费米系统与费米气体的性质
姓名：学号：班级：
费米系统与费米气体的性质
一、费米系统：
1.费米子与费米系统相关的简单介绍
自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。
由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。
2. 从微观上看费米系统
设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。 以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：
能 级 1ε，2ε，…，
l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…
即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：
N a
l
l
=∑， E a l
l l =∑ε
才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数B ..M Ω：
（1）
则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）
ωl
B M a
l
l
l
l N a ∏∏=
!
!..Ω∏
-=l
l l l a )!
1(!!
F.D.ωωΩ
3.费米系统的最概然分布：
对（2）式取对数，得
（其中∑
l
对粒子的所有量子状态求和）（3）
假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为
（4）
根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为
（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式
（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。
（5）式给出费米系统在最概然分布下处在能级l ε的粒子数。能级l ε有l ω个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。因此在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为
（7）
4.费米系统的热力学量的统计表达式：
如果把βα,和y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：
∑
∑+==+l
l
l
l l
e
a N 1
βεαω （8）
引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：l l
e
l
l l
ωβεα]1[--+∏=Ξ∏=Ξ （9）
取对数得：∑--+=
Ξl
l
l
e )1ln(ln βεαω
（10） 系统的平均总粒子数N 可通过Ξln 表示：Ξ??
=
ln α
N （1） 内能是系统中粒子无规则运动总能量统计平均值：∑
∑+==
+l
l
l l l
l l
e
a U 1
βεαωεε （12）
类似地可将U 通过Ξln 表为：Ξ??
-
=ln β
U （13） ∑
---=Ωl
l l l l l a a ])!ln(!ln ln ![ln ωωω∑----=Ωl
l l l l l l l l a a a a )]
ln()(ln ln [ln ωωωω1
+=
+l e a l
l
βεαωN e l
l l
=+∑+1
βεα
ωE
e l
l
l l
=+∑+1
βεα
ωε11
+=
+s
e f s βεα
外界对系统的广义作用力Y 是
y εl ??的统计平均值：y εe
ωa y εY l
l βεαl l l l l
??-=??=∑∑+1
可将Y 过Ξln 表为： Ξ??
-
=ln 1V
Y β （14）
上式的有一个重要特例是：Ξ??
=
ln 1V
βP （15） 由式④-⑦得：)ln (ln )ln ()(α
d αdy y βd βN d βαYdy dU β?Ξ?-?Ξ?+?Ξ?-=+
- 注意上面引入Ξln 的是y βα、、函数，其全微分为：
dy y βd βαd αd ?Ξ?+?Ξ?+?Ξ?=
Ξln ln ln ln 故有：???
? ??Ξ??
-Ξ??-Ξ=+
-ln ln ln )(ββααd N d βαYdy dU β 上式指出β是N d βαYdy dU +
-的积分因子。在热力学部分讲过，N d Ydy dU β
α
+-有积分因子
T 1
，使dS N d βαYdy dU T =???
? ??+-1 比较可知kT β1=
，kT
μ
α-= 所以：)ln ln (ln Ξ??
-Ξ??-Ξ=β
βαα
kd dS 积分得：Ω=++Ξ=Ξ??
-Ξ??-Ξ=ln )(ln )ln ln (ln k U βN αk β
βαα
k S 上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。
二、理想费米气体的性质：
1.弱简并理想费米气体性质
弱简并即气体的α-e 或3
λn 虽小但不可忽略的情形。为简单起见，不考虑分子的内部结
构，因此只有平均自由度。分子的能量为
（16）
在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内，分子可能的微观状态数为 （17）
其中g 是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。
系统的总分子数满足 （18） 式（18）确定拉氏乘子α。
系统的内能为 （19） 引入变量βε=x ，将上述两式改写为
（'
18） （'
19） 两式被积函数的分母可表为
在α
-e
小的情形下，x
e
--α是一个小量，可将 展开，只取头两项得
（20） 保留展开的第一项相当于将费米气体分布近似为玻尔兹曼分布。在弱简并的情形，我们将保留两项。
将（20）式带入（'
18）式和（'
19）式，将积分求出，得
（21）
（22）
两式相除，得 )(21
2
22z y x p p p m
++=εε
επεεd m h V
g
d D 2/12/33
)2(2)(=?∞++=02/32
/33
1)2(2βεαεεπe d m h V g U ?∞++=02
/12
/331)2(2x e dx x mkT h V g N απ?∞++=02
/32/33
1)2(2x e dx x kT mkT h V g U απ)
1(1
1
x x x e e e ----+-=+ααα)
1(1
11x x x e e e --+++=+ααα)
211()2(2
/32/32α
απ---=e Ve H mkT g N )21
1()2(2
/52/32
ααπ---=e Vke H mkT
g U x e
--+α11
?∞++=02
/12
/331
)2(2βε
αεεπe d m h V g N )2
411(23α--=
e NkT U
由于α
-e
小，可将上式第二项中的α
-e
用0级近似，即用玻尔兹曼分布的结果
带入而得
(23) 或 （'
23） 上式第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。费米气体的附加内能为正，量子统计关联使费米粒子之间出现等效的排斥作用。
2.强简并费米气体性质：
当气体满足非简并条件1>>α
e 或13
<<λn 时，不论由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。弱简并的情形能初步显示二者的差异。下面再以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并1<<α
e 或13
>>λn 情形下费米气体的性质。
原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成共有电子。失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。金属的高电导率和高热导率说明金属中自由电子的存在。但如果将经典统计的能量均分定理应用于自由电子，一个自由电子对金属的热容量将有3K/2的贡献，这与实际不符。另外，实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。这是经典统计理论遇到的另一个困难。而以上问题可以根据费米分布解决。
首先说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体：以铜为例，铜的密度为
33109.8-??m kg ，原子量为63，如果一个铜原子贡献一个自由电子，则:
电子的质量为kg 31101.9-?，故
在T=300K 时，34003=λn ,这数值很大，说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体。
根据费米分布，温度为T 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为：
11
+=
-kT
e f μ
ε
（24）
考虑到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V 内，能量ε到εεd +的
]
)2(12411[2
32/32
mkT
h V N g NkT U π+=)
2
411(233
λn NkT U +
=
g
mkT h N V e
1)2(2
/32πα
=-2
/372
/323
1054.3)2(n T mkT h V N ?=
=πλ328105.863
9
.8n -?=?=
m N A
范围内，电子的量子态数为：
()()εεπεεd m h
V
d D 21233
24=
所以在体积V 内，能量ε到εεd +的范围内，平均电子数为：
在给定电子数N ，温度T 和体积V 时，化学势μ由下式确定：
由上式可知，μ是温度T 和电子密度V N /的函数。
现在讨论K T 0=时电子的分布。以()0μ表示K 0时电子气体的化学势，由（24）式知，
K 0时，
()0,1με<=f
()0,0μεf >=
上式的物理意义是，在K T 0=时，在()0με<的每一量子态上平均电子数为1，在
()0με>的每一量子态上平均电子数为0。这分布可以这样理解：在K 0时电子将尽可能占
据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从
0=ε的状态起依次填充至()0μ为止。()0μ是电子K 0时的最大能量，由下式确定：
将上式积分，可解得()0μ为：
()0μ也常称为费米能级，以F ε表示。令 ，可得： () 3
/123n πp F =
F p 是K 0电子气体的最大动量，称为费米动量。相应速率
称为费米速率。现在对()0μ的数值作一估计。除质量m 外，()0μ取决于电子气体的数密度n 。根据前面给出的
数据，可以算得铜的()J μ18
10
12.10-?=或eV 0.7。定义费米温度：
()0μkT F =
得到铜的F T 为K 4
102.8?，远高于通常考虑的温度，说明()0μ的数值是很大的。
K 0电子气体的内能为：
)
0 ( 5 3 ) 2 ( 4 ) 0 ( ) 0 ( 0
2 /
3 2 / 3 3 μ ε ε π μ N d m h
V U = = ? N e d m h
V kT = + - ∞ ? 1
)
2 ( 4 2 / 1 0 2 /
3 3 μ ε ε ε π 1 )
2 ( 4 2 / 1 2 /
3 3
+ - kT e d m h V μ ε ε ε π N d m h V =?)
0(0
2/12
/33
)2(4μεεπ2
/322)3(2)0(V N
m πμ =m p εF
F 22=
m
p
v F F =
由此可知K 0，时电子的平均能量为
()05
3
μ。K 0时电子气体的压强为：
根据前面的数据，可得K 0时铜的电子气体的压强为Pa 10
108.3?。这是一个极大的数值。
它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果，常称为电子气体的简并压。 现在讨论K 0时金属中自由电子的分布。由（24）式可知：
21
>
f ， με< 21
=f ， με=
2
1
上式表明，在0>T 时，在με<的每一量子态上平均电子数大于2/1，在με=的每一量
子态上平均电子数等于2/1，με>的每一量子态上平均电子数小于2/1。
费米气体的强简并条件1<<-kT
μe
也往往表达为F T T
<<。由此可知，只有能量在μ附
近，量级为kT 范围内的电子对热容量有贡献。根据这一考虑，可以粗略估计电子气体的热容量。以有效N 表示能量在μ附近kT 范围内对热容量有贡献的有效电子数：kT
N N μ≈
有效
将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为kT 2
3
，则金属中自由电子对热容量的贡献为：
现在对自由电子气体的热容量进行定量计算。电子数N 满足：
上式确定自由电子气体的化学势。电子气体的内能U 为：
以上两式的积分都可写成下述形式：
其中()εη分别为2
/1εC 和2
/3ε
C ，常数 。
分步积分可得：
F
V T T Nk kT Nk C 23)(23==
μ1
)2(42/10
2/33+=-∞
?
kT
e
d m h V
N μ
εε
επ1)2(42/30
2
/33+=-∞
?kT e d m h V U μ
εεεπ1
)(0
+=-∞
?kT
e
d I μ
εε
εη???
????
????
?
??+
=2
2
2
/585152μπμkT C U ???????????
?
??+=2
2
2/38132μkT πμC N ()2
/33
24m h V
C π=
()()()???
?
???
????
? ??+
????????????? ??-=2
2
2
/5222
/508510121052μkT πμkT πμC U ()()()05
20320μn V U p ==
作相应的近似可得：
积分可得电子气体的定容热容量为：
这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。
如前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按3T 随温度而减少；电子容量与T 成正比，减少比较缓慢。所以，在足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。
前面的理论将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。我们知道，由于粒子在空间排列的周期性，粒子在金属中产生一个周期性势场，实际上电子在这周期场中运动，离子的热振动对电子的运动也产生影响，电子之间又存在库仑相互作用，更深入地描述金属中电子的运动相当复杂。
参考文献:
[1]梁希侠.班士良.统计热力学（第二版）.科学出版社 [2]汪志诚.热力学·统计物理（第四版）.北京.高等教育出版社 [3]百度百科.费米子凝聚态.
[4]李椿，章立源，钱尚武.热学（第二版）.北京.高等教育出版社.
3
/22
22
/33
/28132-???
?
???????
? ??+
?
?
? ??=μkT πμC C N μ()()???
?
???
????
? ??+=2
2
01251053
μkT πμN ()T kT Nk
T U C V
V 0202γμπ==???
????=
超流费米原子气体中的集体激发及其相互作用研究
超流费米原子气体中的集体激发及其相互作用研究 【摘要】：玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einsteincondensation,简称BEC)描述当温度低于某一临界值时玻色子体系中大量粒子凝聚到一个或几个量子态的现象。BEC是量子统计物理学的基本结论之一。由于泡利不相容原理费米子不能直接形成BEC,但可以通过Bardeen-Cooper-Schrieffer(BCS)等机制形成费米子对的凝聚。BEC是一大类宏观量子现象的物理根源,是超导、超流物理学的理论基础。研究表明,BEC与BCS可视为BCS-BEC渡越理论的两个极限。近年来,由于激光冷却与囚禁技术研究的进展,人们终于实现了弱相互作用玻色原子气体的BEC,并进而实现了费米原子气体的量子简并与费米原子对的超流;利用Feshbach共振技术改变原子间相互作用的大小与符号,又成功地实现了费米原子气体从BCS超流到BEC两种极限之间的渡越。超冷量子气体已成为当前原子分子物理、非线性与量子光学、统计和凝聚态物理等学科的重要交叉研究领域,无论是从基础物理研究方面(包括光与物质相互作用的奇异量子特性及其调控、强关联体系的量子模拟等),还是从发展高新技术方面(原子激光、原子干涉仪、原子芯片、原子钟、量子计算机的研制等)都有十分重要的意义。元激发是相互作用量子多体理论的基本概念,也是统计与凝聚态物理学中最主要的研究内容之一。集体激发是超流原子气体元激发的主要形式,描述在外加囚禁势中相互作用多体系统表现出来的集体振荡行为。世界上许多实验室已对超流原子气体中的集体激发进行了大量的
研究,不仅成果丰硕,而且已经发展了对振荡频率等物理量的精密测量技术。该方面的研究对于揭示非均匀量子体系中原子间相互作用性质的许多新奇特性和探索超冷量子气体的超流特性均有重要意义。BCS-BEC渡越中超流费米原子气体的集体激发原则上可用微观理论加以描述。但是目前人们对BCS-BEC渡越的微观物理机制尚不十分清楚,外加囚禁势又要求处理非均匀量子多体体系,因而使问题的求解十分困难。另外,对于集体激发的含时演化及其相互作用等非线性非平衡动力学问题而言使用微观理论是很不方便的。注意到在超低温条件下超流费米原子气体处于宏观量子相干态,因而可用一个宏观波函数(序参量)描述。该波函数的含时演化方程可以在超流流体动力学方程中适当地加入量子压力项而得到。利用从量子Monte-Carlo方法求得的物态方程,超流序参量方程可以很好地描述BCS-BEC渡越的不同超流区域中集体激发的动力学及其相互作用行为。本文主要利用宏观序参量方程研究在外加囚禁势阱中超流费米原子气体中的集体激发及其相互作用,所得主要研究结果如下:1.研究了在不同形状囚禁势下超流费米原子气体在BCS-BEC各种渡越区域的集体激发行为。利用变分法详细分析计算了世界上几个著名实验小组探测过的几个集体激发模式的物理特性,研究了在计入和忽略动能两种条件下体系的集体振荡频率与粒子间散射长度的变化关系,证明了当体系的各向异性比较明显(雪茄型或盘型)时系统的动能不可忽略,因而理论上广泛使用的托马斯-费米近似失效。除此之外,还给出了当外加囚禁势具有不同各向异性参数时超流体的凝聚粒子数对不同超流区域的依赖关
固体物理 习题解答 第一章
1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强()()V p 02ξ?=，其中0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为 V 9100ξ 解：（1） () 3 2 352 225 223101101- ==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=???? ????=??-=--- （1.1.2） （2） () () () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 38352 22353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=?-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= = ε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4）
超冷量子费米气体研究与应用简介
Chinese Journal of Nature Vol. 41 No. 1 REVIEW ARTICLE 8 doi:10.3969/j.issn.0253-9608.2019.01.002 超冷量子费米气体研究与应用简介 邓书金，武海斌? 华东师范大学 精密光谱科学与技术国家重点实验室，上海 200062 摘要 强相互作用的超冷费米气体是研究复杂多体强关联物理的理想系统，可以用来研究高温超导超流、夸克-胶子等离子体、中子星以及宇宙的早期演化等多体强关联物理。通过精确控制原子间的相互作用以及外加的俘获势，可以探索超冷量子物质的奇异物相，研究强耦合系统中的量子非平衡热力学、超冷碰撞和多体物理。文章介绍了华东师范大学精密光谱科学与技术国家重点实验室超冷量子气体研究组近期在标度不变的费米气体中的一些研究进展，如 Efimovian 膨胀动力学等新奇动力学和多体量子热机等。 关键词 量子简并费米气体；Efimovian膨胀动力学；多体量子热机；标度不变性 1 超冷的原子气体 从古至今，人类一直在探索着对物质的认识，经历了逐渐深化和不断完善的历史进程。中国古代的阴阳五行之说，认为山川河流、草木虫鱼皆由金、木、水、火、土这5种元素形成。古代希腊也有相似的观点，认为水、气、火、土和以太是构成宇宙万物的基本前提。时至今日，我们已经对构成自然界的基本粒子有了深入的认知，自然界中存在着质子、中子、电子，乃至更为基本的夸克、中微子等基本粒子，并且这一认知还在不断的进步中。 目前，构成自然界的基本粒子可以按照自旋(即自旋角动量，是粒子的内禀属性)分为两类：自旋量子数为整数的为玻色子，比如光子、传递相互作用的胶子、介子等；自旋量子数为半整数的为费米子，比如质子、中子、电子等。经典情形下，由玻色子和费米子组成的系统都符合玻尔兹曼分布，为经典气体，但随着温度的降低，物质的量子特性逐渐显现出来。现在的技术已经可 以把原子气体的温度冷却到10-9 K 甚至10- 10 K ，在这种情形下，量子统计规律将占主导作用，费米子系统和玻色子系统会表现出截然不同的行为。由于玻色子之间无相互作用，玻色子系统服从玻色-爱因斯坦分布规律，宏观数量的玻色粒子可以占据同一个量子态。在极低温的情形下，所有的粒子将凝聚于最低能量的单粒子量子态，发生相变而形成玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation ，BEC)[1]，被称为除固态、液态、气态和等离子体以外的物质“第五态”(图1)。同样无相互作用的费米子却因为受到泡利不相容原理的限制，每个量子态上只能占据一个粒子，所以费米子会逐级向高能态填充，最终达到量子简并形成费米海(图1)。费米粒子的这一特性在自然界非常重要，正是由于这种量子费米压力，白矮星才不能无限坍缩下去。 实际上真正无相互作用的系统十分少见，自然界中的系统基本都存在相互作用，粒子之间也都是相互关联的。非常著名的一个例子：当 ?通信作者，研究方向：超冷量子气体、腔量子电动力学、腔光力学等实验研究。E-mail: hbwu@https://www.360docs.net/doc/a614048985.html,
第九章-理想气体分布作业答案
9-8.处于基态的费米气体。设在体积V 中有N 个电子构成一个处于基态的理想气体系统，求此系统的能量和压强。 解：费米能级处于基态时，必有T=0 系统能量为 U V N m N N E f ===3/22200)3(10353πεh 压强可根据热力学关系 dN PdV TdS dU μ+?= V U V U P N T 32)(=???=? 9-9.一个系统中自由电子密度为，平均温度为300K 。试计算一个电子的平均能量。 323/10cm n = 解：])(1251[53])(1251[20 202020f f f kT kT επεεπεε+=+= J n m f 183/2221026.1)3(20?×==πεh 时， K T 300=J kT 211014.4?×=5201041.1)(125?×=f kT επ《1 eV J s f 725.41056.73190=×==∴?εε 9-10.设在某自由电子系统中，当ε〉0时，电子的状态密度D =Ω)(ε（常数）；当ε〈0时，0)(=Ωε。系统总电子数为N ，占有体积为V 。求此系统在T=0时的费米能级0f ε，平均能量0E 。 解：当时， 0=T ???=010 f F 00f f εεεε>< ，又归一化条件可得： 00 00 00)()(f f D d D d F N f f εεεεεεε==Ω=∫∫ D N f /0=∴ε 平均能量 D N D N D D d D E f f 22122 2220 000 =?===∫εεεε 9-11.在某些星体内部，电子平均能量变得可与相比（为电子静质量，c 为光速），以致电子服从相对论力学，其能量与动量关系可写为E=Pc 。试计算绝对零度时极端相对论2c m e e m
从光子气体微观模型计算光子平均波长-黄鹏辉
目 录 从光子气体微观模型计算光子平均波长[1] (1) 1 摘要 (1) 2 光子气体是一种理想气体 (1) 3 光子气体压强的微观解释 (1) 4 光子气体温度的微观解释 (4) 5 光子平均波长λ与温度的关系 (4) 6 讨 论 (4) 从光子气体微观模型计算光子平均波长[1] 黄鹏辉中国北京 QQ及邮箱644537151@https://www.360docs.net/doc/a614048985.html,， QQ群69657010 1 摘要 根据经典理想气体的定义，本文把宇宙背景辐射看成一种理想的光子气体模型并推导其平均波长，得到的结果与从普朗克黑体辐射公式所推导的结果非常接近，然而却有一个不容忽视的系数差别。这一方面表明光子气体模型有其合理性，另一方面也表明现有经典理想气体计算模型仍有较大误差，可能需要从数学上进行修改和完善。 2 光子气体是一种理想气体 类比于经典理想气体理论，宇宙背景辐射可以看成一种光子气体，而且根据经典理想气体的定义，光子气体也是一种理想气体。基于光子气体模型，我们做如下假设[1, 2, 3]： 1) 光子气体单位体积中的光子数目巨大，这是统计规律发生作用的条件。 2) 单个光子遵守狭义相对论，即光速不变。 3) 在整体上，巨大数量的光子都是做无规则的随机运动。 4) 光子之间的距离要比光子本身的尺寸大得多。即光子本身的尺寸可以忽略不计。 5) 光子之间、以及光子与容器壁之间都是完全弹性碰撞。在平衡态时，假设光子与容器壁发生碰撞后能量不发生改变。 6) 光子只在弹性碰撞瞬间才产生接触相互作用力。无碰撞则无相互作用力。 7) 光子气体被看成是一种纯净物质，也就是说，所有的光子都是相同的。 3 光子气体压强的微观解释 对于光子气体理论的第一个应用，我们根据微观模型来推导在一个边长为d 、体积为V=d3的立方体容器中包含N个光子所产生的光子气体压强公式。如图.1所示。 假设我们考察其中的第i个光子，这个光子的质量为m = hf/c2，光子的速度始终为c（假设2），那么如图1所示，这个光子沿X轴方向的速度分量为c xi 。这个光子碰到容器壁后，将做弹性碰撞而被反射（假设5），如图2所示。 因为容器壁的质量远大于光子质量，光子被反射后，沿X轴方向的速度分量变成 -c xi 。
金属自由气体模型
第十九讲金属自由气体模型 一、固体物理中的主要模型（理论）： Atoms in the solid matter= ion cores (离子实)+ valence electrons（价电子） = nuclei + core electrons + valence electrons 1.最简单的模型—金属自由电子气体模型 a)认为离子实静止不动； b)通过“自由电子近似（凝胶模型--离子实系统产生的势场是均匀的）” 和“独立电子近似（忽略电子与电子之间的作用）”形成一类最简单的 “单电子近似”模型： i.Drude Model (1900) ii.Sommerfeld Model (1928) 2.次简单模型Ⅰ—晶格模型和能带理论 a)认为离子实仍然静止不动； b)离子实系统产生的势场随空间是周期变化，不再是均匀的。 3.次简单模型Ⅱ—晶格振动理论和声子模型 a)不考虑电子的运动； b)离子以简正模式运动。
4.最复杂的模型—电子与声子相互作用理论，光子与声子相互作用理论， 光子与电子（固体、半导体中的电子，）相互作用理论，…总结： 学习这种将复杂的大问题（真实的物理体系）化成可以局部求解的小问题（简化的物理体系）；通过不断对简单模型的修正，来处理复杂的体系。在学会这种思维方式的同时，保持头脑清醒，牢记各种模型的成立前提（或条件，或可忽略的物理内容），才能正确使用模型，得到合理的有价值的结论。 二、Sommerfeld量子金属自由电子气体模型 通过三个近似，将一块体积为V的金属简单地看成一堆价电子在体积为V的“空盒子”中运动的单纯由电子组成的体系。 1.自由电子近似——对金属来说是个比较好的近似。 a)忽略价电子与离子实之间的作用，认为离子实系统产生的势场对处在其 中的价电子来说是均匀的。 b)将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀正电荷背景。 c)价电子的自由运动范围仅限于金属块的体积V内，由金属的表面势垒将 价电子限制在样品内部。 2.独立电子近似——对其它晶体（包括半导体和绝缘体）来说也是 一个比较好的近似。 a)忽略价电子与电子之间的作用，把其它电子对某一个价电子的作用看成
费米系统与费米气体的性质
姓名：学号：班级：
费米系统与费米气体的性质 一、费米系统： 1.费米子与费米系统相关的简单介绍 自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。 由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。 由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。 2. 从微观上看费米系统 设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。 以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。N 个粒子在各能级的分布可以描述如下： 能 级 1ε，2ε，…， l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,… 即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件： N a l l =∑， E a l l l =∑ε 才有可能实现。 对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数B ..M Ω： （1） 则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2） ωl B M a l l l l N a ∏∏= ! !..Ω∏ -=l l l l a )! 1(!! F.D.ωωΩ
第一章金属自由电子气体模型
第一章金属自由电子气体模型 1．1 （1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 PdV W dU -== , 式中P 是电子气的压强。由上式可得 V U P ??- = 。 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由教材（1.1.25）式得 F N U εε5 3 0= = 其中3 2 2 2 22 322??? ? ??==V N m m k F F πε 由此可计算压强： V V N V V U P N F N 325300εεε=??? ????-=??? ????-=??- = (2) 由热力学可知，压缩系数的定义是：单位压强引起的体积的相对变化，即 T P V V ??? ????- =1κ 而体弹性模量等于压缩系数的倒数， T V P V K ??? ????-== κ1 故体弹性模量为： () V V V N m N V V V V P V K T T 9109103253320 13 2 3 2 220επε= ? =??? ????-=??? ????-=-- 1．2 He 3 的自旋为1/2，是费米子，其质量24 10 5-?≈m g.在密度3 081.0-?=cm g ρ的液 体He 3 中，单位体积中的He 3 数目为： 3283221062.11062.1--?≈?≈= m cm m n ρ 其费米能为： () 3 2 22 2 2322n m m k F F πε == 将n,m 值带入；得到： J F 23 10 8.6-?≈ε
其费米温度为： ()K K k T B F F 9.410 38.1108.623 23 ≈??≈=--ε 1．3 由教材（1.2.20）式知单位体积的自由电子气体内能： ()()2 2 06 T + =B k g F επμμ 则1mol 自由电子气体的内能为： ()()?? ????T +=??? ??=B 22061K g n n N n N U F A A επμμ 自由电子气体的摩尔热容量为 (利用了教材（1.1.29）式)： ()??? ? ??== ??? ????=F B A F V e T T R T K N g n T U C 2322 2πεπ ………… ① 又知低温下金属钾的摩尔电子热容量 321008.22-?=??? ? ??= T T T R C F e π K ≈?19726F T 由 ① 式可知：费米面上的态密度： ()3 1462 32221073.71008.2333---??≈??===m J RK n T RK nC T K N nC g B B e B A e F πππε （其中取：3 28 104.1-?=m n ） 1．4 ⑴ 3223231042.864 95.811002.6--?≈???== cm cm A Z N n m A ρ ⑵ s ne m m ne 14221071.21 -?≈=?==ρ ττσρ ⑶ ()()eV J n m n k m k F F F F 71012.1323218322 232222 2≈?== ??? ??? == -πεπε ()1631 2 1057.13-??===s m n m m k v F F π ⑷ m v l F F 8 1025.4-?==τ
一维光学晶格中费米气体的超流特性
一维光学晶格中费米气体的超流特性 【摘要】：玻色-爱因斯坦凝聚的实现掀起了人们对超冷原子气体的研究热情。玻色系统是研究人员最早开展研究并取得较为完善认识的冷原子系统。简并费米气体的实现又使得大量的学者投入到超冷费米气体的研究上来。存在相互作用的简并费米气体作为研究强关联系统非常理想的实验对象,为人们更加深入了解强关联多体系统的量子特性提供了一个新的窗口。其中对光学晶格中超冷费米气体物理特性的研究成为当今的热点课题之一。在本文中,我们首先叙述了一下有关超冷费米气体的基础知识,其次对密度重整化群算法以及强关联模拟软件ALPS(AlgorithmsandLibrariesforPhysicsSimulations)做了简单介绍。然后我们利用强关联模拟软件中提供的密度重整化群算法研究了在粒子数小于半填充的情况下,一维超冷排斥费米气体在光学晶格中的超流特性。我们发现,在普通的晶格系统中,格点总数N22,当排斥相互作用强度大于临界值时,费米子的束缚态会对应着费米系统在势阱中心产生的Mott绝缘态,边缘则为超流态。而当格点总数增大时,上述结论会有所不同。增强排斥相互作用首先出现的负的两粒子束缚能只能说明系统此时处于超流态,但是并没有相应的Mott绝缘态,只有当排斥作用足够强时才会有Mott绝缘态的出现,上述讨论进一步完善了文献[36]的结论。保持格点总数以及填充因子不变,在超晶格系统中,当系统不存在孤立的极小值点时,随着排斥相互作用的增加,费米子间的束缚能Eb在本应该出现负值的区域变为正值,束缚能Eb为正值说明
系统中不存在等效的吸引相互作用,进而意味着费米子间不会发生配对,没有库珀对的出现就没有超流态的存在。因此超晶格势的引入也使得系统的超流特性发生了变化。最后,我们总结了全文对光晶格中超冷费米气体超流特性的研究并对该领域进行了展望。【关键词】：Fermi-Hubbard模型密度重整化群束缚能Mott绝缘态光学晶格 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：硕士 【学位授予年份】：2013 【分类号】：O734 【目录】：中文摘要8-9ABSTRACT9-11第一章绪论11-211.1引言11-131.2光学晶格13-151.3费米系统15-181.3.1费米系统简介15-161.3.2简并费米气体16-181.4相变18-191.5本文的安排19-21第二章密度重整化群算法21-272.1引言212.2数值重整化群算法21-222.3密度重整化群算法22-252.3.1无限体系的DMRG算法242.3.2有限体系的DMRG算法24-252.4总结25-27第三章强关联模拟软件ALPS27-313.1发展背景27-283.2工作流程283.3晶格和模型的定义28-313.3.1晶格的定义28-293.3.2模型的定义29-31第四章光学晶格中一维排斥费米气体的超流特性31-394.1引言314.2理论模型31-324.3模拟结果与分析32-364.4结论36-39第五章超晶格中一维费
物理学相关 8-4费米气体模型
§ 8.4 费米气体模型 费米气体: Fermi 子构成的量子理想气体 费米气体模型：描述体系的粗块性质 ? 体系中大多数粒子参与的性质。以金属中的电子气为例。 自由电子气模型：金属中的电子 ? 三维无限深势阱中的粒子 状态 ? 驻波 x x n L 2=λ，y y n L 2=λ，z z n L 2=λ ,2,1,,=z y x n n n 动量： x x x n L p πλπ = = 2，y y y n L p πλπ = = 2，z z z n L p πλπ = = 2
n L p π= ，2 22z y x n n n n ++= 能级（简并）： 2 2 222n L E n μπ = 一、电子气按能量分布的态密度 在能量E 附近，单位能量间隔内的状态数： E L p L dE dN μπμπμ2323 323 == 证明： 格点 ?? ? ? ?z y x n n n ,, ? 2个态（自旋向上、下），2个电子 球壳()dn n n +,在第一象限中的状态数
dn n dn n dN 224812ππ=? ?? ? ????= 2 2 22222n L p E n μπμ == ndn L dE 2 2 2μπ = 态密度： 2 22 222 πμμππn L ndn L dn n dE dN == E L n p μπ2== E L p L dE dN μπμπμ2323 323 == 证毕。 二、 电子在能级上的填充 Fermi 能级 设金属块0=T ，电子气能量最低。电子由最低的能级开始，不违背Pauli 原理，一直填充到能级 f E ? Fermi 能级。这种分布称为完全简并电子气。
费米气体模型
费米气体模型 把原子核视同一团气体，视同气体分子的核子（费米子）在半径为R 的核内彼此无相互作用地自由运动，因而可视为在无限深势阱中运动的模型。由此计算核能级并给出激发态的一些有用信息。费米气体模型的成功之处，是揭示了原子核中核子在一定条件下近乎独立的行为，在它的基础上今已发展成为壳层模型。 超级大原子——物质第五态 如果物质不断冷下去、冷下去……一直冷到不能再冷下去，比如说，接近绝对零度(-273.16℃)吧，在这样的极低温下，物质又会出现什么奇异的状态呢？ 这时，奇迹出现了——所有的原子似乎都变成了同一个原子，再也分不出你我他了！这就是物质第五态——玻色-爱因斯坦凝聚态(以下简称“玻爱凝聚态”)。 这个新的第五态的发现还得从1924年说起，那一年，年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一篇论文，提出了一种关于原子的新的理论，在传统理论中，人们假定一个体系中所有的原子(或分子)都是可以辨别的，我们可以给一个原子取名张三，另一个取名李四……，并且不会将张三认成李四，也不会将李四认成张三。然而玻色却挑战了上面的假定，认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子(如两个氧原子)有什么不同。 玻色的论文引起了爱因斯坦的高度重视，他将玻色的理论用于原子气体中，进而推测，在正常温度下，原子可以处于任何一个能级(能级是指原子的能量像台阶一样从低到高排列)，但在非常低的温度下，大部分原子会突然跌落到最低的能级上，就好像一座突然坍塌的大楼一样。处于这种状态的大量原子的行为像一个大超级原子。打个比方，练兵场上散乱的士兵突然接到指挥官的命令“向前齐步走”，于是他们迅速集合起来，像一个士兵一样整齐地向前走去。后来物理界将物质的这一状态称为玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC)，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。这就是崭新的玻爱凝聚态。 然而，实现玻爱凝聚态的条件极为苛刻和矛盾：一方面需要达到极低的温度，另一方面还需要原子体系处于气态。极低温下的物质如何能保持气态呢？这实在令无数科学家头疼不已。 后来物理学家使用稀薄的金属原子气体，金属原子气体有一个很好的特性：不会因制冷出现液态，更不会高度聚集形成常规的固体。实验对象找到了，下一步就
费米子
费米子 在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态（即由一套量子数所确定的微观状态）上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。或者说自旋为半整数（1/2，3/2…）的粒子统称为费米子，服从费米-狄拉克统计。费米子满足泡利不相容原理，即不能两个以上的费米子出现在相同的量子态中。轻子，核子和超子的自旋都是1/2，因而都是费米子。自旋为3/2，5/2，7/2等的共振粒子也是费米子。中子、质子都是由三种夸克组成，自旋为1/2。奇数个核子组成的原子核。因为中子、质子都是费米子，故奇数个核子组成的原子核自旋是半整数。 中文名费米子 外文名fermion 特点遵守泡利不相容原理 属性质量、能量、磁矩和自旋 例子中子，质子，电子等 目录 1简介 2性质 3与玻色子的联系 4发展 5相关资料 6其他相关理论 ?四费米子作用 ?重费米子体系 ?费米气体模型 1简介 费米子 费米子 费米子(fermion)：费米子是依随费米-狄拉克统计、角动量的自旋量子数为半奇数整数倍的粒子。 费米子得名于意大利物理学家费米，遵从泡利不相容原理[1] 。根据标准理论，费米子均是由一批基本费米子组成的，而基本费米子则不可能分解为更细小的粒子。 2性质 基本费米子分为 2 类：夸克和轻子。而这 2 类基本费米子，又分为合共24 种味道(flavour)：12 种夸克：包括上夸克(u)、下夸克(d)、奇夸克(s)、粲夸克(c)、底夸克(b)、顶夸克(t)，及它们对应的6 种反粒子。12 种轻子：包括电子(e)、渺子(μ)、陶子(τ)、、中微子νe、中微子νμ、中微子ντ，及对应的 6 种反粒子，包括3 种反中微子。中子、质子：都是由三种夸克组成，自旋为1/2。夸克：上夸克(u)、下夸克(d)、奇夸克(s)、粲(càn)夸克(c)、底夸克(b)、顶夸克(t)，及它们对应的6 种反粒子。 在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态(即由一套量子数所确定的微观状态)上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。费米子所遵循的统计法称为费米统计法。费米统计法的分布函数为式中n(ε)为体系在温度T达热平衡时处于能态ε的粒子数；
第一章金属电子气体模型习题及答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级 及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能 级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与 电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3/2220 )3(2πn m E F =和3/222 )3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米 能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的 能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前， 这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电， 两者出现电势差。