第六章 自由电子费米气体
——但是我们也知道，即使是在自由电子模型最为适用的金 属中，传导电子的电荷分布实际上也与离子实的强静电势密 切相关。
尽管如此，在讨论那些主要依赖于传导电子动力学的相 关性质时，自由电子模型仍然获得了很大成功。在下一章中 我们将讨论传导电子与晶体离子实之间的相互作用。
12
二、运动方程及其解
1. 电子的运动方程（定态薛定谔方程）
h2 2m
2
V0
(r)
E
(r)
Y(r)：在电子近似下，表示电子运动状态的波函数。
V0： 电子在势阱底部所具有的势能，取V0 ＝0。 （或者说是晶格平均场+其他电子的平均场）
E： 电子的本征能量
令
k2
2mE h2
有 2 (r) k 2 (r) 0
另一方面，对金属材料的了解，也是认识非金属材料的基 础。
有关金属的第一个理论模型，是特鲁德(P. Drude)在1900 年提出的经典自由电子气体模型。它将在当时已非常成功的 气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的 行为。1928年索末菲(A. Sommerfeld)又进一步将费米-狄拉克 统计理论用于自由电子气体，发展了量子的自由电子气模型， 从而克服了经典自由电子气模型的不足。
11
2 索末菲(Sommerfeld)的自由电子论
一、索末菲自由电子模型
❖ 电子在一无限深度的方势阱中运 动，电子间的相互作用忽略不计； （即金属中的电子可以看作是被关在一个箱体中的 自由 电子）
❖ 电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计； ❖ 电子的填充满足泡利（Pauli）不相容原理； ❖ 电子在运动中存在一定的散射机制。
5
1 特鲁德(Drude)经典自由电子气理论
在量子力学创立很久以前，人们就已经建立了用自由电子 的运动来解释金属性质的学说。
如著名的欧姆定律公式以及电导率与热导率之间关系的推导。
特鲁德模型——成功地处理了直流电导问题
1) 特鲁德模型将金属晶体内的高浓度(1022～1023/cm3)电 子气视作理想气体，其基本假设：
本章将按照理论发展的顺序来介绍金属电子论。
2
许多固体具有导电性，这意味着在这固体内 有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的 这些电子可以在固体内遨游。
具有导电性的固体可被区分成两类，那便是 金属与半导体。
在这章节内我们将只针对金属进行讨论。
3
§6.1 金属自由电子论 的物理模型
4
自由电子模型——原子中的价电子变成传导电子，并且在金属 体内自由运动；不考虑电子与电子、电子与 离子实之间的相互作用
0.01
10
4）特鲁德模型的成功与失败
通过假定平衡态下电子具有确定的平均速度，成功地处 理了直流电导问题；得到金属电子的弛豫时间、平均自 由程和热容。
经典电子论的失败或困难
获得的平均自由程和热容与实验结果不符；在处理磁化率 等问题自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布和泡 利不相容原理。 —— 成功地计算了电子的热容，解决了经典理论的困难。
—— 完全忽略电子与电子、电子与离子实之间的相互作用。 无外场时，传导电子作匀速直线运动；有外场时，传导电子 的运动服从牛顿运动定律。
——传导电子在金属中运动时，与原 子实发生碰撞，是一个使电子改变速 度的瞬时事件；并且忽略电子与电子 之间的碰撞（不同于理想气体）。
传导电子轨迹 6
—— 单位时间内传导电子与原子实发生碰撞的概率是1/t，t 称为平均自由时间。而且假设：t 与电子位置和速度无关。
—— 每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的 平均能量
—— 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密
度为
U
3 2
nkBT
电子气的热容：
C Classical v
3 2 nkB
高温下与晶格振动的贡献相当， 这与实验结果不符。
大多数金属
C Experimental V
/ C Classical V
——电子气系统和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的， 碰撞前后电子的速度毫无关联，且方向是随机的，其速度是和 碰撞发生处的温度相对应的。
2）金属的直流电导
根据特鲁德模型，金属晶体内的电子运动类似理想气体分子 的运动，因此电流密度为
j = -nev平
n —— 金属导体内的电子数密度
v平—— 电子运动的平均速度
l v平t
——根据经典的能量均分定律，有
1 2
mev平2
3 2
kBT
o
l v平t 110 A
——但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特鲁
德模型的估算值大得多。Cu： T=4K，
o
l 103 A
（起源于波粒二象性）
9
4）金属的比热
特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能 量均分定律：
第六章 自由电子费米气体 (金属自由电子论)
Free Electron Fermi Gas
引言
在固体材料中，三分之二以上的固体纯元素物质属于金属 材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械性能， 是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料功能的研 究，可以了解金属材料的性质，同时推动现代固体理论的进一 步发展。
外电场E=0时， v平=0
电子运动是随机的
净定向电流为零，对电流密度没有贡献
7
外电场E≠ 0时， v平≠ 0 —— 产生净定向电流 在外场E作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机 的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。
因此，电子平均速度v平起源于在外场E作用下，电子在连续 两次碰撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：
13
方程的解：
r
ur r
ur r Aeikr
k
具有平面波的形式
A：归一化因子，由归一化条件确定
v平
eEt
me
me——电子的质量
t ——传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间
j
nev平
ne2t
me
E
ne2t 1 me
j E E j 欧姆定律 8
3）金属的平均自由时间和平均自由程 ——实验测定金属的电阻率，来估计平均自由时间t
t me 1015 1014 s ne2
——平均自由程l (电子在连续两次碰撞之间的平均运动距离)
金属自由自由电子气体模型及基态性质
所以，费米波矢kF为:
kF 3
32 N32n
V
n为电子密度
从而，相关的电子的费米能量F 、费米动量 pF、费米速 度F、费密温度TF等都可以表示为电子密度n的函数,这也就 是前面我们所提到的自由电子气体模型可用电子密度n来描 述，而且，n是仅有的一个独立参量的原因。
F022m kF2
2(32n)23
; 2m
pFkF;vFm kF;TFkF B
2.能态密度
(1)定义: 若在能量 E ~E d E范围内存在Z个单电子态，
lim 则能态密度N()定义为： N()E 0 Z d dZ
(2)计算: 在k空间,代表点均匀分布,则求出能量分别为E和E+E两个
等能面之间的相体积,乘以代表点密度和自旋因子2，便得到能量间隔在 E~E+E范围内的电子态数目Z
三维情形，可想象成L3的立方体在三个方向平移，填满 了整个空间，从而当一个电子运动到表面时并不被反射回来， 而是进入相对表面的对应点。
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反 射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面 的对应点进入金属中来。
二者的一致性，表明周期性边条件的合理性
EdE
E
ky
ds
dk
22Vπ3
E
ds
k
d
kx
能态密度:
N() dZ d
V ds
22π3 E k
例1：求金属自由电子气的能态密度
法1. 金属中自由电子的能量
2k 2 2m
2 2m(kx 2ky 2kz2)
N() dZ d
22Vπ3
E
ds
k
d 2k dk
m
第六章总结
1 E EF 1 f (E) E EF 2 0 E EF
a. T 0
E E F 1 f ( E ) 陡变 E E F 0 E EF
2.费米能
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
k F 3nπ
f 的方程。 f t t f ＋ t 碰 0
漂
f t
漂
f k f r r k
f t
＝b a
碰
' dk a f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3 ' dk b f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3
2 x
如果金属电子的等能面是球面
ne F m
2
m 2 ne F
作业： 思考题1、4
f (E) 1 e
( E E F ) k BT
1
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
2 13
π 2 kBT 0 E F E F 1 0 12 TF
2
3 每个电子对热容量的贡献
π2 T 0 kB CV 2 TF
常温下电子对与热容量的贡献很小。这是因为在常温下， 费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到 费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电子
的电子被散射的总的概率，因而上式说明弛豫时间就是电子的 自由碰撞时间。 式中(1-cos)因子的作用可作如下分析： 若散射是小角度的，即k’与k接近，角很小，(1-cos)值也
第六章自由电子费米气体doc
例题6．1 自由电子的费密能量(a) 导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式；(b) 一个简单立方点阵的单价金属，已知点阵常数3a =Å，每个原子只贡献一个传导电子．试计算费密能量F ε、费密波矢F k 、费密温度F T 及费密面上电子的波长；(c) 计算简单立方点阵第一布里渊区中放电子填充的状态所占的分数． [解](a) 金属中的电子浓度为()Fn g d εεε-∞=⎰其中()g ε是自由电子状态密度，()00,0g εεε=>=< 于是有12F n d εεε=()223232F n mεπ=(b)首先求出电子浓度n ，()22333811 3.70410cm 310n a --===⨯⨯ 于是费米波矢为()12813 1.03110cm F k n π-==⨯费米能量为22 4.05eV 2FF k mε==费米温度F T 为47,000K FF BT k ε==费米面上电子的波长为82 6.09410cm 6.094F Fk πλ-==⨯=Å (c)简单立方点阵的第一布里渊区是一个边长为2aπ的立方体，其体积为 33328BZa a ππ⎛⎫Ω== ⎪⎝⎭自由电子费密球的半径为()12132333F k n a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭费密球的体积为333443FSF k aππΩ== 第一布里渊区中被电子占据的状态所占的分数为33334182FS BZ a a ππΩ==Ω 第一布里渊区中有一半状态被电子占据．6．2 自由电子气体基态下的动能，压强和体弹性模量(a)证明三维自由电子气体基态下的动能为035F U N ε=N 是电子数，N nV =；(b)证明基态下电子气体的压强与体积的关系为023P U V =(c)证明基态下自由电子气体的体弹模量为0251093F B P U V n ε===(d)估计钾电子气体对B 的贡献． [解](a) 25220324210F Fk k V k Vk U dk m m ππ<==⎰电子费密波矢F k 为1323F N k V π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦于是自由电子气体基态下动能为22033105F F N k U N m ε== (1)(b) 0NU p V ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭， 由于035F U N ε=，F ε正比于2F k ，2F k 仅仅通过因子()23N V 依赖于体积V ，由此得到002233UU P VV ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ (2) (c) 体积弹性模量PB V V∂=-∂，由于230U V -∝，由式(2)，压强P 正比于53V -，于是有05102393F U B P n V ε=== (3) 这里Nn V=是电子浓度，若用无量纲量s r 表示电子浓度，则有5926.1310N m s B r -⎛⎫=⨯⋅ ⎪⎝⎭(4)(d)钾的r s ＝4．86，代入式(4)，得923.1810N m B -≈⨯⋅6．3 自由电子气体的热容和化学势试用费密分布函数证明白出电子气体的化学势μ随温度变化的关系为22112B F F k T πμεε⎡⎤⎛⎫⎢⎥≈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦μ与F ε之差仅仅在2B F k T ε⎛⎫⎪⎝⎭的数量级，证明在有限温度下，自由电子气体能量密度的表达式为()()2206B F u u k T g πε=+证明自由电子的热容为22B V B F k T C Nk πε⎛⎫= ⎪⎝⎭这里F ε是自由电子的费密能量，0u 是基态下的能量密度，()F g ε是费密面附近的状态密度，()32F Fng εε=，N nV =是自由电子总数。
费米气体
统计规律
费米气体的统计规律有：费米-狄拉克统计，非广延统计。
费米气体是理想气体的量子力学版。在金属内的电子、在半导体内的电子、或在中子星里的中子，都可以被 视为近似于费米气体。在一个处于热力平衡的费米气体里，费米子的能量分布，是由它们的密度，温度，与容许 能量量子态集合，依照费米-狄拉克分布方程而决定的。泡利不相容原理阐明，不容许被两个或以上的费米子占用 同一个量子态。因此，在绝对零度，费米气体的总能量，大于费米子数量与单独粒子基态能量的乘积。并且，在 绝对零度，费米气体的压力，称为“简并压力”，不等于零。这与经典理想气体的现象有很明显的不同。简并压 力使得中子星或白矮星能够抵抗万有引力的压缩，因而得到稳定平衡，不致向内爆塌。
感谢观看
简介
费米气体是借用理想气体模型描述费米子系统性质的量子力学模型。该模型中，粒子所处的量子态可用它们 具有的动量来表征。对于周期性系统，譬如在金属原子点阵中运动的电子，亦可类似地引入“准动量”的概念以 表征量子态（参见条目布洛赫波）。无论上述哪种模型，其具有费米能的量子态都处于动量空间中的一个确定的 曲面上，这个曲面称为费米面。费米气体的费米面是一个球面；周期体系中的费米面则通常是扭曲面。费米面包 围的体积决定了系统中的电子数，而费米面的拓扑结构则与金属的各种传导性质（如电导率）直接相关。对费米 面的研究有时被称为“费米学”（Fermiology）。如今，绝大多数金属的费米面均已经有较透彻的理论与实验研 究。
由于前述定义忽略了粒子与粒子之间的相互作用，费米气体问题约化为研究一群独立的费米子的物理行为的 问题。这问题本身相当容易解析。一些更深奥，更进阶，更精密的理论，牵涉到粒子与粒子之间的互相作用的理 论（像费米液体理论或相互作用的微扰理论），时常会以费米气体问题为研究的开端。
《固体物理》第六章 自由电子气
如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向尔兹曼方程的微分积分方程
I2(kBT)2０ (ee1)22d
计
算I２得 π62(kBT)2， 因
此 将g(E)2CE32代入
3
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得：
.
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得:
----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
.
驻波边界条件 常用边界条件
周期性边界条件
x, y,zxL, y,z
x, y,zx, yL,z
x, y,zx, y,zL
k
(r
)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
E
0 F
由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均
能量，这与经典的结果是截然不同的。
.
(2) 当T 0K时 ，
N CE1 2 f (E )dE ０
2 Cf ( E )E 3 2 2 C E 3 2 f dE (分步积分得来)
3
03 0
E
2 C E 3 2 f dE
,kz
2πnz L
(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
1.1 模型及基态性质
自由电子费米气体模型及基态性质
本节主要内容：
一、模型 二、单电子本征态和本征能量 三、基态和基态的能量
§1.1自由电子费米气体模型及基态性质 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、 无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
一、索末菲模型
1忽略金属中电子和离子实之间的相互作用— 自由电子假设 (free electron approximation)
2 5 F
E E 3 0 F nV N 5
上述求解是在k 空间进行的，涉及到矢量积 分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此， 人们常把对 k 的积分化为对能量的积分，从 而引入能态密度。
3.能态密度
(1)定义:
能量ε附近单位能量间隔内，包含自旋的单电 子态数，称为能态密度 若在能量ε~ε+dε 范围内存在N个单电子态， 则能态密度N(ε)定义为：
2 2
2
kx k y kz
2 2 2
2m
2
在 k 空间中，具有相同能量的代表点所构成的 面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为 球面。( 一定）
由于N很大，在 k 空间中，N个电子的占据区 最后形成一个球，即所谓的费米球（Fermi sphere)。
费米球相对应的半径称为费米波矢（Fermi wave vector).用 kF 来表示。 在k空间中，把N个电子的占据区和非占据区 分开的界面叫做费米面(Feimi surface)
2
所以，波函数可写为：
1 ik r k (r ) e V
k 为波矢，其方向为平面波的传播方向
k
的大小与电子的德布罗意波长的关系为：
k
2π
能带理论第六章自由电子论电子的输运性质
子，在t时刻必然在
k
dk
t
dt
位置，对比同一时刻在k和 k dk t
dt
的分布函数值可得 f k,t
fk ,t f k d d kt t,t fk ,t d d k tk fk ,t t
由自由电子的色散关系可得其速度为：
k1kEkm k
单位体积中，在 dkdkxdkydkz 中的量子态数为：
2
83
dk
2
m3d
h
则在 d 内统计平均自由电子数为：
dn2m3 h
1
m2/2EF
e kBT
d
1
离开金属的电子能量
1 2
m
电子的热容量为：
CVU TVNkB22kEBF 0TT 如果每个原子有Z个价电子，对于1摩尔金属，N0kB=R为 气体常数，则
Z 2 2
R T F0
称为电子比热系数。
§2 接触电势差 热电子发射
1 接触电势差
具有不同功函数fA和fB的两种块金属费米能级的高度差为fB－fA，当它 们相互接触或者用导线联结时，就会带电产生不同的电势VA和VB，功函 数的不同直接反映了它们费米能级的高低不同，当它们通过相互接触或 通过导线可以交换电子时，就会发生电子从费米能级较高的A金属流向 费米能级较低的B金属，使A表面带正电，B表面带负电，从而使它们产 生静电势：VA>0， VB<0。这样金属A和B的电子将分别产生附加的静电 势能 -qVA<0， -qVB>0，结果使两块金属的费米能级拉平，电子不再流 动。
在波矢空间半径为kF的球面称为费米面，相应的动量称
半导体物理-自由电子费米气体
2
z
v k
(rr
k
)
=
pr
2π λ
= −ih∇
= ε nψ n ( x )
边界条件 ψ n (0) = 0 ψn(L) = 0
解
ψ n ( x)
=
A
sin⎜⎜⎝⎛
2π λn
x ⎟⎟⎠⎞
L
=
1 2
（A是常数）
nλn
－εn称为电子在这个轨道中的能量
－轨道这个词用来表示单电子系 统波动方程的解
－如果波函数是正弦形式，当0－ L间的长度是半波长的整数倍n 时，边界条件得到满足
－第一布里渊区 －在倒易点阵的中央晶胞称为第一布里渊区。
－作由原点出发的诸倒易点阵矢量的垂直平分面，为这些平面所 完全封闭的最小体积就是第一布里渊区。
2.2 晶体衍射和倒易点阵16
2.2.4 倒易点阵的范例
简单立方点阵的倒易点阵
Ω
=
ar
⋅
r b
×
cr
=
a3
ar = axˆ zˆ r b = ayˆ cr = azˆ
zˆ)
a
xˆ
r A
－倒易点阵是个体心立方点阵 －第一布里渊区是截角八面体
yˆ
Γ: (0,0,0)布里渊区中心
L: (1/2,1/2,1/2)布里渊区边与 <111>轴的交点
X: (1,0,0)布里渊区边与<100>轴的 交点
K: (3/4,3/4,0)布里渊区边与<110> 轴的交点
第二章 固体物理导论
(
yˆ
+
zˆ)
2
cr = a (xˆ + zˆ)
固体物理第六章
§3 电子气体的热容
基本思路与方法
当晶体温度升高时，每个电子对热容都有贡献， 晶体中只有N个电子，按经典理论：Cv=3/2NkB， 但实际上自由电子的热容达不到此值的1%。根据 Drude模型是没法解释的。
按Sommerfeld的自由电子模型，电子气服从费 米统计规律及泡利原理，在T=0k时，电子气充满了 费米球内的所有轨道，当温度T上升时，并不是费米 球内的电子都受到热激发，这是因为在每个k值上只 能有自旋相反的两个电子，由于泡利原理限制，热 激发(kBT)是低能激发，远离费米面的电子不可能被 激发(因为附近无空轨道)，只有费米面以外才有空 轨道，因此只有费米面附近的电子才能被激发，要 激发远离费米面的电子必须用高能激发(如光激发 等)，而kvT«F，所以远离费米面的电子是冻结的。
k n L
n 1.2.3......
n
2
2m
( n)2
L
<2> 周期性边界条件（与第五章类似）
n (x L) n (x)
在此条件下薛定锷方程的解是行波解,不再是驻波解。
i2n
(x) Aeikx (x L) Ae Ln(Lx)
k 2 L n n 0.1. 2
能量本征值：
n
dk
)1
之所以乘以2是因为每一个k对Байду номын сангаас于两个自旋相反的电子。
三维 情况：
费米分布函数:
f (,T )
1
( )
e kBT 1
μ是电子气的化学势，在给定的体系中，在给定的温 度下，由电子气的总数决定：
当T<<TF时:
f ( T )D( )d N
0
u
F
[1
2
固体物理学课程教学大纲
《固体物理学》课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；《固体物理学》是物理学院的主干基础课之一，是针对微电子专业的本科生开设于二年级的第二学期的专业基础课，4个学分，课堂讲授72学时。
（二）课程简介、目标与任务；固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态，及其相互关系的科学。
它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科，同时也是微电子专业本科生学习《半导体物理学》、《半导体材料》和《固体电子器件》等后续课程的基础。
本课程以点阵及晶体对称性为主线，以周期结构中的波动问题贯穿固体物理的整个教学内容。
掌握包括对点阵及晶体对称性的定义、表征和检测，以及在晶体中物质的运动规律。
在掌握知识架构的同时，对固体物理中处理多体问题的方法及其局限性有所了解，并了解一些重要概念的实验探测。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程要求：《力学》《量子物理》《热学》《热力学统计物理》先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接：《力学》中的处理物体运动的基本规律，尤其是振动与波动内容，是本课程第四章结合周期性晶体结构推演格波性质的基础。
《量子力学》或《量子物理》中的升降算符与谐振子的能量量子化，是提出声子（晶格振动的能量量子）的理论基础。
《量子力学》或《量子物理》中关于散射态的处理，如直角势垒和直角势阱的散射态，是学习电子声子散射和电子杂质散射的理论基础，也是学习电子在周期性势场下行为的基础。
《量子力学》或《量子物理》中关于束缚态的处理，是本课程第八章学习非本征半导体的理论基础。
《原子物理学》或《量子物理》中类氢原子的量子理论基础，原子的壳层结构，电子的自旋，是本课程第三章学习晶体结合的理论基础。
《热力学统计物理》和《热学》的基本原理，气体分子动理论，能量均分定理，内能和热容，平衡态的统计规律，是学习本课程第五章声子热学性质的基础。