最小二乘拟合实验报告材料
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
最小二乘法的实验报告
最小二乘法的实验报告最小二乘法的实验报告引言：最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和求解最优解。
它适用于各种领域，如统计学、经济学、工程学等。
本实验旨在通过实际案例，探讨最小二乘法在实际问题中的应用和效果。
一、实验目的本实验旨在通过最小二乘法，对一组实际数据进行拟合，得出最佳拟合曲线，并分析拟合结果的合理性和可靠性。
二、实验材料与方法1. 实验材料：- 一组实际数据：包含自变量和因变量的数据对。
- 计算机软件：如MATLAB、Python等，用于进行最小二乘法计算和绘制拟合曲线。
2. 实验方法：- 数据处理：对实际数据进行预处理，包括数据清洗、异常值处理等。
- 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适当的拟合模型。
- 参数估计：利用最小二乘法，求解模型参数的最优估计值。
- 拟合效果评估：通过计算残差平方和、确定系数等指标，评估拟合效果的好坏。
三、实验过程与结果1. 数据处理：在本实验中，我们选择了一组汽车销量与广告投入的数据。
首先，我们对数据进行了清洗，排除了异常值和缺失值。
2. 模型选择：根据实际问题和数据特点，我们选择了线性模型进行拟合。
即假设广告投入与汽车销量之间存在线性关系。
3. 参数估计：利用最小二乘法，我们求解了线性模型的参数估计值。
具体计算过程如下： - 建立线性模型：y = β0 + β1x，其中y表示汽车销量，x表示广告投入。
- 最小化残差平方和：min Σ(yi - (β0 + β1xi))^2，其中yi为实际销量，xi为实际广告投入。
- 对β0和β1求偏导，并令偏导数为0，得到最优解的估计值。
4. 拟合效果评估：通过计算残差平方和和确定系数等指标，我们评估了拟合效果的好坏。
结果显示，残差平方和较小，确定系数较接近1，表明拟合效果较好。
四、实验讨论1. 拟合效果的合理性：通过对拟合效果的评估，我们认为拟合结果较为合理。
然而，我们也要注意到，拟合结果仅仅是对观测数据的一个估计，并不能完全代表真实情况。
最小二乘拟合实验报告
实验名称： 最小二乘拟合1 引言在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m =出发，寻求函数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟合的问题。
多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。
首先，由实验提供的数据往往有测试误差。
如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。
其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。
在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类问题。
定义()i i i x y δϕ=-为拟合函数在i x 处的残差。
为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。
在最小二乘法中，我们选取()x ϕ，使得偏差平方和最小，即2211[()]min mmi i i iix y δϕ===-=∑∑，这就是最小二乘法的原理。
2 实验目的和要求运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。
以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。
数据如下：3 算法原理与流程图（1） 原理最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2,,)i i x y i m =，要求存在某个函数类01{(),(),()}()n x x x n m ϕϕϕΦ=<中寻求一个函数：****0011()()()()n n x a x a x a x ϕϕϕϕ=+++，使得*()x ϕ满足*22()11[()]min[()]nni i i i x iix y x y ϕϕϕ∈Φ==-=-∑∑。
根据以上条件可知，点***01(,,,)n a a a 是多元函数2011(,,,)[()]m nn k k i i i kS a a a a x y ϕ===-∑∑ 的极小点，从而***01,,,na a a 满足方程组 0(0,1,,)kSk n a ∂==∂即00111111()()()()()()()mmmmk i i k i i n k i n i k i i i i i ia x x a x x a x x x y ϕϕϕϕϕϕϕ====+++=∑∑∑∑， 记1(,)()()mi i ih g h x g x ==∑，则上述方程组可表示成0011(,)(,)(,)(,)k k n k n k a a a f ϕϕϕϕϕϕϕ+++=，(k=0,1,…，n)写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，这个方程组成为法方程组，可以证明，当01(),(),()n x x x ϕϕϕ线性无关时，它有唯一解。
最小二乘法实验报告
MA ATLAB 实现最小 实 小二乘多项式拟合 合实验报 报告某田水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间是否 否有一个确定 定性的关系？ 在 7 块并排，形状大小相 相同的试验田 田上进行施肥 肥量对水稻产 产量影响的实 实验。
得到如 如下的一组数 数据。
施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 2 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 5目标：用最小 小二乘方法求 求得水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间的确 确定性关系。
首先描点作图460440420400380360340320 15202530354045点分布呈现“S”型，考 考虑用多项式 式函数拟合 写出最小二乘 乘拟合的函数 数形式： function [A]= =leastsquaren nihe(X,Y,n,w) mx=size(X,2 2); my=size(Y,2) ); if mx~=my error('D Data not enoug gh.X and Y dismatch.'); d end m=mx; if nargin==3 w=ones(1,m); end Q=zeros(n+1 1,1); P=zeros(n+1,n+1); f=@(x,p,y,q,w,t)(x(t)^p)*(y(t)^q)*w(t) ); for i=1:n+1 for j=1:n n+1 sum m=0; for r t=1:m sum=sum+ +f(X,i-1,X,j-1 1,w,t); end d P(i i,j)=sum; end sum=0; for t=1:m m sum m=sum+f(X,i i-1,Y,1,w,t); end Q(i,1)=s sum; end A=P\Q; xx=min(X):0 0.01:max(X); yy=zeros(1,s size(xx,2)); for i=1:size(x xx,2) for j=1:n n+1 yy( (i)=yy(i)+A(j j)*xx(i)^(j-1) ); end end plot(X,Y,'r.'); ; hold on; plot(xx,yy); title('最小二乘法多项式拟 拟合'); xlabel('x'),yla abel('y'); X=[15 20 25 30 35 40 45] ] Y=[330 345 365 405 445 450 455] 运行结果如下 下： 4 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+002 * 6.084523 3809758176 -0.423712121248494 0.020787 7878789875 -0.000351515151561 0.000001 1818181819 即对应的函数 数关系式为： ：y=608.4523 38-42.37121x+2.07879x2-0.03515 x3+0 0.00018x4最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x3540455 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+003 * -1.756547676480133 0.416562 2132318929 -0.032046212944121 0.001184 4015180810 -0.000020818182321 0.000000 0140000003 即函数关系式 式为 y=-1756.54768+416.5621 13x-32.04621x2+1.18402x3+0.02082x4+0.00014 + x5 最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x354045。
实验4 最小二乘拟合法
实验名称实验4 最小二乘拟合法实验题目：在某化学反应里，测得某物的浓度y（单位：%）随时间t(单位：min)的变化数据如下：t y t y t y t y1 4.00 5 9.22 9 10.00 13 10.502 6.40 6 9.50 10 10.20 14 10.553 8.00 7 9.70 11 10.32 15 10.584 8.80 8 9.86 12 10.42 16 10.60理论上已知y与r间的关系为y=ae b/t,其中a>0和b<0为待定系数。
上式两端取对数可得ln y=ln a+b/t.做变量替换z=ln y,x=1/t,并记A=ln a,B=b,则有z=A+Bx.根据所测数据，利用最小二乘直线拟合法先确定系数A和B，进而给出y与t的关系。
实验目的：掌握最小二乘法，熟练掌握求函数的近似最小二乘拟合多项式.基础理论：在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据求出自变量x与因变量y的函数关系，这是a i为待定参数, 由于观测数据总有误差，且待定参数a i的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定点x i 上的误差,的平方和最小。
这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法。
实验环境：操作系统：Windows XP；实验平台：Visual C++ 6.0实验过程：附录：#include<stdio.h>int main(){double a0,a1,sumTi=0,sumTi2=0,sumRi=0,TiRi=0;double T[100],R[100];int n,m,i,j;printf("输入数据的个数n:");scanf("%d",&n);printf("输入各组数据T[i]与R[i]:\n");m=n;i=0;j=0;while(n--)scanf("%lf%lf",&T[i],&R[i++]);printf("%d\n",i);for(j=0;j<i;j++){sumTi+=T[j];sumRi+=R[j];sumTi2+=T[j]*T[j];TiRi+=T[j]*R[j];}a0=-(sumTi*TiRi-sumTi2*sumRi)/(m*sumTi2-sumTi*sumTi);a1=(m*TiRi-sumTi*sumRi)/(m*sumTi2-sumTi*sumTi);printf("a0=%.3lf a1=%.3lf\n",a0,a1);printf("最小二乘拟合曲线为:R=%.3lf+%.3lfT\n",a0,a1);return 0;}。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告最小二乘法实验报告引言最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计模型参数。
它通过最小化观测值与理论值之间的误差平方和，寻找最优解。
本实验旨在通过实际数据拟合的方式，探索最小二乘法的原理和应用。
实验步骤1. 数据采集在实验开始前，我们选择了一个简单的线性回归模型进行拟合。
为了收集数据，我们在实验室里设置了一个简单的装置，用于测量物体的运动距离和所需时间。
通过多次重复实验，我们得到了一组数据，包括物体运动距离和所需时间的测量值。
2. 数据处理在进行最小二乘法拟合之前，我们需要对数据进行处理。
首先，我们计算每次实验的平均速度，通过将运动距离除以所需时间得到。
然后，我们将平均速度作为自变量，所需时间作为因变量，得到一组有序的数据点。
3. 拟合模型接下来，我们使用最小二乘法来拟合线性回归模型。
线性回归模型可以表示为：y = a + bx，其中y是因变量（所需时间），x是自变量（平均速度），a和b是待估计的模型参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的a和b的估计值。
4. 拟合结果分析通过最小二乘法拟合得到的模型参数估计值，我们可以进一步分析拟合结果的准确性和可靠性。
首先，我们计算拟合优度，即拟合值与观测值之间的相关系数。
较高的拟合优度表明模型拟合效果较好。
此外，我们还可以计算参数估计的标准误差，用于评估参数估计值的可靠性。
结果与讨论在本实验中，我们使用最小二乘法对一组实际测量数据进行了线性回归拟合。
通过计算拟合优度，我们发现拟合效果较好，相关系数接近1。
这表明我们选择的线性回归模型较为合适，并且可以用于预测因变量（所需时间）。
此外，我们还计算了参数估计的标准误差。
标准误差是对参数估计值的精度进行评估的指标。
较小的标准误差表示参数估计值较可靠。
通过计算，我们发现参数估计值的标准误差较小，说明我们得到的模型参数估计值较为准确。
结论通过本实验，我们深入了解了最小二乘法的原理和应用。
《数学实验》实验报告——最小二乘法
《数学实验》实验报告１x=Table[10.0+5.0*i,{i,0,4}];y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];q[a_,b_,c_] :=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,1,5}]NSolve[{D[q[a,b,c],a]==0, D[q[a,b,c],b]==0,D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]t1=ListPlot[xy,PlotStyle->PointSize[0.02]];f[x_] :=27.56+ -0.0574286*x+0.000285714*x^2;t2=Plot[f[x],{x,5,35},AxesOrigin->{5,25}];Show[t1,t2]首先得到a，b，c三个值： {{a->27.56,b->-0.0574286,c->0.000285714}}然后得到同一坐标系下的数据点散点图及拟合函数的图形：试验过程（含详细试验步骤、程序清单及异常情况记录等）输入以下mathematica语句求解参数a,b,c:运行后可得解：２为求得数据点的散点图及拟合函数的图形，输入以下语句，并将两个图画在同一坐标下：运行得：３在最开始时，我输入的程序是这样的：x=Table[10.0+5.0*i,{i,0,4}];y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];q[a_,b_,c_] :=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,1,5}]NSolve[{D[q[a,b,c],a]==0, D[q[a,b,c],b]==0,D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]t1=ListPlot[xy,PlotStyle->PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity];f[x_] :=27.56+ -0.0574286*x+0.000285714*x^2;t2=Plot[f[x],{x,5,35},AxesOrigin->{5,25},DisplayFunction->Identity];Show[t1,t2, DisplayFunction->$ DisplayFunction]然而得到的结果没有图形（如下）：我比照了老师的讲义，改动了“DisplayFunction->Identity”，可是，结果还是一样，没有图形。
Matlab实验报告七(最小二乘拟合曲线拟合)
4.结论及分析
经过实验验证，结果正确，实验无误。
三、实验小结
通过本次实验我发现matlab的用处很广范，能解决生活中的很多问题，预测一些还未发生的事情，越来越感觉这门课用处很大，也渐渐地喜欢这门课了。
t Q K L
1900 1.05 1.04 1.05
1901 1.18 1.06 1.08
1902 1.29 1.16 1.18
1903 1.30 1.22 1.22
1904 1.30 1.27 1.17
1905 1.42 1.37 1.30
1906 1.50 1.44 1.39
1907 1.52 1.53 1.47
Qdata=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58];
x0=[0.2 0.3 0.3];
2.y=polyval（Βιβλιοθήκη ，x）：可用以计算多项式在x处的值y。
3.x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata)：用以求含参量x（向量）的向量值函数。
4.x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）：用以求含参量x（向量）的向量值函数。
【实验环境】
MatlabR2010b
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系 。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
（*）
式中 要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数 。
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工程学院
《计算方法》实验报告
课 程 名 称 计算方法 系 院 理 学 院 专 业 信息与计算科学 班 级 12级一班 学 生 姓 名 志辉 学 号 2012101316
《最小二乘求解》
1 引言
在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m 出发，寻求函
数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟
合的问题。
多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。
首先，由实验提供的数据往往有测试误差。
如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。
其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。
在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类
问题。
定义()i i i x y δϕ=-为拟合函数在i x 处的残差。
为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。
在最小二乘法中，我们选取()x ϕ，使得偏差平方和最小，即 2
2
1
1
[()]min m
m
i i i i i
x y δϕ===
-=∑∑，这就是最小二乘法的原理。
2 实验目的和要求
运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。
以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。
数据如下：
3 算法原理与流程图
（1） 原理
最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2,
,)i i x y i m =，要求存在某个函数类
01{(),(),
()}()n x x x n m ϕϕϕΦ=<中寻求一个函数：
**
**
0011()()()()n n x a x a x a x ϕϕϕϕ=++
+，使得*()x ϕ满足
*
2
2
()1
1
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n
i i i i x i
i
x y x y ϕϕϕ∈Φ
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根据以上条件可知，点*
**
01(,,,)n a a a 是多元函数
2
011
(,,
,)[()]m n
n k k i i i k
S a a a a x y ϕ===
-∑∑ 的极小点，从而*
**
01,,
,n
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S
k n a ∂==∂
即00111
1
11
()
()()()()()()m
m
m
m
k i i k i i n k i n i k i i i i i i
a x x a x x a x x x y ϕϕϕϕϕϕϕ====+++=
∑∑∑∑，
记1
(,)()()m
i i i
h g h x g x ==
∑，则上述方程组可表示成0011(,)(,)(,)(,)k k n k n k a a a f ϕϕϕϕϕϕϕ+++=，(k=0,1,…，n)
写成矩阵形式为
0001000101111101(,)(,)
(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)
(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，这个方程组成为法方程组，可以证明，当01(),(),()n x x x ϕϕϕ线性无关时，它有唯一解。
特别地，曲线拟合的一种常用情况为代数多项式，即取
01()1,(),()n
n x x x x x ϕϕϕ===，则1
1
(,)m
m
j
k j k
j k i
i
i i
i
x x
x ϕϕ+===
=
∑∑
1
(,)m
k k i i i
f x y ϕ==
∑ (k=0,1,…，n) 故相应的法方程组变为
1
1
102
111
111
21
1
11m
m
m n i i
i i
i i m
m
m
m n i i i
i i i i
i i m
m
m
m n n n n n i i i i i i i
i i m x x x a a x x x x y a x x x x y ===+====+====⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑，这就是最小二乘法的原理。
在解决本题时，为了简便起见，我们将指数转变成代数多项式去计算。
在bx y ae =两边取对数，得到ln ln y a bx =+，取(1)(1)ln ,y y x x ==，可见(1)(1),y x 是呈线性关系的。
这样我们可以方便地利用最小二乘法求取参数。
（2）流程图
整体流程图
生成矩阵C 流程图
4 程序代码及注释
及m ,2,,)m
0,1,
,)
n 0,1,,)n
5算例分析
6讨论与结论
2、直观展示：
参考文献
[1] 易大义，云宝，有法. 计算方法(第2版)，大学. p.29-53.
[2] 琨高思超毕靖编著 MATLAB2010从入门到精通电子工业。