2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数
2012年高考数学 05 三角函数试题解析 教师版 文
2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题05 三角函数--教师版一、选择题:1.(2012年高考某某卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真2.(2012年高考某某卷文科8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)23- (B)0 (C)－1 (D)13--3.（2012年高考某某卷文科6）已知sin cos 2αα-=α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) 22- (C)22(D) 1 【答案】A 【解析】2sin cos 2,(sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【考点定位】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题.4. (2012年高考某某卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32AC ＝A.333325. （2012年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π46. (2012年高考某某卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 【考点定位】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。
【数学】2012新题分类汇编：三角函数(高考真题+模拟新题)
三角函数(高考真题+模拟新题)课标理数10.C1[2011·江西卷] 如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )图1图2课标理数10.C1[2011·江西卷] A 【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处位置为点M ′，则大圆圆弧AM 与小圆圆弧AM ′相等．以切点A 在劣弧MB 上运动为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧AM 的长为l 1＝θ×1＝θ，小圆圆弧AM 1的长为l 2＝2θ×12＝θ，即l 1＝l 2，∴小圆的两段圆弧AM ′与AM 1的长相等，故点M 1与点M ′重合，即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动． 点A 在其他象限类似可得，M 、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项A 符合．故选A.课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.课标文数14.C1[2011·江西卷] －8 【解析】 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，∵sin θ＝－255，∴sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数 5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 大纲文数14.C2[2011·全国卷] －55 【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. 大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 43 【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标文数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )图1－7A ．2＋ 3 B. 3C.33D ．2－ 3 课标文数12.C3[2011·辽宁卷] B 【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B.课标文数15.C4[2011·安徽卷] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 课标文数15.C4[2011·安徽卷] 【答案】 ①③【解析】 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2，因为对一切x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1.故φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6()k ∈Z .故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 对于①，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0，或f ⎝⎛⎭⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确； 对于②，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 17π30 ＝a 2＋b 2sin 17π30.所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误； 对于③，由解析式f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6时，⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )是f (x )的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b |>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交．故⑤错．课标理数9.C4[2011·安徽卷] 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 课标理数9.C4[2011·安徽卷] C 【解析】 对x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z . 因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝s in(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0.所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，答案为C.大纲理数5.C4[2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9大纲理数5.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.大纲文数7.C4[2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 大纲文数7.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.课标理数16.D3，C4[2011·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．课标数学16.D3，C4[2011·福建卷] 【解答】 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.课标理数3.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 课标理数3.C4[2011·湖北卷] B 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 课标文数6.C4[2011·湖北卷] A 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标理数 6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.23课标理数6.C4[2011·山东卷] C 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标文数 6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3课标文数6.C4[2011·山东卷] B 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )为增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________．图1－1课标数学9.C4[2011·江苏卷]62【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62.课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数课标文数7.C4[2011·天津卷] A 【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增．课标文数18.C4[2011·浙江卷] 【解答】 (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12， 解得A 2＝3，又A ＞0，所以A ＝ 3.课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B . 又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C .故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数6.C5[2011·浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 课标理数6.C5[2011·浙江卷] C【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.大纲理数14.C6[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan2α＝________. 大纲理数14.C6[2011·全国卷] －43 【解析】 ∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－255，则tan α＝－12，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数 5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标理数7.C6[2011·辽宁卷] 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79课标理数7.C6[2011·辽宁卷] A 【解析】 sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ.由于sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79，故选A.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标数学7.C6[2011·江苏卷] 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x的值为________．课标数学7.C6[2011·江苏卷] 49【解析】因为tan⎝⎛⎭⎫x＋π4＝2，所以tan x＝13，tan2x＝2×131－19＝2389＝34，即tan xtan2x＝49.课标理数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫13x－π6，x∈R. (1)求f⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．课标理数16.C7[2011·广东卷] 【解答】(1)f⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin⎝⎛⎭⎫13×54π－π6＝2sinπ4＝ 2.(2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin⎣⎡⎦⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sinβ＝1－cos2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝35×1213－513×45＝1665.课标文数16.C7[2011·广东卷]已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫13x－π6，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．课标文数16.C7[2011·广东卷] 【解答】(1)f(0)＝2sin⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sinπ6＝－1.(2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin13×(3β＋2π)－π6＝2sinβ＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数15.C7[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小． 课标理数15.C7[2011·天津卷] 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．课标文数16.C8[2011·安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A ＝32.再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22.由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋12.设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12.课标理数14.C8[2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．课标理数14.C8[2011·安徽卷] 153 【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.课标理数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.课标理数9.C8[2011·北京卷] 255210【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 255＝522，可得a ＝210.课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.课标文数9.C8[2011·北京卷] 523 【解析】 由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 13＝522，得a＝523.大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B . 又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C .故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 大纲文数18.C8[2011·全国卷] 【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a ＝b ×sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.课标理数14.C8图1－5[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．课标理数14.C8[2011·福建卷] 【答案】 2 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有AD sin C ＝ACsin ∠ADC， ∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2.课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．课标文数14.C8[2011·福建卷] 2 【解析】 方法一：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. 由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2.方法二：由S △AB C ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. ∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.课标理数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标理数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标文数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标文数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数17.C8[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．课标理数17.C8[2011·江西卷] 【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sinC2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标理数4.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2课标理数4.C8[2011·辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B得a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 课标文数17.C8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．课标文数15.C8[2011·课标全国卷] 1534 【解析】 解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝ABsin C，即7sin120°＝5sin C， 所以sin C ＝5sin120°7＝5314，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， 所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有cos120°＝52＋x 2－7210x，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．课标文数17.C8[2011·山东卷] 【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B.所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1， 因此b ＝2.课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理． 课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，。
2012年高考真题文科数学汇编4：三角函数.pdf
一、主要内容：东胜神州傲来国有一花果山，山顶一石，产下一猴。
石猴求师学艺，得名孙悟空，学会七十二般变化，一个筋斗去可行十万八千里，自称"美猴王"。
他盗得定海神针，化作如意金箍棒，可大可小，重一万三千五百斤。
又去阴曹地府，把猴属名字从生死簿上勾销。
玉帝欲遣兵捉拿，太白金星建议，把孙悟空召入上界，做弼马温。
当猴王得知弼马温只是个管马的小官后，便打出天门，返回花果山，自称"齐天大圣"。
玉帝派天兵天将捉拿孙悟空，美猴王连败巨灵神、哪咤二将。
孙悟空又被请上天管理蟠桃园。
他偷吃了蟠桃，搅闹了王母娘娘的蟠桃宴、盗食了太上老君的金丹，逃离天宫。
玉帝又派天兵捉拿。
孙悟空与二郎神赌法斗战，不分胜负。
太上老君用暗器击中孙悟空，猴王被擒。
经刀砍斧剁，火烧雷击，丹炉锻炼，孙悟空毫发无伤。
玉帝请来佛祖如来，才把孙悟空压在五行山下。
如来派观音菩萨去东土寻一取经人，来西天取经，劝化众生。
观音点化陈玄奘去西天求取真经。
唐太宗认玄奘做御弟，赐号三藏。
唐三藏西行，在五行山，救出孙悟空。
孙悟空被带上观世音的紧箍，唐僧一念紧箍咒，悟空就头疼难忍。
师徒二人西行，在鹰愁涧收伏白龙，白龙化作唐僧的坐骑。
在高老庄，收伏猪悟能八戒，猪八戒做了唐僧的第二个徒弟；在流沙河，又收伏了沙悟净，沙和尚成了唐僧的第三个徒弟。
师徒四人跋山涉水，西去求经。
观音菩萨欲试唐僧师徒道心，和黎山老母、普贤，文殊化成美女，招四人为婿，唐僧等三人不为所动，只有八戒迷恋女色，被菩萨吊在树上。
在万寿山五庄观，孙悟空等偷吃人参果，推倒仙树。
为了赔偿，孙悟空请来观音，用甘露救活了仙树。
白骨精三次变化，欲取唐僧，都被悟空识破。
唐僧不辨真伪，又听信八戒谗言，逐走悟空，自己却被黄袍怪拿住。
八戒、沙僧斗不过黄袍怪，沙僧被擒，唐僧被变成老虎。
八戒在白龙马的苦劝下，到花果山请转孙悟空，降伏妖魔，师徒四人继续西行。
乌鸡国国王被狮精推人井内淹死，狮精变作国王。
2012年高考试题分项解析数学(文科)——专题05三角函数(教师版)
2012年高考试题分项解析数学（文科）专题05 三角函数(教师版)一、选择题:1.(2012年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 (A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真2.(2012年高考山东卷文科8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1-3.（2012年高考辽宁卷文科6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) (C) (D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【考点定位】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题.4. (2012年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A. B. C.D.5. （2012年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π46. (2012年高考浙江卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 【考点定位】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。
高考数学试题解析 分项版之专题05 三角函数 教师版 文
2012年高考数学试题解析 分项版之专题05 三角函数 教师版 文一、选择题:1.(2012年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 (A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真2.(2012年高考山东卷文科8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1--3.（2012年高考辽宁卷文科6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) (D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【考点定位】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题.4. (2012年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A. 25. （2012年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π46. (2012年高考浙江卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 【考点定位】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。
2012年数学文科高考题分类专题三 三角函数、解三角形
专题三 三角函数、解三角形1.(2012·高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3C. 3D.322.(2012·高考浙江卷)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )3.(2012·高考安徽卷)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位4.(2012·高考湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3945.(2012·高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.436.(2012·高考江西卷)已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 15)，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1 7.(2012·高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48.(2012·高考重庆卷)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.329.(2012·高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．10.(2012·高考课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .11.(2012·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(Ⅰ)求sin C 和b 的值；(Ⅱ)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值．12.(2012·高考广东卷)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛x4⎭⎫＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017， f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．13.(2012·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．14.(2012·高考湖南卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．15.(2012·高考辽宁卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．16.(2012·高考重庆卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．专题三 三角函数、解三角形1.B 根据正弦定理，BC sin A ＝ACsin B ，则AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3.2.A y ＝cos2x ＋1⇒y ＝cos x ＋1⇒y ＝cos(x ＋1)＋1 ⇒y ＝cos x ＋1，故选A.3.C y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos(2x ＋1)或y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)．4.B由余弦定理得12＝4＋AB 2－72×2AB，解得AB ＝3，∴BC 边上的高h ＝AB ·sin60°＝332.5.B 由已知：2sin α＋2cos α＝sin α－cos α. ∴sin α＝－3cos α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2×（－3）1－9＝34.6.C f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π42＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2.∴f (lg 5)＋f ⎝⎛⎫lg 15 ＝12[1＋sin(2lg 5)]＋12[1＋sin(－2lg 5)]＝1. 7.D 由题意知c ＝b －1，a ＝b ＋1.由3b ＝20a ·cos A ，得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得7b 2－27b －40＝0， 解得b ＝5，则a ＝6，c ＝4.8.C 原式＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝12.9.17250 根据cos(α＋π6)＝45， cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×1625－1＝725，因为cos(2α＋π3)>0，所以sin(2α＋π3)＝1－（725）2＝2425，因为sin(2α＋π12)＝sin[(2α＋π3)－π4]＝sin(2α＋π3)cos π4－cos(2α＋π3)sin π4＝17250.10.解：(Ⅰ)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(Ⅱ)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.11.解：(Ⅰ)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1.(Ⅱ)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218.12.解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，解得A ＝2.(2)f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2 sin α＝－3017，即sin α＝1517，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2 cos β＝85， 即cos β＝45.因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.13.解：(Ⅰ)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝ bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(Ⅱ)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.14.解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2 (12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .15.解：(Ⅰ)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(Ⅱ)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C ＝34.16.解：(Ⅰ)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2）＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos2x＋1(cos2x≠12)．因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠12，故g(x)的值域为[1，74)∪(74，52]．。
2012年高考试题数学文科汇编4三角函数
2012高考试题分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移 12个单位 （D ） 向右平移12个单位 【答案】C2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 【答案】A3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1--【答案】A4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524【答案】B6.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）B ）12-（C ）12（D 【答案】C7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）（1）10B 、10C 、10D 、15【答案】B10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B)- (D) 1 【答案】A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
2012年高考数学分类汇编：三角函数
2012年高考数学分类汇编三角函数一、选择题 1 ．（2012年高考（浙江文理））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是 2 ．（2012年高考（天津文））将函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是 （ ）A ．13B ．1C ．53D ．2 3 ．（2012年高考（四川文））如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A BC D4 ．（2012年高考（山东文））函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为 （ ）A ．2B ．0C ．-1 D ．1--5 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=α∈(0,π),则sin 2α= （ ） A ．-1B ．C D ．16 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π47．（2012年高考（福建文））函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-8．（2012年高考（大纲文））若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ= （ ） A ．2πB ．23π C ．32π D ．53π9．（2012年高考（安徽文））要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象 （ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 10 ．（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]二、解答题11．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.12．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x 轴上的伸缩变换,在x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,选A.2. 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.3. [答案]B[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 4. 解析:由90≤≤x 可知67363ππππ≤-≤-x ,可知]1,23[)36sin(-∈-ππx ,则2sin [63x y ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则最大值与最小值之和为2答案应选A. 5. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.6. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈),∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.7. 【答案】C【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法.8.答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,.【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知,y 轴是函数()f x 图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故3(0)sin 13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈,而[]0,2ϕπ∈,故0k =时,32πϕ=,故选答案C. 9. 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移1210、【解析】选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另:()22πωππω-≤⇔≤,3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得:315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤二、11. 【答案】:(Ⅰ)6πϕ=(Ⅱ)775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈,且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]44212. 解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π= ∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+(2)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-=∵02πα<<,∴663πππα-<-<∴66ππα-=,故3πα=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012高考文科试题解析分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移 12个单位 （D ） 向右平移12个单位 【答案】Ccos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移122.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈）， ∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1(D)1-【答案】A考点：三角函数图像与性质 解析:1262==ππT，函数定义域为[0,9],所以，根据三角函数图像最大值为2)5(=f ，最小值为3)0(-=f，最大值与最小值之和为24.【2012高考全国文3】若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。
【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知，y 轴是函数()f x 图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故3(0)sin 13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈，而[]0,2ϕπ∈，故0k =时，32πϕ=，故选答案C 。
5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524-（B ）2512- （C ）2512 （D ）2524【答案】A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。
【解析】因为α为第二象限角，故cos 0α<，而3s i n 5α=，故4c o s n 5α==-，所以24sin 22sin cos 25ααα==-，故选答案A 。
6.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）2-（B ）12-（C ）12 （D ）2【答案】C【解析】：sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。
【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sinsin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）（1）10B 、10C 、10D 、15【答案】B1010cos 1sin 10103ECED 2CD-EC ED CED cos 1CD 5CB AB EA EC 2AD AE ED 11AE ][22222222=∠-=∠=∙+=∠∴==++==+=∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) 2-(C)2(D) 1【答案】A【命题意图】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
11.【2012高考江西文4】若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A. -34B. 34C. -43D. 43【解析】先利用同角函数间的关系求出tan α，再利用二倍角公式求出tan 2α. 因为sin cos 1sin cos 2αααα+=-，所以2(s i n c o s )s i n c o αααα+=-，则s i n 3c o s αα=-，所以s i n t a n3c o s ααα==-.故22tan 3tan 21tan 4ααα==-.故选B. 【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，二倍角公式等. 体现了考纲中要求会进行简单的恒等变换，来年关于恒等变换的考查可能会涉及到和与差的三角函数公式. 熟练掌握三角公式，灵活变换是解决这类问题的关键.12.【2012高考江西文9】已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1【答案】C【解析】先利用三角恒等变换化简()f x 函数解析式，再通过换元寻找,a b 之间的数量关系.因为()21c o s 21s i n 22s i n 422x x f x ππθ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，不妨令lg5t=，则1lg 5t =-，所以()()1s i n 2l g 52t a f f t +===，()11sin 2lg 52t b f f t -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以1a b +=.故选C. 【点评】本题考查三角恒等变换，二倍角公式以及换元思想，综合性较强，体现了考纲中对于综合能力的考查解决，来年这种题型仍必不可少，涉及知识点多种多样，主要考查考生的综合素质.本题的难点在于三角函数的变换，熟练掌握三角函数的各种公式，并能灵活应用是解题的关键.13.【2012高考湖南文8】 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A．2B.2C.2D.4【答案】B 【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60cc =+-⨯⨯⨯ ，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCS AB BC B BC h == ，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2h =.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.14.【2012高考湖北文8】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4 【答案】D【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.15.【2012高考广东文6】在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠=，BC=AC =A.B. C. D.2【答案】B由正弦定理得：sin sin sin 45BC AC ACAC A B ︒=⇔=⇔=16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π【答案】C ．考点：三角函数的对称性。
难度：中。
分析：本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。
解答：令)(24Z k k x∈+=-πππ，则)(43Z k k x ∈+=ππ,当1-=k时，4π-=x 。
17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2【答案】D【解析】函数向右平移4π得到函数)4s in()4(s in )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(s in =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D. 【答案】D二、填空题18.【2012高考江苏11】（5分）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。
【解析】∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++。
∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。