4.平方差公式逆用与变形
平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a －b)=a 2－b 2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧:1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b －3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解： 原式= (－3a)2 －(2b)2=9a 2－4b 2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x 2+4)(x －2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解： 原式=(x 2－4) (x 2+4)=x 4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b －c+6)(2a －b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b －c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b －c)][(2a+6)－(b －c)]=(2a+6)2 －(b －c)2=4a 2+24a+36－b 2+2bc －c 2.二．逆用技巧:灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算： (a+2)2－(a －2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009. 2.2提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；2.3分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028. 2.4指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mn n m a a =把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17.∴38－46能被17整除.2.5结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.2.6逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a 2－9b 2)÷(4a －3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a －3b)÷(4a －3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧:一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.3.1拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992， (2)(a+3)(a －1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a 2+2a+1－4= a 2+2a －3.3.2添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004.（2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1) =(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.3结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x －y)2(x+y)2(x 2+y 2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x －y)(x+y)(x 2+y 2)] 2=[(x 2－y 2)(x 2+y 2)] 2=(x 4－y 4)2=x 8－2x 4y 4+y 8.3.4结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a －b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b 看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a －b)[(a+b)+2]=(a －b)(a+b)+2(a －b)=a 2－b 2+2a －2b.。
湘教版数学七年级下册_平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b－3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解：原式=(－3a)2－(2b)2=9a2－4b2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x2+4)(x－2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=(x2－4) (x2+4)=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b－c+6)(2a－b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b－c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b－c)][(2a+6)－(b－c)]=(2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2.二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算：(a+2)2－(a－2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009.2.提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；3.分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028.4.指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mnnm aa=把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17. ∴38－46能被17整除.5. 结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.6. 逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a2－9b2)÷(4a－3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a－3b)÷(4a－3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.1. 拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992，(2)(a+3)(a－1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a2+2a+1－4= a2+2a－3.2 .添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004. （2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x－y)2(x+y)2(x2+y2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x－y)(x+y)(x2+y2)] 2=[(x2－y2)(x2+y2)] 2=(x4－y4)2=x8－2x4y4+y8.4.结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a－b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a－b)[(a+b)+2]=(a－b)(a+b)+2(a－b)=a2－b2+2a－2b.。
平方差公式逆用
平方差公式逆用
平方差公式逆用是指利用平方差公式的结果，反过来求得原来的式子。
平方差公式的表达式为：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
利用这个公式，可以进行如下逆用：
1. 求一个数的平方根
如果已知 $a^2 + b^2 = c$，那么由平方差公式可知：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c + 2ab$
此时，只需要求出 $ab$ 的值，就可以求得 $a$ 和 $b$ 的值，
从而得到 $c$ 的平方根。
2. 化简含平方的式子
如果已知一个式子含有$(a+b)^2$ 或$(a-b)^2$ 类似的平方项，那么可以利用平方差公式将其化简，从而得到一个更简单的式子。
例如：
$(a+b)^2 - 4b^2 = (a-b)^2$
可转化为：
$a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
此时，可以大大简化计算，使问题更容易解决。
总之，平方差公式逆用可以为解决某些复杂的数学问题提供便利的方法，有效地简化计算，提高解题效率。
完全平方公式6种变形
完全平方公式6种变形在学习数学的过程中，学生们会遇到完全平方公式。
它是一种经典的数学概念，可以通过数学运算容易地计算出一个数的完全平方值。
本文将对完全平方公式的六种变形进行详细讨论。
首先，什么是完全平方公式？它是一种描述数的完全平方的特定的数学结构。
例如，完全平方公式为：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2。
它表明，通过将一个数的完全平方和两个数伴随的系数相乘，就可以得到一个数的完全平方。
其次，完全平方公式有六种变形，它们分别是：1.方差公式：(x - y)2 = x2 - 2xy + y22.方和公式：(x + y)2 = x2 + 2xy + y23.方和差的和：(x + y)(x - y) = x2 - y24.方和差的差：(x - y)(x + y) = x2 + y25.方差和的和：(x - y)[2xy = x2 + y26.方差和的差：(x - y)[2xy = x2 - y2第一种变形就是平方差公式。
它表明，只要x和y值相减，系数相乘就可以得到两数之间的平方差值。
第二种变形是平方和公式，它表明，只要x和y值相加，系数相乘就可以得到两数之间的平方和值。
第三种变形是平方和差的和，它表明，当x与y的和乘以x与y的差时，就可以得到平方和差的和。
第四种变形是平方和差的差，它表明，当x与y的差乘以x与y的和时，就可以得到平方和差的差。
第五种变形是平方差和的和，它表明，当x与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的和。
最后，第六种变形是平方差和的差，它表明，当x 与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的差。
完全平方公式是一种经典的数学概念，熟练掌握它的变形是很重要的，能够帮助我们计算出一个数的完全平方值，使我们更快地解决数学问题。
因此，我们需要努力掌握和练习完全平方公式的六种变形，这样才能更好地学习数学。
在数学学习中，完全平方公式有六种变形，它们分别是：平方差公式、平方和公式、平方和差的和、平方和差的差、平方差和的和以及平方差和的差。
平方差公式和完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2 x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x 2y 2z4xy 4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．常见的几种变化是：1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗）3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．4、系数变化 如（4m +2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4n ）后即可用平方差公式进行计算了． （四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2·（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2101），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7，mn =－18，求m 2+n 2，m 2－mn + n 2的值． 面对这样的问题就可用上述变式来解，即m 2+n 2=（m +n ）2－2mn =72－2×（－18）=49+36=85， m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103． 下列各题，难不倒你吧！1、若a +a 1=5，求（1）a 2+21a ，（2）（a －a 1）2的值． 2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2－b 2，(a ±b)=a 2±2ab ＋b 2，(a ±b)(a 2±ab ＋b 2)=a 3±b 3．第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用． 例1计算(－2x －y)(2x －y)．．第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．例2计算第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，可得 (a ＋b)2＋(a －b)2=2(a 2＋b 2)；(a ＋b)2－(a －b)2=4ab ； 等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷． 例6计算：(2x ＋y －z ＋5)(2x －y ＋z ＋5)．解：原式=14[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-14[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x ＋5)2－(y －z)2=4x 2＋20x ＋25－y 2＋2yz －z 2乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
平方差公式与完全平方公式知识点总结
平方差公式与完全平方公式知识点总结一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1、已知，，求的值。
例2、已知，，求的值。
解：∵ ∴ ∴=∵，∴ 例3 已知，求的值。
解：三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”、例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b、例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b、（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)、分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式、例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)、分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简、（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc、可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍、例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y、（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值、例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便、四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点、常见的几种变化是：1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了、2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化如98102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了、4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了、（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便、如计算（a2+1）2（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便、即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1、对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用、如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错、若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题、即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）=… ==、有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等、用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效、如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值、面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2（－18）=49+36=85，m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3（－18）=103、下列各题，难不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值、2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字、（答案：1、（1）23；（2）21、2、6 ）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(ab)=a22ab＋b2，(ab)(a2ab＋b2)=a3b3、第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用、例1计算 (－2x－y)(2x－y)、、第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用、例2计算第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式、例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1、分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解、解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216、第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a ＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解分简单、明快、例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值、解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－214)=106，第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷、例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)、解：原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。
在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。
本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。
1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。
2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。
3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。
4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。
这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。
5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。
这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。
6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。
7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。
8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。
9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。
这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。
10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。
平方差公式所有公式
平方差公式所有公式
平方差公式是数学中的重要公式，它用于展开两个数的平方差。
以下是几个常见的平方差公式：
1.(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 这个公式被称为平方差公式的基本
形式，它表示两个数的和与差的乘积等于这两个数的平方
之差。
2.(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 平方差公式的展开形式之一，表
示两个数之和的平方等于这两个数的平方加上两倍的乘积。
3.(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 平方差公式的展开形式之二，表
示两个数之差的平方等于这两个数的平方减去两倍的乘积。
4.a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) 基本形式的逆向形式，表示两个数
的平方之差可以被因式分解为两个数的和与差的乘积。
这些是平方差公式的一些常见形式。
根据需要，还可以根据具体情况将公式进行变形和扩展。
平方差公式的顺用、逆用与活用
平方差公式的顺用、逆用与活用平方差公式是初中义务教育阶段的重点内容，平方差公式学得好坏直接影响着后续的完全平方公式等的教学。
万事开头难，学好平方差公式，将为后面的公式学习打下坚实的基础。
在新课程理念下，如何实施好平方差公式的教学呢？一、深入学习新课程理念“数学教学应该面向全体学生，提高学生的数学素养”是数学课程改革的核心理念。
教师要教好数学，就要扎实每个学生的基础，提高数学的趣味性，通过创设问题情景，启发学生思维，让学生积极参与到数学活动中来，进而实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。
我们只有认真学习新课程理念，才能改变我们教师落后的教学现状；只有认真实施新课程标准，才能使学生真正成为学习的主人。
二、深挖教材，备好讲学稿教师可利用网络资源，查阅相关资料，吃透教材，根据学生实际，确定好教学目标、重难点、关键点，确定好教法、学法，立足教材，设计出切合实际的讲学稿，并根据讲学稿制作出配套的课件，使教学活动真正做到教学和一、教学相长，为有效实施高效课堂打好基础。
三、努力细化好教学过程教学过程的基本规律是：间接经验与直接经验相结合，教师主导作用与学生主体作用相统一，掌握知识和发展智力相统一，传授知识与思想品德教育相统一。
过程决定结果，细节决定成败，因此，我们教师要围绕教学的每一个环节，抓住重点，认真落实教学计划，努力激发学生的学习热情，使课堂真正成为学生学习的主战场、主阵地。
（一）复习旧知，提出问题让学生回顾整式乘法中多项式与多项式的乘法。
1.文字表述多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2.符号表示（m+a）（n+b）=mn+mb+an+ab。
3.思考问题以上二项式乘以二项式，结果是四项式，那么有没有可能结果是两项呢？（二）探究规律，发现新知学生通过教师引导，小组合作交流，探究得出平方差公式，再通过教师启发点拨，亲自验证公式并总结公式的结构特征。