所以{p =p +1,p =2p ,消去参数t 得点C 的轨迹方程为y=2x-2.对点训练5解(1)连接OQ ,直线PQ 与圆O 相切于点Q ,则OQ ⊥PQ.又|OQ|=|PQ|=2,则|OP|=2√2.又点Q 在第一象限,得P (2√2,0),Q (√2,√2).由M 为PQ 的中点,得M (3√22,√22),所以直线OM 的斜率为13.(2)设M (x ,y )(x ≠0),P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q ). 由|OQ|=|PQ|=2,可得x P =2x Q . 由M 为PQ 的中点,得x=p p +p p2=3p p 2,所以x Q =2p 3,x P =43x ,则P (4p 3,0),Q (2p 3,2p ),把Q(2p3,2p)代入x2+y2=4,整理得p29+y2=1,所以点M的轨迹方程为p29+y2=1(x≠0).。