第六章 自由电子费米气体
k 2
k ：电子平面波的波矢
电子相应于波函数 Yk(r)的能量：
l
2 2
23
k E k 2m
ˆ i 的本征态， 因为波函数Y(r)同时也是动量算符 p 所以处于Y(r)态的电子有确定的动量，可以写成
i k (r ) k k (r )
P k
相应的速度为
P k v m m
30
3、费米面等概念（无限多的K，有 限的电子如何填充的问题）
2 2 2 2 k k (k x k y k z ) 2m 2m
这就是电子的色散关系，能量随波矢的变化 是抛物线函数
2 2
31
பைடு நூலகம்
对于三维晶体，需要的量子数： ①波矢k（三个分量kx、ky、kz） ②自旋量子数 ms 1 2 旋相反的一对电子轨道。
( x) Ae
ikx
2 k n L
i 2 n ( x L ) L
n 0. 1. 2
i 2 nx i 2n L
( x L) Ae
Ae
e
( x)
28
若在三个方向都用周期性边界条件： 薛定锷方程的解在三个方向都以L为周期重复，即：
19
索末菲自由电子模型总结：
电子在一无限深度的方势阱中运动，电子间的相互作
用忽略不计；
（即金属中的电子可以看作是被关在一个箱体中的 自由 电子） 电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计； 电子的填充满足泡利（Pauli）不相容原理； 电子在运动中存在一定的散射机制（为什么要有散射 机制？）。
17
2．Sommerfeld的自由电子论
索末菲模型的基本假设：
1）free electron approximation
2）independent approximation
3）价电子的能量分布服从费米—狄拉克统计，称为 自由电子费米气体（free electron Fermi gas） 4）不考虑电子和离子实的碰撞（no collision）
量子力学对金属中电子的处理
1926 年费米 — 狄拉克统计理论和量子力学建立， 1928 年，索末菲在自由电子模型基础上，提出应该 利用量子力学原理去计算电子气体的能量和动量， 并由此考察金属的一些特性。
索末菲提出：电子在离子产生的平均势场中运动，
电子气体服从费米 — 狄拉克分布和泡利不相容原理。 并成功地计算了电子的热容，解决了经典理论的困 难。
13
3）金属的比热
特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能 量均分定律：
—— 每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的 平均能量 —— 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密 度为 3
U Cv
2
nk BT
电子气的热容：
Classical
3 nk B 2
高温下与晶格振动的贡献相当， 这与实验结果不符。 大多数金属
第六章
自由电子费米气体 (金属自由电子论)
Free Electron Fermi Gas
金属元素有大约75种之多，在自然 界大约有2/3以上的固态纯元素属于 金属。
人类社会很早就学会了使用金属并 以其作为人类进步的标志，如过去的铜 器时代、铁器时代等。 金属具有良好的导电、导热、易加 工及特殊的金属光泽等特点，但为什么 这些元素具有如此的特点？其深层次的 原因是什么？
7
3） 传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞(受正 离子实的散射)且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地 改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞 地点的温度有关，而与碰前速度无关。电子只是通 过碰撞与周围环境达到热平衡。在相继的两次碰撞 之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为 碰撞近似（collision approximation）。
C
Experimental V
/C
Classical V
0.01
14
4）特鲁德模型的发展：
1904 年，洛伦兹发展了该模型，将麦克斯韦 —玻尔 兹曼统计规律引人，认为电子速度服从麦克斯韦—玻尔兹
曼统计分布律。
5）特鲁德模型的成功与失败
成功之处： 经典的特鲁德—洛伦兹自由电子模型从微观上定性的解
29
2 2 2 kx nx , k y ny , k z nz L L L
每一个量子态在 k 空间中所占的体积为：(2π/L)3 在 k 空间中，波矢
k 的分布密度为
3
L 2
V L3
在k空间中，电子态的分布是均匀的，
分布密度只与金属的体积有关
每个波矢占据的体积为(2/L)3
Drude 经典理想气体 Sommerfeld 量子理想气体
18
传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间 有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引 力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实的电荷 抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不存在了) 好象“凝胶”一样。这种“凝胶”的作用纯粹是为 了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些 传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从 金属晶体中飞溅出去，这就相当于“凝胶”模型。
kz
L
nz
取整数
2 2 2 2
k 2 2 2 E k ( n n n x y z ) 2 2m 2m L
26
以一维情况为例，讨论一下：
(0) ( L) 0
当波函数为正弦形式，并且从０到Ｌ 的宽度是半波长的整数ｎ倍时，则以 上边界条件就能得到满足。于是：
k
2
2mE
2
22
2 (r ) k 2 (r ) 0
方程的解：
k r Aei kr
2
(V)
具有平面波的形式
A：归一化因子，由归一化条件确定
k
(V)
k d k d 1
* k
1 A V
V: 金属的体积
1 r exp i k r V
2
许多固体具有导电性，这意味着在这固体内 有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的 这些电子可以在固体内遨游。 具有导电性的固体可被区分成两类，那便是 金属与半导体。
在这章节内我们将只针对金属进行讨论。
3
§6.1 金属自由电子论 的物理模型
4
1. Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论建立的历史背景:
∴
k 2 P2 1 2 E k mv 2m 2m 2
电子能量再现熟悉的经典形式
2
k：电子平面波的波矢，它的方向为平面波的传播方向；
它的取值需要由边界条件确定。
24
波矢的取值问题
经典物理中平面波的波矢取值是任意的，但电子 波矢的取值由边界条件决定。 固定边界条件（驻波边界条件）：波函数在金 属表面上任何点的值均为零，不利于讨论输运性 质。 周期性边界条件（波恩—卡曼边界条件）：首 尾相接成环，既有有限尺寸又消除了边界的存在。
释了金属的高电导率、高热导率、霍尔效应以及某些光学性 质。
15
不足之处： 获得的平均自由程和热容与实验结果严重不符，实验 上热容仅是理论值的 1%(电子参与导电过程，但对热 导好像没有参与，为什么？）；在处理磁化率等问题 上也遇到根本性的困难。
不足之处产生的原因分析 经典理论在微观世界的不适用
16
离子实（金属原子间距）大约也就是这个量级，可 以看出，与Drude模型的假设比较吻合。 ——但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特 鲁德模型的估算值大得多。Cu： T=4K， l 103 A
也就是Drude模型当中的假设并不是适用于一切情况。
12
问 题
在固定电场中，如何推导电子动量随时间的变化？ 直流电导率的推导以及可否直接用于交流电导率的 推导？为什么？ 怎么用此模型来考虑焦耳热的问题？
eE v平 me
me——电子的质量 ——传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间
ne2 j nev平 E me
ne2 1 me
j E
Ej
欧姆定律
10
2）金属的平均自由时间和平均自由程 ——实验测定金属的电阻率，来估计平均自由时间
me 15 14 10 10 s 2 ne
——平均自由程l (电子在连续两次碰撞之间的平均运动距离)
以下应该不是用v平来表示速度
1 3 2 me v平 k BT ——根据经典的能量均分定律，有 2 2
l v平
l v平 1 10 A
11
l v平 1 10 A
free electron approximation
4）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔 称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为 弛豫时间近似（relaxation approximation）。
8
特鲁德模型的应用
1）金属的直流电导金属晶体内的电子运动类 似理想气体分子的运动，因此电流密度为 j = -nev平
n —— 金属导体内的电子数密度 v平—— 电子运动的平均定向速度
n x A sin(kn x) A sin(
2
1 ln n L 2
n 取正整数
2 2
kn
2
L
ln
x)
n,
2
k n En 2m 2m L
此边界条件无法讨论输 运问题，故我们通常不 采用 27
(2) 周期性边界条件
以一维情况为例，
n ( x L) n ( x )
20
§6.2 能级和轨道密度
第六章_自由电子论和电子的运输性质
3 5
2 (
2m
3 2
Vc 2
2
) 3( N1
N2
N1
5
)3
N1e(V1 V2 ) ( N1 N2 )eV2
30
6、两金属电势差是常数的含义
U
3 5
2 ( 2m
3 2
Vc1
2
) 3(
N1
5
)3
3 5
2 ( 2m
3 2
Vc 2
2
) 3(
N1
N2
N
1
5
)3
N1e(V1 V2 ) ( N1 N2 )eV2
两金属依靠接触电 势差补偿原来它们 之间的费米能的差 别，从而使电子达
到统计平衡 35
电子统计平衡过程
0
EFA
A
B EFB
EFA
E
3 5
EF0
[1
5 12
2
(
T TF0
)2 ]
CV
(
E T
)V
2
2
T ( TF0
)kB
（自由粒子热容量应为3kB/2） 讨论：
（1）电子热容量与温度T成正比。
（2）在常温下，T/TF0~10-2，价电子对热容量的贡献
大约是自由粒子的百分之几。一般温度下，晶格热 容量比电子热容量大得多。
（4）低温范围晶格热容量按T3迅速下降，而电子按T下 降，在液氦温度范围两者的大小就可以相比。
金属2 VC2 EF2 N2 VC2 EF2' N2' V2
29
5、金属接触价电子系统的总能量
U
3 5
N1EF 1
N1eV1
3 5
高二物理竞赛课件：自由电子气体的热性质
电导率
2 索末菲电子气图象
自由电子： 在均匀的与时间无关的电场中： 由牛顿第二定律：
积分，得：
没有碰撞时，恒定的外加电场使k空间中的费米球匀速移动。 电子气填充以k空间原点为中心的费米球。
电导率
电子同杂质、晶格缺陷以及声子的碰撞， 使移动的费米球在电场中维持一种稳态。
准经典模型
1 电子受到散射 牛顿定律、热平衡
2 弛豫时间（relaxation time) τ
电场中的自由电子
电子的动力学方程
——自由电子在外场作用下的动力学方程
电导率
金属的电导率
1 经典图象 无外场：传导电子作无规运动： 有外场：传导电子作定向运动 漂移速度：
恒定电场稳恒情形：
电导率
1 经典图象
自由电子气体的热性质
自由电子气体的热性质
1 T →0
绝对零度时，能量在μ以下的状态全部被电子占满，μ以上 的状态是空的。化学势（费米能级）就是在绝对零度时， 电子逐级填充所能占有的最高能量状态。
2 T >0
在μ能级，被电子填充的几率 温度上升，发生变化的能
和不被填充的几率相等。
量范围变宽。
自由电子气体的热性质
化学势
1 基态
2 热激发 在费米面附近的电子可获得热能，跃迁到费米面以外的状态，费米面 内的一些状态便空了出来。
自由电子气体的热性质
电子比热
自由电子气体的热性质
电子比热
分析：经典理论，1mol 电子气平均能量：
一价金属： 高温时金属的总比热容：
实际 量子：
小于经典值
常温下：电子的贡献比例很小
自由电子气体的热性质
第六章总结
1 E EF 1 f (E) E EF 2 0 E EF
a. T 0
E E F 1 f ( E ) 陡变 E E F 0 E EF
2.费米能
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
k F 3nπ
f 的方程。 f t t f ＋ t 碰 0
漂
f t
漂
f k f r r k
f t
＝b a
碰
' dk a f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3 ' dk b f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3
2 x
如果金属电子的等能面是球面
ne F m
2
m 2 ne F
作业： 思考题1、4
f (E) 1 e
( E E F ) k BT
1
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
2 13
π 2 kBT 0 E F E F 1 0 12 TF
2
3 每个电子对热容量的贡献
π2 T 0 kB CV 2 TF
常温下电子对与热容量的贡献很小。这是因为在常温下， 费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到 费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电子
的电子被散射的总的概率，因而上式说明弛豫时间就是电子的 自由碰撞时间。 式中(1-cos)因子的作用可作如下分析： 若散射是小角度的，即k’与k接近，角很小，(1-cos)值也
第六章自由电子费米气体doc
例题6．1 自由电子的费密能量(a) 导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式；(b) 一个简单立方点阵的单价金属，已知点阵常数3a =Å，每个原子只贡献一个传导电子．试计算费密能量F ε、费密波矢F k 、费密温度F T 及费密面上电子的波长；(c) 计算简单立方点阵第一布里渊区中放电子填充的状态所占的分数． [解](a) 金属中的电子浓度为()Fn g d εεε-∞=⎰其中()g ε是自由电子状态密度，()00,0g εεε=>=< 于是有12F n d εεε=()223232F n mεπ=(b)首先求出电子浓度n ，()22333811 3.70410cm 310n a --===⨯⨯ 于是费米波矢为()12813 1.03110cm F k n π-==⨯费米能量为22 4.05eV 2FF k mε==费米温度F T 为47,000K FF BT k ε==费米面上电子的波长为82 6.09410cm 6.094F Fk πλ-==⨯=Å (c)简单立方点阵的第一布里渊区是一个边长为2aπ的立方体，其体积为 33328BZa a ππ⎛⎫Ω== ⎪⎝⎭自由电子费密球的半径为()12132333F k n a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭费密球的体积为333443FSF k aππΩ== 第一布里渊区中被电子占据的状态所占的分数为33334182FS BZ a a ππΩ==Ω 第一布里渊区中有一半状态被电子占据．6．2 自由电子气体基态下的动能，压强和体弹性模量(a)证明三维自由电子气体基态下的动能为035F U N ε=N 是电子数，N nV =；(b)证明基态下电子气体的压强与体积的关系为023P U V =(c)证明基态下自由电子气体的体弹模量为0251093F B P U V n ε===(d)估计钾电子气体对B 的贡献． [解](a) 25220324210F Fk k V k Vk U dk m m ππ<==⎰电子费密波矢F k 为1323F N k V π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦于是自由电子气体基态下动能为22033105F F N k U N m ε== (1)(b) 0NU p V ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭， 由于035F U N ε=，F ε正比于2F k ，2F k 仅仅通过因子()23N V 依赖于体积V ，由此得到002233UU P VV ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ (2) (c) 体积弹性模量PB V V∂=-∂，由于230U V -∝，由式(2)，压强P 正比于53V -，于是有05102393F U B P n V ε=== (3) 这里Nn V=是电子浓度，若用无量纲量s r 表示电子浓度，则有5926.1310N m s B r -⎛⎫=⨯⋅ ⎪⎝⎭(4)(d)钾的r s ＝4．86，代入式(4)，得923.1810N m B -≈⨯⋅6．3 自由电子气体的热容和化学势试用费密分布函数证明白出电子气体的化学势μ随温度变化的关系为22112B F F k T πμεε⎡⎤⎛⎫⎢⎥≈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦μ与F ε之差仅仅在2B F k T ε⎛⎫⎪⎝⎭的数量级，证明在有限温度下，自由电子气体能量密度的表达式为()()2206B F u u k T g πε=+证明自由电子的热容为22B V B F k T C Nk πε⎛⎫= ⎪⎝⎭这里F ε是自由电子的费密能量，0u 是基态下的能量密度，()F g ε是费密面附近的状态密度，()32F Fng εε=，N nV =是自由电子总数。
金属自由自由电子气体模型及基态性质解析PPT课件
v p k mm
2k2 1 m 2m 2
2k 2 m2
1 mv2 2
即电子的能量和动量都有经典对应，但是，经典中的平面 波矢k可取任意实数，对于电子来说，波矢k应取什么值呢？
4.波矢k的取值
波矢k的取值应由边界条件来确定
边界条件的选取，一方面要考虑电子的实际运动情况（表面和内部）；另一方 面要考虑数学上可解。
4π
k2
d
k
E dE ky
dZ
2
V
2π 3
4π
2m
2
m d 2 2m
E
kx
4πV
2π 3
(2 m )3 2 1 2
3
d
3
4πV
2m h2
21
2d
N ( )
dZ
C
1 2
d
其中
C
4πV
2m h2
3
2
第24页/共30页
法3. 在k空间自由电子的等能面是半径
k 2mE 的球面，
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开 金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。
二者的一致性，表明周期性边条件的合理性
由周期性边界条件：（讲解以下推导过程）
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
V
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):
k
1 k
1
( 2 )3
L3
(2 )3
V
8 3
L
注意量纲
第14页/共30页
三、基态和基态能量 1.N个电子的基态、费米球、费米面 电子的分布满足：能量最小原理 和 泡利不相容原理
固体物理
第一章晶体结构⏹布拉菲点阵概念⏹惯用晶胞（单胞）概念⏹初基晶胞（原胞）概念⏹Wigner-Seize晶胞⏹晶体结构基元+点阵=晶体结构⏹简单的晶体结构（1）sc，bcc，fcc结构的特征（2）金刚石结构（3）六角密堆积结构（4）NaCl结构（5）CsCl结构⏹晶列, 晶向, 晶面, 晶面族, 晶面指数, 密勒指数, 晶面间距晶面指数（hkl)的定义和求法方向指数[abc]的定义和求法⏹对称操作⏹7种晶系和14种布拉菲点阵1以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的简立方和面心立方晶体中的原子数之比。
2证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交3某元素晶体的结构为体心立方布拉菲格子，试指出其格点面密度最大的晶面系的密勒指数，并求出该晶面系相邻晶面的面间距4在立方晶胞中画出（122），（001），（10），（210）晶面和[122]5晶体中可以独立存在的8种对称元素是：、、、、、、、。
⏹布拉格定理⏹倒易点阵初基矢量公式⏹布里渊区的求法（二维正方格子和长方格子）⏹实验衍射方法（劳厄法、转动晶体法和粉末法）⏹倒易点阵矢量和晶面指数间的关系1考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl），（a）证明倒易点阵矢量G（hkl）=hb1+kb2+lb3垂直于这组平面（hkl）；（b）证明两个相邻的点阵平面间的距离d（hkl）为2从体心立方铁的（110）平面来的X-射线反射的布喇格角为22º，X-射线波长λ=1.54Å。
试计算铁的立方晶胞边长；(b）从体心立方结构铁的(111)平面来的反射的布喇格角是多少？答案：a）a=2.91Å；b）θ=27.28º3对于点阵常数为a的二维六角点阵，（a）写出正点阵的初基矢量；（b ）计算倒易点阵的初基矢量；（c ）画出第一、第二、第三布里渊区；（d ）计算第一布里渊区的体积。
4半导体材料Si 和Ge 单晶的晶体点阵类型为 ，倒易点阵类型为 ，第一布里渊区的形状为 ，每个 原子的最近邻原子数为 。
6.4 电子气的比热容
∆U = ∫ (ε − ε F ) f (ε ) D(ε )dε + ∫ (ε F − ε )[1 − f (ε )]D(ε )dε
εF
0
εF
5
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
C / T = γ + AT 2
y = γ + Ax
这是一条直线，斜率为 A，截距为 γ 。 γ 被称为 这是一条直线， ， 索末菲参量
13
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
的观测值具有所预期的量级， 系数 γ 的观测值具有所预期的量级，但和下式
π2 2 Cel = D(ε F )k BT 3 对质量为 m 的自由电子所作的计算结果符合得不 是很好
三维自由电子气随温度的变化曲线
8
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
当 kBT<<εF 时，可 以忽略化学势 µ 对温度 的依赖性， 的依赖性，并用常量 εF 代替， 代替，则有
df ε − ε F e (ε −ε F ) / k BT = ⋅ (ε −ε F ) / k BT 2 dT k BT [e + 1]2
CeAl3 600
16
从而
1 2 T Cel = π Nk B 2 TF
TF 称为费米温度，但它与实际上的电子温度没 称为费米温度， 有任何关系， 有任何关系，只是一种方便的符号而已
11
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 6 章 自由电子费米气
固体物理五六章小测试试题与答案
一、填空题1. 在边长为L 的立方金属中，自由电子的能量可以用一组量子数表示为。
222222()2x y z n n n m L π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2. 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度N(E)=。
)(21CE E g =3. 自由电子气系统的费米能级为0F E ，k 空间费米半径，电子的平均能量。
22FmE4. 金属自由电子气的摩尔比热为。
5. 两块不同的金属相接触时，电子从化学势的金属流向化学势的金属。
高 低6. 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有形式？式中在晶格平移下保持不变。
rk i k k e r u r⋅=)()(ψ，)(r u k7. 禁带出现在上，这表示在该处势场对电子存在。
布里渊区边界，强烈散射8. 在一维近自由电子近似中，根据非简并微扰理论，电子的能量为，电子的波函数为， 它表示电子波函数由和迭加而成。
平面波，散射波9. 晶体的第n 个禁带宽度E g 为。
n g V E 2=10. 在晶体中，能级越低的能带越，能级越高的能带越。
窄，宽11. 将电子看作是经典粒子时，电子的运动速度，电子的有效质量。
12. 能带顶部电子的有效质量为（填写正，或者负）；能带底部电子的有效质量为（填写正，或者负）。
负，正13. 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为，它对电导。
电子占据了一个能带中的部分状态，称该能带为，它对电导。
满带，没有贡献；不满带，有贡献。
二、简述题1. 画图简要说明：为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？为什么温度较低时必须考虑电子对固体热容量的贡献？ 见课本P1482. 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。
答：考虑金属中电子受到离子（包括原子核和芯电子）周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。
作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：()V V r =。
周期性势场的起伏量()V r V V -=∆作为微扰来处理。
1.1 模型及基态性质
自由电子费米气体模型及基态性质
本节主要内容：
一、模型 二、单电子本征态和本征能量 三、基态和基态的能量
§1.1自由电子费米气体模型及基态性质 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、 无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
一、索末菲模型
1忽略金属中电子和离子实之间的相互作用— 自由电子假设 (free electron approximation)
2 5 F
E E 3 0 F nV N 5
上述求解是在k 空间进行的，涉及到矢量积 分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此， 人们常把对 k 的积分化为对能量的积分，从 而引入能态密度。
3.能态密度
(1)定义:
能量ε附近单位能量间隔内，包含自旋的单电 子态数，称为能态密度 若在能量ε~ε+dε 范围内存在N个单电子态， 则能态密度N(ε)定义为：
2 2
2
kx k y kz
2 2 2
2m
2
在 k 空间中，具有相同能量的代表点所构成的 面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为 球面。( 一定）
由于N很大，在 k 空间中，N个电子的占据区 最后形成一个球，即所谓的费米球（Fermi sphere)。
费米球相对应的半径称为费米波矢（Fermi wave vector).用 kF 来表示。 在k空间中，把N个电子的占据区和非占据区 分开的界面叫做费米面(Feimi surface)
2
所以，波函数可写为：
1 ik r k (r ) e V
k 为波矢，其方向为平面波的传播方向
k
的大小与电子的德布罗意波长的关系为：
k
2π
金属自由电子理论
dk
dZ
2
VC
2π3
4π k 2
dk
E dE ky
dZ
2
VC
2π3
4π
2mE 2
2
m dE 2m E
E
kx
4πVC
2π3
(2m)3 2 3
E1 2
dE
3
4πVC
2m h2
21
E 2dE
N (E) dZ cE1 2
dE
其中
C
4πVc
3
2
E
1
2
CE1
2
其中
C
4πVc
2m h2
3
2
4.1.3 自由电子气的费米能量
1.费米能量
在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是
1 f ( E ) e(EEF ) kBT 1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
k
(r)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
应点进入金属中来。
k
波矢， 2π
k
为电子的德布罗意波长。
电子的动量：p k