理想费米气体
BCS 理论
能隙方程
临界温度与普适常数
朗道ห้องสมุดไป่ตู้磁性
朗道能级
高温磁化率
低温德哈斯—范阿尔芬效应
泡利顺磁性
整数量子霍尔效应
超导
当非理想费米气体的粒子间存在吸引势时，费米面附近的一对动量、自 旋相反的粒子能形成一种特殊的束缚态—库珀对（Cooper）对，使元激 发能谱中出现能隙，形成超流相。最具有代表性的例子就是超导，即转 变温度以下材料呈现零电阻和完全的抗磁性。超导体中的弱吸引力来自 于电子—声子—电子相互作用。 当一个电子与晶格作用时，晶格会产生轻微的形变，使局部正电荷增多 。此时接近的另一个自旋相反的电子收到形变晶格的作用，会与之前的 电子形成有效吸引，结合成为库珀对。大量的库珀对形成玻色—爱因斯 坦凝聚，集中到同一量子态，而其中的电子服从泡利不相容原理，所以 要破坏一个电子或者一个库珀对，就需要抗衡整个体系的束缚能。因此 在能隙之下，所有的库珀对以整体相干的方式进行传导运动，不出现电 子的散射，因而形成零电阻。
理想费米气体
测量金属费米面的实验技术有磁阻效应、回旋共振等。 半导体和绝缘体用价带顶概念，计算化学用 HOMO, LUMO。 理想费米气体在有限低温下的热力学量见讲义。
白矮星的统计平衡
朗道正常费米液体理论
费米型准粒子的物理性质
费米型准粒子的相互作用
零 声
具有排斥势的简并非理想费米气体
费米系统与费米气体的性质
姓名：学号：班级：费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。
在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。
在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。
由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。
2. 从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。
以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。
N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1ε，2ε，…， l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。
为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。
显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：N all=∑， E a ll l =∑ε才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数 B..M Ω： （1）则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）ωlB M allllN a ∏∏=!!..Ω∏-=ll l l a )!1(!!F.D.ωωΩ3.费米系统的最概然分布：对（2）式取对数，得（其中∑l对粒子的所有量子状态求和）（3）假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为（4）根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。
弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学
V 1 2 x ln 2 3 x ln( 1 e )dx 3 c 0
x 3dx 4 6 (C.14) x e 1 90 0
2V 1 ln 45c 3 3
3 1 x dx 2 x x ln( 1 e ) dx x 3 e 1 0 0
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n (2.612) 2 / 3 m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
V 3 / kT U ( , T )d 2 3 e d c 维恩(1896)公式
§8.4 光子气体
e 1 kT 能级间距 kT 经典理论适用
/ kT
说明： 低频极限
V U ( , T )d 2 3 2 kTd c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT U ( , T )d 2 3 e d c 维恩(1896)公式
S k ln ln
kln U
4 k V 4 T 3 3 45 c
2 3
T 0; S 0
光子气体的熵随温度的趋于零而趋于零，符合 热力学第三定律要求（P128，4.8.1式）
§8.4 光子气体
平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：
e 1
x
2
0
3e x 3 xex 0 3 3e x x
x / kT 2.882
理想气体
二、玻色分布
一个单粒子态可以容纳任意个玻色子 n 个玻色子占据能量为ε的单粒子态时 可能状态 ( N , E n )：
(0， 0 ) (1, ε ) (2, 2ε )LL
巨和： ξ = ∑ e −αN n − βE n
n
N 0 1 2 状态 3 … n … 系统的巨和：
ε
0 ε 2ε 3ε … nε …
对照B (ε ) 可看作是单粒子系统的正则分布
1 −ε / kT 乘以 e Z1
系统的粒子数 N。 一个 N 粒子系统看作由 N 个单粒子系统构成， 系统的配分函数为 各子系统配分函数之积： 定域粒子(第八章)： Z = ( Z 1 ) N 1 非定域粒子(理想气体系统)： Z = (Z1 ) N N! 3、状态的准经典描述 Z 1 ~ Ω(ε )dε ： Ω(ε )dε → Z 1 在ε~ε+dε区间内，单个自由粒子的状态数为： V 2m 3 / 2 1 / 2 Ω (ε ) d ε = ( ) ε dε ←粒子微观性质得到； 4π 2 h 2 对经典粒子来说， 采用其坐标和动量(x, y, z, Px, Py, Pz)描述粒子的 状态。 相空间（状态空间） ：采用坐标和动量为轴构成的空间 在单粒子状态空间中，每个状态平均占有相空间体积为： h r [ h —普朗克常数， r —为粒子自由度] 因而状态数与相空间大小成正比。
N = ∫ e (μ −ε ) / kT ⋅ cε
0
∞
1
2
dε = ce μ / kT ∫ e −ε / kT ⋅ ε
0
/ kT
∞
1
2
dε ← x = ε
1
2
N = 2ce =V(
μ / kT
∞
说明低温下理想费米气体的亥姆霍茨自由能(A=U-TS)可表达为
两个典型的存在一级和二级相变的系统：
1. 气－液相变：
AB线之间为两相共存
区，
时相变
为一级相变；在
时
，
相变为二级相变。由
降到
时，对称性降低（对
称性发生破缺）。
为序参量。
2. 顺磁－铁磁相变： 右图为Ising自旋系统，自旋 只能平行或反平行与某个轴。
P-V图
温度低于某个临界温度 时
系统处于铁磁相（低对称性）
热容:
，实验发现对连续相变
磁化率：
， 实验发现对连续相变
பைடு நூலகம்态方程：
8.3 关联函数和标度律
以铁磁系统为例，我们定义其关联函数。系统的序参量是M，设其密度函数为m(r)，则序参量 为：
这里 表示系综平均。关联函数可写为： 在动量空间里，我们有 于是
考虑到 是实的，所以有
可通过下面的考虑获得：首先涨落应该是各向同性的，因此在序参量密度函数的最低 阶近似下，自由能G有如下形式：
这里
是约化温度，并且y>0。函数f(t)的临界指数定义为：
如λ<0，则f(t)在临界点发散；如λ>0，则f(t)在临界点趋于零；如λ=0，则可把f(t)视为对数 发散，由于
我们容易发现 比例系数-1/λ很大。
它相当于f(t)函数中有含很小λ>0的 项，但该项的
对不同的热力学函数可以定义不同的临界指数。以铁磁系统为例， 序参量:
上面最后一式我们已经假定了系统有平移不变性。假定外场H线性地与序参量耦合，哈密顿量 可写为：
这里 是无外场时的哈密顿量。把第一个等式对H求偏导可得到磁化率χ：
对比前节的公式我们发现了关联函数和磁化率之间的关系：
理想费米气体的热力学性质
关键词 ： 费米 气体 ； 力 学 性 质 ； 态 方 程 热 状
中图 分 类 号 ： １ ． Ｏ４ ４ ２
文献 标识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ８ ６ ２ ２ ０ ）５—０ １ １０ —２ ６ （０ ２０ ０ ５—０ ４
Ｔｈ ｈ ｒ ｏ ｙ ａ ｉ ｏ ｅ ｔｅ ｈｅ ｉ ａ ｅ ｍ ｉｇ ｓ ｅ ｔ ｅ ｍ ｄ ｎ ｍ ｃ ｐｒ ｐ ｒ ｉ ｓｏｆｔ ｄｅ ｌｆ ｒ ａ
２ 主要结果
为便 于讨 论 ． 引入 巨配 分 函数 先
三 ｚ Ｖ 丁 ＝∑ ｚＱ （ ， ） （， ， ） Ｎ ＮＶ 丁
Ｑ（，） Ｎ Ｖ 丁 ＝∑ ｅ ＝∑ ｗＩ ｝ ” 一 ｅ ｔ ２
式 中 Ｚ ：ｅ ｐ 一ａ ｘ （ ）＝ ｅ ｐ １ ｋ 是 易逸 度 ， ｘ （ ／ Ｔ） ￣ ＱＮ是正 则 系统 的 配分 函数 ， 这里 是 确定 的 量 ， 理想 气体 有 在 对
的粒 子 叫做 费米 子 ）同时 假设 粒子 间的作 用 可 以略去 ， ． 即认 为这 些粒 子是 整个 力 学 系统 的 近独 立子 系 ． 由于
近独 立子 系所 组 成系 统 的稳定 态 可 以用其 子 系 的单粒 子态 描写 ， 因此 ， 们 依照 经典 统 计法 中把 整个 力学 系 我
ｔ ｅ ｃａ ｓｃ ｌ ｉ ｔａ ｉｈ ｔ ｍｐ ｒ ｔ ｒ ｎ ｘ ｓ ｓｉ ｈ ｙ ｏ ｒ ａ ｌ ｔｌｗ ｅ ｅ ａ ｕ ｅ ｈ ｌｓ ｉａ ｌ ｍｉ ｔｈ ｇ ｅ ｅ ａ ｕ ｅａ ｄ ｅ ｉｔ ｎ ｔ ｅ ｗａ ｆ Ｆｅ ｍｉ ｌ ａ ｏ ｔ ｍｐ ｒ ｔ ｒ ． ａ ｂ
统 的运动 状态 用 子相 宇 中 Ｎ 个 点的 分布 来 确 定的描述 方 法 ， 引入 ｛ ｛ 布 的概 念 去 描 写 整个 系统 的状态 ， 分
三维理想费米气体的热力学性质
本文拟以三维空间幂函数势阱为限制袁 研究其热 力学性质袁并以局域密度近似为方法袁计算其总能尧费 米能尧热容量以及高低温极限下的化学势遥
1 三维理想费米气体的局域密度
在极低温下袁 由于费米子波函数的反对称性袁第 一级 S 波散射振幅为零袁而次级 P 波很弱袁所以可以 将极低温下的稀薄费米子系统近似为粒子间无相互 作用的理想情况处理遥 当囚禁势能的能级间距远小 于粒子间的动能时袁常使用局域密度近似袁即将空间
localdensityapproximation111科技视界sciencetechnologyvisionsciencetechnologyvision科技视界l37仔23601lnz4噎渊5冤t0时袁取式渊5冤第一项代入式渊3冤可求得费米能费米能院着f滋0nh3着1q1着1l2着1p3丐浊2g8m仔32l1l2l3丐1q1丐1l1丐1p1杉删山山山山山山山山煽闪衫衫衫衫衫衫衫衫1浊1渊6冤取式渊5冤第一项代入式渊4冤可求得基态总能量e0浊1nktlnz浊2丐浊2lnz浊1丐浊3浊1n着f浊2n浊1浊2着f渊7冤t屹0袁但t很低时袁取式渊5冤前两项代入式渊3冤可求得化学势院化学势亦滋着f1浊仔26kt着f蓸蔀2渊8冤当温度很高时袁z变得很小袁将式渊2冤取第一项渊此时x即z冤代入式渊3冤袁可得极高温情况下的化学势即其经典极限可得滋ktln丐浊2kt着f蓸蔀浊1渊9冤将式渊4冤在外势不变下对t求导数袁可得系统的热容量c浊1nk浊2f浊2zf浊1z浊1f浊1zf浊z渊10冤将式渊5冤头两项代入式渊10冤袁可得低温极限下系统的热容量c抑浊1nk仔23kt着f渊11冤将式渊2冤取第一项代入式渊10冤可得高温极限下系统的热容量c浊1nk渊12冤5讨论渊1冤当q尧l尧p寅肄即浊12时袁则在区域xl1袁yl2袁zl1和xl1袁yl2袁zl1中袁外势分别为肄和0与约束于三维容器中的自由费米气体相对应袁由第渊2冤尧渊4冤尧渊6冤要渊9冤尧渊11冤尧渊12冤式可见其热力学性质遥将非相对论下的三维自由费米气体15和幂函数势阱下的三维理想费米气体的热力学性质相比较袁可见不论是自由还是在外势作用下三维情况低温化学势随温度单调减少袁这与二维情况有所不同袁自由的二维费米系统低温情况化学势基本与温度无关遥高温下单粒子比热为32是满足能量均分定理的遥渊2冤由第渊11冤式可见袁极低温条件下袁因为受泡利不相容原理的限制袁费米气体的热容量与温度始终成正比遥外势参数的改变袁只改变了比例系数袁而不改变这一固有特性遥由第渊6冤式可见袁费米能受外势影响较大袁我们可以通过调节外势来控制材料的费米能袁从而控制材料的某些特性遥渊3冤由于一般情况下浊12袁由式渊11冤渊12冤可见袁高低温极限时袁外势中费米气体的热容量均比自由费米气体的大遥其原因是袁相同条件下袁使势阱中费米气体温度升高一度袁不仅要提供动能袁同时还要提供势阱中的势能曰而自由费米气体只需提供动能遥渊4冤文
费米气体
统计规律
费米气体的统计规律有：费米-狄拉克统计，非广延统计。
费米气体是理想气体的量子力学版。在金属内的电子、在半导体内的电子、或在中子星里的中子，都可以被 视为近似于费米气体。在一个处于热力平衡的费米气体里，费米子的能量分布，是由它们的密度，温度，与容许 能量量子态集合，依照费米-狄拉克分布方程而决定的。泡利不相容原理阐明，不容许被两个或以上的费米子占用 同一个量子态。因此，在绝对零度，费米气体的总能量，大于费米子数量与单独粒子基态能量的乘积。并且，在 绝对零度，费米气体的压力，称为“简并压力”，不等于零。这与经典理想气体的现象有很明显的不同。简并压 力使得中子星或白矮星能够抵抗万有引力的压缩，因而得到稳定平衡，不致向内爆塌。
感谢观看
简介
费米气体是借用理想气体模型描述费米子系统性质的量子力学模型。该模型中，粒子所处的量子态可用它们 具有的动量来表征。对于周期性系统，譬如在金属原子点阵中运动的电子，亦可类似地引入“准动量”的概念以 表征量子态（参见条目布洛赫波）。无论上述哪种模型，其具有费米能的量子态都处于动量空间中的一个确定的 曲面上，这个曲面称为费米面。费米气体的费米面是一个球面；周期体系中的费米面则通常是扭曲面。费米面包 围的体积决定了系统中的电子数，而费米面的拓扑结构则与金属的各种传导性质（如电导率）直接相关。对费米 面的研究有时被称为“费米学”（Fermiology）。如今，绝大多数金属的费米面均已经有较透彻的理论与实验研 究。
由于前述定义忽略了粒子与粒子之间的相互作用，费米气体问题约化为研究一群独立的费米子的物理行为的 问题。这问题本身相当容易解析。一些更深奥，更进阶，更精密的理论，牵涉到粒子与粒子之间的互相作用的理 论（像费米液体理论或相互作用的微扰理论），时常会以费米气体问题为研究的开端。
势阱中带电荷理想费米气体的热力学性质
２ Ｏ １ ３年 ５月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｌｉ ａ ｎ ｈ ｅ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
称为 Ｌ ａ ｒ ｍ。 ｒ 频率・
为 — Ｙ平 面 的简 谐势 阱频 率 ， ∞ 是 轴 方 向的谐 振势 阱频 率 ， 一
通 过分 离变量 法 ， 可 以得 到系统 的能 量本 征值 和本 征波 函数
一
，
＋寺 ＋ （ ２ ｎ ＋ｌ ｌ ＋１ ） ￣ ／ ｎ ＋Ｂ 一ｍ Ｂ，
＋∞ ） ，
（ ５）
Ｇ ｃ ｅ ， 一
态 密度 总 的粒 子数 目为
： ｄ ｅ ｊ ｌ ｄ ｅ ｚ ｊ ． 一 ｄ ｅ 。 一
，
（ ６）
ｇ （ ￡ ） ＝ ｄ ｅ （ ￡ ） 一 焘 Ｚ 靠 ｃ ｃ Ｊ １ 叫 ， ・
Ｎ＝ ＝ ＝ ｄ ㈤
１ 能 谱 及 粒 子 数
理 想 电荷费 米气 体 系统 ， 费米子 质量 为 Ｍ ， 粒 子 电量 为 ｑ ． 体 系处 于匀 强磁场 Ｂ— Ｂ ｅ 和各 向异 性简
谐 势阱 中． 单 粒子 哈密 顿量 为
Ｈ 一 ＋ （ ＠ ｙ Ｚ ） ＋
叫 。
பைடு நூலகம்一 一
＋
＋ ｙ Ｚ ） ＋ 丢 ， （ １ ）
Ｖｏ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ３
Ｍａ ｖ ２０１ ３
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ２ — ６ ９ １ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ２ ６ — ０ ４
势 阱 中带 电荷 理 想 费米 气体 的 热 力 学性 质
第七章费米系统
3
由
f3/2 (z) 易知
3
是z的单调递增函数；对确定的
值，由于 T 1/2 ，z将随T减少而增加。
我们下面考虑两种极限情形：
1.
高温和低密度情况（此时 3 1）。反解状态方程可得： 只取上式第一项，并带入到 另一状态方程可得：
z
3
1 23/ 2
3
2
P kBT
3
f5/2(z)
3
(1)l1 zl l3/2
l 1
现在我们从这两个方程出发讨论其一般性质。记 v ln z /(kBT ) ，我们有
f3/2 (z)
4
0
dx
x2 ex2 v
1
2
0
dy
y eyv 1
3
4
y3/2e yv
0 dy (e yv 1)2
4
3
0
dy
e yv (e yv 1)2
v3/ 2
et 1) 2
v3/
2
3 v1/ 2t 3 v1/ 2t 2
2
8
O(ev )
4 3
I
0v3/
2
3 2I1v1/来自23 8I 2v 1/
2
O(ev )
这里 In
dt
t (et
net 1) 2
dt
et
tn 1
et
。由对称性知对奇数n此积分为零。并易知 I0 1，对偶数n,
In 2
3 2
v1/ 2
(
y
v)
3 8
v1/ 2
(
y
v)2
3
4
v
dt
(et
费米温度和室温
费米温度和室温
费米温度是指在费米气体中，通过能够与外界热力学平衡的方式，将所有能级的占据
数填满的温度。
费米温度是用来描述费米气体的基态性质的重要物理量之一。
费米气体是
由费米子组成的理想气体，由于费米子满足泡利不相容原理，因此它们的运动状态是非常
特殊的。
以太阳系中的电子为例，电子是稳定在原子中的一种费米子，其基态的费米温度为约5.5×10^5K。
与之相比，室温只有300K，因此可以看出费米温度非常高。
室温是指环境温度，也就是我们生活中所处的温度范围，通常是介于15℃至30℃之间。
室温的温度对人类生活、工业生产等有着非常重要的影响。
在室温下，物体的热运动比较弱，因此通常需要外界能量的作用才能引导物体的变化。
在研究物理现象时，室温常常被用作一个常见的参考温度。
例如，在研究材料的物理
性质时，通常将材料在室温下的状态做为基准，来比较材料在其他温度下相应的物理性质
的变化。
相比之下，费米温度与室温相比要高得多，这也说明了费米气体的基态非常奇特。
费
米温度在物理学研究中有着广泛的应用，例如在研究低温物理学、凝聚态物理学、地球物
理学等领域都有着很重要的作用。
费米温度可以让我们更深刻地理解物质的基态性质，并
且为我们研究物质的行为提供了重要的物理基础。
总之，费米温度和室温是两个非常重要的物理概念，它们在物理学研究中都有着重要
的作用。
费米温度可以帮助我们更好地理解费米气体的基态性质，室温则是我们生活中非
常熟悉的参考温度，它对于人类的日常生活、工业生产等都有着非常重要的影响。