第六章自由电子费米气体
v平
eEt
me
me——电子的质量
t ——传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间
j
nev平
ne2t
me
E
ne2t 1 me
j E E j 欧姆定律 8
3）金属的平均自由时间和平均自由程 ——实验测定金属的电阻率，来估计平均自由时间t
t me 1015 1014 s ne2
另一方面，对金属材料的了解，也是认识非金属材料的基 础。
有关金属的第一个理论模型，是特鲁德(P. Drude)在1900 年提出的经典自由电子气体模型。它将在当时已非常成功的 气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的 行为。1928年索末菲(A. Sommerfeld)又进一步将费米-狄拉克 统计理论用于自由电子气体，发展了量子的自由电子气模型， 从而克服了经典自由电子气模型的不足。
（3）电子与电子之间的散射。这是由泡利原理 引起的，几率很小。
17
物理现象 或实验结果
决定因素
修 改
物理模型
理论解释
验证
结果与预言
18
§6.2 能级和轨道密度
19
1. 一维能级和轨道
若有一长为L的样品，可以写出其中传导电子的薛
定锷方程为: Hˆ n (x) n n (x)
Hˆ P2 2m
量子力学对金属中电子的处理
—— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布和泡 利不相容原理。 —— 成功地计算了电子的热容，解决了经典理论的困难。
11
2 索末菲(Sommerfeld)的自由电子论
一、索末菲自由电子模型
❖ 电子在一无限深度的方势阱中运 动，电子间的相互作用忽略不计； （即金属中的电子可以看作是被关在一个箱体中的 自由 电子）
❖ 电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计； ❖ 电子的填充满足泡利（Pauli）不相容原理； ❖ 电子在运动中存在一定的散射机制。
12
二、运动方程及其解
1. 电子的运动方程（定态薛定谔方程）
h2 2m
2
V0
(r)
E
(r)
Y(r)：在电子近似下，表示电子运动状态的波函数。
——电子气系统和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的， 碰撞前后电子的速度毫无关联，且方向是随机的，其速度是和 碰撞发生处的温度相对应的。
2）金属的直流电导
根据特鲁德模型，金属晶体内的电子运动类似理想气体分子 的运动，因此电流密度为
j = -nev平
n —— 金属导体内的电子数密度
v平—— 电子运动的平均速度
它的取值需要由边界条件确定。
15
传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间 有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引 力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实的电荷 抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不存在了) 好象“凝胶”一样。这种“凝胶”的作用纯粹是为 了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些 传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从 金属晶体中飞溅出去，这就相当于“凝胶”模型。
2
ur dt 1
(V) k k
(V) k
A 1 V
V: 金属的体积
ur
r r
1
ur r exp ik r
k
V
ur k ：电子平面波的波矢
k 2 l
电子相应于波函数
Yk(r)的能量：
E
ur k
h2k2
2m
14
因为波函数Y(r)同时也是动量算符 pˆ ih 的本征态，
第六章 自由电子费米气体 (金属自由电子论)
Free Electron Fermi Gas
引言
在固体材料中，三分之二以上的固体纯元素物质属于金属 材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械性能， 是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料功能的研 究，可以了解金属材料的性质，同时推动现代固体理论的进一 步发展。
16
按照Sommerfeld模型，电子在正电荷的背景中 运动不受正电荷的散射，电子所受到的散射纯粹来 自周期结构的破坏与偏离，这些散射是：
（1）电子与声子的碰撞。离子实固定在阵点上 是不散射电子的，只有离子实在平衡位置附近振动 才会产生声子，才会出现声子与电子的碰撞。
（2）电子与缺陷的散射。由于夹杂缺陷的存在 破坏了晶体的周期势场， 因而会引起散射。
此时 k (r) eikr 波矢取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
26
将
(r )
eikr
i
e
(k
x
xk
y
yk
z
z
)
k
代回薛定锷方程可求出能级：
k
2 2m
k2
大多数金属
C Experimental V
/ C Classical V
0.01
10
4）特鲁德模型的成功与失败
通过假定平衡态下电子具有确定的平均速度，成功地处 理了直流电导问题；得到金属电子的弛豫时间、平均自 由程和热容。
经典电子论的失败或困难
获得的平均自由程和热容与实验结果不符；在处理磁化率 等问题上也遇到根本性的困难。
k
2 2m
(k
2 x
k
2 y
kz2 )
=恒常
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等 能面是一系列同心球面。
28
电子在T=0k时所能填充到的最高等 能面称为费米面.
我们知道自由电子的等能面是球面， 在T=0k时，费米面把电子填充过的轨道 与电子未填充过的轨道完全分开了，即 费米面内所有的轨道都被填充，费米面 外边都是空轨道，这一点对金属是非常 重要的，因为只有费米面附近的电子才 能决定金属的动力学性质。
L
z)
nX 1.2.3......
25
若在三个方向都用周期性边界条件： 薛定锷方程的解在三个方向都以L为周期重 复，即：
(x L, y, z) (x, y, z)
(x, y L, z) (x, y, z)
(x, y, z L) (x, y, z)
所以处于Y(r)态的电子有确定的动量，可以写成
ih k (r) hk k (r)
ur r
P hk
相应的速度为
r v
ur P
r hk
mm
∴
E
ur k
h2k2 P2
1 mv2
2m 2m 2
电子能量再现熟悉的经典形式
ur k：电子平面波的波矢，它的方向为平面波的传播方向；
在T=0k时,电子的能级与轨道填充时有两个原则: ① 先填能量低的能级 ② 服从泡利原理
在T=0K时,电子所能填充到的最高能级称
为费米能级：
εF
2 ( πnF 2m L
)2
由于每个能级上只能存在有自旋相反的两
个电子,
nF
1 2
n
εF
2 2m
( Nπ )2 2L
N L
:单位长度上的电子数(电子浓度)
2 2m
(k 2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
27
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量 子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级， 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能 量均分定律：
—— 每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的 平均能量
—— 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密
度为
U
3 2
nkBT
电子气的热容：
C Classical v
3 2 nkB
高温下与晶格振动的贡献相当， 这与实验结果不符。
5
1 特鲁德(Drude)经典自由电子气理论
在量子力学创立很久以前，人们就已经建立了用自由电子 的运动来解释金属性质的学说。
如著名的欧姆定律公式以及电导率与热导率之间关系的推导。
特鲁德模型——成功地处理了直流电导问题
1) 特鲁德模型将金属晶体内的高浓度(1022～1023/cm3)电 子气视作理想气体，其基本假设：
Байду номын сангаас
外电场E=0时， v平=0
电子运动是随机的
净定向电流为零，对电流密度没有贡献
7
外电场E≠ 0时， v平≠ 0 —— 产生净定向电流 在外场E作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机 的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。
因此，电子平均速度v平起源于在外场E作用下，电子在连续 两次碰撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：
能量本征值：
εn
2 2m
k2
2 2m
( 2π L
n)2
24
2. 三维情况下自由电子的能级和轨道
2 2m
2 ( x2
2 y2
第六章_自由电子论和电子的运输性质
3 5
2 (
2m
3 2
Vc 2
2
) 3( N1
N2
N1
5
)3
N1e(V1 V2 ) ( N1 N2 )eV2
30
6、两金属电势差是常数的含义
U
3 5
2 ( 2m
3 2
Vc1
2
) 3(
N1
5
)3
3 5
2 ( 2m
3 2
Vc 2
2
) 3(
N1
N2
N
1
5
)3
N1e(V1 V2 ) ( N1 N2 )eV2
两金属依靠接触电 势差补偿原来它们 之间的费米能的差 别，从而使电子达
到统计平衡 35
电子统计平衡过程
0
EFA
A
B EFB
EFA
E
3 5
EF0
[1
5 12
2
(
T TF0
)2 ]
CV
(
E T
)V
2
2
T ( TF0
)kB
（自由粒子热容量应为3kB/2） 讨论：
（1）电子热容量与温度T成正比。
（2）在常温下，T/TF0~10-2，价电子对热容量的贡献
大约是自由粒子的百分之几。一般温度下，晶格热 容量比电子热容量大得多。
（4）低温范围晶格热容量按T3迅速下降，而电子按T下 降，在液氦温度范围两者的大小就可以相比。
金属2 VC2 EF2 N2 VC2 EF2' N2' V2
29
5、金属接触价电子系统的总能量
U
3 5
N1EF 1
N1eV1
3 5
高二物理竞赛课件：自由电子气体的热性质
电导率
2 索末菲电子气图象
自由电子： 在均匀的与时间无关的电场中： 由牛顿第二定律：
积分，得：
没有碰撞时，恒定的外加电场使k空间中的费米球匀速移动。 电子气填充以k空间原点为中心的费米球。
电导率
电子同杂质、晶格缺陷以及声子的碰撞， 使移动的费米球在电场中维持一种稳态。
准经典模型
1 电子受到散射 牛顿定律、热平衡
2 弛豫时间（relaxation time) τ
电场中的自由电子
电子的动力学方程
——自由电子在外场作用下的动力学方程
电导率
金属的电导率
1 经典图象 无外场：传导电子作无规运动： 有外场：传导电子作定向运动 漂移速度：
恒定电场稳恒情形：
电导率
1 经典图象
自由电子气体的热性质
自由电子气体的热性质
1 T →0
绝对零度时，能量在μ以下的状态全部被电子占满，μ以上 的状态是空的。化学势（费米能级）就是在绝对零度时， 电子逐级填充所能占有的最高能量状态。
2 T >0
在μ能级，被电子填充的几率 温度上升，发生变化的能
和不被填充的几率相等。
量范围变宽。
自由电子气体的热性质
化学势
1 基态
2 热激发 在费米面附近的电子可获得热能，跃迁到费米面以外的状态，费米面 内的一些状态便空了出来。
自由电子气体的热性质
电子比热
自由电子气体的热性质
电子比热
分析：经典理论，1mol 电子气平均能量：
一价金属： 高温时金属的总比热容：
实际 量子：
小于经典值
常温下：电子的贡献比例很小
自由电子气体的热性质
第六章总结
1 E EF 1 f (E) E EF 2 0 E EF
a. T 0
E E F 1 f ( E ) 陡变 E E F 0 E EF
2.费米能
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
k F 3nπ
f 的方程。 f t t f ＋ t 碰 0
漂
f t
漂
f k f r r k
f t
＝b a
碰
' dk a f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3 ' dk b f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3
2 x
如果金属电子的等能面是球面
ne F m
2
m 2 ne F
作业： 思考题1、4
f (E) 1 e
( E E F ) k BT
1
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
2 13
π 2 kBT 0 E F E F 1 0 12 TF
2
3 每个电子对热容量的贡献
π2 T 0 kB CV 2 TF
常温下电子对与热容量的贡献很小。这是因为在常温下， 费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到 费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电子
的电子被散射的总的概率，因而上式说明弛豫时间就是电子的 自由碰撞时间。 式中(1-cos)因子的作用可作如下分析： 若散射是小角度的，即k’与k接近，角很小，(1-cos)值也
第六章自由电子费米气体doc
例题6．1 自由电子的费密能量(a) 导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式；(b) 一个简单立方点阵的单价金属，已知点阵常数3a =Å，每个原子只贡献一个传导电子．试计算费密能量F ε、费密波矢F k 、费密温度F T 及费密面上电子的波长；(c) 计算简单立方点阵第一布里渊区中放电子填充的状态所占的分数． [解](a) 金属中的电子浓度为()Fn g d εεε-∞=⎰其中()g ε是自由电子状态密度，()00,0g εεε=>=< 于是有12F n d εεε=()223232F n mεπ=(b)首先求出电子浓度n ，()22333811 3.70410cm 310n a --===⨯⨯ 于是费米波矢为()12813 1.03110cm F k n π-==⨯费米能量为22 4.05eV 2FF k mε==费米温度F T 为47,000K FF BT k ε==费米面上电子的波长为82 6.09410cm 6.094F Fk πλ-==⨯=Å (c)简单立方点阵的第一布里渊区是一个边长为2aπ的立方体，其体积为 33328BZa a ππ⎛⎫Ω== ⎪⎝⎭自由电子费密球的半径为()12132333F k n a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭费密球的体积为333443FSF k aππΩ== 第一布里渊区中被电子占据的状态所占的分数为33334182FS BZ a a ππΩ==Ω 第一布里渊区中有一半状态被电子占据．6．2 自由电子气体基态下的动能，压强和体弹性模量(a)证明三维自由电子气体基态下的动能为035F U N ε=N 是电子数，N nV =；(b)证明基态下电子气体的压强与体积的关系为023P U V =(c)证明基态下自由电子气体的体弹模量为0251093F B P U V n ε===(d)估计钾电子气体对B 的贡献． [解](a) 25220324210F Fk k V k Vk U dk m m ππ<==⎰电子费密波矢F k 为1323F N k V π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦于是自由电子气体基态下动能为22033105F F N k U N m ε== (1)(b) 0NU p V ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭， 由于035F U N ε=，F ε正比于2F k ，2F k 仅仅通过因子()23N V 依赖于体积V ，由此得到002233UU P VV ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ (2) (c) 体积弹性模量PB V V∂=-∂，由于230U V -∝，由式(2)，压强P 正比于53V -，于是有05102393F U B P n V ε=== (3) 这里Nn V=是电子浓度，若用无量纲量s r 表示电子浓度，则有5926.1310N m s B r -⎛⎫=⨯⋅ ⎪⎝⎭(4)(d)钾的r s ＝4．86，代入式(4)，得923.1810N m B -≈⨯⋅6．3 自由电子气体的热容和化学势试用费密分布函数证明白出电子气体的化学势μ随温度变化的关系为22112B F F k T πμεε⎡⎤⎛⎫⎢⎥≈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦μ与F ε之差仅仅在2B F k T ε⎛⎫⎪⎝⎭的数量级，证明在有限温度下，自由电子气体能量密度的表达式为()()2206B F u u k T g πε=+证明自由电子的热容为22B V B F k T C Nk πε⎛⎫= ⎪⎝⎭这里F ε是自由电子的费密能量，0u 是基态下的能量密度，()F g ε是费密面附近的状态密度，()32F Fng εε=，N nV =是自由电子总数。
费米气体
统计规律
费米气体的统计规律有：费米-狄拉克统计，非广延统计。
费米气体是理想气体的量子力学版。在金属内的电子、在半导体内的电子、或在中子星里的中子，都可以被 视为近似于费米气体。在一个处于热力平衡的费米气体里，费米子的能量分布，是由它们的密度，温度，与容许 能量量子态集合，依照费米-狄拉克分布方程而决定的。泡利不相容原理阐明，不容许被两个或以上的费米子占用 同一个量子态。因此，在绝对零度，费米气体的总能量，大于费米子数量与单独粒子基态能量的乘积。并且，在 绝对零度，费米气体的压力，称为“简并压力”，不等于零。这与经典理想气体的现象有很明显的不同。简并压 力使得中子星或白矮星能够抵抗万有引力的压缩，因而得到稳定平衡，不致向内爆塌。
感谢观看
简介
费米气体是借用理想气体模型描述费米子系统性质的量子力学模型。该模型中，粒子所处的量子态可用它们 具有的动量来表征。对于周期性系统，譬如在金属原子点阵中运动的电子，亦可类似地引入“准动量”的概念以 表征量子态（参见条目布洛赫波）。无论上述哪种模型，其具有费米能的量子态都处于动量空间中的一个确定的 曲面上，这个曲面称为费米面。费米气体的费米面是一个球面；周期体系中的费米面则通常是扭曲面。费米面包 围的体积决定了系统中的电子数，而费米面的拓扑结构则与金属的各种传导性质（如电导率）直接相关。对费米 面的研究有时被称为“费米学”（Fermiology）。如今，绝大多数金属的费米面均已经有较透彻的理论与实验研 究。
由于前述定义忽略了粒子与粒子之间的相互作用，费米气体问题约化为研究一群独立的费米子的物理行为的 问题。这问题本身相当容易解析。一些更深奥，更进阶，更精密的理论，牵涉到粒子与粒子之间的互相作用的理 论（像费米液体理论或相互作用的微扰理论），时常会以费米气体问题为研究的开端。
第六章金属电子论习题
电导率
q2 m*
n (EF0 )
弛豫时间
( E F0
)
m*
nq 2
平均自由程
v (EF0 )
m*v
nq 2
kF
nq2
0 K到室温之间的费密半径变化很小
9
固体物理
固体物理学
或近自由电子近似情况下
EF
EF0
1
2
12
kBT EF0
2
kF m
1.055
10 34 1.20 9.1110 31
0
10
1.39 106 m / s
固体物理
固体物理学
(4) 费密球面的横截面积
S (kF sin )2 4.52 sin 2m2
是 与 轴之间的夹角
kF
(3n
2
)
1 3
8
固体物理
固体物理学
(5) 在室温以及低温时电子的平均自由程
3
固体物理
固体物理学
N
N(
( E F0
E
)
)
4V
(
2m h2
3N / 2EF0
)3/2 E1/2
N(E)
(
EF EF0
)1/
2
N
(
EF0
)
TF
EF0 kB
3N 2kB N (EF0 )
3 6.0221023 21.3811023 3.321042
19624K
N
固体物理
金属自由自由电子气体模型及基态性质解析PPT课件
v p k mm
2k2 1 m 2m 2
2k 2 m2
1 mv2 2
即电子的能量和动量都有经典对应，但是，经典中的平面 波矢k可取任意实数，对于电子来说，波矢k应取什么值呢？
4.波矢k的取值
波矢k的取值应由边界条件来确定
边界条件的选取，一方面要考虑电子的实际运动情况（表面和内部）；另一方 面要考虑数学上可解。
4π
k2
d
k
E dE ky
dZ
2
V
2π 3
4π
2m
2
m d 2 2m
E
kx
4πV
2π 3
(2 m )3 2 1 2
3
d
3
4πV
2m h2
21
2d
N ( )
dZ
C
1 2
d
其中
C
4πV
2m h2
3
2
第24页/共30页
法3. 在k空间自由电子的等能面是半径
k 2mE 的球面，
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开 金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。
二者的一致性，表明周期性边条件的合理性
由周期性边界条件：（讲解以下推导过程）
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
V
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):
k
1 k
1
( 2 )3
L3
(2 )3
V
8 3
L
注意量纲
第14页/共30页
三、基态和基态能量 1.N个电子的基态、费米球、费米面 电子的分布满足：能量最小原理 和 泡利不相容原理
固体物理
第一章晶体结构⏹布拉菲点阵概念⏹惯用晶胞（单胞）概念⏹初基晶胞（原胞）概念⏹Wigner-Seize晶胞⏹晶体结构基元+点阵=晶体结构⏹简单的晶体结构（1）sc，bcc，fcc结构的特征（2）金刚石结构（3）六角密堆积结构（4）NaCl结构（5）CsCl结构⏹晶列, 晶向, 晶面, 晶面族, 晶面指数, 密勒指数, 晶面间距晶面指数（hkl)的定义和求法方向指数[abc]的定义和求法⏹对称操作⏹7种晶系和14种布拉菲点阵1以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的简立方和面心立方晶体中的原子数之比。
2证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交3某元素晶体的结构为体心立方布拉菲格子，试指出其格点面密度最大的晶面系的密勒指数，并求出该晶面系相邻晶面的面间距4在立方晶胞中画出（122），（001），（10），（210）晶面和[122]5晶体中可以独立存在的8种对称元素是：、、、、、、、。
⏹布拉格定理⏹倒易点阵初基矢量公式⏹布里渊区的求法（二维正方格子和长方格子）⏹实验衍射方法（劳厄法、转动晶体法和粉末法）⏹倒易点阵矢量和晶面指数间的关系1考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl），（a）证明倒易点阵矢量G（hkl）=hb1+kb2+lb3垂直于这组平面（hkl）；（b）证明两个相邻的点阵平面间的距离d（hkl）为2从体心立方铁的（110）平面来的X-射线反射的布喇格角为22º，X-射线波长λ=1.54Å。
试计算铁的立方晶胞边长；(b）从体心立方结构铁的(111)平面来的反射的布喇格角是多少？答案：a）a=2.91Å；b）θ=27.28º3对于点阵常数为a的二维六角点阵，（a）写出正点阵的初基矢量；（b ）计算倒易点阵的初基矢量；（c ）画出第一、第二、第三布里渊区；（d ）计算第一布里渊区的体积。
4半导体材料Si 和Ge 单晶的晶体点阵类型为 ，倒易点阵类型为 ，第一布里渊区的形状为 ，每个 原子的最近邻原子数为 。
固体物理五六章小测试试题与答案
一、填空题1. 在边长为L 的立方金属中，自由电子的能量可以用一组量子数表示为。
222222()2x y z n n n m L π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2. 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度N(E)=。
)(21CE E g =3. 自由电子气系统的费米能级为0F E ，k 空间费米半径，电子的平均能量。
22FmE4. 金属自由电子气的摩尔比热为。
5. 两块不同的金属相接触时，电子从化学势的金属流向化学势的金属。
高 低6. 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有形式？式中在晶格平移下保持不变。
rk i k k e r u r⋅=)()(ψ，)(r u k7. 禁带出现在上，这表示在该处势场对电子存在。
布里渊区边界，强烈散射8. 在一维近自由电子近似中，根据非简并微扰理论，电子的能量为，电子的波函数为， 它表示电子波函数由和迭加而成。
平面波，散射波9. 晶体的第n 个禁带宽度E g 为。
n g V E 2=10. 在晶体中，能级越低的能带越，能级越高的能带越。
窄，宽11. 将电子看作是经典粒子时，电子的运动速度，电子的有效质量。
12. 能带顶部电子的有效质量为（填写正，或者负）；能带底部电子的有效质量为（填写正，或者负）。
负，正13. 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为，它对电导。
电子占据了一个能带中的部分状态，称该能带为，它对电导。
满带，没有贡献；不满带，有贡献。
二、简述题1. 画图简要说明：为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？为什么温度较低时必须考虑电子对固体热容量的贡献？ 见课本P1482. 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。
答：考虑金属中电子受到离子（包括原子核和芯电子）周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。
作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：()V V r =。
周期性势场的起伏量()V r V V -=∆作为微扰来处理。
1.1 模型及基态性质
自由电子费米气体模型及基态性质
本节主要内容：
一、模型 二、单电子本征态和本征能量 三、基态和基态的能量
§1.1自由电子费米气体模型及基态性质 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、 无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
一、索末菲模型
1忽略金属中电子和离子实之间的相互作用— 自由电子假设 (free electron approximation)
2 5 F
E E 3 0 F nV N 5
上述求解是在k 空间进行的，涉及到矢量积 分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此， 人们常把对 k 的积分化为对能量的积分，从 而引入能态密度。
3.能态密度
(1)定义:
能量ε附近单位能量间隔内，包含自旋的单电 子态数，称为能态密度 若在能量ε~ε+dε 范围内存在N个单电子态， 则能态密度N(ε)定义为：
2 2
2
kx k y kz
2 2 2
2m
2
在 k 空间中，具有相同能量的代表点所构成的 面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为 球面。( 一定）
由于N很大，在 k 空间中，N个电子的占据区 最后形成一个球，即所谓的费米球（Fermi sphere)。
费米球相对应的半径称为费米波矢（Fermi wave vector).用 kF 来表示。 在k空间中，把N个电子的占据区和非占据区 分开的界面叫做费米面(Feimi surface)
2
所以，波函数可写为：
1 ik r k (r ) e V
k 为波矢，其方向为平面波的传播方向
k
的大小与电子的德布罗意波长的关系为：
k
2π