第五章(电容元件与电感元件)
电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
第五章 一阶电路分析
符号和特性曲线：
q
斜率为C
i(t)+ q(t) + u(t) -
u
线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标原 点一条直线，否则为非线性电容。时 不变——特性曲线不随时间变化，否 则为时变电容元件。
线性非时变电容元件的数学表达式：
q(t) Cu(t)
系数 C 为常量，为直线的斜率，称 为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法[拉],用F表示。
形。
+ iC
1 iS
iS
uC C -
0 1t (b)
解：
1 0 t 1
iC(t ) iS (t ) 0
( A) t 1
0t 1
uC
(t)
uC
(0)
1 C
t
0 iC ()d
0.5 0.5t (V )
t 1
uC
(t
)
uC
(1)
1 C
t
1 iC ()d
1 (V )
1 uC 0.5
0
1
t
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
例５ 开关闭合已久,求电容初始值uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱 动的电路中，各电压电流均为不随时间 变化的恒定值，造成电容电流等于零， 电容相当于开路。得t=0－等效图
第五章 电容元件与电感元件.
1 2
Li2
1 ψ2 2L
结论
(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i，q- ，C-L互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶
元素。
电容器和电感器的模型
电容器模型（按照近似程度分） 0 级模型：不考虑损耗和产生的磁场。 I 级模型：考虑损耗不考虑产生的磁场。 II级模型：考虑损耗和产生的磁场。
i
i dq
dt
+
+ dq =Cduc
uc
C
–
–
i C duc dt
uc(
t
)
1 C
t
i
t
dt
uc
(
t
0
)
1 C
t
t 0
i
t
dt
例 5-1 5-2
2. 线性电容的充、放电过程
u,i i u
o
ωt
i ii i
+ u
+u
u
u
- -++
(1) u>0，du/dt>0，则i>0，q , 正向充电(电流流向正极板)；
1 2
Li 2 (t 2)
1 2
Li 2 (t1)
wL( t2 ) wL( t1 )
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件充电，吸收能量
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件放电，释放能量
五、电感电流不能跃变（连续性）
电感 L 储存的磁场能量
wL
第5章 电路的暂态过程分析
第五章电路的暂态过程分析初始状态过渡状态新稳态t 1U Su ct0?动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。
上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
iRU SKCu C +_R i +_U S t =0一、什么是电路的暂态过程K 未动作前i = 0u C = 0i = 0u C = U s K 接通电源后很长时间C u C +_R i+_U S二、过渡过程产生的原因。
(1). 电路内部含有储能元件L 、M 、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成(2). 电路结构、状态发生变化支路接入或断开，参数变化(换路)三、动态电路与稳态电路的比较：换路发生后的整个变化过程动态分析微分方程的通解任意激励微分方程稳态分析换路发生很长时间后重新达到稳态微分方程的特解恒定或周期性激励代数方程一、电容元件§5-1 电容与电感元件uCi+_q i)()(t Cu t q =dtdu Cdt dq i ==任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比。
电荷量q 与两极之间电压的关系可用在q -u 平面上可用一条曲线表示，则称该二端元件称为电容元件。
二、电感元件+–u (t)i (t)Φ(t)N uLi+_()()()()t Li t d di t u t Ldt dtψψ===任何时刻，电感元件两端的电压与该时刻的电流变化率成正比。
Φi交链的磁通链与产生该磁通的电流的关系可用在Ψ-i 平面上可用一条曲线表示，则称该二端元件为电感元件。
§5-2 换路定则与初值的确定t = 0+与t = 0-的概念设换路在t =0时刻进行。
0-换路前一瞬间0+ 换路后一瞬间00(0)lim ()t t f f t -→<=00(0)lim ()t t f f t +→>=初始条件为t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值。
0-0+0tf (t )基本概念：一、换路定则1()()d tC u t i C ξξ-∞=⎰0011()d ()d t i i C C ξξξξ---∞=+⎰⎰01(0)()d tC u i C ξξ--=+⎰t = 0+时刻001(0)(0)()d C C u u i C ξξ++--=+⎰当i (ξ)为有限值时u C (0+) = u C (0-)电荷守恒结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
电路原理 (I)教案
电路原理(I)Circuit Principle (I)学分：4学时：64(其中：课堂教学学时：64 实验学时：0 上机学时：0 课程实践学时：0 )先修课程：高等数学、大学物理适用专业：电气信息类教材：《电路(新形态)》，朱孝勇，傅海军．机械工业出版社，2019年12月第1版课程网站：在爱课程网的国家级精品资源共享课栏目有江苏大学“电路原理”课程网络资源一、课程性质与课程目标(一)课程性质“电路原理(I)”课程是一门研究电路理论、电路分析方法的基础课程，它属于电气信息类专业的一门主要的技术基础课。
“电路原理(I)”是《电路原理》的第一部分内容，重点讲解电路理论的基本定理及基本分析方法，主要涉及直流电路分析(定律、方法及定理)、动态电路的时域分析、正弦交流电路的分析(含谐振、互感及三相)等方面的内容。
通过本课程的学习，使学生掌握电路理论的基本知识、基本分析计算方法，具备分析和解决电子、电气工程基础问题的能力，为学习后继相关课程准备必要的电学基础理论，为从事工程技术工作及科学研究打下坚实的电路理论基础。
“电路原理(I)”课程只包含理论授课，对应的实验课程另行单独开课。
(二)课程目标“电路原理(I)”的主要内容包含电路基本概念和电路定律、电阻电路的等效变换方法、电阻电路的分析方法、电路定理、动态电路的时域分析、正弦稳态电路分析、谐振电路、互感电路、三相电路分析与计算等。
课程目标分为知识目标和能力目标两个方面，分述如下：1．知识目标课程目标1.1熟练掌握基尔霍夫定律；掌握功率的计算；电阻、电压源以及电流源的伏安特性；课程目标1.2熟练掌握电阻的串联、并联和串并联等效；熟练掌握电源的等效变换方法；课程目标1.3熟练掌握回路电流法和结点电压法方程的列写；课程目标1.4 熟练掌握叠加定理及戴维宁定理；掌握最大功率传输定理的应用；课程目标1.5熟练掌握电容元件和电感元件的伏安关系，熟练掌握一阶电路的三要素法及其应用；了解二阶电路的物理特征与电路元件参数的关系；课程目标1.6熟练掌握相量法；熟练掌握正弦电流电路的稳态电压、电流以及功率的计算；课程目标1.7 掌握正弦电流电路的串联谐振和并联谐振的特征与计算；课程目标1.8 掌握具有耦合电感的电路的计算；掌握空心变压器和理想变压器的分析方法；课程目标1.9 熟练掌握对称三相电路线电压与相电压、线电流与相电流之间的关系，熟练掌握对称三相电路的分析与功率的计算。
电路分析基础 李瀚荪版 配套课件 第五章.
例3：通过4F电容的电流i，波形如图，试求电
容 电 压 uC ， 并 分 别 作 出 t≥0 ， t=0 ， t=-0.5s ， t=2/3s时的等效电路。
i/A 3
-1
0
t/s
-2
例 4 ： 电 路 如 图 ， 已 知 uC(t)=cos(2t)V ， C=1F ， R=1Ω，受控源电压u(t)=2iC(t)，求uR(t)和is(t)。
t t0
表明：
it
C
du dt
①某一时刻电容的电流i取决于该时刻电容电压u 的变化率，而与该时刻电压u的大小无关。电 容是动态元件；
②当u为常数(直流)时，i=0。直流电路中，电容 相当于开路，故电容有隔直流的作用；
it
=
C
du dt
③实际电路中通过电容的电流i(t)为有限值，则 du/dt为有限值，电容电压uc(t)是时间的连续 函数，即
电容元件 电感元件 电容与电感的对偶性 电容电感元件的串联与并联
电容元件
（实际）电容器
在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号 电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集 下去，是一种储存电能的部件。
金属极板
电介质
金属极板
电容元件
储存电能的二端元件。任意时刻t，其电荷q(t)与端 电压u(t)之间的关系能用q-u平面上的曲线描述， 则称为电容元件，简称电容。
q
f u q = 库伏特性
O
u
线性时不变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成
正比，q~u特性曲线是通过原点的一条直线，且
不随时间变化。
电路分析基础5电容与电感
例1：电压源的波形为三角波，求电容电流和电压波形。
du ( t ) du ( t ) c u ( t ) u ( t ) i C C c dt dt
若取 t0 0 ，则
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第二篇 动态电路的时域分析
前面学习的是电阻电路的分析方法。电阻 电路用代数方程描述，电路在任意时刻的 响应只与同一时刻的激励有关，而与过去 的激励无关，这也称为无记忆或即时的。 许多实际电路不可避免的要包含电容和电 感元件，其电压电流关系涉及对电流、电 压的微分或积分，因而称动态元件。
+ u(t) _
1、0→0.25ms时
+ uc_ (t) C=1uF i(t)
du ( t ) 100 3 5 10 4 10 dt 0 . 25
100
u/V
0. 5 0.75
0.25
du ( t ) 6 5 i C 1 10 4 10 0 . 4 A dt
du ( t ) p ( t ) u ( t ) i ( t ) Cu ( t ) dt
瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电 容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0 时，说明电容是在提供能量，处于放电状态。 对上式从－∞到 t 进行积分，即得 t 时刻电容 的储能为： t u (t)
1t u ( t ) u ( 0 ) i ( ) d 0 C 1t u ( 0 ) 2 d 0 t t 20
电容与电感-PPT课件
已知电流 i，求电荷 q ，反映电荷量的积储过程
q ( t) i( )d
t
物理意义：t 时刻电容上的电荷量是此刻以前由电流 充电（或放电）而积累起来的。所以某一瞬刻的电荷 量不能由该瞬间时刻的电流值来确定，而须考虑此刻 以前的全部电流的“历史”，所以电容也属于记忆元 件。对于线性电容有
并联电容的总电荷等于各电容的电荷之和，即
q q q q ( C CC ) u C u 1 2 N 1 2 N e q
q q q q ( C CC ) u C u 1 2 N 1 2 N e q
所以并联等效电容等于各电容之和，等效电路如 图 所示
12 u 32 V 24V u 32 V u 8 V 1 2 1 ( 12 4 )
所以两个电容储存的电场能量分别为：
1 2 w 1 4 4 J ; 1 Cu 1 1 2
1 2 w2 C2u2 8J 2
例5.2、设 0.2F 电容流过的电流波形如图 (a)所示，已知 u(0)=30V 。试计算电容电压的变化规律并画出波形。
同时电容的输入功率与能量变化关系为:
p d we d t
电容储能随时间 的增加率
反之截止到 t 瞬间，从外部输入电容的能量为 ：
t
t d u 1 2 u ( t ) w ( t ) p ( ) d ( C u ) d C u d u C u 5 . 9 ) e u ( ) ( d 2 t
i + u
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题
(续 )
5-9
（4） t ≥ 0时的等效电路
i1(t) u1(t)
+
i1/A
+
+
4F
3
u(t)
0.5V
-
-
0
1
2
t/s
i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
第二节
电感元件
电感元件是实际电感器的理想化模型。它只具有产生磁通、 从而存储磁场能量的作用。 储能元件
1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁
例题
q(t) i(t) + u(t) i/A
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示， 电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。 C -
试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t≥0； (3) u(1)和u (－ 0.5)； (4) 作出t≥0时该电容的等效电路。
3 2 1 -1 0 1 2 3
线性化
i
iL
u
L
iL (t 0 ) I 0
4、电感元件的能量
1）瞬时功率
pL ui
电流和电压取一致参考方向时：
当pL>0时，电感吸收功率；当pL<0时，电感发出功率。
电感的储能过程： （1）当pL>0时，wL增加，外电路供给电感能量； （3）当pL=0时，wL为常数，电感元件储能保持不变， 与外电路间无能量交换
t t0
一个初始电压为U0的电容，可等效为一个初始电压为 0的电容与电压源U0相串联的电路。 线性化
a
+ u (t) b i (t ) c + u c (t) - u c ( t 0 ) U0 a i(t) + uc( t ) + b
+ u1 ( t ) - u1 (t 0 ) 0
u s U0
d i(ξ)
t1
u(ξ)i(ξ) d ξ
t1
dξ
i(t2)
i(t1)
Lidi
1 2 Li 2
1 1 2 Li(t2) - L i(t1)2 2 2
t2时刻 的能量 t1时刻 的能量
2）电感元件的储能
1 2 wL (t ) Li L (t ) 0 2
电感储能公式
上式表明：
通 与流过它的电流i之间的关系是由-i平面（或i平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感 元件(inductor)。这条曲线称韦安特性曲线。 线性非时变电感元件 特性方程
i
Li
L
L
O
u
i
i
线性电感元件的磁通链Ψ与电流i的比值为常量，称为 感应系数，简称电感，单位为亨H。
2.电感元件的VCR
解
（1）根据已知条件，t≤0时 仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。
t/s
1 0 2 u (0) 2dt 0.5V 4 1 4
u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。
例题
(续 )
5-8
（ 2） t ≥ 0时
1 t u (t ) u (0 ) 3dt (0.5 0.75t ) V 4 0
t≥0时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了t≤0电流对t ≥ 0时u（t）的影响。
（3） t 1s属t 0, 故得 u (1) (0.5 0.75 1) V 1.25V
t 0.5s属t 0, 故得 1 0.5 u ( 0.5) 2dt 0.25V 1 4
三、电容的储能
1、电容的瞬时功率 关联方向时电容吸 收的功率为： p=i(t)u(t)， 有时为正，有时为负。
a i (t )
u (t )
+
b
-
c u (t0)=U0
正值表示电容吸收功率，而负值表示释放功率，即 将吸收的功率退还给电源或电路的其他部分。 这与电阻功率总是正值是不同的，电阻总是消耗功 率，而电容元件是不消耗功率的。
u
i L
电感VCR的微分形式
Li
动态特性：
d di u L dt dt
（线性时不变电感）
t 时刻的电感电压 u 取决于该时刻电感电流 i 随时间t的变化率，称为动态元件。
通直流特性：
电感元件对直流电流短路。
电感VCR的积分形式
1 t 1 t0 1 t 1 t i u ( )d u ( )d u ( )d i (t0 ) u ( )d L L L t0 L t0
3、在t1到t2期间供给电容的能量只与时刻 t1和t2的电 压值 u(t1)和u(t2)有关。A、与过程无关； B不能突变； C、与电流无关；D、u为电容的状态变量。
3、电容的充放电
电容元件充电时，|u（t2）|＞|u（t1）|，w（t2） ＞w（t1），故在此时间内元件吸收能量； 电容元件放电时，|u（t2）|＜|u（t1）|，w（t2） ＜w（t1），故在此时间内元件释放能量。 电容在充电时吸收并储存的能量一定在放电完毕时 全部释放，它不消耗能量，是不耗能元件。 同时，电容元件也无法释放出多于它吸收并储存的 能量，所以它又是一种无源元件。
（2） 掌握线性时不变电容和电感的主要电学特性
（3） 理解电容和电感的对偶特性
§5-1 电容元件
一、电容元件
电容元件是实际电容器的理想化模型。它只具有存储 电荷、从而存储电场能量的作用，是一种储能元件。
其参数为电容C：
q C u
注：任何两个彼此绝缘又相互靠近的导体就可构成一个电容器。
1、电容元件定义
du( t ) 4 、由于 i(t)为有限值， dt
也为有限值，所以电容两
端的电压不能跃变——连续性。
二、电容元件的VCR（2）
也可以把电容的电压u(t)表示为电流i的函数。
1 得： u (t ) C
说明
t
i ( )d
电容元件VCR 的积分形式
1、上式从电荷积累的角度描述了电容的VCR。表明： 在某一时刻t电容电压的数值u(t)取决于从-∞到t所 有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有 关—记忆性。
第二篇 动态电路的时域分析
第二篇包含第五章~第七章共三章，讨论动态电路的时 域分析方法，即研究如何求解动态电路中各支路的电路 变量。任何一个集总电路都必须服从两类约束。对动态 电路来说，还需包含动态元件的VCR。
第五章
第六章
第七章
动态元件
一阶电路
二阶电路
第五章
动态元件
基本要求：
（1）掌握电容元件和电感元件的定义及其VCR
（2）当pL<0时，wL减少，电感中的磁场能返回给外电路；
t p(ξ)dξ 电感的能量wL应为功率对时间t的积分。wC(t)= ∞ 从时刻t1到t2电感元件吸收的能量为：
wL ( t1-t2 )
t2
t1
t2
p(ξ) d ξ L i(ξ) d ξ
i(t2) i(t1)
t2
说明
4、电容电压增量
1 u (t ) C
t
i ( )d
1 u (t t ) C
t t
i ( )d
1 u u (t t ) u (t ) C
t t
t
i ( )d
由于i是有限量(i有界)，所以Δ t→0时， Δ u→0 这再次说明了电容电压是连续量。即电容两端电压 不可突变。
说明
2、考察电路往往只需了解在某一任意选定的初始时刻 t0以后电容电压的情况，则上式可改写为：
1 u (t ) C
1 i ( )d C
t0
t
t0
i ( )d
1 u (t ) u ( t 0) C
t
t0
i ( )d
t t0
u（t0）累计了t=t0以前所有时刻电流 i 的作用，称 为电容的初始电压。
电阻电路的特点：当激励作用到电路的瞬间，电路 中会产生即时响应，并且如果激励是常量响应也是常 量，t时刻的响应仅与t时刻的激励有关，无记忆性！
第二篇 动态电路的时域分析
实际电路中，不可避免的存在另一类元件: 如电感、 电容，这些元件的的电流或电压关系涉及到对时间的微 分或积分，其 VCR 为以电流或电压为变量的 微分方程 ， 故称其为动态元件。（动态仅指其过渡过程） 把至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。在线 性非时变的条件下，其描述方程是线性常微分方程。 若电路中只包含一个动态元件，可以用一阶微分方程 描述，此时电路常称为 一阶电路 。一般而言，若电路 中包含有 n 个独立的动态元件，可以用 n 阶微分方程描 述,此电路称为n阶电路。
C -
3、电容器的实际模型
实际电容器与电容元件存有不同，除了具有电容元 件的储能性质外，还有一些漏电现象，因此，电容器的 模型，还应包括漏电阻元件。
C
RC
C
ESR
二、电容元件的VCR（1）
关联参考方向下，对线性非时变电容，得：
q(t) = Cu(t)
dq(t) i(t) dt
说明
故得： i (t ) C du(t )
dt
电容元件VCR的微分形式
1、上式从电荷变化的角度描述了电容的VCR。由上式
可知：在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压
的变化率，所以电容元件称为动态元件。
说明
du(t ) i (t ) C dt
2 、如电容电压不变（直流电压），则电流为零，相 当于开路，此为电容的隔直流效应（隔直通交特性）。 3 、如电容电压变化，则电流不为零，电压变化越快， 电流就越大。