高三理科数学网考卷

合集下载

2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题(含参考答案)

绝密★启用前试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科） 2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3 2 1 0{，，，=A ，}032|{2<--=x x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设23i32iz +=-，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为 6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=7．7)2(xx -的展开式中3x 的系数为A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C．12D. 07A ．36B ．32C ．28D. 24AB C D. 2A ．35B ．35-C ．45D ．45-8．函数()2ln |e 1|x f x x =--的图像大致为9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为 A ．323π3B ．32πC ．36πD ．48π10．已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆2214y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1||MF 的圆上，则2||NF 的最大值为 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数最多为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．A ．168B ．84C ．42 D. 21ABCDA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ．2D. 1（第9题图）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x ，则y x z 2-=的最小值为 ___________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n -=2，则=6a ___________．15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．16．已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若13A A =，22AB AD ==，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤绝密★启封并使用完毕前试题类型：A1 20 0x 0 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. D10. B11. D12. C12. 解析：当ωπ - π > π时，即ω> 8时， f (x )= 1 = ω，解得ω= 3 ； 4 6 23max3ω ω当 ωπ - π ≤ π时，即0 < ω≤ 8时， f (x ) = sin(π - π) = ，4 6 2 3max4 6 3令 g (ω) = sin(ωπ - π) ， h (ω) = ω， 4 6 3如图，易知 y = g (ω) ， y = h (ω) 的图象有两个交点 A (ω1 , y 1 ) ， B (ω2 , y 2 ) ，ωω 所以方程 s in( π - π) = 有两个实根ω，ω ， 4 6 3又 g (8) = 1 > 8 = h (8) ，所以易知有ω < 8 < ω ，3 9 3 1 3 2所以此时存在一个实数ω= ω1 满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选 C. 二、填空题：13.- 314. 6315.4154 16.316. 解析：由对称性不妨设 m < n ，易知线段 M N 所在直线的方程为 y = x - 1，2又 1 x 2 + x > x - 1，∴点 P 必定不在曲线 C 上， 2 2不妨设 P (t ,t - 1) ， (m ≤ t ≤ n ) ，且过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切于点 Q ( x, 1x 2 + x ) ， 2 ( 1 x 2+ x) - (t - 1 )0 2 0 0易知 y ' |x = x = k PQ ，即 x 0 + 1 = 2 2 ，整理得 x - 2tx - 1 = 0 ，0 - t0 0 2x0 0 （法一）显然 x ≠ 0 ，所以 2t = x -1， 0令 f ( x ) = x -1 ， x ∈[-1, 0) U (0,3]，x5 ⎪ ⎨-1 < t < 3 如图，直线 y = 2t 和函数 y = f ( x ) 的图象有两个交点，又 f (-1) = 0 ，且 f (3) =8，30 ≤ 2t ≤ 8，即 0 ≤ t ≤ 4， ∴3 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4 ，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4．3 3 3（法二）由题意可知 -1 ≤ x 0 ≤ 3 ，令 f ( x ) = x - 2tx - 1 ，∴函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上有两个零点，⎧ f (-1) = 2t ≥ 0⎪ f (3) = 8 - 6t ≥ 0 则 ⎪⎪⎩V = 4t 2 + 4 > 0，解得 0 ≤ t ≤ 4 ， 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4． 3 3 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a 2 +b 2 - c 2 = 2S . （1）求c os C ；（2）若 a c os B + b sin A = c ， a = ，求b . 解：（1） S = 1ab sin C ，a 2 + b 2 - c 2 = 2S ，2∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab sin C ， …………………………………………………………………2 分 a 2 + b 2 - c 2 ab sin C sin C在△ ABC 中，由余弦定理得 c os C = = =， 2ab 2ab 2 ∴sin C =2cosC ，…………………………………………………………………………4 分又 sin 2C +cos 2C=1 ，∴5cos 2C=1，cosC= ±5 ，5由于 C ∈(0, π) ，则 s in C > 0 ，那么 c osC>0 ，所以 c osC=5 . ………………………6 分5（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得 s in A c os B + sin B sin A = sin C ，……………7 分 2sin C= sin[π- (A + B)] = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B ，………………………8 分∴sin A cos B + sin B sin A = sin A cos B + cos A sin B ，即s in B sin A = cos A sin B ，5 5 ⨯ 2 5 5 ⨯ 2 又 A , B ∈(0, π) ，∴sin B ≠ 0 ， s in A =cosA ，得 A = π.……………………………9 分4sin B = sin[π - (A + C )] = sin(A + C ) ，……………………………………………10 分∴sin B = sin A cos C + cos A sin C = 2 ⨯ 5 + 2 ⨯ 2 5 =310， ………………11 分2 5 2 5 10a s in B 10 在△ABC 中，由正弦定理得 b = == 3 . ……………………………12 分（法二）a cos B +b s in A =c ，又a cos B +b cos A =c ， sin A2 2∴ a cos B + b s in A = a cos B + b cos A ，…………………………………………………8 分即 s in A = cos A ，又 A ∈(0, π) ， ∴ A = π. ……………………………………………9 分4a sin C 5 在△ ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 .………………………10 分b = C cos A + a cos C ，sin A2 2∴c = 2 ⨯ 2 + ⨯ 5= 3 . ………………………………………………………12 分2 5（法三）求 A 同法一或法二a sin C 5 在△ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 ， ………………………10 分sin A2 2又由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，得 b 2 - 2b - 3 = 0 ，解得 b = -1 或 b = 3 . 所以 b = 3 .……………………………………………………………………………12 分（余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2b cos A ，得 b 2 - 4b + 3 = 0 ，解得b = 1 或 b = 3 . 因为当 b = 1时， a 2 +b 2 -c 2 = -2 < 0 ，不满足c osC>0 (不满足 a 2 +b 2 - c 2 = -2 ≠ 2S )，故舍去，所以 b = 3 ）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形⨯ 32 2 2问题，检验学生的数学知识运用能力.18．（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 A BCD 是平行四边形，点 M ，N 分别在棱 C1C ，A 1 A 上，且 C 1M = 2MC ， A 1 N = 2NA .（1）求证： N C 1 // 平面 B MD ；A π （2）若 A 1 A = 3，AB = 2AD = 2 ， ∠DAB =，求二面角3MN - BD - M 的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接 A C 交 B D 于点GMG ．设 C 1M 的中点为 E ，连接 A E ．………2 分G , M 是在△ ACE 边 C A ,CE 的中点，∴ MG //AE ， ……………………………………3 分又 C 1M = 2MC ，A 1 N = 2NA ， A A 1 //CC 1 ， ∴四边形 A NC 1E 是平行四边形，故 N C 1 //AE ，∴ NC 1 //GM ， …………………………………4 分 GM ⊂ 平面 B MD ，∴ NC 1 // 平面 B MD . …………………………………5 分（法二）如图，设 E 是 B B 1 上一点，且 B E = 2B 1E ，连接 E C 1 . 设 G 是 B E 的中点，连接G M . ……………………1 分BE = MC 1，BE //MC 1 ，∴四边形 B EC 1M 是平行四边形，故 E C 1 //BM ， ……2 分又 BM ⊂ 平面 B MD ，∴ EC 1 // 平面 B MD ， …………………………………3 分同理可证 N E //AG ， A G //DM ，故 N E //DM ，2 ∴ NE // 平面 B MD ， (4)分又 EC 1，NE ⊂ 平面 N EC 1 ，且 N E C 1E = E ，∴平面 N EC 1 // 平面 B MD ，又 N C 1 ⊂ 平面 N EC 1 ，所以 N C 1 // 平面 B MD .……………5 分（2）（法一）设二面角 N - BD - M 为α，二面角N - BD - A 为 β，根据对称性，二面角 M - BD - C的大小与二面角 N - BD - A 大小相等，故α= π - 2β，sin α= sin(π - 2β) = sin 2β.下面只需求二面角 M - BD - C 的大小即可. ………7 分由余弦定理得 B D 2 = AD 2 + AB 2 - 2AD ⋅ AB cos ∠DAB = 3 ，故 AB 2 = AD 2 + BD 2 ，A D ⊥ BD . (8)分四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 为直棱柱，∴ DD 1 ⊥ 底面 A BCD ，D D 1 ⊥ BD ， ……………………9 分又 AD , D 1D ⊂ 平面 A DD 1 A 1 ， A D D 1D = D ，∴ BD ⊥ 平面B DD 1B 1 ， …………………………………10 分ND ⊂ 平面A DD 1 A 1 ， ∴ND ⊥ BD ，所以二面角 N - BD - A 的大小为 ∠NDA ，即 ∠NDA = β，在 R t ∆NAD 中，s in β = AN= 1 ND = 2 ，…………11 分 2∴ β= π ，α= π，4 2∴二面角N- BD - M 的正弦值为1 . …………………12 分（法二）由余弦定理得B D2 = AD2 + AB2 - 2AD ⋅ AB cos∠DAB = 3 ，故AB2 = AD2 + BD2 ，A D ⊥ BD . ……………………6分以D为坐标原点O，以D A, DC, DD1 分别为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意有 D (0,0,0) ， B (0, ,0) ， M (-1, ,1) ， N (1, ,1) ，DB = (0, ,0) ， DM = (-1, ,1) ， D N = (1, ,1) ，……7 分设平面 M BD 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，⎧⎪n ⋅ DB = 0 ∴⎨ ⎧⎪ ， ∴⎨ 3y = 0 ， ⎪⎩n ⋅ DM = 0⎪⎩-x + y + z = 0令 x = 1 ，则 z = 1， y = 0 ，∴n = (1,0,1) ，……………9 分同理可得平面 N BD 的一个法向量为 m = (1,0, -1) ，……10 分所以 c os < m , n >=m ⋅ n 0= | m || n |= 0 ， ……………11 分所以二面角 N - BD - M 的大小为 π，正弦值为1 . …12 分2【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分 12 分）已知以 F 为焦点的抛物线 C : y 2 = 2 p x ( p > 0) 过点 P (1, -2) ，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，M 为AB 中点，且 O M + OP = λOF .（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；uur u u u r（2）当 O A ⋅ OB = 12 时，求直线 l 的方程.解：（1）因为 P (1, -2) 在y 2 = 2 p x 上，代入方程可得 p = 2 ，所以 C 的方程为 y 2 = 4x ，焦点为 F (1, 0) ， (2)分设 M ( x 0 , y 0 ) ，当 λ=3 时，由 O M + OP = 3OF ，可得M (2, 2) ， ………………4 分（2）（法一）设A (x 1 , y 1 ) ，B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ，由 O M + OP = λOF ，可得 (x 0 + 1, y 0 - 2) = (λ, 0) ，所以 y 0 =2 ， y - y 所以 l 的斜率存在且斜率k = 1 2=x 1 - x 24 = 2y + y y3 3 3 3 3 33 2 ⋅ 2= 1，……………7分⎧ y = x + b可设l方程为y= x + b ，联立⎨得x2 + (2b - 4)x + b2 = 0 ，⎩ y2 = 4x∆=（2b-2 - 4b2 =16 -16b > 0 ，可得b<1，………………………………9分2则 x 1 + x 2 = 4 - 2b ， x 1x 2 = b， y 1 y 2 = x 1 x 2 + b (x 1 + x 2 ) + b = 4b ，所以 O A ⋅ OB = x x + y y =b 2 + 4b = 12 ，…………………………………11 分1 21 2解得 b = -6 ，或 b = 2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分（法二）设 l 的方程为x = my + n ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， ⎧x = my + n 联立 ⎨ ⎩ y 2= 4x得 y 2 - 4my - 4n = 0 ， ∆ =16m 2 +16n > 0 ， ………………6 分则 y 1 + y 2 = 4m ， y 1 y 2 = -4n ， x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) + 2n = 4m+ 2n ，所以 M (2m 2 + n , 2m ) ，…………………………………………………………7 分由 O M + OP = λOF ，得 (2m 2 + n +1, 2m - 2) = (λ, 0) ，所以 m =1， …………8 分所以 l 的方程为x = y + n ，由 ∆ = 16 + 16n > 0 可得， n > -1，……………………………………………9 分( y 1 y 2 ) 2由 y 1 y 2 = -4n 得 x 1 x 2 == n ，16所以 O A ⋅ OB = x x + y y =n 2 - 4n = 12 ， ………………………………………11 分1 21 2解得 n = 6 ，或 n = -2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分 12 分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000 名患者的相关信息，得到如下表格：222（1）求这1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x （同一组中的数据用该组区间的中点（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最．有．可．能．（即．概．率．最．大．）是多少？附：2n (ad - bc )2K = ，其中 n = a + b + c + d .(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )解：（1） x =1 1000⨯（1⨯ 85 + 3⨯ 205 + 5⨯ 310 + 7 ⨯ 250 + 9 ⨯130 +11⨯15 +13⨯ 5）= 5.4 天.……………………………………………………………………………2 分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：则 K 2 = (65 ⨯ 45 - 55 ⨯ 35) ⨯ 200 =25 ≈ 2.083 ， ………………………………………5 分120 ⨯ 80 ⨯100 ⨯10012经查表，得 K 2 ≈ 2.083 < 3.841 ，所以没有95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6 分（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为400 = 2， ……7 分 1000 5设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ，则 X ~ B (20, 2) , P ( X = k ) = C kk⎪  ⎪20-k， k = 0 ，1， 2 ，…， 20 ， ………8 分⎛ 2 ⎫20深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 12 页共 16页5 2 3 2 3 得 5 2 3 2 320 20 ⎧ ⎝ ⎭ ⎛ 3 ⎫ ⎝ 5 ⎭k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k +1 19-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪≥ C k +1 ⎪ ⎪ ⎧P ( X = k ) ≥ P ( X = k + 1) ⎪ 由 ⎨ ⎨ 20⎝ ⎭ ⎝ 5 ⎭ 20 ⎝ 5⎭ ⎝ 5 ⎭ ， …………10 分 ⎩P ( X = k ) ≥ P ( X = k -1) ⎪ k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k -1 21-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪ ≥ C k -1 ⎪ ⎪⎩ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 13 页共 16页0 ⎧3(k + 1) ≥ 2(20 - k ) 化简得 ⎨ ⎩2(21 - k ) ≥ 3k ，解得 375 ≤ k ≤ 42 ,5 又 k ∈ N ,所以 k = 8 ,即这 20 名患者中潜伏期超过6 天的人数最有可能是 8 人.…12 分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = e x- a ln(x -1) .（其中常数 e =2.718 28 ⋅ ⋅ ⋅ ，是自然对数的底数）（1）若 a ∈ R ，求函数 f (x ) 的极值点个数；（2）若函数 f (x ) 在区间(1,1+e -a) 上不单调，证明： 1+ 1> a .(x -1)e 解：（1）易知 f '(x ) =x- a a a +1， x > 1 ，………………………………………1 分x -1①若 a ≤ 0 ，则 f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 在 (1, +∞) 上单调递增，∴函数 f (x ) 无极值点，即函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；……………………2 分②若 a > 0 ，（法一）考虑函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) ，Q y (1 + a ) = a e 1+a - a > a - a = 0 ，y (1) = -a < 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有零点x ，且1< x <1+ a ， 0Q y ' = x e x > 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 为单调递增函数，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有唯一零点x ，∴ f '(x ) =(x -1)e - a亦存在唯一零点 x ， …………………………………4 分x -1 0x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 14 页共 16页∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（法二）易知函数 y = e x 的图象与 y =ax -1(a > 0) 的图象有唯一交点 M (x 0 , y 0 ) ，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 15 页共 16页∴ e x=a x 0 -1，且 x 0 > 1 ，…………………………………………………………………3 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………4 分综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分）（法三）对于 ∀a > 0 ，必存在 n ∈N *，使得 n >2 - ln a，即 2 - na < ln a ，aQ e- na< 1 ，∴ e1-na +e - na- a < e 2 -na- a < e ln a- a = 0 ，e -na e 1+e - na- a ∴ f '(1+ e-na) = < 0 ， e -naa e1+ a又 f '(1 + a ) = a - a =e 1+ a-1 > 0 ， ∴函数 f '(x ) = (x -1)e x- a 有零点，不妨设其为 x ，x -1 0 显然 f '(x ) = e x-a x -1(x > 1) 为递增函数， ∴ x 0 为函数 f '(x ) 的唯一零点， …………………………………………………………4 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 16 页共 16页∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（2） Q 函数f (x ) 在区间 (1,1+e -a) 上不单调，∴存在 x ∈(1,1+e -a ) 为函数 f (x ) 的极值点， ……………………………………6 分e -a ⋅ e 1+e - a- a∴由（1）可知 a > 0 ，且 f '(1+e -a) => 0 ，即 e1-a +ee -a> a ，两边取对数得1 - a +e - a > ln a ，即1+e - a - ln a > a ， ………………………………7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 11 页共 16页（法一）欲证1 + 1 > a ，不妨考虑证a a +11 + 1 ≥1+e -a - ln a ， a a +1 先证明一个熟知的不等式： e x ≥ 1 + x ，令 g (x ) = e x - x -1，则 g '(x ) = e x -1，∴ g '(0) = 0 ，不难知道函数 g (x ) 的极小值（即最小值）为 g (0) = 0 ，∴ e x - x -1 ≥ 0 ，即 e x ≥ 1 + x ，……………………………………………………8 分（思路 1：放缩思想）∴ e -a = 1≤ 1 ，即 1 ≥ e -a， ………………………9 分1-111- 1e a a +1 1 a +11又 ea≥ ，∴ e a≤ a ，∴1- ≤ ln a ，即 ≥ 1- ln a ，………………………11 分∴ 1+ a a1≥1+e -a- ln a ，∴ 1 + 1a > a . …………………………12 分 a a +1 a a +1（思路 2：构造函数）令ϕ(a ) = 1 + ln a -1 ，则ϕ'(a ) = 1 - 1= a -1 ，a a a 2 a 2不难知道，函数ϕ(a ) 有最小值ϕ(1) = 0 ，∴ϕ(a ) ≥ 0 ，…………………………10 分当 a > 0 时， 1- e - a= e- a -1> 0 ， …………………………………………11 分a + 1 (a + 1)e a∴ 1 + ln a -1 + 1 - e -a 1 1> 0，即 + ≥1+e -a - ln a ， aa +1a a +1∴ 1 + 1 > a .…………………………………………………………………12 分a a +1（法二）令 F (x ) = 1+e - x - ln x - x ，则 F '(x ) = -e - x - 1 -1 < 0 ，x∴函数 F (x ) 为单调递减函数，显然 F (2) < 2 - ln 2 - 2 < 0 ，且 F (a ) > 0 ，∴ 0 < a < 2 ，①若 0 < a < 1 ，则1 + 1 > 1 > a ，即1 + 1> a 成立； …………………………8 分 a a +1a深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 12 页共 16页②若1≤ a < 2 ，只需证 1+ aa a +1 1≥1+e -a - ln a ，a a +1 111414不难证明 +≥ a a +1 7a + 3，只需证明 7a + 3≥1+e -a - ln a ， …………………………9 分令 G (a ) = 14 7a + 3- e -a + ln a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 G '(a ) = e -a + 1 - a 98 (7a + 3)2 > 1 - a 98 ， (7a + 3)2当1≤ a ≤ 2 时， 1 - 98=49a - 56a + 9 ，a (7a + 3)2 a (7a + 3)2显然函数 y = 49a 2 - 56a + 9 在 [1, 2] 上单调递增，且 y (1) = 2 > 0 ，2深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 13 页共 16页ea∴ G '(a ) > 0 ，即函数 G (a ) 为单调递增函数， ………………………………………10 分∴当1≤ a < 2 时， G (a ) ≥ G (1) = 2 - 1 =2e - 5> 0 ，即 G (a ) > 0 ， ………………11 分5 e 5e∴14 ≥1+e -a- ln a ，即 1 + 1 > a ， 7a + 3 a a +11 1综上所述，必有 +> a 成立. …………………………………………………12 分 a a +1（法三）同（法二）得 0 < a < 2 ，1 11 1 1①若 0 < a < 1 ，则 +> > a ，即 + > a 成立； …………………………8 分a a +1 ②若1≤ a < 2 ，只需证 1 +a a a +11≥1+e -a - ln a ，令 G (a ) = 1 + 1a a +1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 ，a a + 1则 G '(a ) = e -a- 1 + a -1 ≥ e -a - 1， (a +1)2 a 2 (a +1)2下证当1≤ a ≤ 2 时，e -a-1(a +1)2a > 0 ，即证 e a < (a +1)2，即证 e 2< a +1 ， ………9 分a令 H (a ) = e 2- a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 H '(a ) = 1 e 2 -1，当 a = 2ln 2 时， H '(a ) = 0 ，2不难知道，函数 H (a ) 在 [1, 2ln 2) 上单调递减，在 (2ln 2, 2] 上单调递增，∴函数 H (a ) 的最大值为 H (1) ，或 H (2) 中的较大值，显然 H (1) =- 2 < 0 ，且 H (2) = e - 3 < 0 ，a∴函数 H (a ) 的最大值小于 0 ，即 H (a ) < 0 ，亦即 e 2 < a +1 ，…………………………10 分∴ e -a -1 (a +1)2> 0 ，即 G '(a ) > 0 ，∴函数 G (a ) = 1 + 1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 单调递增，a a + 1易知 G (1) = 1 - 1> 0 ，∴ G (a ) > 0 ，即 1 + 1≥1+e -a - ln a ，………………………11 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 14 页共 16页2 e∴当1≤ a < 2 时，有 1 + 1a a +1> a 成立，a a +111综上所述， +> a .…………………………………………………………12 分a a +1深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 15 页共 16页3 【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎪⎧x = -2 在直角坐标系 x Oy 中，直线 C 1 的参数方程为 ⎨+ tcos α,（t 为参数，α为倾斜角）， ⎪⎩ y = t sin α,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ．（1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）直线 C 1 与 C 2 相交于 E , F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2, π) ，若 2 EF = PE + PF ，求直线 C 1 的普通方程．解：（1）由题意得， C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ，所以 ρ2 = 4ρsin θ，………………1 分又x = ρcos θ, y = ρsin θ，………………2 分代入上式化简可得， x 2 + y 2 - 4 y = 0 ，………………3 分所以 C 2 的直角坐标方程 x 2 + ( y - 2)2 = 4 ．………………4 分（2）易得点 P 的直角坐标为 (-2 ,0) ，⎪⎧x = -2 将 ⎨ + t cos α,代入 C 2 的直角坐标方程，可得⎪⎩ y = t sin α,t 2 - (4∆ = (4 cos α+ 4sin α)t + 12 = 0 ，………………5 分cos α+ 4sin α)2 - 48=[8sin(α+ π)]2 - 48 > 0 ，3 解得 s in(α+ π) > 3 ，或 s in(α+ π) < - 3，3 2 3 2不难知道α必为锐角，故 s in(α+ π) >3， 3 2所以 π <α+ π < 2π ，即 0 < α< π ,………………6 分3 3 3 33333 33设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 4 cos α+ 4sin α， t 1 ⋅ t 2 = 12 ，………………7 分3 3 ) 所以 t 1 与t 2 同号，由参数t 的几何意义可得，PE + PF = t + t= t + t= 8 sin(α+ π) ， 1 2 1 2 3EF = t - t = ，………………8 分 1 2所以 2 ⨯= 8 sin(α+ π ，3两边平方化简并解得 s in(α+ π ) = 1，所以α= π + 2k π ， k ∈ Z ,3 6 因为 0 < α< π ，所以α= π ，………………9 分3 6 ⎧ ⎪⎪x = -2+ t, 2 所以直线 C 1 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = 1 t , ⎩⎪ 2消去参数 t ，可得直线 C 1 的普通方程为 x - y + 2 = 0 ．………………10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明：（1） 1 + 1 + 1 ≥ 9 ； a b c（2） a c + bc + ab - abc ≤ 8.273 3⎝ ⎭证明：（1）因为 1 + 1 + 1 = (a + b + c ) ⎛ 1+ 1 + 1 ⎫a b c = 3 + b + a + c + a + c + ba b a c b ca b c ⎪3≥ 3 + +1（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………5 分3（2）（法一）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1，所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ，所以 a c + bc + ab - abc= (a + b - ab )c + ab=(a+b -) 1- a - b ）+ ab = (b -1)(a -1)(a + b )= (1- a )(1- b )(1- c )≤ ⎡(1- a ) + (1- b ) + (1- c ) ⎤ = 8 ，⎣⎢ 3 ⎦⎥ 27所以 a c + bc + ab - abc ≤ 8.271（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………10 分3（法二）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1，所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ，ac + bc + ab - abc = 1 - (a + b + c ) + ac + bc + ab - abc= (1 - a ) + b (a - 1) + c (a - 1) + bc (1 - a )= (1- a ) ⎡⎣1- (b + c ) + bc ⎤⎦= (1- a)(1- b)(1- c)⎡3 -(a + b + c) ⎤38≤ ⎢⎥ =⎣ 3 ⎦27所以a c + bc + ab - abc ≤ 8 .271（当且仅当a= b = c =时，等号成立）. ………………10 分3【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。

高三数学在线联考试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）- A. $\sqrt{4}$- B. $\frac{1}{3}$- C. $\pi$- D. $2.5$答案：C2. 已知函数$f(x)=2x+3$，则$f(-1)=\;?$- A. $1$- B. $-1$- C. $2$- D. $-2$答案：A3. 下列各方程中，有实数解的是（）- A. $x^2+1=0$- B. $x^2-4=0$- C. $x^2-4x+4=0$- D. $x^2+4x+4=0$答案：B4. 在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点$B$的坐标是（） - A. $(3,2)$- B. $(1,2)$- C. $(2,1)$- D. $(1,3)$答案：A5. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=25$，$S_8=64$，则$a_6+a_7+a_8=\;?$- A. $39$- B. $42$- C. $44$- D. $46$答案：D二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数$y=\frac{x}{x-1}$的定义域为$\;?$答案：$\{x|x\neq1\}$7. 若$a^2+b^2=2ab$，则$\cos^2a+\cos^2b+\cos^2(a+b)=\;?$答案：$\frac{1}{2}$8. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=27$，$a_1+a_2+a_3+a_4=81$，则$q=\;?$答案：$3$9. 在$\triangle ABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cos A=\;?$答案：$\frac{1}{2}$10. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=\;?$答案：$3x^2-3$三、解答题（每题15分，共60分）11. （15分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求$f(x)$的极值。

学科网高三数学理科试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数域内单调递增的是（）A. y = -x^2B. y = 2x - 3C. y = x^3D. y = -2x + 52. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -23. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 254. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围对应的图形是（）A. 圆B. 矩形C. 正方形D. 菱形5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则数列的前5项和S5为（）A. 62B. 66C. 72D. 787. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则a、b、c的取值分别为（）A. a > 0, b < 0, c = 2B. a > 0, b > 0, c = 2C. a < 0, b < 0, c = 2D. a < 0, b > 0, c = 28. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A的余弦值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/5D. 5/49. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(x)的定义域为（）A. (-1, +∞)B. [-1, +∞)C. (-∞, -1]D. (-∞, +∞)10. 若不等式x^2 - 2x - 3 < 0的解集为A，则不等式x^2 - 2x - 3 > 0的解集为（）A. AB. -AC. A的补集D. -A的补集二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1在x = 1处取得极值，则该极值为______。

安徽省合肥市2020届高三下学期理数线上考试试卷

安徽省合肥市2020届高三下学期理数线上考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合 M ={y|−1<y <3} ， N ={x|x(2x −7)⩽0} ，则 M ∪N = （）A ．[0，3)B ．(0，72]C ．(−1，72]D ．Ø2．（2分）设复数 z 满足 |z −3|=2 ， z 在复平面内对应的点为 M(a,b) ，则 M 不可能为（） A ．(2,√3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)3．（2分）已知 a =√64 ， b =log 54421 ， c =(13)2.9 ，则（） A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >a D ．c >a >b4．（2分）2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（） A ．小明B ．小红C ．小金D ．小金或小明5．（2分）函数 f(x)=sinx x +x 2cosx 20在 [−2π,0)∪(0,2π] 上的图象大致为( )A ．B ．C．D．6．（2分）为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）A．24B．36C．48D．647．（2分）已知向量a⃗=(m,1)，b⃗=(−1,2)，若(a−2b⃗)⊥b⃗，则a⃗与b⃗夹角的余弦值为（）A．−2√1313B．2√1313C．−6√1365D．6√13658．（2分）框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入x1=15，x2=16，x3=18，x4=20，x5=22，x6=24，x7=25，则图中空白框中应填入（）A．i>6，S=S7B．i⩾6S=S7C．i>6，S=7S D．i⩾6，S=7S9．（2分）记等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n.若S10=40，a6=5，则（）A．d=3B．a10=12C．S20=280D．a1=−410．（2分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x1,y1)，Q(−x1,−y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，|QF1 PF1|≥√33，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．[0,√6−12)B．(0,√6−2]C．(√22,√3−1]D．(0,√3−1]11．（2分）关于函数f(x)=4|sin(12x+π3)|+4|cos(12x+π3)|，有下述三个结论：①函数f(x)的一个周期为π2；②函数f(x)在[π2,3π4]上单调递增；③函数f(x)的值域为[4,4√2].其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．②C．②③D．③12．（2分）已知四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠BAD=120°，ΔSAD是等边三角形，且SA=AB=2√3；若点P在四棱锥S−ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（）A．√13+1B．√13+2C．√15+1D．√15+2二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）已知函数f(x)=m(2x+1)3−2e x，若曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线与直线4x+y−2=0平行，则m=.14．（1分）设S n为数列{a n}的前n项和，若2S n=5a n−7，则a n=15．（1分）由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为n，则m−n=.16．（1分）已知双曲线C：x 2a2−y2b2=−1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l是双曲线C过第一、三象限的渐近线，记直线l的倾斜角为α，直线1′：y=tan α2⋅x，F2M⊥l′，垂足为M，若M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为三、解答题 (共7题；共75分)17．（10分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设3sinBsinC+3sinCsinB=3sin2AsinBsinC+4√2（1）（5分）求tanA的值；（2）（5分）若√2sinB=3sinC，且SΔABC=2√2，求a的值.18．（10分）如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，ΔABC为等边三角形，∠BAB1=∠BB1A，AB1∩A1B=O，CO⊥平面ABB1A1，D是线段A1C1上靠近A1的三等分点.（1）（5分）求证：AB⊥AA1；（2）（5分）求直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值.19．（10分）记抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D,E在抛物线C上，且直线DE的斜率为1，当直线DE过点F时，|DE|=4.（1）（5分）求抛物线C的方程；（2）（5分）若G(2,2)，直线DO与EG交于点H，DI⃗⃗⃗⃗ +EI⃗⃗⃗⃗ =0⃗，求直线HI的斜率.20．（10分）已知函数 f(x)=e x −2x −cosx .（1）（5分）当 x ∈(−∞，0) 时，求证： f(x)>0 ；（2）（5分）若函数 g(x)=f(x)+1n(x +1) ，求证：函数 g(x) 存在极小值.21．（15分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 A 市与 B 市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为 2m ，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为 12.附： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）（5分）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：是否有 99.9% 的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）（5分）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有 X 个路口种植杨树，求 X 的分布列以及数学期望；（3）（5分）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为 M ，求证： 3M ⩾m(m −1)(m −2) .22．（10分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （ θ 为参数），以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2=4cos 2α+4sin 2α.（1）（5分）求曲线 C 1 的极坐标方程以及曲线 C 2 的直角坐标方程；（2）（5分）若直线 l:y =kx 与曲线 C 1 、曲线 C 2 在第一象限交于 P,Q 两点，且 |OP|=2|OQ| ，点 M 的坐标为 (2,0) ，求 ΔMPQ 的面积.23．（10分）已知 a >0 ， b >0 ， c >0 .（1）（5分）求证：a 4−a 2b 2+b 4⩾ab(a 4+b 4)a 2+b2 ；（2）（5分）若 abc =1 ，求证： a 3+b 3+c 3⩾ab +bc +ac .答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为N={x|x(2x−7)⩽0}={x|0⩽x⩽72 }，又因为M={y|−1<y<3}，所以M∪N=(−1，72]，故选：C.【分析】先化简N={x|x(2x−7)⩽0}={x|0⩽x⩽72}，再求M∪N.2．【答案】D【解析】【解答】设z=a+bi，因为|z−3|=2，所以(a−3)2+b2=4，经验证M(4,1)不满足，故选：D.【分析】依题意，设z=a+bi，由|z−3|=2，得(a−3)2+b2=4，再一一验证. 3．【答案】B【解析】【解答】因为a=√64=614>60=1，b=log54421<log541=0，0<c=(13)2.9<(13)0=1，所以a>c>b，故选：B.【分析】先将三个数通过指数，对数运算变形a=√64=614>60=1，b=log54421<log541=0，0<c=(13)2.9<(13)0=1再判断.4．【答案】B【解析】【解答】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.5．【答案】A【解析】【解答】解：依题意， f(−x)=sin(−x)−x +(−x)2cos(−x)20=sinx x +x 2cosx 20=f(x) ，故函数f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除C ；而 f(π)=−π220<0 ，排除B ； f(2π)=π25>0 ，排除D.故选： A .【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；6．【答案】B【解析】【解答】当按照 3:1:1 进行分配时，则有 C 31A 33=18 种不同的方案；当按照 2:2:1 进行分配，则有 C 32A 33=18 种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【分析】根据题意，有两种分配方案，一是 3:1:1 ，二是 2:2:1 ，然后各自全排列，再求和.7．【答案】B【解析】【解答】依题意， a ⃗ −2b ⃗ =(m +2,−3) ，而 (a −2b⃗ )⋅b ⃗ =0 ，即 −m −2−6=0 ，解得 m =−8 ，则 cos〈a ,b ⃗ 〉=a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a⃗⃗ ||b ⃗⃗ |=105⋅65=2√1313 . 故选：B.【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量 a ⃗ −2b ⃗ 的坐标，利用 (a −2b⃗ )⋅b ⃗ =0 求得参数m ，再用 cos〈a ,b ⃗ 〉=a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a⃗⃗ ||b ⃗⃗ | 计算即可. 8．【答案】A【解析】【解答】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的 S =17[(x 1−20)2+(x 2−20)2+⋯+(x 7−20)2] ，观察程序框图可知，应填入 i >6 ， S =S7，故选：A.【分析】依题意问题是 S =17[(x 1−20)2+(x 2−20)2+⋯+(x 7−20)2] ，然后按直到型验证即可.9．【答案】C【解析】【解答】因为S10=(a1+a10)⋅102=5(a5+a6)=40，a6=5，所以解得a5=3，所以d=a6−a5=2，所以a10=a6+4d=5+8=13，a1=a5−4d=3−8=−5，S20=20a1+190d=−100+ 380=280，故选：C.【分析】由S10=(a1+a10)⋅102=5(a5+a6)=40，和a6=5，可求得a5=3，从而求得d和a1，再验证选项.10．【答案】C【解析】【解答】设PF1=n, PF2=m,由x1>0, y1>0,知m<n, 因为P(x1,y1), Q(−x1,−y1)在椭圆C上, |PQ|=2|OP|=2|OF2|,所以四边形PF1QF2为矩形, QF1=PF2；由|QF1||PF1|≥√33,可得√33≤mn<1,由椭圆的定义可得m+n=2a, m2+n2=4c2①,平方相减可得mn=2(a2−c2)②,由①②得4c22(a2−c2)=m2+n2mn=mn+nm；令t=mn+nm,令v=mn ∈[√33,1),所以t=v+1v ∈(2,4√33],即2<4c22(a2−c2)≤4√33,所以a2−c2<c2≤2√33(a2−c2),所以1−e2<e2≤2√33(1−e2),所以12<e2≤4−2√3,解得√22<e≤√3−1.故选：C【分析】根据|PQ|=2|OF2|可得四边形PF1QF2为矩形, 设PF1=n, PF2=m,根据椭圆的定义以及勾股定理可得4c 22(a 2−c 2)=m n +n m ,再分析 t =m n +n m 的取值范围,进而求得 2<4c 22(a 2−c 2)≤4√33再求离心率的范围即可.11．【答案】C【解析】【解答】因为 f(x +π2)=4|sin(12x +7π12)|+4|cos(12x +7π12)|=4|cos(12x +π12)|+4|sin(12x +π12)|≠f(x) ，故①错误；当 x ∈[π2,3π4] 时， 12x +π3∈[7π12,17π24] ，所以 f(x)=4sin(12x +π3)−4cos(12x +π3)=4√2sin(12x +π12) ， 12x +π12∈[π3,11π24] 所以 f(x) 在 [π2,3π4] 上单调递增，故②正确；函数 f(x)=4|sin(12x +π3)|+4|cos(12x +π3)| 的值域等价于函数 g(x)=4|sin 12x|+4|cos 12x| 的值域，易知 g(x +π)=g(x) ，故当 x ∈[0,π] 时， g(x)=4√2sin(12x +π3)∈[4,4√2] ，故③正确.故选：C.【分析】①用周期函数的定义验证.②当 x ∈[π2,3π4] 时， 12x +π3∈[7π12,17π24] ， f(x)=4√2sin(12x +π12) ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数 f(x)=4|sin(12x +π3)|+4|cos(12x +π3)| 的值域等价于函数 g(x)=4|sin 12x|+4|cos 12x| 的值域，而 g(x +π)=g(x) ，当 x ∈[0,π] 时， g(x)=4√2sin(12x +π3) 再求值域.12．【答案】A【解析】【解答】依题意如图所示：取 BC 的中点 E ，则 E 是等腰梯形 ABCD 外接圆的圆心，取 F 是 ΔSAD 的外心，作 OE ⊥ 平面 ABCD ，OF ⊥ 平面 SAB ，则 O 是四棱锥 S −ABCD 的外接球球心，且 OF =3，SF =2 ，设四棱锥 S −ABCD 的外接球半径为 R ，则 R 2=SF 2+OF 2=13 ，而 OE =1 ，所以 d max =R +OE =√13+1 ，故选：A.【分析】根据平面 SAD ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为等腰梯形，则球心在过 BC 的中点 E 的面的垂线上，又 ΔSAD 是等边三角形，所以球心也在过 ΔSAD 的外心 F 面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.13．【答案】−13【解析】【解答】因为函数 f(x)=m(2x +1)3−2e x ，所以 f ′(x)=6m(2x +1)2−2e x ，f ′(0)=6m −2 ，所以 6m −2=−4 ，解得 m =−13 .故答案为： −13【分析】先求导 f ′(x)=6m(2x +1)2−2e x ，f ′(0)=6m −2 ，再根据导数的几何意义，有 f ′(0)=−4 求解.14．【答案】73⋅(53)n−1【解析】【解答】当 n =1 时， 2S 1=5a 1−7=2a 1 ，即 a 1=73，当 n ≥2 时， 2S n =5a n −7,2S n−1=5a n−1−7 ，两式相减可得 2a n =5a n −5a n−1 ，即 5a n−1=3a n ，即 a n a n−1=53 ，故数列 {a n } 是以 73 为首项， 53为公比的等比数列，所以 a n =73⋅(53)n−1. 故答案为： 73⋅(53)n−1【分析】当 n =1 时，由 2S 1=5a 1−7=2a 1 ，解得 a 1=73 ，当 n ≥2 时， 2S n =5a n −7,2S n−1=5a n−1−7 ，两式相减可得 2a n =5a n −5a n−1 ，即 5a n−1=3a n ，可得数列 {a n } 是等比数列再求通项公式.15．【答案】360【解析】【解答】第一块小矩形的面积 S 1=0.3 ，第二块小矩形的面积 S 2=0.4 ，故 n =2000+0.5−0.30.0002=3000 ；而 m =1000×0.3+3000×0.4+5000×0.18+(7000+9000)×0.06=3360 ，故 m −n =360 . 故答案为：360.【分析】先计算第一块小矩形的面积 S 1=0.3 ，第二块小矩形的面积 S 2=0.4 ，面积和超过0.5，所以中位数在第二块求解，然后再求得平均数作差即可.16．【答案】√5−1【解析】【解答】设 ∠MOF 2=α2，|OF 2|=c ，则 tanα=ba ，即 sinαcosα=b a ，sin 2α+cos 2α=1 ，解得 sinα=b c ，cosα=ac ，则 |OM|=ccos α2 ，所以 M(ccos 2α2，ccos α2sin α2) ，即 M(c+a 2，b 2) ，代入双曲线的方程可得 (c+a)24a 2−b 24b2=1 ，所以 c 2+2ac −4a 2=0 所以 e 2+2e −4=0 解得 e =√5−1 . 故答案为： √5−1【分析】由 ∠MOF 2=α2，|OF 2|=c ，则 |OM|=ccos α2 ，所以点 M(ccos 2α2，ccos α2sin α2) ，因为 tanα=b a ，可得 sinα=b c ，cosα=a c ，点 M 坐标化简为 (c+a 2，b2) ，代入双曲线的方程求解.17．【答案】（1）解：由正弦定理，得 3b c +3c b =3a 2bc+4√2 ，即 3b 2+3c 2=3a 2+4√2bc ，则 b 2+c 2−a 22bc =2√23=cosA ，而sin2A+cos2A=1，又A∈(0，π)，解得sinA=13，故tanA=sinAcosA =√24.（2）解：因为√2sinB=3sinC，则b=3c√2，因为SΔABC=2√2，故12bcsinA=2√2，故12×3c2213=2√2，解得c=2√2，故b=6，则a=√b2+c2−2bccosA=√36+8−2×6×2√2×2√23=2√3【解析】【分析】（1）由正弦定理将3sinBsinC+3sinCsinB=3sin2AsinBsinC+4√2，转化3bc+3cb=3a2bc+4√2，即3b2+3c2=3a2+4√2bc，由余弦定理求得cosA，再由平方关系得sinA再求解.（2）由√2sinB=3sinC，得b=3c2，结合SΔABC=12bcsinA=2√2再求解.18．【答案】（1）证明：因为∠BAB1=∠BB1A，故AB=BB1，所以四边形A1ABB1为菱形，而CO⊥平面ABB1A1，故∠COA=∠COB=90°.因为CO=CO,CA=CB，故ΔCOA≌ΔCOB，故AO=BO，即四边形ABB1A1为正方形，故AB⊥AA1（2）解：依题意，CO⊥OA,CO⊥OA1.在正方形A1ABB1中，OA1⊥OA，故以O为原点，OA1,OA,OC所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz；如图所示：不纺设 AB =2 ，则 O(0,0,0),A 1(√2,0,0),A(0,√2,0),C(0,0,√2),C 1(√2,−√2,√2) ，又因为 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 D(√2,−√23,√23) . 所以 A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,√2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,√2) . 设平面 A 1ACC 1 的法向量为 m ⃗⃗⃗ =(x,y,z) ，则 {m⇀⋅AA 1=0,m⇀⋅AC ⇀=0. ，即 {−√2x +√2y =0,−√2y +√2z =0.，令 x =1 ，则 y =1,z =1 .于是 m ⃗⃗⃗ =(1,1,1) . 又因为 OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√23,√23) ，设直线 OD 与平面 A 1ACC 1 所成角为 θ ，则 sinθ=|cos〈m ⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3311 ，所以直线 OD 与平面 A 1ACC 1 所成角的正弦值为 √3311【解析】【分析】（1）由 ∠BAB 1=∠BB 1A ，故 AB =BB 1 ，所以四边形 A 1ABB 1 为菱形，再通过ΔCOA ≌ΔCOB ，证得 AO =BO ，所以四边形 ABB 1A 1 为正方形，得到 AB ⊥AA 1 .（2）根据（1）的论证，建立空间直角坐标，设平面 A 1ACC 1 的法向量为 m ⃗⃗⃗ =(x,y,z) ，由 {m⇀⋅AA 1=0,m⇀⋅AC ⇀=0. 求得，再由 OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√23,√23) ，利用线面角的向量法公式求解. 19．【答案】（1）解：依题意， F(p 2,0) ，则直线 DE:y =x −p2 ，联立 {y 2=2px,y =x −p 2, 得 y 2−2py −p 2=0 ；设 D(x 1,y 1),E(x 2,y 2) ，则 |DE|=√1+1k 2|y 1−y 2|=√1+1k2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√2⋅2√2p =4 ，解得 p =1 ，故抛物线 C 的方程为 y 2=2x（2）解： D(y 122,y 1),E(y 222,y 2) ，因为直线 DE 的斜率为1，则 y 2−y 1y 222−y 122=2y 2+y 1=1 ，所以 y 2+y 1=2 ，因为 DI ⃗⃗⃗⃗ +EI⃗⃗⃗⃗ =0 ，所以线段 DE 中点 I 的纵坐标为 y I =1 . 直线 DO 的方程为y =y 1y 122x，即 y =2y 1x ①直线 EG 的方程为 y −2=y 2−2y 222−2(x −2) ，即 y =2y 2+2(x −2)② 联立①②解得 {x =y 12,y =1.即点 H 的纵坐标为 y H =1 ，即直线 HI//x 轴，故直线 HI 的斜率为0.如果直线 EG 的斜率不存在，结论也显然成立，综上所述，直线 HI 的斜率为0.【解析】【分析】（1）根据题意，设直线 DE:y =x −p2 ，与 C:y 2=2px(p >0) 联立，得 y 2−2py −p 2=0 ，再由弦长公式， |DE|=√1+1k 2|y 1−y 2|=4 求解.（2）设D(y 122,y 1),E(y 222,y 2) ，根据直线 DE 的斜率为1，则 y 2−y 1y 222−y 122=2y 2+y 1=1，得到 y 2+y 1=2 ，再由 DI ⃗⃗⃗⃗ +EI ⃗⃗⃗⃗ =0 ，所以线段 DE 中点 I 的纵坐标为 y I =1 ，然后直线 DO 的方程 y =2y 1x 与直线 EG 的方程 y =2y 2+2(x −2) 联立解得交点H 的纵坐标 y H =1 ，说明直线 HI//x 轴，直线HI 的斜率为0.20．【答案】（1）解：依题意， f ′(x)=e x −2+sinx ，因为 e x <e 0=1 ，且 sinx −1⩽0 ，故 f ′(x)<0 ，故函数 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递减，故 f(x)>f(0)=0（2）解：依题意， g(x)=e x −2x −cosx +ln(x +1)，x >−1 ，令 ℎ(x)=g ′(x)=e x +1x+1+sinx −2 ，则 ℎ(0)=0 ；而 ℎ′(x)=e x −1(x+1)2+cosx，可知当 x ∈(0，π2) 时， ℎ′(x)>0 ，故函数 ℎ(x) 在 (0，π2) 上单调递增，故当 x ∈(0，π2) 时， ℎ(x)=g ′(x)>g ′(0)=0 ；当 x ∈(−1，0) 时，函数 ℎ′(x) 单调递增，而 ℎ′(0)=1 ，又 ℎ′(−910)=e −910+cos(−910)−100<0 ，故 ∃x 0∈(−910，0) ，使得 ℎ′(x 0)=0 ，故 ∃x ∈(x 0，0) ，使得 ℎ′(x)>0 ，即函数 ℎ(x) 单调递增，即 g ′(x) 单调递增；故当 x ∈(x 0，0) 时， g ′(x)<g ′(0)=0 ，故函数 g(x) 在 (x 0，0) 上单调递减，在 (0，π2) 上单调递增，故当 x =0 时，函数 g(x) 有极小值 g(0)=0 .【解析】【分析】（1）求导得 f ′(x)=e x −2+sinx ，由 e x <e 0=1 ，且 sinx −1⩽0 ，得到f ′(x)<0 ，再利用函数 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递减论证.（2）根据题意 g(x)=e x −2x −cosx +ln(x +1)，x >−1 ，求导，令 ℎ(x)=g ′(x)=e x +1x+1+sinx −2 ，易知 ℎ(0)=0 ；ℎ′(x)=e x −1(x+1)2+cosx，易知当 x ∈(0，π2) 时， ℎ′(x)>0 ， ℎ(x)=g ′(x)>g ′(0)=0 ；当 x ∈(−1，0) 时，函数 ℎ′(x) 单调递增，而 ℎ′(0)=1 ，又 ℎ′(−910)=e −910+cos(−910)−100<0 ，由零点存在定理得 ∃x 0∈(−910，0) ，使得 ℎ′(x 0)=0 ， ∃x ∈(x 0，0) ，使得ℎ′(x)>0 ，有 ℎ(x)=g ′(x)<g ′(0)=0 从而得证.21．【答案】（1）解：本次实验中， K 2=1000×(300×250−200×250)2500×500×550×450≈10.1<10.828 ，故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性（2）解：依题意， X 的可能取值为0，1，2，3，4，故 P(X =0)=(12)4=116=P(X =4) ， P(X =1)=C 43(12)4=416=14=P(X =3) ， P(X =2)=C 42(12)4=616=38故 E(X)=4×12=2 . （3）解：∵2m ⩾8 ，∴m ⩾4 .要证 3M ⩾m(m −1)(m −2) ，即证 M ⩾2C m 3 ；首先证明：对任意 m,k ∈N ∗,m ⩾k ，有 C m+1k >C m k. 证明：因为 C m+1k −C m k =C m k−1>0 ，所以 C m+1k >C m k .设 2m 个路口中有 p(p ∈N,p ⩽2m) 个路口种植杨树， ①当 p ∈{0,1,2} 时，M =C 2m−p 3⩾C 2m−23=(2m−2)(2m−3)(2m−4)6=4×(m−1)(m−2)(2m−3)6，因为 m ⩾4 ，所以 2m −3>m ，于是 M >4×m(m−1)(m−2)6=4C m 3>2C m3 . ②当 p ∈{2m −2,2m −1,2m} 时， M =C p3⩾C 2m−23 ，同上可得 M >2C m 3 ③当 3⩽p ⩽2m −3 时， M =C p3+C 2m−p 3 ，设 f(p)=C p 3+C 2m−p 3,3⩽p ⩽2m −3 ，当 3⩽p ⩽2m −4 时， f(p +1)−f(p)=C p+13+C 2m−p−13−C p 3−C 2m−p 3=C p 2−C 2m−p−12 ，显然 p ≠2m −p −1 ，当 p >2m −p −1 即 m ⩽p ⩽2m −4 时， f(p +1)>f(p) ，当 p <2m −p −1 即 3⩽p ⩽m −1 时， f(p +1)<f(p) ，即 f(m)<f(m +1)<⋯<f(2m −3) ； f(3)>f(4)>⋯>f(m) ，因此 f(p)⩾f(m)=2C m 3 ，即 M ⩾2C m 3 . 综上， M ⩾2C m3 ，即 3M ⩾m(m −1)(m −2) . 【解析】【分析】（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..（2）根据题意，随机变量 X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.（3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以 2m ⩾8 ，即 m ⩾4 .要证 3M ⩾m(m −1)(m −2) ，即证 M ⩾m(m−1)(m−2)3，根据组合数公式，即证 M ⩾2C m 3 ；易知有 C m+1k >C m k .成立.设 2m 个路口中有 p(p ∈N,p ⩽2m) 个路口种植杨树，下面分类讨论①当 p ∈{0,1,2} 时，由 M =C 2m−p3⩾C 2m−23论证.②当 p ∈{2m −2,2m −1,2m} 时，由 M =C p3⩾C 2m−23 论证.③当 3⩽p ⩽2m −3 时， M =C p 3+C 2m−p 3 ，设 f(p)=C p 3+C 2m−p 3,3⩽p ⩽2m −3 ，再论证当 p =m 时， f(p)=C p 3+C 2m−p 3取得最小值即可.22．【答案】（1）解：依题意，曲线 C 1:(x −2)2+y 2=4 ，即 x 2+y 2−4x =0 ，故 ρ2−4ρcosθ=0 ，即 ρ=4cosθ . 因为 ρ2=4cos 2α+4sin 2α，故 ρ2cos 2α+4ρ2sin 2α=4 ，即 x 2+4y 2=4 ，即 x 24+y 2=1（2）解：将 θ=θ0 代入 ρ2=4cos 2α+4sin 2α，得 ρQ 2=41+3sin 2θ0 ，将 θ=θ0 代入 p =4cosθ ，得 ρP =4cosθ0 ，由 |OP|=2|OQ| ，得 ρP =2ρQ ，得 (4cosθ0)2=161+3sin 2θ0，解得 sin 2θ0=23 ，则 cos 2θ0=13.又 0<θ0<π2 ，故 ρQ =√41+3sin 2θ0=2√33,ρP =4cosθ0=4√33 ，故 ΔMPQ 的面积 S ΔMPQ =S ΔOMP −S ΔOMQ =12⋅|OM|⋅(ρP −ρQ )⋅sinθ0=2√23【解析】【分析】（1）先把曲线 C 1 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用 x =ρcosθ,y =ρsinθ 求得极坐标方程.将 ρ2=4cos 2α+4sin 2α，化为 ρ2cos 2α+4ρ2sin 2α=4 ，再利用 x =ρcosθ,y =ρsinθ 求得曲线 C 2 的普通方程.（2）设直线的极角 θ=θ0 ，代入 ρ2=4cos 2α+4sin 2α，得 ρQ 2=41+3sin 2θ0 ，将 θ=θ0 代入 p =4cosθ ，得 ρP =4cosθ0 ，由 |OP|=2|OQ| ，得 ρP =2ρQ ，即 (4cosθ0)2=161+3sin 2θ0，从而求得 sin 2θ0=23 ， cos 2θ0=13 ，从而求得 ρQ ,ρP ，再利用 S ΔMPQ =S ΔOMP −S ΔOMQ =12⋅|OM|⋅(ρP −ρQ )⋅sinθ0求解.23．【答案】（1）解：要证a 4−a 2b 2+b 4⩾ab(a 4+b 4)a 2+b2 ，即证 (a 2+b 2)(a 4−a 2b 2+b 4)⩾ab(a 4+b 4) ，即证 a 6+b 6⩾a 5b +ab 5 ，即证 a 6+b 6−a 5b −ab 5⩾0 ，即证 a 5(a −b)−(a −b)b 5⩾0 ，即证 (a 5−b 5)(a −b)⩾0 ，该式显然成立，当且仅当 a =b 时等号成立，故a 4−a 2b 2+b 4⩾ab(a 4+b 4)a 2+b2（2）解：由基本不等式得 a 3+b 3+c 3⩾3abc ， a 3+b 3+1⩾3ab ，b 3+c 3+1⩾3bc ，a 3+c 3+1⩾3ac ，当且仅当 a =b =c =1 时等号成立.将上面四式相加，可得 3a 3+3b 3+3c 3+3⩾3abc +3ab +3bc +3ac ，即 a 3+b 3+c 3⩾ab +bc +ac .【解析】【分析】（1）采用分析法论证，要证a 4−a 2b 2+b 4⩾ab(a 4+b 4)a 2+b2，分式化整式为 (a 2+b 2)(a 4−a 2b 2+b 4)⩾ab(a 4+b 4) ，再利用立方和公式转化为 a 6+b 6⩾a 5b +ab 5 ，再作差提取公因式论证.（2）由基本不等式得 a 3+b 3+1⩾3ab ，b 3+c 3+1⩾3bc ，a 3+c 3+1⩾3ac ，再用不等式的基本性质论证.。

高三数学第二次线上统一测试4月试题理试题

2021届高三数学第二次线上统一测试〔4月〕试题理本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本套试卷一共6页，23小题，满分是150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1.集合A ＝{x|12<2x ≤2}，B ＝{x|ln(x －12)≤0}，那么A ∩(R B)＝ A.∅ B.(－1，12] C.[12，1) D.(－1，1] 2.棣莫弗公式(cosx ＋isinx)n ＝cosnx ＋isinnx(i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos5π＋isin 5π)6在复平面内所对应的点位于3.点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，那么实数a 的取值范围是A.－7<a<24B.a ＝7或者a ＝24C.a<7或者a>24D.－24<a<7 4.1()3,1()2,1x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a 的取值范围是 A.(0，1) B.(0，12) C.[16，12) D.[16，1) 5.在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AD ⊥AB ，3BC BD =，AD ＝1，那么AC AD ⋅＝6.一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的程度放置的直观图是一个边长为1的正方形，那么此四棱锥的体积为C.137.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，3a 8＝5a 13，且a 1>0，假设S n 获得最大值，那么n 为2＝8x ，过点A(2，0)作倾斜角为3π的直线l ，假设l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，那么线段AP 的长为A.163B.83C.1633 3 9.函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数。

2020届高三数学下学期线上教学质量检测试题理(含解析)

2020届高三数学下学期线上教学质量检测试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】分析】先解,再利用补集的定义求解即可.【详解】由题,因为,则,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查集合的补集运算,考查解指数不等式.2.已知复数满足，且，则（）A. 3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据力的合成原理可得,进而求解即可.【详解】由题,若三个力作用于静止物体同一点,且物体保持静止,则,所以,故选:A【点睛】本题考查向量在物理中的应用,考查力的合成.4.已知等比数列的前项和为，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的定义可得,再利用等比数列的性质可得,进而根据等比数列的前项和公式求解即可.【详解】由题,因为数列是等比数列,,所以,因为,所以,即,所以,即,所以,则当时,,故选:B【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查等比数列定义的应用,考查等比数列的前项和.5.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导可得,将代入可求得,则,,再求出和,利用点斜式方程即可求得切线方程.【详解】由题,因为,所以,所以,则,所以,,则,,所以曲线在点的切线方程为,即,故选:D【点睛】本题考查在曲线上一点处的切线方程,考查导数的几何意义的应用.7.若展开式中的系数为，则整数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】展开式中的系数由两部分构成,其一是取,取时的系数；其二是与均取时的系数,进而求解即可.【详解】由题,前系数为,即,解得或,因为为整数,所以,故选:A【点睛】本题考查已知二项式展开式中项的系数求参数,属于基础题.8.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数幂、对数的性质可比较的大小关系,再根据单调递减求解即可.【详解】由题,显然单调递减,因为,,,所以,所以,故选:A【点睛】本题考查利用单调性比较大小,考查指数幂、对数比较大小.9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体,即为一个四棱锥,进而求解即可.【详解】由三视图画出几何体的直观图,如图所示,即该几何体为四棱锥,由三视图可得,,,,所以,故选:B【点睛】本题考查利用三视图还原几何体求体积,考查空间想象能力.10.将曲线向左平移个单位长度，得到曲线的对称中心为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象变换原则得到图象变换后的解析式,令,进而求解即可.【详解】由题,则平移后的函数解析式为,令,则,所以对称中心为,故选:C【点睛】本题考查平移变换后的三角函数解析式,考查正弦型函数的对称中心.11.双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形面积用表示出来，它等于，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程为，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于的一个等式，本题中四边形的面积是就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为的正四棱柱的外接球,利用勾股定理得到关于的方程,进而求解即可.【详解】由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为的正四棱柱的外接球,所以,所以,故该二十四等边体的外接球的表面积,故选:A【点睛】本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积的求法,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意根据几何体的对称性将问题进行等价转化.第Ⅱ卷注意事项：用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知，则______.【答案】【解析】【分析】先利用化切为弦,再利用可得到关于的方程,进而求解即可.【详解】由题,因为,所以,则,即,解得或（舍）,因为,所以,所以,故答案:【点睛】本题考查同角的三角函数关系的应用,考查求三角函数值,考查运算能力.14.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为_________.【答案】【解析】【分析】若该选手能进入第四关,则前三关均通过,进而利用独立事件概率公式求解即可.【详解】由题,若该选手能进入第四关,则前三关均通过,所以,故答案为:【点睛】本题考查独立事件的概率公式,属于基础题.15.已知等差数列的前n项和为，且，.数列的首项为3，且，则________.【答案】【解析】【分析】由等差数列可得,解得,即可求得,再由可得数列是周期数列,求得,即可求解.【详解】由题,因为,所以,即,所以,又,且,则,,所以数列是周期为的数列,则,所以,故答案为:【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查数列的周期性的应用,考查运算能力.16.过点的直线与抛物线：交于两点（在之间），是的焦点，点满足，则与的面积之和的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】根据直线过点,设出直线的方程联立抛物线后可表示出,两点的纵坐标,利用可表示出点纵坐标,由三角形面积公式可表示与的面积之和,对表达式求导,根据导数即可求面积和的最小值.【详解】设直线方程为,联立,化简可得,则,解得或,不妨设,则,,因为,所以,所以,,则,令,则,令,解得,当时,,所以在上单调递减,当时,,所以在上单调递增,即当时取得最小值,所以的最小值为8,故答案为:8【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查抛物线中三角形面积的求法,考查利用导函数求最值.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知的内角的对边分别为，设，且.（1）求A及a；（2）若，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得,再利用二倍角公式求得角；（2）先利用余弦定理求得,再利用等面积法求解即可.【详解】（1）因为,根据正弦定理得,又因为,因为所以,（2）由（1）知,由余弦定理得因为,所以所以设BC边上的高为.,,即BC边上的高为.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式的应用,考查余弦定理的应用.18.如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，，，是的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接,交于,连接,在中利用中位线的性质求证即可；（2）由题易证得两两垂直,则以点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,利用数量积求解即可.【详解】（1）证明:连接,交于,连接,如图所示,因为四边形是矩形,所以是的中点,由于是的中点,所以,由于平面,平面,所以平面.（2）因为平面平面,平面平面, ,所以平面,可知两两垂直,以点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,因为,则,,所以,,设平面的法向量为,则,所以,取,则,依题意,得平面的一个法向量为,,故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力.19.2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年～2018年，我国GDP查679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均GDP从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.如图是全国2010年至2018年GDP总量（万亿元）的折线图.注：年份代码1～9分别对应年份2010～2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与年份代码的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测2021年全国GDP的总量.附注：参考数据：.参考公式：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】（1）见解析（2），10494万亿元.【解析】【分析】（1）先利用数据求得,再根据公式求解相关系数,进而判断即可；（2）将数据代入公式中可解得线性回归方程,再将代入估计数据即可.【详解】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得,,,所以,因为与的相关系数近似为0.997,说明与的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由已知及（1）得,,所以关于的回归方程为.将2021年对应的年份代码代入回归方程,得,所以预测2021年全国GDP总量约为104.94万亿元.【点睛】本题考查相关系数解决实际问题,考查最小二乘法求线性回归方程,考查利用线性回归方程估计数据.20.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求方程；（2）已知直线不经过点，且斜率为，若与交于两个不同点，且直线的倾斜角分别为，试判断是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．【答案】（1）（2）是，【解析】【分析】（1）将点代入椭圆中且,进而求解即可；（2）设,与椭圆方程联立可得,根据韦达定理可得点,的坐标与的关系,再利用斜率公式可求得直线与的斜率的关系,进而得到的值.【详解】(1)由题意得,解得,所以的方程为.(2) 是定值,设直线,,由,得,由,解得或,则,依题意,易知与的斜率存在,所以,设直线与的斜率分别为,故.又,所以,,,即,.【点睛】本题考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆内的定值问题.21.已知函数，证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设,对求导可知在上单调递减,利用零点存在性定理可得在上有唯一的零点,进而求证即可；（2）利用导函数分别讨论,,的单调性,判断函数图象的性质,进而求证即可.【详解】证明:(1)设,当时,,所以在上单调递减,又因为,,所以在上有唯一的零点,即函数在上存在唯一零点,当时,,在上单调递增；当时,,在上单调递减,所以在上存在唯一的极大值点(2)①由(1)知:在上存在唯一的极大值点,所以,又因为,所以在上恰有一个零点,又因为,所以在上也恰有一个零点,②当时,,,设,,所以在上单调递减,所以,所以当时,恒成立,所以在上没有零点,③当时,,设,,所以在上单调递减,所以,所以当时,恒成立,所以在上没有零点,综上,有且仅有两个零点.【点睛】本题考查利用导函数求极值,考查利用导函数处理零点问题,考查分类讨论思想和运算能力.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于点，点的坐标为（3，1），求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式:即可求解;联立直线的方程和曲线的方程,整理化简得到关于的一元二次方程,由题知点在直线上,利用参数方程中参数的几何意义及一元二次方程中的韦达定理即可求出的值.【详解】因为曲线的方程，∴，∴，化简得,曲线的直角坐标方程为：.（2）把直线代入曲线得，整理得，.∵，所以方程有两个不等实根，设为方程的两个实数根，由韦达定理可得,，，∴为异号，又∵点（3，1）在直线上，由参数方程中参数的几何意义可得,.所以.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题.23.已知函数当时,求不等式的解集当时,不等式成立,求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式（2）去绝对值分离参数求最值即可【详解】时,,当时,不成立，当时，，当时,不等式成立，的解集为(2)当时，化为,，，，在上是减函数，故；在上是增函数，故,的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题求参数，注意分离参数是常见方法，是中档题2020届高三数学下学期线上教学质量检测试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】分析】先解,再利用补集的定义求解即可.【详解】由题,因为,则,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查集合的补集运算,考查解指数不等式.2.已知复数满足，且，则（）A. 3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据力的合成原理可得,进而求解即可.【详解】由题,若三个力作用于静止物体同一点,且物体保持静止,则,所以,故选:A【点睛】本题考查向量在物理中的应用,考查力的合成.4.已知等比数列的前项和为，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的定义可得,再利用等比数列的性质可得,进而根据等比数列的前项和公式求解即可.【详解】由题,因为数列是等比数列,,所以,因为,所以,即,所以,即,所以,则当时,,故选:B【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查等比数列定义的应用,考查等比数列的前项和.5.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导可得,将代入可求得,则,,再求出和,利用点斜式方程即可求得切线方程.【详解】由题,因为,所以,所以,则,所以,,则,,所以曲线在点的切线方程为,即,故选:D【点睛】本题考查在曲线上一点处的切线方程,考查导数的几何意义的应用.7.若展开式中的系数为，则整数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】展开式中的系数由两部分构成,其一是取,取时的系数；其二是与均取时的系数,进而求解即可.【详解】由题,前系数为,即,解得或,因为为整数,所以,故选:A【点睛】本题考查已知二项式展开式中项的系数求参数,属于基础题.8.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数幂、对数的性质可比较的大小关系,再根据单调递减求解即可.【详解】由题,显然单调递减,因为,,,所以,所以,故选:A【点睛】本题考查利用单调性比较大小,考查指数幂、对数比较大小.9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体,即为一个四棱锥,进而求解即可.【详解】由三视图画出几何体的直观图,如图所示,即该几何体为四棱锥,由三视图可得,,,,所以,故选:B【点睛】本题考查利用三视图还原几何体求体积,考查空间想象能力.10.将曲线向左平移个单位长度，得到曲线的对称中心为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象变换原则得到图象变换后的解析式,令,进而求解即可.【详解】由题,则平移后的函数解析式为,令,则,所以对称中心为,故选:C【点睛】本题考查平移变换后的三角函数解析式,考查正弦型函数的对称中心.11.双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形面积用表示出来，它等于，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程为，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于的一个等式，本题中四边形的面积是就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为的正四棱柱的外接球,利用勾股定理得到关于的方程,进而求解即可.【详解】由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为的正四棱柱的外接球,所以,所以,故该二十四等边体的外接球的表面积,故选:A【点睛】本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积的求法,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意根据几何体的对称性将问题进行等价转化.第Ⅱ卷注意事项：用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知，则______.【答案】【解析】【分析】先利用化切为弦,再利用可得到关于的方程,进而求解即可.【详解】由题,因为,所以,则,即,解得或（舍）,因为,所以,所以,故答案:【点睛】本题考查同角的三角函数关系的应用,考查求三角函数值,考查运算能力.14.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为_________.【答案】【解析】【分析】若该选手能进入第四关,则前三关均通过,进而利用独立事件概率公式求解即可.【详解】由题,若该选手能进入第四关,则前三关均通过,所以,故答案为:【点睛】本题考查独立事件的概率公式,属于基础题.15.已知等差数列的前n项和为，且，.数列的首项为3，且，则________.【答案】【解析】【分析】由等差数列可得,解得,即可求得,再由可得数列是周期数列,求得,即可求解.【详解】由题,因为,所以,即,所以,又,且,则,,所以数列是周期为的数列,则,所以,故答案为:【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查数列的周期性的应用,考查运算能力.16.过点的直线与抛物线：交于两点（在之间），是的焦点，点满足，则与的面积之和的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】根据直线过点,设出直线的方程联立抛物线后可表示出,两点的纵坐标,利用可表示出点纵坐标,由三角形面积公式可表示与的面积之和,对表达式求导,根据导数即可求面积和的最小值.【详解】设直线方程为,联立,化简可得,则,解得或,。

高三数学下学期第二次线上统一测试试题理含解析试题

2021届高三数学下学期第二次线上统一测试试题理〔含解析〕本套试卷一共6页，23小题，满分是150分.考试用时120分钟.一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.11|22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭,那么()R A B =( )A. ∅B. 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,1-【答案】B 【解析】【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案．【详解】1{|22}{|11}2x A x x x =<=-<，113{|()0}{|}222B x ln x x x =-=<， 3{|2R B x x ∴=>或者1}2x，那么12(1,)A B ⎛⎤- ⎥⎝⎦=R ．应选：B ．【点睛】此题考察指数不等式与对数不等式的解法，考察集合的交、并、补混合运算，属于根底题.()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+〔i 为虚数单位〕是由法国数学家棣莫弗〔1667-1754〕发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos 05π<、6sin05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，6cos5π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 应选：C.【点睛】此题考察了新概念在复数中的应用，考察了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于根底题.()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，那么实数a 的取值范围是〔〕A. 724a -<<B. 7a =或者24a =C. 7a <或者24a >D. 247a -<<【答案】A 【解析】【分析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<. 应选：A.【点睛】此题考察了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于根底题.4.()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是〔〕 A. 0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由分段函数的单调性可转化条件得10201132a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数， ∴10201132a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a ≤<.应选：C.【点睛】此题考察了分段函数单调性的问题，属于根底题.5.如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，那么AC AD ⋅=〔〕A. 23B.32C.333【答案】D 【解析】 ∵3AC AB BC AB BD=+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，应选D ．6.一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的程度放置的直观图是一个边长为1的正方形，那么此四棱锥的体积为〔〕 A .2B. 2C.13D. 22【答案】D 【解析】【分析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解. 【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为2可知该四棱锥的底面积22S =那么该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯=应选：D.【点睛】此题考察了原图与直观图之间的关系，考察了棱锥体积的计算，属于根底题. {}n a 中，n S 为其前n 项的和，81335a a =，且10a >，假设n S 获得最大值，那么n 为〔〕 A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】A 【解析】【分析】转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-，10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 获得最大值.应选：A.【点睛】此题考察了等差数列通项公式的应用，考察了等差数列前n 项和最大值的问题，属于根底题.28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，假设l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，那么线段AP 的长为〔〕A.163B. 83C.3D.【答案】A 【解析】【分析】由题意可得直线:2BC x y +，联立方程组即可求得BC中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:333MP y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫⎪⎝⎭后即可得解. 【详解】由题意可得直线:2BC x y =+，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组282y xx y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得21603y y --=，易得>0∆，∴1102y y y +=∴001023x y =+=，∴点103M ⎛ ⎝⎭，又 MP BC ⊥，∴13MP BC k k =-=-， ∴直线10:333MP y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=. 应选：A.【点睛】此题考察了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有以下结论： ①函数()f x 的图象关于直线512x π=对称②函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点其中所有正确结论的编号是〔〕 A. ①② B. ③④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】【分析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解.【详解】函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===，函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确；当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误；当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故④错误.应选：D.【点睛】此题考察了三角函数图象的综合应用，考察了整体法的应用，属于中档题. 10.甲、乙两队进展排球比赛，根据以往的经历，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛互相间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，假设采用五局三胜制，那么甲以3:1获胜的概率是〔〕【答案】B 【解析】【分析】由题意可得甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，由HY 性重复实验的概率公式计算即可得解.【详解】由题意假设要甲以3:1获胜那么需要甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，那么所求概率()()2230.610.60.60.2592p C =⋅⋅-⋅=.应选：B.【点睛】此题考察了HY 性重复实验概率的求解，考察了转化化归思想，属于中档题.()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]2,3x ∈时，()f x x =，那么[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为〔〕A. ()21f x x =++B. ()31f x x =-+C. ()2f x x =-D. ()4f x x =+【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.应选：B.【点睛】此题考察了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题. 12.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、11A D 1DB 与平面EFC 的交点O ，那么1DOOB 的值是〔〕A.45B.35C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BDCE M =，连接MN ，由平面相交的性质可得1MN DB O ⋂=，利用三角形相似求得11156B N B D =、23DM DB =，再利用三角形相似即可得解.【详解】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BDCE M =，连接MN ，由E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点易得//FG CE ，即G ⊂面EFC ，由11//B D BD 可知1D ⊂面1B BD ，所以面EFC ⋂面1B BD NM =，又 1DB ⊂面1B BD ，所以直线1DB 与平面EFC 的交点O 即为MN 与1DB 的交点，取11B D 的中点Q ，由1D GN QFN ∽可得112D N QN =，所以11156B N B D =，由BEM DCM ∽可得12BM DM =，所以23DM DB =，由11B D BD =可得145DM B N =，由1DMO B NO ∽可得1145DM D O B B N O ==. 应选：A.【点睛】此题考察了平面的性质和平面相交的性质，考察了空间思维才能和转化化归思想，属于中档题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，那么a 的值是________.【答案】14【解析】【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，那么()()()302004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】此题考察了导数几何意义的应用，考察了运算才能，属于根底题. 14.n S 为数列{}n a 的前n 项和，假设22n n S a =-，那么54–S S =________. 【答案】32 【解析】【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2nn a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=，所以54553–22S S a ===.故答案为：32.【点睛】此题考察了n a 与n S 关系的应用，考察了等比数列的断定和通项公式的应用，属于根底题.,,A B C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，那么该的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________. 【答案】1427【解析】【分析】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况一共有4381=种，分别求出有三人在同一区域另一人在另一区域的情况数和有两人在同一区域另两人在另一区域的情况数，利用古典概型概率的公式即可得解.【详解】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况一共有4381=种；假设4位申请人中，有三人在同一区域另一人在另一区域的情况一共有324324C A ⋅=种；有两人在同一区域另两人在另一区域的情况一共有2224232218C C A A ⋅⋅=种；故所求概率2418148127p +==. 故答案为：1427. 【点睛】此题考察了排列组合的综合应用，考察了古典概型概率的求解，属于中档题.16.在平面直角坐标系中，过椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左焦点F 的直线交椭圆于,A B两点，C 为椭圆的右焦点，且ABC ∆是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，那么椭圆的离心率为_________.-【解析】【分析】设ACm ，由题意结合椭圆性质可得2AF a m ，242BC a BF a m ，由等腰直角三角形性质可得1224am m ，再由直角三角形性质可得222FCAFAC ，最后利用ce a=即可得解. 【详解】如下图，设AC m ，由椭圆定义可得2AF a m ，ABC 是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，∴ACAB m ，22BF AB AFm a ，242BC a BF a m ，∴422BC a mACm，∴1224am m ，∴22m AF ，在Rt AFC 中，222232FC AF ACm ，∴624FC mc ， ∴66463122224m c eam m .故答案为：63-.【点睛】此题考察了椭圆性质的应用和离心率的求解，考察了计算才能，属于中档题. 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分.ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，2sin sin sin B A C =.〔1〕求证：03B π<≤；〔2〕求222sinsin 1A CB +-+的取值范围.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕(【解析】【分析】〔1〕由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合根本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；〔2〕由三角函数的性质化简得22sinsin 124A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合〔1〕中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】〔1〕证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，0B π<<,03B π∴<≤.〔2〕由题意222sin sin 1A C B +-+()cos sin A C B =-++cos sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由〔1〕知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(. 【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考察了根本不等式的应用，属于中档题.18.如下图，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，2AD =.〔1〕在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ？请证明你的结论；〔2〕求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】〔1〕存在；证明见解析〔2〕14【解析】【分析】〔1〕当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB ；取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，由结合中位线的性质可得//FP BC 且FP BC =，进而可得//CP BF ，由线面平行的断定即可得证；〔2〕由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面SAB 的一个法向量为1n 与平面SCD 的一个法向量为2n ，利用121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可得解.【详解】〔1〕当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB . 证明如下：取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，那么//FP AD 且12FP AD =，//AD BC ，112BC AD ==， ∴//FP BC 且FP BC =， ∴四边形FBCP 为平行四边形， ∴//CP BF ，CP平面SAB ，BF ⊂平面SAB ，∴//CP 平面SAB .〔2〕在平面ABCD 内过点A 作直线AD 的垂线Ax ，SA ⊥平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA Ax ⊥，∴直线AS 、Ax 和AD 两两垂直，以点A 为原点，分别以直线Ax 、AD 和AS 为x 轴、y 轴和z 轴建立如下图的空间直角坐标系，过点B 作BE AD ⊥交直线AD 于E ，//AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，∴12AE =，32BE =，从而可得()0,0,0A ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，33,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()0,0,1S ，那么()0,0,1AS =，31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,1SD =-，31,022DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面SAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，那么1100n AS n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1110102z x y =⎧+=，取1x =()13,3,0n =-，设平面SCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，那么2200n SD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220102y z x y -=⎧-=，取2x =，可得()23,3,6n = ∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅14=-，∴平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14. 【点睛】此题考察了线面平行的断定和利用空间向量求二面角，考察了计算才能，属于中档题.22:1124x y C +=，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点. 〔1〕求AMB ∠的最大值，并证明你的结论；〔2〕设直线AM 的斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线BM 的斜率的取值范围. 【答案】〔1〕AMB ∠的最大值为23π；证明见解析〔2〕2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】〔1〕设()00,M x y ，〔0x -<<002y <≤〕，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，由三角函数的概念可得00tan A H y x M +∠=，0tan BMH y x ∠=，由两角和的正切公式可得tan AMB∠0220012x y =+-，求出tan AMB ∠≤后由椭圆对称性即可得解；〔2〕由题意可知202012y k k x '⋅=-，利用22001124x y +=即可得13k k '⋅=-，由k 的取值范围即可求得k '的取值范围，即可得解.【详解】〔1〕根据椭圆的对称性，不妨设()00,M x y ，〔0x -<<002y <≤〕. 过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，那么()0,0Hx (0x -<<，于是，有0tan AH AMH M H ∠==，0tan BH BMH MH ∠==， ∴()tan tan AMB AMH BMH ∠=∠+∠=tan tan 1tan tan AMH BMHAMH BMH∠+∠-∠∠0000=，点()00,M x y 在椭圆C 上，∴22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴0tan AMB y ∠=-，而002y <≤，∴0tan AMB y ∠=-≤0AMB π<∠<， ∴AMB ∠的最大值为23π，此时02y =，即点M 为椭圆C 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB ∠取最大值，其最大值为23π. 〔2〕设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，那么k =，k '=∴22012y k k x '⋅=-，又22001124x y +=，∴2200123x y =-， ∴13k k '⋅=-，11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴213k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了椭圆和三角函数、椭圆和直线的综合问题，考察了运算才能和转化化归思想，属于中档题.()()ln 1f x x =+，()x g x e =〔e 为自然对数的底数〕.〔1〕讨论函数()()x ax f x xϕ+=-在定义域内极值点的个数；〔2〕设直线l 为函数()f x 的图象上一点()00,A x y 处的切线，证明：在区间(0,)+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线yg x 相切.【答案】〔1〕当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕对函数()x ϕ求导得()()221x ax a x x xϕ++'=+，令()2h x x ax a =++，分类讨论()h x 有无零点以及零点与1-、0的相对位置即可得解；〔2〕由题意可得切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，由题意可得()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，进而可得()0001ln 10x x x ++-=，由〔1〕中结论即可证明()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，即可得证.【详解】〔1〕由题意()()x a x f x x ϕ+=-()ln 1x ax x+=+-)0x ≠且()1121m x x +>+，那么()()222111a x ax ax x x x x ϕ++'=+=++，令()2h x x ax a =++，24a a ∆=-，①当240a a ∆=-≤即04a ≤≤时，()0x ϕ'≥，此时，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，()x ϕ无极值点； ②当240a a ∆=->时，即当0a <或者4a >时，函数()2h x x ax a =++有两个零点，1x =2x =，〔i 〕当0a <时，因为11x --==0<，所以2101x x >>>-，所以函数()x ϕ在()11,x -单调递增，在()1,0x 和()20,x 上单调递减，在()2x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ有两个极值点；〔ii 〕当4a >时，因为21x --==0>，所以121x x <<-，此时()0x ϕ'>，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，无极值点. 综上所述，当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点. 〔2〕证明：因为()11f x x '=+，所以切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，因为()xg x e '=，所以()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，消去1x 并整理得()0001ln 10x x x ++-=，由〔1〕可知，当1a =时，函数()()1ln 1x x x xϕ+=+-()1x >-在()0,∞+单调递增，又()1101e e ϕ-=-<-，()2222101e e e ϕ--=>-. 所以函数()x ϕ在()21,1e e --上有唯一的零点，又因为()x ϕ在()0,∞+单调递增，所以方程()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，故在区间()0,∞+上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.【点睛】此题考察了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考察了导数几何意义的应用，考察了转化化归思想和推理才能，属于中档题.21.2021年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某由于人员流动性较大，成为外疫情最严重的份之一，截至2月29日，该已累计确诊1349例患者〔无境外输入病例〕.〔1〕为理解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布,15().22N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕.请估计该新冠肺炎患者年龄在70岁以上〔70≥〕的患者比例；〔2〕截至2月29日，该新冠肺炎的亲密接触者〔均已承受检测〕中确诊患者约占10%，以这些亲密接触者确诊的频率代替1名亲密接触者确诊发生的概率，每名亲密接触者是否确诊互相HY.现有亲密接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名亲密接触者随机地按n 〔120n <<且n 是20的约数〕个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，假设发现新冠病毒，那么对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策根据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值. 参考数据：假设()2,ZN μσ，那么()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=，40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈.【答案】〔1〕15.87%〔2〕4n = 【解析】【分析】〔1〕由题意计算出54.8μ=，由正态分布的性质可得()39.6700.6826P Z <<=，即可得解；〔2〕由题意n 的可能取值为2，4，5，10，1,10nX B n ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的化验次数Y 满足()9110nP Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，表示出()E Y ，进而可得化验总次数()f n ，代入比拟即可得解.【详解】〔1〕由题意21562512351845225522651275485295100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=54.8=，所以()54.815.254.815.2P Z -<<+()39.6700.6826P Z =<<=，()()139.670702P Y P Z -<<≥==10.68260.158715.87%2-==，那么可估计该确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%. 〔2〕根据题意，每名亲密接触者确诊为新冠肺炎的概率均为110， n 的可能取值为2，4，5，10，当{}2,4,5,10n ∈时，1,10nX B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()91110nE Y n ⎛⎫=⋅++⋅⎪⎝⎭99111010n nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，那么20人的化验总次数为()209110nf n n n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1920110n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，经计算()213.8f =，()411.8f ≈，()512.2f ≈，()1015f ≈. 所以，当4n =时符合题意，即按4人一组检测，可使化验总次数最少.【点睛】此题考察了正态分布的应用，考察了离散型随机变量期望的应用，属于中档题. 〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目.假如多做，那么按所做的第一题计分.xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数，π02α<<〕，曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,〔β为参数〕，1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 〔1〕求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；〔2〕直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 【答案】〔1〕28sin 120ρρθ-+=；点A的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭〔2〕16 【解析】【分析】〔1〕消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；〔2〕由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得112S ρ=，222S ρ=，化简即可得解.【详解】〔1〕消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=，又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数，02πα<<〕，可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，那么()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=，又02πα<<，所以sin 2α=，3πα=，此时ρ=A的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭. 〔2〕由2C的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=，可得2C的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 236A S ππρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 26S OC πρρ=⋅⋅=，所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】此题考察了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考察了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题. 23.()2f x x a =-.〔1〕当1a =时，解不等式()21f x x >+；〔2〕假设存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔2〕()6,m ∈+∞ 【解析】【分析】〔1〕由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解；〔2〕由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用根本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】〔1〕当1a =时，即解不等式221x x ->+， ①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-，所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <，综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.〔2〕因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=，当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞.【点睛】此题考察了绝对值不等式的求解，考察了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.。

高三数学下学期第三次线上考试试题理试题

石城中学2021届高三数学下学期第三次〔线上〕考试试题理制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

满分是：150分时间是：120分钟命题范围：高考范围下次周考范围：高考范围一、选择题：〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1．集合{}2210A x x x =-+>， 21=2B y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭那么A B =〔〕 A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．()1,+∞ C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭2．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=那么〔〕 A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=3．设复数()2111i z i i-=+++，那么()91z +的二项展开式的第7项是〔〕 A ．84-B ．84i -C ．36D ．36i -4．对任意向量,a b ，以下关系式中不恒成立的是〔〕 A ．a b a b ⋅≤ B ．||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-5．函数()lg([])f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，那么关于函数()f x 的性质表述正确的选项是〔〕 A ．定义域为(,0)(0,)-∞+∞B ．偶函数C ．周期函数D ．在定义域内为减函数6．在如下图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部(曲线C 为正态分布(1,1)-N 的密度曲线)的点的个数的估计值为〔〕附：假设2(,)X N μσ，那么()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=.A ．1193B ．1359C ．2718D ．34137．函数sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的图像与坐标轴的所有交点中，间隔原点最近的两个点的坐标分别为和(1,0)，那么该函数图像间隔 y 轴最近的一条对称轴方程是〔〕 A ．3x =-B ．1x =-C ．1x =D ．3x =8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数〞，事件B =“取到两个数均为偶数〞，那么()|P B A =( ) A ．18B ．14C ．25D ．129．设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，假设C 上存在点M 满足∠AMB =120°，那么m 的取值范围是〔〕A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞10．〔错题再现〕5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，那么E ξ=〔〕A ．3B ．72 C ．185D ．4 11．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 22n π)a n ＋sin 22n π，那么该数列的前10项和为 ( )A ．2101B ．1067C ．1012D ．202112．〔错题再现〕设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，假设存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，那么a 的取值范围是〔〕A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分.〕 13．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，那么它的内切圆的半径2SCγ=．在空间中，三棱锥的体积为V ，外表积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球〔球面与三棱锥的各个面均相切〕的半径R =__________．14．学生到工厂劳动理论，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余局部〔正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上〕，圆锥底面直径为102cm ，高为10cm .打印所用部料密度为30.9g/cm ．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g ．〔取3.14π=，准确到0.1〕15．函数2()1f x ax bx =+-，且0(1)1f ≤≤，2(1)0f -≤-≤，那么23a bz a b+=+的取值范围是__________．16．函数()()()xf x e x b b R =-∈．假设存在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，那么实数b 的取值范围是____．三、解答题：〔一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕 17．设a R ∈，命题p ：∃x []1,2∈，满足()110a x -->, 命题q ：∀x R ∈，210x ax ++>.(1)假设命题p q ∧是真命题，求a 的范围；〔2〕())?p q ∧￢为假，() p q ∨￢为真，求a 的取值范围．18．某花圃为进步某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A B ，实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进展综合评分，将每株所得的综合评分制成如下图的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．〔1〕求图中a 的值，并求综合评分的中位数．〔2〕用样本估计总体，以频率作为概率，假设在A B ，两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；〔3〕填写上下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计甲培育法 20乙培育法 10合计附：下面的临界值表仅供参考．()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828〔参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d +++＝．〕19．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．〔1〕证明：平面ACD ⊥平面ABC ；〔2〕过AC 的平面交BD 于点E ，假设平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两局部，求二面角D –AE –C 的余弦值.20．椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．〔Ⅰ〕证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；〔Ⅱ〕假设l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？假设能，求此时l 的斜率，假设不能，说明理由．21．函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. 〔1〕求2C 的直角坐标方程；〔2〕假设1C 与2C 有且仅有三个公一共点，求1C 的方程.选修4-5：不等式选讲 23．()11f x x ax =+--.〔1〕当1a =时，求不等式()1f x >的解集；〔2〕假设()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.一、选择题：〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1．集合{}2210A x x x =-+>， 21=2B y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭那么A B =〔 D 〕 A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()1,+∞ C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 【详解】∵{}2|210{|1}A x x x x x =-+>=≠，212B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭＝12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭， 2．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=那么〔 C 〕 A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】试题分析：由得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以 sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C3．设复数()2111i z i i-=+++，那么()91z +的二项展开式的第7项是〔 A 〕 A ．84- B ．84i - C ．36 D ．36i -【解析】∵()()22111212i i z i i i i --=++=+=+，所以〔1+z 〕9＝〔1+i 〕9展开式的第7项是：C 9613i 6＝﹣844．对任意向量,a b ，以下关系式中不恒成立的是〔 B 〕 A ．a b a b ⋅≤ B ．||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=〈〉≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b ab +-=-，所以选项D 正确．5．函数()lg([])f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，那么关于函数()f x 的性质表述正确的选项是〔 C 〕 A ．定义域为(,0)(0,)-∞+∞B ．偶函数C ．周期函数D ．在定义域内为减函数【解析】由于[]x 表示不超过x 的最大整数，如1x =，[1]1=，那么[]110x x -=-=，所以定义域为()(),00,-∞⋃+∞错误；当 2.1x =-时，[ 2.1]3-=-，( 2.1)lg( 2.13)lg 0.9f -=-+=，(2.1)lg(2.12)lg 0.1f =-=，( 2.1)(2.1)f f -≠，()f x 是偶函数错误，由于x Z ∉，所以函数的的图象是一段一段连续的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取(0,1)x ∈，那么1(1,2)x +∈，[]0,[1]1x x =+=，那么[]1[1]x x x x -=+-+ ，那么(1)()f x f x += 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高三理科数学网考卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 在复平面内，复数Z 满足2)1(Z =-i ，则Z 的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合}|),{(3x y y x A ==，}|),{(x y y x B ==，则B A 的元素个数是（） A. 4B. 3C. 2D. 13. “0)1ln(<+x ”是“022<+x x ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知10log 7=a , b=3210log , c=5331，则（） A. b>c>aB. a>c>bC. a>b>cD. b>a>c5. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线212222=-b y a x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A. x y 3±=B. x y 33±= C.x y 22±= D. x y 2±= 6. 在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a ,,直接求出三角形的面积。

据说这个问题最早由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即))()((c p b p a p p S ---=,其中)(21c b a p ++=.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）在《数学九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是)(41222∆-=a c S ,这个公式中的∆应该是（） A. 2)2(c b a ++ B.2b c a -+ C. 2222b a c -+ D. 2cb a ++ 7.当4π=x 时，函数)0)(sin()(>+=A x A x f ϕ取得最小值，则函数)4(x f y -=π是（）A. 奇函数且图象关于 2π=x 对称B. 偶函数且图象关于2π=x 对称C. 奇函数且图象关于）（0,2π对称 D. 偶函数且图象关于）（0,2π对称8. 如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 为半圆弧的两个三等分点，则=( ) A. - B. 22-9. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两代表团）安排至a 、b 、c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（） A. 6 B. 12 C. 16 D .1810.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为矩形，且a AD AF ==21，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为（） A.66 B.33 C.36 D.2311. 已知O 为坐标原点，抛物线C:x y 82=上一点A 到焦点F 的距离为6，若P 为抛物线C 准线上的一个动点，则AP OP +的最小值为（）12. A.4 B. 34 C. 64 D. 36 12. 设函数)(x f 是定义在)2,0(π上的函数，)(x f '是函数)(x f 的导函数，若则1)6(),(.tan )(='<πf x f x x f ,不等式x x f sin 2)(<的解集是（） A. )6,0(πB. )21,0(C. )2,6(ππD. )2,21(π二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知样本7,8,9,x,y 的平均数是8，方差是4，则xy=14. 已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g ，其中)(x f 的图象关于直线2=x 对称，)(x g 的图象关于点（2，-2）中心对称，且33)()(3++=-x x g x f x，则)4(f =15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东o60的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时_______16.在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为 120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为三、解答题（本题共6小题，共70分，请在指定位置写出解答过程） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （1）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（2）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.18．（本小题满分12分）高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值.19．（本小题满分12分）如图，三棱锥D-AB C 中,2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ；（2）求二面角D-CE-F 的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线px y C 2:2=的焦点是F ，准线是l .抛物线上任意一点M 到y轴的距离比到准线的距离少2（1）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B （均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.21.(本小题满分12分)已知R m x m xmx x f ∈--+=,ln 1)( (1) 讨论)(x f 的单调区间；(2) 当202e m ≤<时，证明：m x xf x e x -+->1)(2请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分。

22．（本小题满分10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin ρθ=-)0,20(><≤ρπθ，M 为该曲线上的任意一点.（1）当32OM =时，求M 点的极坐标；（2）将射线OM 绕原点O 逆时针旋转2π与该曲线相交于点N ，求MN 的最大值.23．（本小题满分10分）已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.答题卡一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.______________ 14. ______________ 15. ______________ 16. ______________三、解答题（本题共6小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17.（12分）19. （12分）21.（12分）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题计分． 22．23．参考答案一、选择题1-5：DBADB 6-10:ACDBC 11-12:CA 二、填空题13: -2 14: 3 15: 2.5 16: π16 三、解答题17题解：（1）()*164n n n a a n a +-=∈-N 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=----6312628n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=-32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列………… （5分）（2）由（1）知，322nn n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-.1S (23)26n n n +∴=-⋅+…………………………………………………………………… ( 10分)2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<，87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.………… ( 12分)18题（1）由直方图可知：，，．所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，个，个…………（3分）拥堵路段共有个，按分层抽样从个路段中选出个，每种情况分别为：，，，即这三个级别路段中分别抽取的个数为，，． …………（6分）（2）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种可能，其中至少有个轻度拥堵的有：，，，，，，，，共种可能. …………（10分）所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为…………（12分）19题（1）因为平面平面ABCE ，平面平面，平面所以平面ABCE ，又因为平面ABCE ，所以，又，满足，所以A B B E ⊥ ，又，所以平面． …………（6分）（2）在棱上存在点G ，使得平面，此时点G 为的中点．，由Ⅰ知，平面ABCE ，所以，又，所以平面，所以CE 为三棱锥的高，且，在中，，G 为斜边的中点，所以，所以．故在棱上存在点G ，使得平面，此时三棱锥的体积为． …………（12分）20题（1）由题意知，任意一点E 到焦点的距离等于到直线x=-2的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为所以抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；…………………………………(4分)（2）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，由根与系数的关系得：1216y y =-.…………………………………(6分)直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y x y x y y -+=-+=+-，当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, ()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++， FN FM ∴⊥，MF NF ∴⊥. …………………………………(12分)21题（1）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-，令'()0=t x 则1x = 列表如下：所以()(1)e e 0极小值==-=t x t . …………………………………(4分)（2）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)x ≥1'()e x F x a x=-+，(1)x ≥ 设1()e xh x a x =-+，2221e 1()e x x x h x x x ⋅-'=-=，由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，①当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增，又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解. ②当10e a +-<，即1a e >+时，由（1）可知e x ex ≥，所以11'()e ,'()0x a a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e>+ 故00(1,),()0a x F x e'∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，'()()2x s x k x e x ==-，()220'=-≥->x s x e e ，故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k > 1当时，∴>x '()0，>k x ()k x ∴在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0a a x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=，故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x .又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. …………………………………(12分)22题解：（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1sin 2θ=-02θπ≤< ∴76θπ=或116πθ=，所以点M 的极坐标为37,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭或………………… (5分)（2）由题意可设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭. 2212MN ρρ=+()()221sin 1cos θθ=-+-()32sin cos θθ=-+322sin 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故54πθ=时，MN 21.………………… (10分) 23题（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞． ………………… (5分) （2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++ 122(22)922a b a b a b a b++≥+⋅++49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49． (10)。