第六部分 自由电子费米气体-总结与习题指导
高二物理竞赛课件：自由电子气体的热性质
电导率
2 索末菲电子气图象
自由电子： 在均匀的与时间无关的电场中： 由牛顿第二定律：
积分，得：
没有碰撞时，恒定的外加电场使k空间中的费米球匀速移动。 电子气填充以k空间原点为中心的费米球。
电导率
电子同杂质、晶格缺陷以及声子的碰撞， 使移动的费米球在电场中维持一种稳态。
准经典模型
1 电子受到散射 牛顿定律、热平衡
2 弛豫时间（relaxation time) τ
电场中的自由电子
电子的动力学方程
——自由电子在外场作用下的动力学方程
电导率
金属的电导率
1 经典图象 无外场：传导电子作无规运动： 有外场：传导电子作定向运动 漂移速度：
恒定电场稳恒情形：
电导率
1 经典图象
自由电子气体的热性质
自由电子气体的热性质
1 T →0
绝对零度时，能量在μ以下的状态全部被电子占满，μ以上 的状态是空的。化学势（费米能级）就是在绝对零度时， 电子逐级填充所能占有的最高能量状态。
2 T >0
在μ能级，被电子填充的几率 温度上升，发生变化的能
和不被填充的几率相等。
量范围变宽。
自由电子气体的热性质
化学势
1 基态
2 热激发 在费米面附近的电子可获得热能，跃迁到费米面以外的状态，费米面 内的一些状态便空了出来。
自由电子气体的热性质
电子比热
自由电子气体的热性质
电子比热
分析：经典理论，1mol 电子气平均能量：
一价金属： 高温时金属的总比热容：
实际 量子：
小于经典值
常温下：电子的贡献比例很小
自由电子气体的热性质
黄昆固体物理课后习题答案6
第六章 自由电子论和电子的输运性质思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化[解答]费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从和式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n :()3/22232πn m E F =,()3/2220310353πn m E E F ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 )(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从式x k S x x E S v e j F ετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F ∇=⎰d 4222τπσ 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差 为什么[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率 εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布.11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成 F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因[解答]按照德拜模型, 由式可知, 在甚低温下, 固体的比热 34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=m B m B T k p T k ce v e D V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1 ,作变量变换 T k x B ω =,得到甚低温下 333232T v Ak n p Bπ=, 其中 ⎰∞-=021d x e x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比.按照§纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由式得到证明. 由可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x x e x x e x x B 。
17.1 自由电子气体模型
dN
N
F
0
3
F3
3d
3 4
F
单位体积内, 能量区间 E~E+dE 内的状态数
dNE g(E)dE V
g(E)
dNE VdE
(2me )3/2
2 2 3
E1/2
-- 态密度
电子是按能量规则地从低向高排布， 一个态一个电子（泡利不相容原理）
能量区间 E~E+dE 电子数密度
金属自由电子气体模型
平均场近似下，金属原子的价电子是在均
匀的势场中运动，金属表面对电子可近似看作 无限高势垒。(功函数远大于电子动能)
这些价电子称为自由电子。
U
0
内部 外部
如果考虑立方体形状，N个自由电子好象 是装在三维盒子里的气体。
L L
每个电子都要满足驻波条件
L
nx 2
x
kxL nx
dN E V
g(E)dE 0
E EF E EF
小于费米能量，电子数 = 状态数 小于费米能量态，电子占据几率 1
大于费米能量态，电子占据几率 0
f(E) 1
T=0
0 系统 T = 0
EF E
编者： 安宇
§1 自由电子气体按能量的分布
金属中的电子受到周期排布的晶格上离子 库仑力的作用。
一晶 维格 晶、 体点
阵
U(x)
21
21
考虑电子受离子与其它电子的(2) 电子的运动有隧道效应
(1) 蕊电子 (2) 价电子
价电子的势垒穿透概率较大 在整个固体中运动, 称为共有化电子
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
固体物理第六章课件电子版本
功。
第九页，共12页。
2、热电子发射(fāshè)：当金属被加热 到较高温度时，有部分电子获得的能量
大于 ，可逸出金属，产生热电子发
射(fāshè)电流。 热电子发射(fāshè)电流密度：
j AT 2e kT 功函数越大，电流密度 j越小
温度(wēndù)T越高，电流密度越大
电子气体： dN FFD d
f0
N 1 c 1 2d
0
2 3
c
32 f0
考虑电子自旋，状态数 乘 2
2
f
0
3N 2c
2
3
3N
2
4 2
2V
2 2m
3
2
3
2
2 2m
3 N
V
2
3
绝对零度时的费米能级 是系统固有属性，只有 粒子
密度与质量有关，与外 界条件无关。
第五页，共12页。
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT 1
1 T 0 f FFD 1
εf ε
f
FFD 0
T 0 时所有粒子排满费米能 级以下的能级，
费米能级以上能级全空 。
第二页，共12页。
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分 粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
费米能级高的金属中电子会流向费米能级低的金属。 费米能级高的金属失去(shīqù)电子带正电，费米能级低的金属 得到电子带负电，两块金属产生电势差。
第十二页，共12页。
等能面称为(chēnɡ wéi)费米面，kF 就是 费米半径。
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
固体物理五六章小测试试题与答案
一、填空题1. 在边长为L 的立方金属中，自由电子的能量可以用一组量子数表示为。
222222()2x y z n n n m L π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2. 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度N(E)=。
)(21CE E g =3. 自由电子气系统的费米能级为0F E ，k 空间费米半径，电子的平均能量。
22FmE4. 金属自由电子气的摩尔比热为。
5. 两块不同的金属相接触时，电子从化学势的金属流向化学势的金属。
高 低6. 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有形式？式中在晶格平移下保持不变。
rk i k k e r u r⋅=)()(ψ，)(r u k7. 禁带出现在上，这表示在该处势场对电子存在。
布里渊区边界，强烈散射8. 在一维近自由电子近似中，根据非简并微扰理论，电子的能量为，电子的波函数为， 它表示电子波函数由和迭加而成。
平面波，散射波9. 晶体的第n 个禁带宽度E g 为。
n g V E 2=10. 在晶体中，能级越低的能带越，能级越高的能带越。
窄，宽11. 将电子看作是经典粒子时，电子的运动速度，电子的有效质量。
12. 能带顶部电子的有效质量为（填写正，或者负）；能带底部电子的有效质量为（填写正，或者负）。
负，正13. 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为，它对电导。
电子占据了一个能带中的部分状态，称该能带为，它对电导。
满带，没有贡献；不满带，有贡献。
二、简述题1. 画图简要说明：为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？为什么温度较低时必须考虑电子对固体热容量的贡献？ 见课本P1482. 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。
答：考虑金属中电子受到离子（包括原子核和芯电子）周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。
作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：()V V r =。
周期性势场的起伏量()V r V V -=∆作为微扰来处理。
1.1 模型及基态性质
自由电子费米气体模型及基态性质
本节主要内容：
一、模型 二、单电子本征态和本征能量 三、基态和基态的能量
§1.1自由电子费米气体模型及基态性质 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、 无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
一、索末菲模型
1忽略金属中电子和离子实之间的相互作用— 自由电子假设 (free electron approximation)
2 5 F
E E 3 0 F nV N 5
上述求解是在k 空间进行的，涉及到矢量积 分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此， 人们常把对 k 的积分化为对能量的积分，从 而引入能态密度。
3.能态密度
(1)定义:
能量ε附近单位能量间隔内，包含自旋的单电 子态数，称为能态密度 若在能量ε~ε+dε 范围内存在N个单电子态， 则能态密度N(ε)定义为：
2 2
2
kx k y kz
2 2 2
2m
2
在 k 空间中，具有相同能量的代表点所构成的 面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为 球面。( 一定）
由于N很大，在 k 空间中，N个电子的占据区 最后形成一个球，即所谓的费米球（Fermi sphere)。
费米球相对应的半径称为费米波矢（Fermi wave vector).用 kF 来表示。 在k空间中，把N个电子的占据区和非占据区 分开的界面叫做费米面(Feimi surface)
2
所以，波函数可写为：
1 ik r k (r ) e V
k 为波矢，其方向为平面波的传播方向
k
的大小与电子的德布罗意波长的关系为：
k
2π
大物第六、七章总结
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
6.金属自由电子气模型的局限及修正
http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气模型局限及修正
18
进一步的近似和简化处理
ˆ H 电子 ˆ i2 1 p V电子 (ri ri ' ) 独立电子近似 2 i ,i ' i 2m
1 0 ˆ H电子核 V电子核 (ri RJ ) 自由电子近似 2 i,J
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10
石墨单层
• 2004年发现 可以得到稳 定的单层石 墨热点 • 2D体系是不 稳定的。从 平整表面A开 始，可从随 机起伏的波 纹表面C得到 褶皱表面B
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* 这样的性质是自由电子气模 型无法表示出来的
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12
2、模型修正
• 质疑自由电子气的几个近似
* * * 自由电子近似 独立电子近似 弛豫时间近似
• •
当然最好应该放弃所有的近似，但是首当其 冲的是自由电子近似和弛豫时间近似 代价最小、效益最高的是放弃自由电子近似
•且
V电子核 (r R 0 ) V电子核 (r )
自由电子气模型局限及修正
21
第三、四章、能带理论
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• 前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不 考虑原子核运动，现去掉绝热近似，
RJ
0 RJ 但这时不考虑电子的运动，H就一项
ˆ2 P 1 J ˆ H核 V核 ( RJ RJ ' ) 2 J ,J ' J 2M J
固体物理学课程教学大纲
《固体物理学》课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；《固体物理学》是物理学院的主干基础课之一，是针对微电子专业的本科生开设于二年级的第二学期的专业基础课，4个学分，课堂讲授72学时。
（二）课程简介、目标与任务；固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态，及其相互关系的科学。
它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科，同时也是微电子专业本科生学习《半导体物理学》、《半导体材料》和《固体电子器件》等后续课程的基础。
本课程以点阵及晶体对称性为主线，以周期结构中的波动问题贯穿固体物理的整个教学内容。
掌握包括对点阵及晶体对称性的定义、表征和检测，以及在晶体中物质的运动规律。
在掌握知识架构的同时，对固体物理中处理多体问题的方法及其局限性有所了解，并了解一些重要概念的实验探测。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程要求：《力学》《量子物理》《热学》《热力学统计物理》先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接：《力学》中的处理物体运动的基本规律，尤其是振动与波动内容，是本课程第四章结合周期性晶体结构推演格波性质的基础。
《量子力学》或《量子物理》中的升降算符与谐振子的能量量子化，是提出声子（晶格振动的能量量子）的理论基础。
《量子力学》或《量子物理》中关于散射态的处理，如直角势垒和直角势阱的散射态，是学习电子声子散射和电子杂质散射的理论基础，也是学习电子在周期性势场下行为的基础。
《量子力学》或《量子物理》中关于束缚态的处理，是本课程第八章学习非本征半导体的理论基础。
《原子物理学》或《量子物理》中类氢原子的量子理论基础，原子的壳层结构，电子的自旋，是本课程第三章学习晶体结合的理论基础。
《热力学统计物理》和《热学》的基本原理，气体分子动理论，能量均分定理，内能和热容，平衡态的统计规律，是学习本课程第五章声子热学性质的基础。